判斷圖形形狀的幾何練習題匯總

判斷圖形形狀的幾何練習題

例1.如圖，將一邊AB長為4cm的矩形框架ABCD與兩直角邊分別為4cm、3cm的直角三

角形框架拼成直角梯形ABED。動點P、Q同時從點E出發(fā)，點P沿E—D-A方向以每秒

3cm的速度運動；點Q沿EfB—A方向以每秒4cm的速度運動。

而當點P到達點A時，點Q正好到達點A。設P、Q同時從點E出

發(fā)，經(jīng)過的時間為t秒。

(1)分別求出梯形中DE、AD的長度。

(2)當t=1.75時:求AERQ的面積，直接寫出此時4EPQ的形狀。

(3)在點P、Q運動過程中，是否存在某一時刻，使四邊形APEQ

是梯形？若存在，請求出相應的t值；若不存在，請說明理由。

1.如圖9,在平面直角坐標系中，以點C(1,1)為圓心，2為半徑作圓，

交x軸于A,B兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過點A,B,且其頂點P

在。C上.(1)求/ACB的大?。?2)寫出A,B兩點的坐標；(3)

試確定此拋物線的解析式；(4)在該拋物線上是否存在一點D,使線

段0P與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說

明理由.

解：(1)作“，X軸，”為垂足，

=半徑C8=2.............................1分

-.?NBCH=60,：.ZACB=120。.......................3分

(2)半徑C8=2

/.HB=y/3,故A(1-6,0),........................5分

5(1+73,0)........................................6分

(3)由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為(1,3)...................7分

設拋物線解析式y(tǒng)=?(x-l)2+3............................................8分

把點8(1+G，0)代入上式，解得。=一1......................................9分

/.y=-x2+2x+2....................................................................................................10分

(4)假設存在點。使線段OP與CO互相平分，則四邊形OCPO是平行四邊形....11分

:.PC〃OD宜PC=OD.

?.?PC〃y軸，.?.點。在y軸上...............................................12分

又?：PC=2,：.OD=2,即。(0,2).

又。(0,2)滿足y=—丁+2x+2,

.?.點。在拋物線上.............................................................13分

所以存在。(0,2)使線段0P與CD互相平分.

2.(蕪湖)如圖，已知A(T,0),6(0,4),現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為9:4,

將OB向右側(cè)放大，B點的對應點為C.(1)求C點坐標及直線BC的解析式;

(2)拋物線經(jīng)過8、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式

并畫出函數(shù)圖象；(3)現(xiàn)將直線BC繞8點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P,請找

出拋物線上所有滿足到直線AB距離為次歷的點P.

解：(1)

過C點向x軸作垂線，垂足為D,由位似圖形性質(zhì)可知:

.AOBO4

△ABO^AACD,'~AD~~CD~~9

由己知A(-4,0),8(0,4)可知：AO=4,BO=4.第24題圖

.?.4。=8=9.；.(2點坐標為(5,9)...................2分

1

%二—

-25

,4

rq=11^2=-

解得：4=一4°=4

-1=4

.??解得拋物線解析式為乂=/-4x+4或%=(V+1》+4.

又=」-/+±犬+4的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去.

滿足條件的拋物線解析式為y=/—4x+4...............................5分

(準確畫出函數(shù)y=f—4x+4圖象)...........................................7分

(3)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P,設P到直線4B的距離為〃，

故P點應在與直線AB平行，且相距3夜的上下兩條平行直線4和4上.............8分

由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與)，軸的交點到直線BC的距離也為3夜.

