高考數(shù)學(xué)文北師大版大一輪復(fù)習(xí)課件教師版十一章概率份打包

§11.3

幾何概型基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.幾何概型知識(shí)梳理2.幾何概型中的G也可以是空間中或直線(xiàn)上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是

之比或

之比.向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1

G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無(wú)關(guān)，即P(點(diǎn)M落在G1)＝

，則稱(chēng)這種模型為幾何概型.體積長(zhǎng)度3.借助

可以估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.模擬方法判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零.(

)(2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等.(

)(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線(xiàn)段、平面圖形、立體圖形.(

)思考辨析√√√(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.(

)(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).(

)√××

考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)在線(xiàn)段[0,3]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為答案解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為[0,1]，長(zhǎng)度為1，[0,3]區(qū)間長(zhǎng)度為3，

2.(2015·山東)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤≤1”發(fā)生的概率為答案解析∴由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率

3.(教材改編)有四個(gè)游戲盤(pán)，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是答案解析∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B).

4.(2017·濟(jì)南月考)一個(gè)長(zhǎng)方體空屋子，長(zhǎng)，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個(gè)角上各裝有一個(gè)捕蠅器(大小忽略不計(jì))，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門(mén)口飛入，并在房間內(nèi)盤(pán)旋，則蒼蠅被捕捉的概率是答案解析屋子的體積為5×4×3＝60(立方米)，5.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________.答案解析設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，題型分類(lèi)深度剖析

題型一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型例1

(1)(2016·全國(guó)甲卷)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為答案解析答案解析解答因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.引申探究

解答2.本例(3)中，若將“在∠BAC內(nèi)作射線(xiàn)AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線(xiàn)段BC上找一點(diǎn)M”，求BM<1的概率.

解答求解與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度(角度)，然后求解.要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度).思維升華

跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2016·全國(guó)乙卷)某公司的班車(chē)在7：00，8：00,8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是答案解析如圖所示，畫(huà)出時(shí)間軸.答案解析

命題點(diǎn)1與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題例2

(2016·全國(guó)甲卷)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為答案解析題型二與面積有關(guān)的幾何概型由題意得(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如圖所示方格中，而平方和小于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影中，命題點(diǎn)2與線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問(wèn)題答案解析如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD，

跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2016·昌平模擬)設(shè)不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到直線(xiàn)y＋2＝0的距離大于2的概率是答案解析作出平面區(qū)域D，可知平面區(qū)域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.當(dāng)點(diǎn)在△AEF區(qū)域內(nèi)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)y＋2＝0的距離大于2.△PBC內(nèi)的概率是________.答案解析連接DE，EF，F(xiàn)D.即P是△DEF的重心，此時(shí)，△PDE，△PEF，△PDF的面積相等，則△PDE的面積是△PBC的面積的20倍，△PEF的面積是△PAC的面積的15倍，△PDF的面積是△PAB的面積的12倍，

題型三與體積有關(guān)的幾何概型例4

(1)(2016·貴州黔東南州凱里一中期末)一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，則稱(chēng)其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為答案解析

當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點(diǎn)所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺(tái)內(nèi)時(shí)符合要求，答案解析求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的問(wèn)題也可利用其對(duì)立事件去求.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2016·哈爾濱模擬)在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐S－APC的體積大于

的概率是________.答案解析

幾何概型中的“測(cè)度”現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列12(1)在線(xiàn)段上取點(diǎn)，則點(diǎn)在線(xiàn)段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線(xiàn)，則射線(xiàn)在角內(nèi)的分布等可能.(2)兩個(gè)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值，對(duì)應(yīng)的“測(cè)度”是面積.典例

(1)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，則∠CAM<30°的概率是________.錯(cuò)解展示現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得解析

(1)因?yàn)椤螩＝90°，∠CAM＝30°，答案

返回解析

(1)因?yàn)辄c(diǎn)M在直角邊BC上是等可能出現(xiàn)的，所以“測(cè)度”是長(zhǎng)度.設(shè)直角邊長(zhǎng)為a，(2)設(shè)任取兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為x，y，則0≤x≤1，且0≤y≤1.答案

返回課時(shí)作業(yè)1.(2016·佛山模擬)如圖，矩形長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積約為A.16.32 B.15.32

C.8.68 D.7.68答案解析12345678910111213故S＝16.32.√123456789101112132.(2016·南平模擬)設(shè)p在[0,5]上隨機(jī)地取值，則關(guān)于x的方程x2＋px＋1＝0有實(shí)數(shù)根的概率為答案解析√方程有實(shí)數(shù)根，則Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)，答案解析√123456789101112134.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為答案解析如圖，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線(xiàn)段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線(xiàn)段CF(不包含C、F點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形，12345678910111213√5.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是答案解析12345678910111213√12345678910111213設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，則OD＝DA＝DC＝1.所以整體圖形中空白部分面積S2＝2.所以陰影部分面積為S3＝π－2.6.歐陽(yáng)修的《賣(mài)油翁》中寫(xiě)到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢(qián)覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢(qián)孔入，而錢(qián)不濕”，可見(jiàn)“行行出狀元”，賣(mài)油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢(qián)是直徑為3cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為1cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢(qián)上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計(jì))，則正好答案解析12345678910111213落入孔中的概率是________.7.有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率12345678910111213為_(kāi)_______.答案解析如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線(xiàn)m＝n恰好將矩形平分，答案解析12345678910111213答案解析半圓區(qū)域如圖所示.設(shè)A表示事件1234567891011121310.(2016·湖南衡陽(yáng)八中月考)隨機(jī)向邊長(zhǎng)為5,5,6的三角形中投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是________.12345678910111213答案解析11.已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿(mǎn)足a·b＝－1的概率；

解答將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，12345678910111213(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿(mǎn)足a·b<0的概率.

解答12345678910111213若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，則全部基本事件的結(jié)果為Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，滿(mǎn)足a·b