第四講模糊數(shù)學(xué)方法

2013數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)1/20/20241第四講模糊數(shù)學(xué)方法1/20/20242一、引言1/20/20243現(xiàn)實(shí)世界中的許多現(xiàn)象和關(guān)系具有不確定性。這些不確定性的表現(xiàn)形式是多種多樣的，如隨機(jī)性、模糊性、粗糙性和灰色性等。模糊數(shù)學(xué)正是利用模糊集及其運(yùn)算研究、處理模糊不確定現(xiàn)象和關(guān)系的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。許多數(shù)學(xué)建模問(wèn)題包括模糊現(xiàn)象1/20/20244和關(guān)系，這類(lèi)問(wèn)題往往可以用模糊數(shù)學(xué)方法處理。本講主要介紹模糊集、模糊模式識(shí)別、模糊聚類(lèi)和模糊綜合評(píng)價(jià)。本講要掌握的重點(diǎn)是：1.理解模糊集相關(guān)概念，在數(shù)學(xué)建模問(wèn)題中正確選用模糊數(shù)學(xué)方法；2.掌握確定隸屬度的常用方法，1/20/20245能根據(jù)具體問(wèn)題構(gòu)造適當(dāng)?shù)碾`屬度函數(shù)；3.能編程實(shí)現(xiàn)模糊模式識(shí)別，能利用提供的程序進(jìn)行模糊聚類(lèi)和模糊綜合評(píng)價(jià)。下面給出本講的問(wèn)題提綱，以便于大家學(xué)習(xí)。1/20/202461.如何理解模糊集、隸屬函數(shù)以及隸屬度？2.模糊集合的常用運(yùn)算。3.構(gòu)造隸屬函數(shù)的常用方法。4.如何理解模糊集合間的貼近度？5.模糊識(shí)別的常用原那么及適用場(chǎng)合。6.模糊聚類(lèi)的一般步驟。7.相似系數(shù)確實(shí)定方法。1/20/202478.分類(lèi)水平的含義。9.最正確分類(lèi)水平確實(shí)定。10.模糊聚類(lèi)程序與練習(xí)。11.模糊綜合評(píng)價(jià)的根本思想和具體步驟。12.評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重確實(shí)定。13.如何進(jìn)行模糊合成和綜合評(píng)價(jià)。14.模糊綜合評(píng)價(jià)程序與練習(xí)。1/20/20248二、模糊集的相關(guān)概念1/20/202491.模糊集現(xiàn)實(shí)中的許多現(xiàn)象及關(guān)系比較模糊。如高與矮，長(zhǎng)與短，大與小，多與少，窮與富，好與差，年輕與年老等。這類(lèi)現(xiàn)象不滿足“非此即彼〞的排中律，而具有“亦此亦彼〞的模糊性。需要指出的是，模糊不確定不同1/20/202410于隨機(jī)不確定。隨機(jī)不確定是因果律破損造成的不確定，而模糊不確定是由于排中律破損造成的不確定。為了研究模糊現(xiàn)象和關(guān)系，美國(guó)控制論專(zhuān)家扎德1965年引入了模糊集概念。

定義設(shè)給定論域U，所謂U上的一個(gè)模糊集A是指對(duì)于任意，都1/20/202411都能確定一個(gè)正數(shù)，用其表示x屬于A的程度。映射稱(chēng)為A的隸屬函數(shù)，函數(shù)值稱(chēng)為x對(duì)A的隸屬度。顯然，每個(gè)元素都有隸屬度的集合即為模糊集。確定模糊集的關(guān)鍵是構(gòu)造隸屬函數(shù)。1/20/202412下面通過(guò)兩個(gè)例子說(shuō)明如何構(gòu)造隸屬度，定義模糊集。例1從以下30條線段中選出長(zhǎng)線段。1/20/202413解“長(zhǎng)〞是模糊概念，可用模糊集描述。設(shè)xi表示第i(i=1,2,…,30)條線段,那么論域U={x1,x2,…,x30}。假設(shè)A為“長(zhǎng)線段〞的集合，那么線段xi作為集A的成員資格，就是xi對(duì)A的隸屬度。下面建立A的一種隸屬函數(shù)。1/20/202414因?yàn)榫€段越長(zhǎng)，屬于A的程度越大，所以線段的長(zhǎng)短可作為A的隸屬度。從而，令A(yù)(x1)=1,A(x30)=0，作直線從而得第i條線段xi屬于“長(zhǎng)線段〞集A的隸屬函數(shù)1/20/202415例2在標(biāo)志年齡(0～100)的數(shù)軸上，標(biāo)出“年老〞和“年輕〞區(qū)間。解取論域U=[0,100]，集合A和B分別表示“年老〞和“年輕〞，扎德給出它們的一種隸屬函數(shù)1/20/2024161/20/2024171/20/2024182.模糊集的運(yùn)算由于模糊集中沒(méi)有元素和集合間的絕對(duì)隸屬關(guān)系，所以模糊集的運(yùn)算是通過(guò)隸屬函數(shù)完成的。設(shè)模糊集A,B的隸屬函數(shù)為，那么A與B的常用運(yùn)算有(1)包含：(2)相等：1/20/202419(3)交：(4)補(bǔ)：(5)內(nèi)積：(6)外積：其中分別表示取大，小運(yùn)算。1/20/2024203.隸屬度函數(shù)確實(shí)定由模糊集的概念可知，模糊數(shù)學(xué)的根本思想是隸屬度，所以應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。然而，如何確定一個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未完全解決的問(wèn)題。1/20/202421確定隸屬度的常用方法有模糊統(tǒng)計(jì)法、二元比照排序法和模糊分布法等。其中，模糊分布法在數(shù)學(xué)建模中較為常用。模糊分布法將隸屬函數(shù)看成一種模糊分布，首先根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)選取適當(dāng)?shù)哪：植?，然后再依?jù)相關(guān)數(shù)據(jù)確定分布中的參數(shù)。1/20/202422下面介紹幾種常用的模糊分布。(1)梯形與半梯形分布①偏小型1/20/202423

