2.4 一元一次不等式 教案 2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊

．4一元一次不等式第1課時一元一次不等式的解法1．理解一元一次不等式、不等式的解集、解不等式等概念；2．掌握一元一次不等式的解法．(重點，難點)一、情境導(dǎo)入1．什么叫一元一次方程？2．解一元一次方程的一般步驟是什么？要注意什么？3．如果把一元一次方程中的等號改為不等號，怎樣求解？二、合作探究探究點一：一元一次不等式的概念【類型一】一元一次不等式的識別下列不等式中，是一元一次不等式的是()A．5x－2＞0B．－3＜2＋eq\f(1,x)C．6x－3y≤－2D．y2＋1＞2解析：選項A是一元一次不等式，選項B中含未知數(shù)的項不是整式，選項C中含有兩個未知數(shù)，選項D中未知數(shù)的次數(shù)是2，故選項B，C，D都不是一元一次不等式，所以選A.方法總結(jié)：如果一個不等式是一元一次不等式，必須滿足三個條件：①含有一個未知數(shù)，②未知數(shù)的最高次數(shù)為1，③不等號的兩邊都是整式．【類型二】根據(jù)一元一次不等式的概念求值已知－eq\f(1,3)x2a－1＋5＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則a的值是________．解析：由－eq\f(1,3)x2a－1＋5＞0是關(guān)于x的一元一次不等式得2a－1＝1，計算即可求出a的值，故a＝1.方法總結(jié)：利用一元一次不等式的概念列出相應(yīng)的方程求解即可．注意：如果未知數(shù)的系數(shù)中有字母，要檢驗此系數(shù)可不可能為零．探究點二：一元一次不等式的解法【類型一】一元一次不等式的解或解集下列說法：①x＝0是2x－1＜0的一個解；②x＝－3不是3x－2＞0的解；③－2x＋1＜0的解集是x＞2.其中正確的個數(shù)是()A．0個B．1個C．2個D．3個解析：①x＝0時，2x－1＜0成立，所以x＝0是2x－1＜0的一個解；②x＝－3時，3x－2＞0不成立，所以x＝－3不是3x－2＞0的解；③－2x＋1＜0的解集是x＞eq\f(1,2)，所以不正確．故選C.方法總結(jié)：判斷一個數(shù)是不是不等式的解，只要把這個數(shù)代入不等式，看是否成立．判斷一個不等式的解集是否正確，可把這個不等式化為“x＞a”或“x＜a”的形式，再進行比較即可．【類型二】解一元一次不等式解下列一元一次不等式，并在數(shù)軸上表示：(1)2(x＋eq\f(1,2))－1≤－x＋9；(2)eq\f(x－3,2)－1＞eq\f(x－5,3).解析：按照解一元一次不等式的基本步驟求解：去分母、去括號、移項、合并同類項、兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)．解：(1)去括號，得2x＋1－1≤－x＋9，移項、合并同類項，得3x≤9，兩邊都除以3，得x≤3；(2)去分母，得3(x－3)－6＞2(x－5)，去括號，得3x－9－6＞2x－10，移項，得3x－2x＞－10＋9＋6，合并同類項，得x＞5.方法總結(jié)：解一元一次不等式的基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，這些基本步驟與解一元一次方程是一樣的，但一元一次不等式兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)時，一定要注意這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是正數(shù)，不等號方向不變；如果是負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．【類型三】根據(jù)不等式的解集求待定系數(shù)已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常數(shù))的解集是x＜3，求m的值．解析：先解不等式x＋8＞4x＋m，再列方程求解．解：因為x＋8＞4x＋m，所以x－4x＞m－8，－3x＞m－8，x＜－eq\f(1,3)(m－8)．因為其解集為x＜3，所以－eq\f(1,3)(m－8)＝3.解得m＝－1.方法總結(jié)：已知解集求字母系數(shù)的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解題過程體現(xiàn)了方程思想．三、板書設(shè)計1．一元一次不等式的概念2．解一元一次不等式的基本步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)．本節(jié)課通過類比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，讓學(xué)生感受到解一元一次不等式與解一元一次方程只是在兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)這一步時有所不同．如果這個系數(shù)是正數(shù)，不等號的方向不變；如果這個系數(shù)是負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．這也是這節(jié)課學(xué)生容易出錯的地方．教學(xué)時要大膽放手，不要怕學(xué)生出錯，通過學(xué)生犯的錯誤引起學(xué)生注意，理解產(chǎn)生錯誤的原因，以便在以后的學(xué)習(xí)中避免出錯.第2課時一元一次不等式的應(yīng)用1．會在實際問題中尋找數(shù)量關(guān)系列一元一次不等式并求解；2．能夠列一元一次不等式解決實際問題．(重點，難點)一、情境導(dǎo)入如果你要分別購買40元、80元、140元、160元的商品，應(yīng)該去哪家商店更優(yōu)惠？