如圖，設4與y軸交于E點，過E作EFLBC于尸點，

在RSBE尸中EF=/z=3夜，ZEBF=ZABO=45°,

...BE=6....可以求得直線4與)，軸交點坐標為(0,10)........................10分

同理可求得直線4與〉軸交點坐標為(0,—2)..................................11分

，兩直線解析式《:y=x+10；l2:y=x-2.

y=x2—4x+4Iy=%2—4x+4

根據(jù)題意列出方程組：（i）r；⑵廠

y=x+10[y=x-2

x}=6x2=-l=2%=3

，解得:-2=9'卜=0

X=16

.?.滿足條件的點P有四個，它們分別是6(6,16),4(一1,9),6(2,0),2(3,1)

1、(07臺州市)如圖，四邊形Q43c是一張放在平面直角

坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點。在y軸上，將邊BC折疊，使點8落在邊Q4的

點。處.已知折疊CE=56，且tan/ED4=3.

4

(1)判斷△08與△ADE是否相似？請說明理由；

(2)求直線C￡與x軸交點P的坐標；

(3)是否存在過點。的直線/,使直線/、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線/、直

線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如

果不存在，請說明理由.

8.(08湖北荊州25題解析)25.(本題12分)如圖，等腰直角三角形紙片ABC中，AC-BC

=4,ZACB=90°,直角邊AC在x軸上，B點在第二象限，A(1,0),AB交y軸于E,將紙

片過E點折疊使BE與EA所在直線重合，得到折痕EF(F在x軸上)，再展開還原沿EF剪開

得到四邊形BCFE,然后把四邊形BCFE從E點開始沿射線EA平

移，至B點到達A點停止.設平移時間為t(s),移動速度為每

秒1個單位長度，平移中四邊形BCFE與4AEF重疊的面積為S.

(1)求折痕EF的長；

(2)是否存在某一時刻t使平移中直角頂點C經(jīng)過拋物線

y=f+4x+3的頂點？若存在，求出t值；若不存在，請說

明理由；

(3)京毯寫由S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍.

8、

25.(1)?.?折疊后BE與￡4所在直線重合

FE1EA

又R4ABC中A。=BC

：.NCA8=45。

EF=EA

A(L0)

OA=OE=1,AE=y/2

折痕=及

(2)存在.設CP〃BA交Y軸于P,

則APOC為等腰直角三角形，直角頂點C在射線CP上移動

：AC=4,OA=1;.OC=OP=3

/.C(-3,0),RO,-3)

可求得PC所在直線解析式為：y=-x-3

拋物線:y=x2+4x+3=(x+2)2-1

.?.拋物線的頂點為(-2,-1)

代x=_2入y=3得y=—1.

.?.點在直線CP上

即直角頂點C在移動中經(jīng)過此拋物線的頂點

?.?四邊形8C/E沿射線EA移動速度為每秒一個單位長度，ZBAC=45°

???直角頂點BC在向水平方向移動速度為lxcos45o=也(長度單位/秒)

2

???直角頂點C從(-3,0)位置移動到(-2,-1)時，水平移動距離為

卜2-(-3)|=1(長度單位)

直角頂點C從開始到經(jīng)過此拋物線頂點移動的時間r

」產(chǎn)+"(041〈揚

2

1(72<t<242

(3)5-<—Lr2+V2r-1(272<r<372)

4

-t2-2萬+8(3正<t<4揚

4

9.(08湖北天門)24體小題滿分/2分)如圖①，在平面直角坐標系中，4點坐標為3,

0),6點坐標為0,4).動點"從點0出發(fā)，沿力方向以每秒1個單位長度的速度向終點力

運動；同時，動點A'從點4出發(fā)沿4?方向以每秒9個單位長度的速度向終點6運動.設運

動了x秒.

⑴點7的坐標為J-J傭含x的代數(shù)式表示)

⑵當x為何值時，44a為等腰三角形？

⑶如圖②，連結(jié)QV得WQ磔；4〃處可能為正三角形嗎？若不能，點M的運動速度不變，

試改變點4的運動速度，使/〃阻，為正三角形，并求出點N的運動速度和此時x的值.

(第24題圖)

9、24.(本小題滿分12分)

4

解：(1)N(3—x,—x)

3

(2)①AM=AN

5.

