5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（精講）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第一冊）（教師版含解析）

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一五點(diǎn)畫圖【例1】(1)(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))用五點(diǎn)法作出函數(shù)的簡圖.(2)(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))利用正弦或余弦函數(shù)圖象作出的圖象．【答案】見解析【解析】(1)列表:0100101210描點(diǎn)，連線，如圖.(2)由，所以的圖象由的圖象軸下方的部分關(guān)于軸對稱上去，和軸上方的原圖象共同組成，如圖實(shí)線部分所表示的是的圖象五點(diǎn)法畫圖五點(diǎn)法畫圖作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]的圖象時(shí)，可用“五點(diǎn)法”作圖，其步驟是：①列表，取x＝0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)、2π；②描點(diǎn)；③用光滑曲線連成圖．【舉一反三】1．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－sinx(0≤x≤2π)的簡圖．【答案】見解析【解析】列表：0010010121作圖：2．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))利用正弦曲線，求滿足的x的集合．【答案】【解析】正弦函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，滿足，由圖可知，所以滿足的x的集合為3．(2020·武功縣普集高級中學(xué)高一月考)用五點(diǎn)法作出函數(shù)在內(nèi)的圖像.【答案】見解析【解析】列表：010－10153135描點(diǎn)得在內(nèi)的圖像(如圖所示)：考點(diǎn)二周期【例2】(1)(2020·福建高二學(xué)業(yè)考試)函數(shù)的最小正周期為()A． B． C． D．(2)(2020年廣東潮州)下列函數(shù)中，不是周期函數(shù)的是()A.y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|【答案】(1)D(2)D【解析】(1)函數(shù)的最小正周期為：故選：D(2)畫出y＝sin|x|的圖象，易知y＝sin|x|不是周期函數(shù)【舉一反三】1．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)中,最小正周期為的是()A． B． C． D．【答案】C【解析】對于，周期，錯(cuò)誤.對于，周期，錯(cuò)誤.對于，周期，正確.對于，，周期，錯(cuò)誤，故選C.2．(2019·云南高二期末)函數(shù)的最小正周期為__________．【答案】【解析】由題得函數(shù)的最小正周期.故答案為：考點(diǎn)三對稱性【例3】(2020·遼寧大連·高一期末)函數(shù)的圖像的一條對稱軸方程為()A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)令，則，當(dāng)時(shí)，，故選B.【舉一反三】1．(2020·永昌縣第四中學(xué)高一期末)函數(shù)y＝sin的圖象的一條對稱軸是()A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝【答案】C【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，所以C成立，經(jīng)檢驗(yàn)，其他選項(xiàng)都不正確.故選：C2．(2020·山西省長治市第二中學(xué)校高一期末(理))下列函數(shù)中，最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)是()A． B．C． D．【答案】B【解析】先選項(xiàng)C中函數(shù)的周期為,故排除C,將,代入A,B,D求得函數(shù)值為,而函數(shù)在對稱軸處取最值.故選:.3．(2020·河南平頂山·高一期末)如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么取最小值時(shí)的值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得，，即，，取最小值時(shí)，即或，即.故取最小值時(shí)的值為.故選：D.考點(diǎn)四單調(diào)性【例4】(1)(2020·吉林扶余市第一中學(xué)高一期中)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．， B．，C．， D．，(2)(2020·吉林扶余市第一中學(xué)高一期中)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的一個(gè)值是()．A． B． C． D．【答案】(1)A(2)C【解析】(1)當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，即當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.故選：A(2)因?yàn)?，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，因此，，解得：，故選：C．【舉一反三】1．(2020·湖南益陽·高一期末)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B．C． D．【答案】A【解析】由，，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：．2．(2020·全國高三其他(理))已知函數(shù)，對任意，都有，并且在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值是()A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【解析】由題意，是函數(shù)的最大值，，即．，．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意.的最小值為7.故選：D．3．(2020·全國高三其他(理))函數(shù)在上為增函數(shù)，則的值可以是()A．0 B． C． D．【答案】C【解析】對A,,由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上為減函數(shù)，舍去；對B，，在上先減后增，舍去對C,，由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上為增函數(shù).成立；對D,,在上先增后減，舍去故選：C．考點(diǎn)五奇偶性【例5】(2020·上海黃浦·高一期末)下列函數(shù)中，周期是的偶函數(shù)為().A． B． C． D．