5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用（精練）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第一冊）（教師版含解析）

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用【題組一模型y=Asin(wx+ψ)+B】1．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))如圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則8時(shí)的溫度大約為________(精確到)．【答案】13【解析】由圖像可得，，，∴，．∵最低點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，得，于是，∴，取，∴．當(dāng)時(shí)，．故答案為：132．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))已知某海浴場的海浪高度是時(shí)間(其中，單位：時(shí))的函數(shù)，記作，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，函數(shù)的解析式為________．【答案】【解析】由題意得，，，∴，．又，∴．從而．故答案為：3．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系式是，則當(dāng)時(shí)，電流強(qiáng)度為()A．5A B．2.5A C．2A D．－5A【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，.故選：.4．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11℃，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？【答案】(1)最大溫差為4℃；(2)在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.【解析】(1)因?yàn)樗裕?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是在[0，24)上的最大值為12，最小值為8.故實(shí)驗(yàn)室這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃.(2)依題意，當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.故有，即.又，因此，即.故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.5．(2020·陜西渭濱·高一期末)景區(qū)客棧的工作人員為了控制經(jīng)營成本，減少浪費(fèi)，合理安排入住游客的用餐，他們通過統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約600人；③2月份入住客棧的游客約為200人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.(1)若入住客棧的游客人數(shù)y與月份之間的關(guān)系可用函數(shù)(，，)近似描述，求該函數(shù)解析式；(2)請問哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備多于650人的用餐？【答案】(1)；(2)7，8，9三個(gè)月.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為，由①，周期，所以；由②，最小，最大，且，故；由③，在上遞增，且，所以，所以，解得，又最小，最大，所以，則，解得，由于，所以，所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系式為.(2)由條件可知，，化簡得，所以，解得.因?yàn)?，?即只有7，8，9三個(gè)月份要準(zhǔn)備多于650人的用餐.6．(2020·浙江高一單元測試)在自然條件下，對某種細(xì)菌在一天內(nèi)存活的時(shí)間進(jìn)行了一年的統(tǒng)計(jì)與測量，得到10次測量結(jié)果(時(shí)間近似到0.1小時(shí))，結(jié)果如下表所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號15980117126172225263298355存活時(shí)間小時(shí)5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)試選用一個(gè)形如的函數(shù)來近似描述一年(按365天計(jì))中該細(xì)菌一天內(nèi)存活的時(shí)間與日期位置序號之間的函數(shù)解析式．(2)用(1)中的結(jié)果估計(jì)該種細(xì)菌一年中大約有多少天的存活時(shí)間大于15.9小時(shí)．【答案】(1)；(2)有121天(或122天).【解析】(1)細(xì)菌存活時(shí)間與日期位置序號之間的函數(shù)解析式滿足，由已知表可知函數(shù)的最大值為19.4，最小值為5.4，∴，故．又，故．又，∴．當(dāng)時(shí)，，∴，∴．(2)由得，∴，可得．∴這種細(xì)菌一年中大約有121天(或122天)的存活時(shí)間大于15.9小時(shí)．7．(2020·遼寧遼陽·高一期中)為了迎接旅游旺季的到來，遼陽湯河風(fēng)景區(qū)內(nèi)供游客住宿的某賓館，工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的食物有些月份剩余不少，浪費(fèi)很嚴(yán)重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費(fèi)，就想適時(shí)調(diào)整投入．為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù)，現(xiàn)每年各個(gè)月份來賓館入住的游客人數(shù)會呈現(xiàn)周期性的變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住賓館的游客人數(shù)基本相同；②入住賓館的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；③2月份入住賓館的游客約為100人，隨后逐月增加直到8月份達(dá)到最多．(1)若一年中入住賓館的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系為，且．試求出函數(shù)的解析式；(2)請問哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備不少于400份的食物？【答案】(1)，且；(2)在6月、7月、8月、9月、10月5個(gè)月份要準(zhǔn)備不少于400份的食物.【解析】(1)因?yàn)?，且根?jù)條件①，可知這個(gè)函數(shù)的周期是12；由②可知，最小，最大，且；由③可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以．根據(jù)上述分析可得，，故，且，解得根據(jù)分析可知，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值．故，且，，又因?yàn)?，故，所以入住賓館的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系式為：，且.(2)令，化簡得，即，解得．因?yàn)?，且，所以，即?月、7月、8月、9月、10月5個(gè)月份要準(zhǔn)備不少于400份的食物．8．(2020·大連海灣高級中學(xué)高一月考)如表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深關(guān)系．時(shí)刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深和時(shí)刻的關(guān)系可用函數(shù)(其中)來近似描述，則該港口在11:00的水深為________m．【答案】4【解析】由題意得函數(shù)(其中，，的周期為，，解得，，，，該港口在的水深為．故答案為：4．【題組二圓周運(yùn)動】1．(2020·山東濰坊·高一期末)水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列敘述正確的是()A．B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離的最大值為D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】由題意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，當(dāng)t＝0時(shí)，y＝f(t)＝，代入可得＝6sinφ，∵，∴φ＝－.故A正確；所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在不是單調(diào)遞增的，故B不正確；因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6，故C不正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，點(diǎn)，，故D正確，故選：AD．2．(2020·湖南雨花·雅禮中學(xué)高三其他(文))達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點(diǎn)，測得如下數(shù)據(jù)：(其中).根據(jù)測量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于()A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，設(shè)．則．，．設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為．則，．故選：A．3．(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))如圖,游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動,每轉(zhuǎn)動一圈需要分鐘,其中心距離地面米,半徑為米,如果你從最低處登上摩天輪,那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化,以你登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí),請回答下列問題:(1)求出你與地面的距離(米)與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)解析式.(2)當(dāng)你第次距離地面米時(shí),用了多長時(shí)間?【答案】(1)(2)分鐘.【解析】(1)由已知可設(shè),由周期為分鐘可知,當(dāng)時(shí),摩天輪第次到達(dá)最高點(diǎn),即此函數(shù)第次取得最大值,,即.所求的函數(shù)關(guān)系式為.(2)設(shè)轉(zhuǎn)第圈時(shí),第分鐘時(shí)距地面米,由,得,或,解得或,時(shí),第次距地面米,故第次距離地面米時(shí),用了(分鐘).4．(2020·開封市第二十五中學(xué)高一期末)摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．位于濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為124米，設(shè)置有36個(gè)座艙．游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面145米，勻速轉(zhuǎn)動一周大約需要30分鐘．當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時(shí)．(1)經(jīng)過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式滿足(其中，，)求摩天輪轉(zhuǎn)動一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長時(shí)間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到52米？(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個(gè)座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動一周的過程中，記兩人距離地面的高度差為h米，求h的最大值．【答案】(1)，；(2)；(3)h取最大值為62米.【解析】(1)由題意，(其中，，)摩天輪的最高點(diǎn)距離地面為145米，最低點(diǎn)