—x-3-x

3

-x+x=3

3

8,

—x-3

3

9

x--

8

②MN=AM

(3-2x)2+(gx)2=3-x

%(43%-54)=0

54

1=0(舍去)或工=一

43

③MN=AN

x=g(3-x)

尤=1

(3)不能

當N(—時，/OMN為正三角形

22

由題意可得：

V3

2=4

a13

3—x

2

初任72V3-96

解得：X=------

11

514OV3-16O

點N的速度為:一尤=

311

24.（2008年湖州市）已知：在矩形AOBC中，03=4,04=3.分別以所在

直線為x軸和y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.廠是邊上的一個動點（不與

k

B,C重合），過F點的反比例函數(shù)丁=一伙＞0）的圖象與4c邊交于點E.

x

（1）求證：△AOE與△60斤的面積相等；

（2）記S=S40EF求當人為何值時，S有最大值，最大值為多少？

（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點尸，使得將△CM沿所對折后，C點恰好落在05上？

若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

26.(08年寧夏回族自治區(qū))如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B

運動，連接DP交AC于點Q。

(1)試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△

ADQ四△ABQ；

(2)當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正

方形ABCD面積的

6

(3)若點P從點A運動到點B,再繼續(xù)在BC上運動到點C,在

整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，4ADQ恰為等腰三角形。

4、如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,/C=90°,BC=16,DC=12,AD-21?動點P從

點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段

CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P,Q分別從點D,C同時

出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設運動的時間為t(秒)。

(1)設△BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當t為何值時，以B,P,Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

（3）當線段PQ與線段AB相交于點0,且2A0=0B時，求NBQP的正切值；

257

24.已知在矩形ABC。中，AB=4,BC=~,。為BC上一點，BO=》如圖所示，以

BC所在直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，M為線段OC上的一點.

（1）若點M的坐標為（1,0）,如圖①，以OM為一邊作等腰△OMP,使點P在矩形

ABCD的一邊上，則符合條件的等腰三角形有幾個？請直接寫出所有符合條件的點P的坐

標；

（2）若將（1）中的點M的坐標改為（4,0）,其它條件不變,如圖②，那么符合條件

的等腰三角形有幾個？求出所有符合條件的點P的坐標；

（3）若將（1）中的點M的坐標改為（5,0）,其它條件不變,如圖③，請直接寫出符

合條件的等腰三角形有兒個.（不必求出點P的坐標）

圖②

圖③

第24題圖

58.如圖，以矩形OABC的頂點。為原點，0A所在的直線為x軸，OC所在的直線為y

軸，建立平面直角坐標系.已知04=3,0C=2,點E是AB的中點，在0A上取一點。，

將△8D4沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處.

（1）直接寫出點E、尸的坐標；

（2）設頂點為F的拋物線交y軸4半釉于點P,且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三

角形，求該拋物線的解析式;

（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形MNFE的周長最??？如果存在,

求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由.

27.如圖，在直角梯形OABC中，OA〃BC,A、B兩點的坐標分

別為A（13,0）,

B（11,12）,動點P、Q從0、B兩點出發(fā)，點P

以每秒2個單位的速度沿OA向終點A運動，點Q

以每秒1個單位的速度沿BC向C運動，當點P停

止運動時，點Q同時停止運動.線段OB、PQ相交于

點D,過點D作DE〃OA,交AB于點E,射線QE

交x軸于點F.動點P、Q運動時間為t（單位：秒）.

（1）當t為何值時，四邊形PABQ是平行四邊形，

請寫出推理過程；

（2）當t=3秒時，求APC3F的面積；

（3）當t為何值時，是等腰三角形？請寫出

推理過程.

51.RSABC中，ZACB=90°,BC=15,AC=20.CD為斜邊AB上的高.矩形EFGH的邊

EF與CD重合，A、D、B、G在同一直線上（如圖1）.將矩形EFGH向左邊平移，

EF交AC于M（M不與A重合如圖2）,連結(jié)BM,BM交CD于N,連結(jié)NF.