②偏大型1/20/202424

③中間型1/20/202425(2)拋物形分布①偏小型1/20/202426②偏大型

1/20/202427③中間型

1/20/202428(3)柯西分布①偏小型1/20/202429②偏大型

1/20/202430③中間型

1/20/202431偏小型一般適用于描述“小〞、“少〞、“淺〞、“淡〞等偏向小的程度的模糊現(xiàn)象；偏大型正好與偏小型相反；而中間型一般適用于描述處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。例3建立“年輕人〞的柯西分布隸屬函數(shù)。解由題意，應(yīng)選取偏小型。1/20/202432

因?yàn)榇蠹夜J(rèn)25歲以下的是真正的年輕人，故可選a=25。從25歲開(kāi)始，“年輕人〞的隸屬度隨年齡的增大而呈非線性衰減。為了方便，可取。1/20/202433由于通常35歲作為年輕人是模糊的概念，因此可選參數(shù)，使A(35)=1/2。從而1/20/202434

怎樣用Matlab或Maple作出這個(gè)分段函數(shù)的圖形？1/20/202435三、模糊模式識(shí)別1/20/202436所謂模式識(shí)別，就是指把要識(shí)別的對(duì)象通過(guò)與模式比較，確定它與哪個(gè)模式相近或類(lèi)同的過(guò)程。由于許多客觀事物的特征具有模糊性，所以人們讓機(jī)器模擬人的思維方法，對(duì)模糊的客觀事物進(jìn)行識(shí)別和分類(lèi)。如天氣預(yù)報(bào)、自動(dòng)分揀、衛(wèi)星偵察、車(chē)牌識(shí)別等。1/20/202437模糊識(shí)別通常包括兩種情況：特定個(gè)體對(duì)假設(shè)干模糊集的歸類(lèi)識(shí)別；特定模糊集對(duì)假設(shè)干模糊集的歸類(lèi)識(shí)別。模糊模式識(shí)別方法基于模糊度量和模糊識(shí)別原那么進(jìn)行模式識(shí)別。模糊模式識(shí)別中采用的度量是隸屬度和模糊集的貼近度；常用的識(shí)別原那么有最大隸屬度原那么和擇近原那么。1/20/2024381.模糊集的貼近度

貼近度與距離相反，是反映兩個(gè)模糊集接近程度的一種度量。常用的貼近度有：(1)海明貼近度

(2)歐幾里得貼近度1/20/202439(3)格貼近度在實(shí)際中需要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)馁N近度。1/20/2024402.模糊識(shí)別準(zhǔn)那么與步驟通常采用最大隸屬原那么和擇近原那么進(jìn)行模糊識(shí)別。(1)最大隸屬原那么——個(gè)體識(shí)別設(shè)論域U上的模糊集A的隸屬函數(shù)為。對(duì)U中待考察對(duì)象x1,x2,…,xn，假設(shè)存在xk，使得1/20/202441那么應(yīng)使xk優(yōu)先屬于A。設(shè)A1,A2,…,An為U上的n個(gè)模糊集,隸屬函數(shù)分別為。對(duì)，假設(shè)存在Ak，使得那么應(yīng)使x0優(yōu)先屬于Ak。(見(jiàn)例1)(2)擇近原那么——模糊集識(shí)別設(shè)A1,A2,…,An為U上的n個(gè)模糊集,1/20/202442被識(shí)別對(duì)象B也是U上的模糊集。假設(shè)存在Ak，使得那么認(rèn)為B優(yōu)先與Ak同類(lèi)。(見(jiàn)例2)對(duì)模糊識(shí)別問(wèn)題，首先要建立模糊集的隸屬函數(shù)，然后計(jì)算相關(guān)貼近度，最后根據(jù)最大隸屬原那么或擇近原那么進(jìn)行模糊識(shí)別。1/20/2024433.模糊識(shí)別例如例1下表為湖泊水質(zhì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。現(xiàn)測(cè)得杭州西湖、武漢東湖、青海湖、巢湖、滇池總磷的含量分別為130,105,20,30,25，請(qǐng)根據(jù)總磷指標(biāo)，應(yīng)用模糊識(shí)別方法判別這些湖泊所屬級(jí)別。1/20/202444評(píng)價(jià)指標(biāo)極貧營(yíng)養(yǎng)貧營(yíng)養(yǎng)中營(yíng)養(yǎng)富營(yíng)養(yǎng)極富營(yíng)養(yǎng)總磷<1423110>660耗氧量<0.090.361.87.1>27.1透明度>37122.40.55<0.17總氮<0.020.060.311.24.61/20/202445解湖泊所屬級(jí)別的劃分顯然具有模糊性，可用模糊識(shí)別進(jìn)行判定。由于此題僅要求根據(jù)總磷這一種指標(biāo)進(jìn)行識(shí)別，所以結(jié)論是顯然的。假設(shè)此題給出了這些湖泊所有評(píng)價(jià)指標(biāo)值，仍然可以用模糊識(shí)別進(jìn)行判定，或者用后面介紹的模糊綜合評(píng)價(jià)方法進(jìn)行評(píng)判。1/20/202446模糊識(shí)別和模糊綜合評(píng)價(jià)方法常用于污染水質(zhì)的綜合評(píng)價(jià)。1/20/202447設(shè)A,B,C,D,E分別表示總磷屬于從極貧營(yíng)養(yǎng)到極富營(yíng)養(yǎng)各級(jí)別，根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，可構(gòu)造隸屬函數(shù)如下：1/20/2024481/20/2024491/20/2024501/20/2024511/20/202452經(jīng)計(jì)算，1/20/202453根據(jù)最大隸屬原那么，就總磷而言，杭州西湖和武漢東湖屬富營(yíng)養(yǎng)，青海湖、巢湖、滇池屬中營(yíng)養(yǎng)。1/20/202454