二、合作探究探究點：一元一次不等式的應(yīng)用【類型一】商品銷售問題某商品的進價是120元，標(biāo)價為180元，但銷量較?。疄榱舜黉N，商場決定打折銷售，為了保證利潤率不低于20%，那么最多可以打幾折出售此商品？解析：由題意可知，利潤率為20%時，獲得的利潤為120×20%＝24元；若打x折該商品獲得的利潤＝該商品的標(biāo)價×eq\f(x,10)－進價，即該商品獲得的利潤＝180×eq\f(x,10)－120，列出不等式，解得x的值即可．解：設(shè)可以打x折出售此商品，由題意得：180×eq\f(x,10)－120≥120×20%，解得x≥8.答：最多可以打8折出售此商品．方法總結(jié)：商品銷售問題的基本關(guān)系是：售價－進價＝利潤．讀懂題意列出不等式求解是解題關(guān)鍵．【類型二】競賽積分問題某次知識競賽共有25道題，答對一道得4分，答錯或不答都扣2分．小明得分要超過80分，他至少要答對多少道題？解析：設(shè)小明答對x道題，則答錯或不答的題目為(25－x)道，根據(jù)得分要超過80分，列出不等關(guān)系求解即可．解：設(shè)小明答對x道題，則他答錯或不答的題目為(25－x)道．根據(jù)他的得分要超過80分，得：4x－2(25－x)＞80，解得x＞21eq\f(2,3).因為x應(yīng)是整數(shù)而且不能超過25，所以小明至少要答對22道題．答：小明至少要答對22道題．方法總結(jié)：競賽積分問題的基本關(guān)系是：得分－扣分＝最后得分．本題涉及到不等式的整數(shù)解，取整數(shù)解時要注意關(guān)鍵詞如“至多”“至少”等．【類型三】安全問題采石場爆破時，點燃導(dǎo)火線后工人要在爆破前轉(zhuǎn)移到400米外的安全區(qū)域．導(dǎo)火線燃燒速度是每秒1厘米，工人轉(zhuǎn)移的速度是每秒5米，導(dǎo)火線至少要多少米？解析：根據(jù)時間列不等式，導(dǎo)火線燃燒時間＞工人要在爆破前轉(zhuǎn)移到400米外的安全區(qū)域時間．解：設(shè)導(dǎo)火線的長度需要x米，1厘米/秒＝0.01米/秒，由題意得eq\f(x,0.01)>eq\f(400,5)，解得x＞0.8.答：導(dǎo)火線至少要0.8米．【類型四】分段計費問題小明家每月水費都不少于15元，自來水公司的收費標(biāo)準(zhǔn)如下：若每戶每月用水不超過5立方米，則每立方米收費1.8元；若每戶每月用水超過5立方米，則超出部分每立方米收費2元，小明家每月用水量至少是多少？解析：當(dāng)每月用水5立方米時，花費5×1.8＝9元，則可知小明家每月用水超過5立方米．設(shè)每月用水x立方米，則超出(x－5)立方米，根據(jù)題意超出部分每立方米收費2元，列一元一次不等式求解即可．解：設(shè)小明家每月用水x立方米．∵5×1.8＝9＜15，∴小明家每月用水超過5立方米．則超出(x－5)立方米，按每立方米2元收費，列出不等式為5×1.8＋(x－5)×2≥15，解不等式得x≥8.答：小明家每月用水量至少是8立方米．方法總結(jié)：分段計費問題中的費用一般包括兩個部分：基本部分的費用和超出部分的費用．根據(jù)費用之間的關(guān)系建立不等式求解即可．【類型五】調(diào)配問題有10名菜農(nóng)，每人可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝，已知甲種蔬菜每畝可收入0.5萬元，乙種蔬菜每畝可收入0.8萬元，要使總收入不低于15.6萬元，則最多只能安排多少人種甲種蔬菜？解析：設(shè)安排x人種甲種蔬菜，則種乙種蔬菜為(10－x)人．甲種蔬菜有3x畝，乙種蔬菜有2(10－x)畝．再列出不等式求解即可．解：設(shè)安排x人種甲種蔬菜，則種乙種蔬菜為(10－x)人．根據(jù)題意得0.5×3x＋0.8×2(10－x)≥15.6，解得x≤4.答：最多只能安排4人種甲種蔬菜．方法總結(jié)：調(diào)配問題中，各項工作的人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)．【類型六】方案決策問題為了保護環(huán)境，某企業(yè)決定購買10臺污水處理設(shè)備．現(xiàn)有A、B兩種型號的設(shè)備，其中每臺的價格、月處理污水量及年消耗費如下表．經(jīng)預(yù)算，該企業(yè)購買設(shè)備的資金不高于105萬元．A型B型價格(萬元/臺)1210處理污水量(噸/月)240200年消耗費(萬元/臺)11(1)請你設(shè)計該企業(yè)有幾種購買方案；(2)若企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量為2040噸，為了節(jié)約資金，應(yīng)選擇哪種購買方案．解析：(1)設(shè)購買污水處理設(shè)備A型x臺，則B型為(10－x)臺，列出不等式求解即可，x的值取整數(shù)；(2)如圖表列出不等式求解，再根據(jù)x的值選出最佳方案．解：(1)設(shè)購買污水處理設(shè)備A型x臺，則B型為(10－x)臺．12x＋10(10－x)≤105，解得x≤2.5，∵x取非負(fù)整數(shù)，∴x可取0，1，2，有三種購買方案：購A型0臺，B型10臺；A型1臺，B型9臺；A型2臺，B型8臺；(2)240x＋200(10－x)≥2040，解得x≥1，∴x為1或2.當(dāng)x＝1時，購買資金為12×1＋10×9＝102(萬元)；當(dāng)x＝2時，購買資金為12×2＋10×8＝104(萬元)．答：為了節(jié)約資金，應(yīng)選購A型1臺，B型9臺．方法總結(jié)：此題將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，屬于最優(yōu)化問題，在確定最優(yōu)方案時，應(yīng)把幾種情況進行比較．三、板書設(shè)計應(yīng)用一元一次不