（1）直接寫出圖2中所有與△CDB相似的三角形；

（2）設CE=x,AMNF的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍；

并求△MNF的最大面積；

（3）在平移過程中是否存在四邊形MFNC為平行四邊形的情形？若存在，求出x的值;

若不存在，說明理由.

84.(黃石)如圖，為直角，點C為線段的中點，點。是射線上的一個動

點(不與點8重合)，連結(jié)AZ),作垂足為￡,連結(jié)CE,過點E作M_LCE,

交BD于F.

(1)求證：BF=FD；

(2)在什么范圍內(nèi)變化時，四邊形ACFE是梯形，并說明理由；

(3)NA在什么范圍內(nèi)變化時，線段DE上存在點G,滿足條件0G=工94,并說明理

4

由.

4

91.(河南)如圖，直線y=--x+4和x軸、y軸的交點分別為8、C,點A的坐標是(-2,

0).(1)試說明△ABC是等腰三角形；(2)動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時

動點N從點B出發(fā)沿線段8c向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度.當其中一

個動點到達終點時，他們都停止運動.設M運動f秒時，△MON的面積為S.①求S與/

的函數(shù)關(guān)系式；②設點M在線段OB上運動時，是否存在S=4的情形？若存在，求出對應

的"直；若不存在請說明理由；③在運動過程中，當△MON為直角三角形時，求f的值.

108.如圖①，在平面直角坐標系中，A點坐標為(3,0),B點坐標為(0,4).動點M從點O

出發(fā)，沿OA方向以每秒/個單位長度的速度向終點A運動；同時，動點N從點A出

發(fā)沿AB方向以每秒5個單位長度的速度向終點B運動.設運動了x秒.

(1)點N的坐標為(________________,)；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當x為何值時，WAMN為等腰三角形？

(3)如圖②，連結(jié)ON得￡OMN,ZiOMN可能為正三角形嗎？若不能，點M的運動速度

不變，試改變點N的運動速度，使WOMN為正三角形，并求出點N的運動速度和此

時X的值.

1.(2008年湖北省咸寧市)如圖，在AABC中，點。是AC邊上的一個動點，過點。作直

線MN//BC,設MN交NBCA的角平分線于點E,交/BC4的外角平分線于點F.

(1)求證：EO=FO；

(2)當點。運動到何處時，四邊形AEC尸是矩形?

并證明你的結(jié)論.

26.(08年寧夏回族自治區(qū))如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B

運動，連接DP交AC于點Q。

(1)試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△

ADQ嶺△ABQ；

(2)當點P在AB上運動到什么位置時，aADQ的面積是正

方形ABCD面積的,；

6

(3)若點P從點A運動到點B,再繼續(xù)在BC上運動到點C,在

整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，AADQ恰為等腰三角形。

2、(2009年湖北十堰市)如圖①，已知拋物線y=4/+/+3(a#0)與x軸交于點4(1,

0)和點8(—3,0),與)，軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使為等腰

三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE、CE,求四邊形80CE面積

的最大值，并求此時E點的坐標.

25.解：⑴由題知:

a+b+3=0

1分

9。一3b+3=0

a--\

解得:2分

8=-2

，所求拋物線解析式為：y=—2x+3.............................................3分

⑵存在符合條件的點P,其坐標為P(—1,加)或P(一l,一加)

或P(—1,6)或P(—1,-).......................................................................................7分

3

(3)解法①：

過點E作EFLx軸于點F,設E(a「a?_20+3)(-3<a<0)

.'.EF=-a2-2a+3,BF=a+3,OF--a...........................................................................8分

.°11

??SmiMiBOCE--BFEF+-(OC+EF)OF

22

1,1,

=—(a+3)?(-&--2a+3)+—(—a'—2a+6>(—a)9分

22

399

=—a~—a+-2.....................10分

222

3,3、263

=——(?+-)+-

228

oz.o

當Cl=——時，S四邊形BOCE最大，且最大值為---.11分

28

315

此時，點E坐標為（一一，—）.........................................12分

24

解法②：

過點E作EFLx軸于點F,設E(x,y)(—3<x<0)....................8分

nl11

則S*癥BOCE=-(3+y)-(—x)+—(3+x>y..............................9分

33，、.