例2評(píng)價(jià)茶葉的因素集U={條索,色澤,凈度,湯色,香氣,滋味}。茶葉五種等級(jí)的模糊集為I=(0.5,0.4,0.3,0.6,0.5,0.4),II=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2,0.2),III=(0.2,0.2,0.2,0.1,0.1,0.2),IV=(0,0.1,0.2,0.1,0.1,0.1),V=(0,0.1,0.1,0.1,0.1)。現(xiàn)有一種茶葉A=(0.4,0.2,0.1,0.4,0.5,0.6)，試確定A的等級(jí)。1/20/202455解經(jīng)計(jì)算，A與各模糊集的海明貼近度、歐氏貼近度、格貼近度各為1/20/202456

可見(jiàn)，無(wú)論采用何種貼近度，A均屬于I級(jí)。1/20/202457四、模糊聚類(lèi)1/20/202458對(duì)研究對(duì)象按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)的數(shù)學(xué)方法稱(chēng)為聚類(lèi)分析，它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一種多元分析方法。聚類(lèi)分析用統(tǒng)計(jì)方法定量地確定樣本的親疏關(guān)系，從而客觀地劃分類(lèi)型。但有些聚類(lèi)問(wèn)題的分類(lèi)界限具有模糊性，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，可以采用模糊聚類(lèi)方法。1/20/202459模糊聚類(lèi)通常按照以下步驟進(jìn)行:1.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；2.建立模糊相似矩陣；3.按一定原那么模糊聚類(lèi)。1/20/2024601.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)U={x1,x2,…,xm}為待分類(lèi)的對(duì)象,每個(gè)對(duì)象又由n個(gè)指標(biāo)表示其性態(tài),即xi={xi1,xi2,…,xin}，i=1,2,…,m，從而得原始數(shù)據(jù)矩陣1/20/202461

數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化包括兩個(gè)方面：(1)標(biāo)定——將原始數(shù)據(jù)的均值變?yōu)?，方差變?yōu)?；(2)將上述數(shù)據(jù)壓縮至區(qū)間[0,1]。(1)平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換——標(biāo)定利用平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換法將原始數(shù)據(jù)中第j個(gè)指標(biāo)標(biāo)定：1/20/202462