【答案】C【解析】A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，周期為；B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，周期為；C選項(xiàng)，函數(shù)的定義與為R，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，周期為；D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不具有周期性.故選：C【舉一反三】1．(2019·貴州高三月考(文))函數(shù)是()A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且最小正周期，故選B.2．(2020·遼寧遼陽·高一期末)下列函數(shù)中，周期為的奇函數(shù)是()A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，，是奇函數(shù)，周期T＝，不符合題意；對于B，y＝sin(2x+3π)＝﹣sin2x，是奇函數(shù)，周期T＝，符合題意；對于C，＝-cos2x，是偶函數(shù)，不符合題意；對于D，|sinx|，是偶函數(shù)，不符合題意；故選：B．3．(2020·昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)高一開學(xué)考試)已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)是偶函數(shù)【答案】B【解析】對于函數(shù)，它的周期等于，故正確．令，則，則是的對稱軸，故正確．由于，故函數(shù)是偶函數(shù)，故D正確．利用排除法可得B錯(cuò)誤；故選：B．考點(diǎn)六定義域【例6】(1)(2020·寧縣第二中學(xué)高一期中)函數(shù)的定義域是________.(2)(2020·寧縣第二中學(xué)高一期中)函數(shù)的定義域是__________.【答案】(1)(2)【解析】(1)因?yàn)椋?，解得，即函?shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋?2)因?yàn)樗?，解得，解得，所以或，故函?shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋嚎疾楹瘮?shù)的定義域，即求使函數(shù)有意義的取值范圍．求函數(shù)定義域的依據(jù)考查函數(shù)的定義域，即求使函數(shù)有意義的取值范圍．求函數(shù)定義域的依據(jù)(1)整式函數(shù)的定義域?yàn)镽；(2)分式的分母不為零；(3)偶次根式的被開方數(shù)不小于零；(4)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；(5)正切函數(shù)y＝tanx的定義域?yàn)椋?6)x0中x≠0；(7)實(shí)際問題中除要考慮函數(shù)解析式有意義外，還應(yīng)考慮實(shí)際問題本身的要求．【舉一反三】1(2020·遼寧沈陽·高一期中)函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，故選：B.2．(2020·湖南高一月考)函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)知.故選：C.3．(2020·吉林公主嶺·高一期末(理))函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【答案】C【解析】由得所以.故選：C.考點(diǎn)七值域【例7】(1)(2019·福建高三學(xué)業(yè)考試)函數(shù)的最小值是。(2)(2020·全國高二月考(文))在區(qū)間上的最小值為______.(3)(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)，且的值域是________________．【答案】(1)(2)0(3)【解析】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，(2)因?yàn)?，所以，則，，故在區(qū)間的最小值為，故答案為：.(3)函數(shù)在，值域?yàn)?，在也單調(diào)遞增，值域?yàn)?，綜上函數(shù)，且的值域是.故答案為：【舉一反三】1．(2019·伊美區(qū)第二中學(xué)高一月考)求函數(shù)的最值，及取最值時(shí)x的集合．【答案】時(shí)，；時(shí)，．【解析】由已知，∵，∴當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，．2．(2020·新疆高三三模(理))f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________.【答案】【解析】函數(shù)f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函數(shù)，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函數(shù)，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案為.3．(2020·山西省長治市第二中學(xué)校高一期末(理))已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則ω的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋瘮?shù)在區(qū)間上的最小值為，所以時(shí)，，所以，，時(shí)，，所以，，所以的范圍是．故選：D．考點(diǎn)八正切函數(shù)性質(zhì)【例8】(2020·山西省長治市第二中學(xué)校高一期末(理))下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是()A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱 B．函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【解析】，A錯(cuò)；由得，B正確；時(shí)，，函數(shù)在此區(qū)間上不單調(diào)，C錯(cuò)；或時(shí)，函數(shù)值不存在，D錯(cuò)．故選：B．【舉一反三】1．(2020·輝縣市第二高級中學(xué)高一期中)關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是()A．是奇函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．為其圖象的一個(gè)對稱中心 D．最小正周期為【答案】C【解析】，所以是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，故選C．2．(2020·海原縣第一中學(xué)高一期末)下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是()A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．最小正周期是πC．圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱 D．圖象關(guān)于直線成軸對稱【答案】C【解析】函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸，A、D錯(cuò)誤其最小正周期是，故B