=—(y—x)=—(―A2—3x+3)..........................10分

2-2

當*=-3時,

S四邊形BOCE最大，且最大值為—.11分

28

315

此時，點6坐標為（一士，—）12分

24

26.（本題滿分14分）

如圖，拋物線y=公2+Zzx-3與x軸交于A8兩點，與y軸交于C點，且經(jīng)過點

（2,—3a）,對稱軸是直線x=l,頂點是

（1）求拋物線對應的函數(shù)表達式；

（2）經(jīng)過C,"兩點作直線與x軸交于點N,在拋物線上是否存在這樣的點P,使

以點P,AC,N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點尸的坐標;

若不存在，請說明理由；

（3）設直線y=—x+3與y軸的交點是。，在線段8。上任取一點E（不與8,。重

合），經(jīng)過AB,E三點的圓交直線BC于點F,試判斷戶的形狀，并說

明理由；

（4）當￡是直線y=—x+3上任意一點時，（3）中的結(jié)論是否成立？（請直接寫出

結(jié)論）.

28.(本題滿分14分)

—3ci—4ci+2b—3,

解：(1)根據(jù)題意，得|b.........2分

---=1.

.2a

解得LQ=1,八

b=-2.

拋物線對應的函數(shù)表達式為y=f-2x—3...........3分

(2)存在.

在>=%2一2%一3中，令x=0,得y=-3.

令y=0,得％2_2x—3=0,x}=-1,x2=3.

/.A(-l,0),8(3,0),C(0,-3).

又y=(x-l)2-4,頂點M(l,-4)...............................................................................5分

容易求得直線CM的表達式是y=—x—3.

在y=-x-3中，令y=0,得x=-3.

N(—3,0),AN=2.....................................................................................................6分

在y=f-2x-3中，令y=—3,得玉=0,x2=2.

:.CP=2,:.AN=CP.

?.?4V〃CP,.?.四邊形AN”為平行四邊形，此時P(2,-3)....................................8分

(3)是等腰直角三角形.

理由：在y=-x+3中，令x=0,得y=3,令y=0,得x=3.

直線y=—x+3與坐標軸的交點是0(0,3),3(3,0).

:.OD=OB,:./OBD=45°.........................................................................................9分

又?.?點C(0,-3),.?.O3=OC..?.NOBC=45°.......................................................10分

由圖知ZAE/nZAB/udS。，ZAFE=ZABE=45°.............................................11分

:.ZEAF=90°,且AE=AF..,.△?!￡/是等腰直角三角形....................12分

(4)當點E是直線y=-x+3上任意一點時，(3)中的結(jié)論成立.................14分

26.已知:二次函數(shù)y=X2+hx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,其中A點坐標為(-3,0),與y

軸交于點C,點1)(-2,-3)在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸上有一動點P,求出PA+PD的最小值；

(3)點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點E,使B、D、E、G這樣的四個點為頂點的

四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的E點坐標；如果不存在，請說明

理由.y

A\B______r

.?.點B坐標為(1,0)

而點A與點B關(guān)于y軸對稱

連接BD與對稱軸的交點即為所求的P點.....6分

過點D做DFJ_x軸于點F,則:DF=3,BF=l-(-2)=3

在RtABDF中,BD=獷+3?=30

VPA=PB

，PA+PD=PB+PD=BD=3V2,即PA+PD的最小值為

372；...........................................8分

(3).存在符合條件的點E.