其中是第j個(gè)指標(biāo)的平均值，是第j個(gè)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差。變換后,每個(gè)指標(biāo)的均值為0，標(biāo)1/20/202463準(zhǔn)差為1，且消除了量綱的影響。(2)平移—極差變換——壓縮經(jīng)過(guò)變換后，那么。由此得到的矩陣稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。1/20/2024642.建立模糊相似矩陣(1)模糊矩陣定義稱(chēng)為模糊矩陣。標(biāo)準(zhǔn)化矩陣顯然即為模糊矩陣。(2)模糊相似矩陣定義假設(shè)模糊矩陣R滿足：①rii=1；(自反性)1/20/202465②rij=rji；(對(duì)稱(chēng)性)那么稱(chēng)之為模糊相似矩陣。(3)相似系數(shù)設(shè)U={x1,x2,…,xm}為待分類(lèi)的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象的n個(gè)指標(biāo)為xi={xi1,xi2,…,xin}(i=1,2,…,m)，下面的問(wèn)題是如何建立xi與xj之間的相似關(guān)系。定義假設(shè)xi與xj之間的相似程度為1/20/202466rij=R(xi,xj)，那么稱(chēng)之為相似系數(shù)。確定相似系數(shù)有以下方法：①數(shù)量積法；②相關(guān)系數(shù)法；③夾角余弦法；④最大最小法；⑤算術(shù)平均法；⑥幾何平均法。1/20/202467上述方法中的具體公式見(jiàn)相關(guān)資料書(shū)籍。至于選擇上述何種方法，要視具體情況而定。顯然，由相似系數(shù)構(gòu)成的矩陣為模糊相似矩陣。1/20/2024683.模糊聚類(lèi)方法與原那么模糊聚類(lèi)分析方法大致分為三類(lèi):(1)基于模糊等價(jià)關(guān)系的傳遞閉包法；(2)基于模糊相似關(guān)系的直接聚類(lèi)法；(3)模糊C—均值聚類(lèi)法。其中，傳遞閉包法較為常用。傳遞閉包法是一種動(dòng)態(tài)聚類(lèi)法，根本思路是根據(jù)不同的分類(lèi)水平λ，1/20/202469將對(duì)象分成不同的類(lèi)。分類(lèi)水平(0≤λ≤1)可理解為聚類(lèi)時(shí)要求同類(lèi)成員到達(dá)的相似程度。顯然，λ越大,分類(lèi)數(shù)越多；λ越小，分類(lèi)數(shù)越少。也就是說(shuō)，不同的分類(lèi)水平對(duì)應(yīng)不同的聚類(lèi)結(jié)果。1/20/2024704.最正確分類(lèi)水平λ確實(shí)定在應(yīng)用傳遞閉包法進(jìn)行聚類(lèi)時(shí)，當(dāng)λ值變動(dòng)時(shí)形成了一個(gè)動(dòng)態(tài)聚類(lèi)。這固然便于我們?nèi)媪私饩垲?lèi)情況，但也產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：哪個(gè)λ對(duì)應(yīng)的分類(lèi)是最合理的呢？即如何選擇閾值λ。除了憑經(jīng)驗(yàn)外，一般用F-統(tǒng)計(jì)量來(lái)選取。1/20/202471通常用類(lèi)內(nèi)距和類(lèi)間距這兩個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量聚類(lèi)的優(yōu)劣。類(lèi)內(nèi)距是指同類(lèi)對(duì)象到該聚類(lèi)中心的距離，而類(lèi)間距那么反映的是所有聚類(lèi)中心間的距離。顯然，類(lèi)內(nèi)距越小而類(lèi)間距越大,那么聚類(lèi)效果越好。然而，類(lèi)內(nèi)距和類(lèi)間距這兩個(gè)指1/20/202472標(biāo)通常是沖突的。因此，需要均衡考慮這兩個(gè)指標(biāo)。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理，可構(gòu)造一個(gè)F-統(tǒng)計(jì)量其分子表示類(lèi)間距，分母表示類(lèi)內(nèi)距,故F值越大，說(shuō)明分類(lèi)越合理。1/20/202473在聚類(lèi)時(shí)，可計(jì)算出對(duì)應(yīng)不同分類(lèi)水平λ的F值，那么最大的F對(duì)應(yīng)的λ即為最正確分類(lèi)水平，此時(shí)的分類(lèi)最為合理。在建模競(jìng)賽中，如遇分類(lèi)問(wèn)題，那么不僅要選擇適當(dāng)?shù)木垲?lèi)方法(統(tǒng)計(jì)方法或模糊方法)，還要注意想方設(shè)法說(shuō)明分類(lèi)結(jié)果的合理性。1/20/2024745.模糊聚類(lèi)程序及例如與練習(xí)用Matlab編制了具有模糊識(shí)別,模糊聚類(lèi)以及模糊綜合評(píng)價(jià)功能的大型綜合程序。該程序可用多種方法給出模糊相似矩陣，計(jì)算傳遞閉包，確定適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)水平，給出各分類(lèi)水平下的分類(lèi)方案，畫(huà)出動(dòng)態(tài)分類(lèi)圖，并求出最合理的分類(lèi)方案。1/20/202475例3設(shè)U={x1,x2,…,x7},x1=(7,9,2,5),x2=(3,5,5,6),x3=(7,7,5,4),x4=(7,6,7.2,3),x5=(6,4,2,6),x6=(3,8,5,4),x7=(4,7,6,3)。試用算術(shù)平均法建立模糊相似矩陣，用傳遞閉包法進(jìn)行模糊聚類(lèi)。解利用程序按以下6步計(jì)算：(1)輸入原始數(shù)據(jù)矩陣A；1/20/202476(2)計(jì)算A的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣B；(3)用算術(shù)平均法建立B的模糊相似矩陣R；(4)計(jì)算R的傳遞閉包tR；(5)根據(jù)閉包計(jì)算分類(lèi)水平λ，λ是tR中所有互異的數(shù)(從小到大)；(6)求不同水平下的分類(lèi)方案，并求出最合理的分類(lèi)方案。1/20/202477動(dòng)態(tài)聚類(lèi)圖1/20/202478練習(xí)1設(shè)U={x1,x2,x3,x4,x5}表示父,子,女,鄰居,母五人組成的一個(gè)集合，請(qǐng)根據(jù)以下相貌相像程度對(duì)這五人進(jìn)行合理模糊分類(lèi)。1/20/202479

練習(xí)2根據(jù)下表對(duì)各地區(qū)生產(chǎn)力水平進(jìn)行模糊聚類(lèi)分析：地區(qū)GDP固定資本人力資本地區(qū)GDP固定資本人力資本北京2.065.94891.3600黑龍江0.931.42081.2810天津1.834.03081.3990上海3.078.03961.7480河北0.821.62230.8690江蘇1.292.24501.0880山西0.541.03370.7960浙江1.463.10380.8940內(nèi)蒙0.651.10990.9310安徽0.520.81120.6140遼寧1.202.03141.3850福建1.242.05231.1550吉林0.761.31141.0220江西0.520.74940.78501/20/202480