①在y=Y+2x—3中，令x=0,則有:y=—3,故點C坐標為(0,-3)

在x軸上截取BE】=BE2=CD=2，得夕BCDE］和歹BDCE?

此時：點C與點G重

合，月(—1,0),心(3,0)..................................10分

②?.,BF=DF=3,NDFB=90"

ZFBD=45°

當G3E3//W且相等時,有々G3E3DB,作G3N±X軸于點N,

O

VZG3E3B=ZFB￡)=45,ZG3NE3=90°,G3E3=BD=342

：.G3N=E3N=3

將)，=3代入y=f+2x—3得:x=—1土"

二E3的坐標為:(-1+V7-3,0)即(—4+V7.0)............................11

分

同理可得：心(一4一行,0)...............................................12

分

綜上所述:存在這樣的點E,所有滿足條件的E點坐標為:

Ei(-1,0),E2(3,0),44+77,0),4(-4-A/7,0)

1、

(鎮(zhèn)江)如圖，在直角坐標系xoy中，點P為函數(shù)y在第一象限內(nèi)的圖象上的任一

-4

點，點A的坐標為(0,1),直線/過B(0,-1)且與x軸平行，過P作y軸的平行線分別

交x軸，/于C,Q,連結(jié)AQ交x軸于H,直線PH交y軸于R.(1)求證：H點為線段

AQ的中點；(2)求證：①四邊形APQR為平行四邊形；②平行四邊形APQR為菱形；(3)

除P點外，直線PH與拋物線y=有無其它公共點？并說明理由.

(1)法一：由題可知AO=CQ=I.

X

法二：A(O,1),B(O,-1),：.OA=OB.（1分）

又3Q〃x軸，:.HA=HQ..............................................................................................(2分)

(2)①由(1)可知AH=Q”，ZAHR=ZQHP,

-.-AR//PQ,ZRAH=ZPQH,

:.ARAH冬APQH............................................................................................................(3分)

：.AR=PQ,

又AR〃PQ,.?.四邊形APQR為平行四邊形...............................（4分）

②設軸，則。（利1）,則PQ=1+；加2.

過P作PG_Ly軸，垂足為G,在RtaAPG中，

尸（利；〃/卜入得:

（3）設直線PR為》=自+8，由O〃=CH,得"

m

—k+b=O,

22]二直線依為丁='%—'/J?

（7分）

,,1,

Kin+b--m'.b=—m2.

44

設直線依與拋物線的公共點為代入直線PA關(guān)系式得:

-x2-—x+—m2=Q,—（x-m）2=0,解得x=m.得公共點為.

4244V4J

1,

所以直線PH與拋物線y=-x2只有一個公共點P.

3.（遼寧）如圖14,在RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,BC=4V2,另有一等腰梯形DEFG

（GF〃DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB,AC上，且GF分別是AB,AC

的中點.（1）求等腰梯形DEFG的面積；（2）操作：固定AABC,將等腰梯形DEFG

以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止.設運動時

間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF'G'(如圖15).探究1：在運動過程中，四邊

形BDG'G能否是菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，請說明理由.探究2：

設在運動過程中AABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系

式.

AA

圖1圖2

解：如圖6,(1)過點G作于

\AB=AC,ZBAC=90\BC=40,G為AB中點

A

GM=vr2.XX

又「G,E分別為A8AC的中點g/

：.GF=-BC=2s/2.......................................2分

](D)B------------------------、C(E)

：.S糯影DEFG=二(2丘+4丘)又近=6M圖6

2

等腰梯形。瓦6的面積為6.........................................................................................3分

(2)能為菱形如圖7,由BG〃0G,GG//BC

：.四邊形BOG'G是平行四邊形A

當8O=BG=,A8=2[it,四邊形BPG'G為菱形，

此1^

2

.?.當x=2秒時，四邊形BDG'G為菱形.

(3)分兩種情況：①當0Wx<2夜時，BDMCE

圖7

方法一：；GM=V2,SaBDGG—y/2x

,重疊部分的面積為：y=6-6x

.?.當0Wx<2后時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=6-\[2x............................................10分

A

②當20WxW4\/^時，

=4PCD=45。GZ^.——----

設FC與。G'交于點P,則ZPDC=/△\

:.ZCPD=90a,PC=PD

BDQCE

圖8

作PQJ,。。于Q,則尸。=OQ=QC=g(4及一x)

,重疊部分的面積為：

y=；(40—x)x；(4夜—x)=；(40—x)2=；%2-20%+8

4.（山西）如圖，已知直線乙的解析式為y=3x+6,直線L與x軸、y軸分別相交于A、B

兩點，直線4經(jīng)過B、C兩點，點C的坐標為（8,0）,又已知

點P在x軸上從點A向點C移動，點Q在直線。從點C向點

B移動。點P、Q同時出發(fā)，且移動的速度都為每秒1個單位

長度，設移動時間為t秒（i<t<io）。（1）求直線4的解析式。

（2）設4PCQ的面積為S,請求出S關(guān)于I的函數(shù)關(guān)系式。（3）

試探究：當t為何值時，4PCQ為等腰三角形？

5.（黃岡）已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC〃AB,以。為原點建立平面直角坐

標系，A,B,C三點的坐標分別為A（8,0),B(8,10),C(0,4),點D為線段

BC的中點，動點P從點O出發(fā),

以每秒1個單位的速度，沿折線

OABD的路線移動，移動的時間

為t秒.（1）求直線BC的解析

式；（2）若動點P在線段OA上

移動，當t為何值時，四邊形

OPDC的面積是梯形COAB面

2

積的一？（3）動點P從點O出

7

發(fā)，沿折線OABD的路線移動

過程中，設AOPD的面積為S,請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取

值范圍；（4）當動點P在線段AB上移動時，能否在線段OA上找到一點Q,使四邊形

CQPD為矩形？請求出此時動點P的坐標；若不能，請說明理由.

3

【例1】（山西太原）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線丁=工+1與丁=--尤+3

4

交于點A,分別交x軸于點8和點C,點。是直線AC上的一個動點.

（1）求點AB,C的坐標.

（2）當△C5O為等腰三角形時，求點。的坐標.

（3）在直線4?上是否存在點E,使得以點E,D,O,A為頂點的四邊形是平行四邊

形？如果存在，直接寫出B名E的值；如果不存在，請說明理由.)'

CD

A

【思路點撥】（1）注意直線方程的解與坐標關(guān)系；

（2）當△CBZ）為等腰三角形時，分三種情況討論，.

（3）以點￡,D,O,A為頂點的四邊形是平行四邊形

三種情形。

【例1】（山西太原）（1）在y=x+l中，當y=0時，x+1=0,

3

:.x=-\,點8的坐標為(一1,0).在y=—3x+3中，當y=0時，

4

8

y=x+l,X=——9

37

——x+3=07.x=4,點。的坐標為（4,0）.由題意，得《3c解得《

4y=—x+3?15

-4y=7

點A的坐標為

（2）當△CBO為等腰三角形時，有以下三種情況,如圖（1）.設動點D的坐標為（x,y）.

由(1),得8(—1,0),C(4,0),:.BC=5.

①當時，過點。作，軸，垂足為點則8Ml=M|C=4BC.

5533

：.BM,=-,OM.=——1=-,x=_.

121222

33。15上八315)

.,.y=--x-+3=一,點。］的坐標為|一,一.

-428'<28J

22

②當BC=BO2時，過點3作DM，x軸，垂足為點%,則+M2B=D2B.

3

v=D2M2=--X+3,D2B=5,

」.(—x—if+(—zx+3=52.

123(12、24

解，得％=一(，X2=4(舍去).此時，y=-^xl-y