地區(qū)GDP固定資本人力資本地區(qū)GDP固定資本人力資本山東1.041.65340.9470貴州0.290.57560.2990河南0.591.92100.6530云南0.481.01660.4660湖北0.781.38201.0000西藏0.531.35880.5240湖南0.600.91710.6660陜西0.501.03070.5740廣東1.372.72981.0260甘肅0.420.85440.4590廣西0.470.83420.5460青海0.581.59080.5500海南0.691.94700.9280寧夏0.531.50360.5180重慶0.570.81270.6200新疆0.802.02260.9110四川0.511.04100.56301/20/202481以下給出一種較為合理的分類(lèi)結(jié)果，供參考檢驗(yàn)。類(lèi)別地區(qū)名稱(chēng)一類(lèi)上海北京二類(lèi)天津遼寧浙江廣東江蘇福建三類(lèi)黑龍江山東新疆湖北海南吉林河北內(nèi)蒙山西四類(lèi)河南江西青海湖南寧夏西藏重慶安徽陜西四川廣西云南甘肅貴州1/20/202482五、模糊綜合評(píng)價(jià)1/20/202483評(píng)價(jià)是人類(lèi)社會(huì)中經(jīng)常性的、極為重要的認(rèn)識(shí)活動(dòng)。對(duì)一個(gè)事物的評(píng)價(jià)通常要涉及多個(gè)因素或多個(gè)指標(biāo)，評(píng)價(jià)是在多因素相互作用下的一種綜合評(píng)判。綜合評(píng)價(jià)是數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中較為常見(jiàn)的問(wèn)題，如長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)(2005A),艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效1/20/202484的預(yù)測(cè)(2006B),2010上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估(2010B)。綜合評(píng)價(jià)的方法眾多，常用的有灰色評(píng)價(jià)法、層次分析法、模糊綜合評(píng)價(jià)法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評(píng)價(jià)法、理想解法等。有時(shí)，還可將兩種評(píng)價(jià)方法集成為組合評(píng)價(jià)方法。1/20/202485各種評(píng)價(jià)方法出發(fā)點(diǎn)不同，解決問(wèn)題的思路不同，適用對(duì)象不同，各有優(yōu)缺點(diǎn)。不同的評(píng)價(jià)方法會(huì)產(chǎn)生不同的評(píng)價(jià)結(jié)論，有時(shí)甚至結(jié)論相左，即綜合評(píng)價(jià)的結(jié)果不是唯一的。雖然大局部情況下最優(yōu)的評(píng)價(jià)方法是不存在的，但原那么上可參考以下1/20/202486幾個(gè)方面選擇具體評(píng)價(jià)方法：(1)所選方法能正確反映評(píng)價(jià)對(duì)象和評(píng)價(jià)目的；(2)所選方法必須有堅(jiān)實(shí)的理論根底，能為人們所信服；(3)所選方法應(yīng)簡(jiǎn)潔明了，盡量降低算法的復(fù)雜性；(4)盡量選擇熟悉的評(píng)價(jià)方法。1/20/202487模糊綜合評(píng)價(jià)作為模糊數(shù)學(xué)的一種具體應(yīng)用，最早由我國(guó)學(xué)者汪培莊提出。根本思想是：以模糊數(shù)學(xué)為根底，應(yīng)用模糊關(guān)系合成原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從多個(gè)因素對(duì)被評(píng)價(jià)事物隸屬等級(jí)狀況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。具體步驟為：首先確定被評(píng)價(jià)對(duì)象的因素集和評(píng)價(jià)集，1/20/202488然后再分別確定各因素的權(quán)重及它們的隸屬度向量，獲得模糊評(píng)價(jià)矩陣，最后將模糊評(píng)價(jià)矩陣與因素的權(quán)向量進(jìn)行模糊運(yùn)算并歸一化，從而得到模糊評(píng)價(jià)綜合結(jié)果。模糊綜合評(píng)價(jià)法簡(jiǎn)單易掌握，對(duì)多因素、多層次的復(fù)雜問(wèn)題評(píng)價(jià)效果較好，很難為其它評(píng)價(jià)方法所替代。1/20/2024891.確定評(píng)價(jià)指標(biāo)和評(píng)價(jià)等級(jí)設(shè)U={u1,u2,…,um}為刻畫(huà)被評(píng)價(jià)對(duì)象的m種因素，即評(píng)價(jià)指標(biāo)；V={v1,v2,…,vn}為刻畫(huà)每一因素所處狀態(tài)的n種評(píng)語(yǔ)，即評(píng)價(jià)等級(jí)。這里，m為評(píng)價(jià)因素的個(gè)數(shù)，通常由具體指標(biāo)體系決定;n為評(píng)語(yǔ)的個(gè)數(shù),一般劃分為3～5個(gè)等級(jí)。1/20/202490例如，某服裝廠欲采用模糊綜合評(píng)價(jià)法來(lái)了解顧客對(duì)某種服裝的歡送程度。顧客是否喜歡某種服裝，通常與這種服裝的花色、樣式、價(jià)格、耐用度和舒適度等因素有關(guān)，故確定評(píng)價(jià)服裝的因素集為U={花色,樣式,價(jià)格,耐用度,舒適度}。1/20/202491綜合評(píng)價(jià)的目的是弄清楚顧客對(duì)衣服各方面的歡送程度。因此，評(píng)價(jià)集應(yīng)為V={很歡送,歡送,一般,不歡送}。1/20/2024922.構(gòu)造模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣在確定了評(píng)價(jià)指標(biāo)和評(píng)價(jià)等級(jí)后，接著就要對(duì)每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)ui(i=1,2,…m)逐一進(jìn)行模糊評(píng)價(jià)。具體評(píng)價(jià)方法是：對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)ui給出其能被評(píng)為等級(jí)vj的隸屬度rij。rij可理解為指標(biāo)ui對(duì)于等級(jí)vj的隸屬度，通常要將rij歸一化以便于使用。1/20/202493設(shè)指標(biāo)ui的模糊評(píng)價(jià)為ri=(ri1,ri2,…,rin)，那么對(duì)所有評(píng)價(jià)指標(biāo)ui(i=1,2,…,m)進(jìn)行的模糊評(píng)價(jià)構(gòu)成的矩陣稱(chēng)為各指標(biāo)的模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣。1/20/202494確定隸屬度rij的方法通常有以下兩種。對(duì)于主觀或定性的指標(biāo)可采用等級(jí)比重法，即計(jì)算評(píng)價(jià)者給出的等級(jí)比重。應(yīng)用等級(jí)比重法時(shí)要注意:(1)評(píng)價(jià)者的人數(shù)要足夠多;(2)評(píng)價(jià)者對(duì)被評(píng)事物要有相當(dāng)?shù)牧私?。?duì)于客觀和定量指標(biāo)，可以采用1/20/202495頻率法，即以評(píng)價(jià)值在各等級(jí)區(qū)間中出現(xiàn)的頻率作為隸屬度。例如，在前例中，對(duì)該服裝的花色，眾多被調(diào)查者中有20%認(rèn)為“很歡送〞,50%認(rèn)為“歡送〞，30%認(rèn)為“一般〞，沒(méi)有人認(rèn)為“不歡送〞，那么u1的評(píng)價(jià)向量為R1=(0.2,0.5,0.3,0)。同理可得其它指標(biāo)的評(píng)價(jià)向量為1/20/202496R2=(0.1,0.3,0.5,0.1)，R3=(0,0.1,0.6,0.3),R4=(0,0.4,0.5,0.1),R5=(0.5,0.3,0.2,0)。由此可得模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣為

1/20/2024973.評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重確實(shí)定確定了模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣，尚缺乏以對(duì)事物做出評(píng)價(jià)。原因在于，各評(píng)價(jià)指標(biāo)在評(píng)價(jià)目標(biāo)中有不同的地位和作用，即各評(píng)價(jià)指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中占有不同的權(quán)重。通常引入一個(gè)模糊向量A=(a1,a2,…,an)來(lái)表示各評(píng)價(jià)指標(biāo)在目標(biāo)中所1/20/202498占權(quán)重，稱(chēng)之為權(quán)重向量。其中ai為ui的權(quán)重，且滿足。確定權(quán)重通常有主觀和客觀兩類(lèi)方法。主觀法也稱(chēng)專(zhuān)家評(píng)測(cè)法，即請(qǐng)假設(shè)干專(zhuān)家就各指標(biāo)的重要性進(jìn)行評(píng)分，平均后即得各指標(biāo)權(quán)重?？陀^法是根據(jù)各指標(biāo)間的聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出各指標(biāo)的權(quán)重，如質(zhì)量分?jǐn)?shù)1/20/202499法、變異系數(shù)法等。其實(shí)，利用灰色關(guān)聯(lián)分析法和層次分析法確定權(quán)重是非常新穎、有效的方法。這涉及到多種方法的融合，較為復(fù)雜。下面用實(shí)例介紹變異系數(shù)法。例45個(gè)投資方案如下表，試確定4個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重。1/20/2024100

變異系數(shù)法的設(shè)計(jì)原理是：假設(shè)某項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)值差異較大，能明確區(qū)分方案目標(biāo)A1A2A3A4A5投資額5.2010.085.259.726.60期望凈現(xiàn)5.206.704.205.253.75風(fēng)險(xiǎn)盈利4.735.713.825.543.30風(fēng)險(xiǎn)損失0.4731.5990.4731.3130.8031/20/2024101開(kāi)各被評(píng)價(jià)對(duì)象，說(shuō)明該指標(biāo)的分辨信息豐富，因而應(yīng)給該指標(biāo)以較大的權(quán)重；反之，假設(shè)各個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象在某項(xiàng)指標(biāo)上的數(shù)值差異較小，那么這項(xiàng)指標(biāo)區(qū)分各評(píng)價(jià)對(duì)象的能力較弱，因而應(yīng)給該指標(biāo)較小的權(quán)重。因?yàn)榉讲羁梢悦枋鋈≈档碾x散程度，即某指標(biāo)的方差反映了該指標(biāo)的1/20/2024102的分辨能力，所以可用方差定義指標(biāo)的權(quán)重。由于方差的大小是相對(duì)的，還需考慮指標(biāo)取值的大小、量級(jí)，故指標(biāo)的分辨能力可定義為解根據(jù)變異系數(shù)法，可按照以下步驟確定各指標(biāo)的權(quán)重：1/20/2024103(1)計(jì)算第i項(xiàng)指標(biāo)的均值與方差(2)令，那么歸一化的vi即為各指標(biāo)的權(quán)重，即經(jīng)計(jì)算，1/20/2024104

同理，從而，4項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重為1/20/20241054.模糊合成與綜合評(píng)價(jià)模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣R中的不同行反映了被評(píng)價(jià)事物從不同的指標(biāo)評(píng)價(jià)對(duì)各等級(jí)的隸屬程度。用權(quán)向量A將不同的行進(jìn)行綜合，就可得到被評(píng)價(jià)事物從總體上對(duì)各等級(jí)的隸屬程度，即模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。通常采用所謂“模糊合成〞來(lái)實(shí)現(xiàn)1/20/2024106上述綜合，根本思想是：對(duì)評(píng)價(jià)矩陣R和權(quán)向量A進(jìn)行某種適當(dāng)?shù)哪：\(yùn)算,將兩者合成為一個(gè)模糊向量B={b1,b2,…,bn}，即B=AR，然后對(duì)B按照一定法那么進(jìn)行綜合分析后即可得出最終的模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。常用的模糊合成算子有：1/20/2024107(1)(2)(3)(4)上述模糊合成算子的特點(diǎn)是：1/20/2024108其實(shí)，也可以取為普通的矩陣乘法，此時(shí)合成即為加權(quán)平均。至于到底取何種算子取決于問(wèn)題的性質(zhì)和算子的特點(diǎn)。1/20/2024109通常，采用主因素突出型和加權(quán)平均型算法的結(jié)果大同小異。但在實(shí)際中還是要注意這兩類(lèi)算法的特點(diǎn)。主因素突出型適用于模糊矩陣中數(shù)據(jù)相差很懸殊的情形，而加權(quán)平均型那么常用于因素很多的情形，可以防止信息喪失。1/20/2024110B稱(chēng)為模糊綜合評(píng)價(jià)向量，bj滿足，且需要?dú)w一化。bj可理解為被評(píng)價(jià)對(duì)象對(duì)第j等級(jí)的隸屬度。對(duì)B分析處理后即可獲得綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。分析處理B的常用方法有：(1)最大隸屬度法,即認(rèn)定被評(píng)價(jià)對(duì)象的等級(jí)為最大隸屬度對(duì)應(yīng)的等級(jí),適用于某隸屬度明顯大于其它隸屬度1/20/2024111的情形；(2)加權(quán)平均法，具體方法是:給評(píng)價(jià)集V={v1,v2,…,vn}中的各等級(jí)賦以適當(dāng)?shù)姆种礐={c1,c2,…,cn}，用歸一化的綜合評(píng)價(jià)向量B={b1,b2,…,bn}對(duì)C的加權(quán)平均值做為模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。1/20/2024112例如,設(shè)評(píng)價(jià)等級(jí)集為{很好,好,一般,差}，綜合評(píng)價(jià)向量B={0.4,0.3,0.2,0.1},。按最大隸屬度法，評(píng)價(jià)等級(jí)為“很好〞。假設(shè)給評(píng)價(jià)集分別賦值{4,3,2,1}，那么加權(quán)平均值為即評(píng)價(jià)等級(jí)為“好〞。1/20/2024113例5在教學(xué)過(guò)程的綜合評(píng)價(jià)中，取U={清楚易懂,教材熟悉,生動(dòng)有趣,板書(shū)整齊清晰},V={很好,較好,一般,不好}。設(shè)某班學(xué)生對(duì)教師的教學(xué)評(píng)價(jià)矩陣為1/20/2024114假設(shè)考慮權(quán)重A=(0.5,0.2,0.2,0.1),試求學(xué)生對(duì)這位教師的綜合評(píng)價(jià)。解根據(jù)A和R，利用四種合成算子，編程計(jì)算得1/20/2024115結(jié)果說(shuō)明，學(xué)生對(duì)該老師在“教材熟悉〞方面最認(rèn)可，“清楚易懂〞次之，“板書(shū)整齊清晰〞那么得不到認(rèn)可。顯然，例5過(guò)于簡(jiǎn)單。不僅給出了模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣R，而且還直接給出了權(quán)重向量A。其實(shí)，實(shí)際問(wèn)題往往只提供了一系列的評(píng)價(jià)對(duì)象以及每個(gè)對(duì)象的假設(shè)干1/20/2024116評(píng)價(jià)指標(biāo)，并且這些指標(biāo)可能數(shù)值差異很大，性質(zhì)也不同。此時(shí)，不僅指標(biāo)的權(quán)重向量A需要根據(jù)適當(dāng)?shù)姆椒ù_定，就連評(píng)價(jià)矩陣R也要按照某種方法對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行處理后才能獲得。確定權(quán)重向量A的常用方法是前面介紹的變異系數(shù)法，而處理評(píng)價(jià)指1/20/2024117標(biāo)獲取評(píng)價(jià)矩陣R的常用方法有相對(duì)偏差法和相對(duì)優(yōu)屬度法。這兩種方法簡(jiǎn)單、實(shí)用，在建模競(jìng)賽中可考慮與灰色關(guān)聯(lián)分析結(jié)合使用。1/20/20241185.相對(duì)偏差模糊矩陣評(píng)價(jià)法相對(duì)偏差模糊矩陣評(píng)價(jià)法與灰色關(guān)聯(lián)分析有點(diǎn)類(lèi)似。首先虛擬一個(gè)理想方案u，然后按照某種方法建立各方案與u的偏差矩陣R，再確定各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重A，最后用A對(duì)R加權(quán)平均得各方案與u的綜合距離F,那么根據(jù)F即可對(duì)方案進(jìn)行排序。1/20/2024119相對(duì)偏差評(píng)價(jià)法步驟如下：(1)虛擬理想方案u=(u1,u2,…,un)其中(2)建立相對(duì)偏差模糊矩陣R1/20/2024120

其中1/20/2024121(3)確定各評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重wi(4)對(duì)各方案的偏差加權(quán)平均(5)根據(jù)Fj值進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)假設(shè)Ft<Fs，那么第t個(gè)方案排在第s個(gè)方案之前。1/20/2024122例6現(xiàn)有以下5個(gè)農(nóng)業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)方案，試評(píng)價(jià)各方案的優(yōu)劣。指標(biāo)方案產(chǎn)量(x1)投資(x2)耗水量(x3)用藥量(x4)勞力(x5)除草劑(x6)肥力(x7)A1100012050001501.51A270060400024022A390060700017014A48007080001.5400.56A5800804000230251/20/2024123解上述評(píng)價(jià)指標(biāo)中，產(chǎn)量、勞力和肥力是效益型，而投資、耗水量、用藥量和除草劑為本錢(qián)型。(1)理想方案為u=(1000,60,4000,1,70,0.5,6)(2)相對(duì)偏差模糊矩陣為1/20/2024124(3)根據(jù)變異系數(shù)法,各指標(biāo)權(quán)重系數(shù)為0.0546,0.1285,0.1306,0.1342,0.1327,0.1875,0.2319。1/20/2024125(4)各方案的加權(quán)平均偏差為0.2383,0.2697,0.1107,0.1448,0.2365，故方案的優(yōu)劣次序?yàn)?,4,5,1,2。1/20/20241266.相對(duì)優(yōu)屬度模糊矩陣評(píng)價(jià)法相對(duì)偏差法的評(píng)價(jià)依據(jù)是各方案與理想方案的偏差，而相對(duì)優(yōu)屬度評(píng)價(jià)法的根本思想是：首先用適當(dāng)?shù)姆椒▽⑺兄笜?biāo)(效益型、本錢(qián)型、固定型)轉(zhuǎn)化為效益型(本錢(qián)型)，得到優(yōu)屬度矩陣R，再確定各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重A,最后用A對(duì)R加權(quán)平均得各方案1/20/2024127的綜合優(yōu)屬度F,那么根據(jù)F即可對(duì)方案進(jìn)行排序。相對(duì)優(yōu)屬度評(píng)價(jià)法步驟如下：(1)建立模糊效益矩陣R=(rij)1/20/2024128其中是第j個(gè)指標(biāo)的適度值。(2)確定各評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重wi(4)對(duì)各方案的優(yōu)屬度加權(quán)平均(5)根據(jù)Fj值進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)假設(shè)Ft>Fs，那么第t個(gè)方案排在第s個(gè)方案之前。1/20/2024129例7對(duì)例4中的五個(gè)方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。解在例4的4個(gè)指標(biāo)中，投資額、風(fēng)險(xiǎn)損失為本錢(qián)型，期望凈現(xiàn)值、風(fēng)險(xiǎn)盈利值為效益型。按前述方法建立相對(duì)優(yōu)屬度模糊矩陣1/20/2024130由變異系數(shù)法求得各指標(biāo)權(quán)重系數(shù)為0.2444,0.1717,0.1723,0.4115。1/20/2024131各方案的加權(quán)平均優(yōu)屬度為0.2580,0.1639,0.2427,0.1608,0.1746，故方案排序?yàn)?,3,5,2,4。1/20/20241327.討論由于灰色關(guān)聯(lián)分析、相對(duì)偏差法和相對(duì)優(yōu)屬度法均屬綜合評(píng)價(jià)類(lèi)方法,且都有解決同樣的問(wèn)題，所以自然產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題：這三種方法評(píng)價(jià)同一問(wèn)題的結(jié)論完全一致嗎？首先分別用相對(duì)偏差法和相對(duì)優(yōu)屬度法評(píng)價(jià)例7和例6。1/20/2024133相對(duì)偏差法評(píng)價(jià)例7的結(jié)果是：加權(quán)平均偏差為0.0696,0.2901,0.1252,0.2786,0.2365，故方案排序?yàn)?,3,5,4,2。相對(duì)優(yōu)屬度法的排序結(jié)果是：1,3,5,2,4。兩個(gè)方法的結(jié)果略有差異。1/20/2024134相對(duì)優(yōu)屬度法評(píng)價(jià)例6的結(jié)果是:0.1665,0.1698,0.2309,0.2418,0.1910，故方案排序?yàn)?,3,5,2,1。相對(duì)偏差法的排序結(jié)果是：3,4,5,1,2。兩個(gè)方法的結(jié)果差異稍大。究竟哪個(gè)方法的結(jié)果更可靠呢？1/20/2024135

下面再利用灰色關(guān)聯(lián)分析對(duì)例6和例7進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)?；疑P(guān)聯(lián)分析對(duì)例6中的方案的排序結(jié)果是:3,4,1,2,5，例7的排序結(jié)果為:1,3,2,4,5，與前兩個(gè)方法的結(jié)果均不完全相同?？紤]到灰色關(guān)聯(lián)分析將每個(gè)指標(biāo)視為等權(quán)重，出現(xiàn)這個(gè)結(jié)果其實(shí)并不1/20/2024136意外。如果在灰色關(guān)聯(lián)分析中采用與前兩個(gè)方法一樣的權(quán)重，那么例6的排序結(jié)果為:3,4,5,1,2,與相對(duì)偏差法完全一致；例7的排序結(jié)果為:1,3,2,5,4，與相對(duì)優(yōu)屬度法幾乎完全一致。假設(shè)將分辨系數(shù)設(shè)為0.9，那么例7灰色關(guān)聯(lián)分析的結(jié)果與相對(duì)優(yōu)屬度法完1/20/2024137全一致。綜上，可以得出如下結(jié)論：(1)由于考慮到了各指標(biāo)的權(quán)重,相對(duì)偏差法和相對(duì)優(yōu)屬度法通常優(yōu)于灰色關(guān)聯(lián)分析；(2)考慮各指標(biāo)權(quán)重,可提高灰色關(guān)聯(lián)分析結(jié)果的可靠性；(3)在實(shí)際中,對(duì)于綜合評(píng)價(jià)類(lèi)問(wèn)1/20/2024138題，可同時(shí)應(yīng)用上述幾種方法評(píng)價(jià)，以提高評(píng)價(jià)的可靠性。請(qǐng)各位利用提供的程序?qū)毩?xí)3~6做灰色關(guān)聯(lián)分析和模糊綜合評(píng)價(jià)。1/20/2024139

練習(xí)3下表為三峽水利工程樞紐確定正常蓄水位的四個(gè)技術(shù)方案。對(duì)其進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，找出最優(yōu)方案。方案評(píng)價(jià)指標(biāo)方案1(150)方案2(160)方案3(170)方案4(180)防洪(減少淹沒(méi))面積474754.758.8航運(yùn)(改善航道里程)500500600660發(fā)電效益677732785891工程投資214.8236.4270.7311.4移民費(fèi)用53.469.597.8123.3泥沙淤積77.8277.9782.0790.15生態(tài)環(huán)境影響1122與上游銜接111.521/20/2024140

練習(xí)42005年安徽省各地市水資源數(shù)據(jù)如下表，對(duì)其進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。地區(qū)水資源總量(萬(wàn)方)地表水資源量地下水資源量人均水資源量總計(jì)719.25672.20195.410.12合肥23.3923.385.670.05淮北13.3610.325.660.07亳州43.8333.9118.430.08宿州43.0331.1417.960.07蚌埠31.7525.4612.270.10阜陽(yáng)66.5454.4923.140.08淮南9.907.984.260.041/20/2024141

滁州42.9342.6211.010.10六安120.97120.7227.