遼寧省四校2023屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，

請將正確答案涂在答題卡上.)

1.函數(shù)f(x)=e，+x-2的零點所在的一個區(qū)間是

A.(-2-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

2.設(shè)”=32，b=c=log|5；,則a,》,c的大小關(guān)系是。

A.a<b<CB.a<c<b

C.c<a<hD.c<b<ci

3.設(shè)函數(shù)+學(xué)的最小正周期為4)，且/(x)在［0,5加內(nèi)恰有3個零點，則。的

取值范圍是()

八乃〕「乃n

B.0,—U—

43~2

c兀7171

D.0,—U

657

一4COS3x4-1

4.函數(shù)丁=的圖像大致為

3—3

TT

5.要得到函數(shù)/?(x)=cos(2A--)的圖象，只需將函數(shù)g(x)=cos2x的圖象()

6

TTTT

A.向左平移;個單位長度B.向右平移g個單位長度

66

冗TF

C.向左平移二單位長度D.向右平移三個單位長度

1212

6.在％，V軸上的截距分別是-3,4的直線方程是

A.4x+3x-12=0B.4x—3y+12=0

C.4x+3y—l=0D.4x—3y+1=0

7.函數(shù)/(x)=Asin?x+0)(A>O,3>O,一萬<0<0),其部分圖象如圖所示，則/)

B近

A

22

1

C?一

2

4

8,若命題“玉>0,使得一+X-QW0”為真命題，則實數(shù)〃的取值范圍是()

X

A.a>4B.6/>4

C.a<4D.a<4

9.已知0<"J,x=log〃2,y=,z=/，則x，>，工的大小關(guān)系是O

A.zcycxB.x<z<y

C.z<x<yD.x<"z

10.下列各式中與Jl^sin4相等的是

A.sin2-cos2B.cos2-sin2

C.cos2D.-cos2

11.若將函數(shù),、的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移

儂=儂（％+3I

個單位長度，得到函數(shù)式%）的圖象，則下列說法正確的是（）

A.久幼的最小正周期為鈿B.g（功在區(qū)間?上單調(diào)遞減

［r。用

圖象的一條對稱軸為直線圖象的一個對稱中心為

x=

h管⑼

JT____

12.在邊長為3的菱形ABC。中，ZDAB=-,AM=2MB>則的'.麗=（）

17

A.--B.-1

2

159

C.—D.-

22

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）

13.已知tanx=2,貝!!sin2x的值是,tan（x+?）的值是.

14.已知函數(shù)/（x）=k）g2（加-以+4）.

（D若/（”在2）上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是；

（2）若/（x）的值域是R,則實數(shù)”的取值范圍是.

15.定義:關(guān)于x的兩個不等式/（%）<（）和g（x）<0的解集分別為（a,。）和［/‘J,則稱這兩個不等式為相連不等式.如

果不等式/_4瓜8526+2<0與不等式2/+4秒由2。+1<0為相連不等式，且匹仁,兀｝則。=

16.新高考選課走班“3+1+2”模式指的是：語文、數(shù)學(xué)、外語三門學(xué)科為必考科目，物理、歷史兩門科目必選一門，

化學(xué)、生物、思想政治、地理四門科目選兩門.已知在一次選課過程中，甲、乙兩同學(xué)選擇科目之間沒有影響，在物

理和歷史兩門科目中，甲同學(xué)選擇歷史的概率為:，乙同學(xué)選擇物理的概率為:，那么在物理和歷史兩門科目中甲、

乙兩同學(xué)至少有1人選擇物理的概率為

三、解答題(本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.已知/(xFsin,-.)

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；

(2)當xe0,-時，求/(x)的最大值與最小值

18.已知正方體A8CO-ABCQ,瓦尸分別為AC和4。上的點，且EVJLAC，EFA.AtD.

(1)求證：EF//BD、；

(2)求證：BE,QF,DA三條直線交于一點.

19.已知函數(shù)f(x)=y/3sin2x+cos2x+a的最小值為0

(1)求。的值：

IT

(2)若在區(qū)間上的最大值為4,求機的最小值

h1

20.已知/(力=。一5二是R上的奇函數(shù)，且"1)=3

(1)求f(x)的解析式；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明

21.已知二次函數(shù)/(x)=f+6x+c滿足/⑴=/(3)=-3.

(1)求b,c的值;

(2)若函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，當xNO時,g(x)=/(x),

(i)直接寫出g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

(ii)若g(a)>a,求a的取值范圍.

22.已知函數(shù),/'(x)=2sinMsinx+>^'cosx)

(1)當xc0,|時，求“X)的取值范圍；

(2)若關(guān)于x的方程/(%)=加在區(qū)間0,5上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)，”的取值范圍

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，

請將正確答案涂在答題卡上.)

1、C

[解析]???/(—2)=6-2_2_2<0,/(_1)=/_]_2<0,〃0)=6°+0_2(0,八1)=6+]_2)0

.?./(1)/(0)<0,所以零點在區(qū)間(0,1)上

考點：零點存在性定理

2、C

【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和箱函數(shù)單調(diào)性可比較出大小關(guān)系.

【詳解】logl51<log151=0,c<0；

?.?a45M5=1515?:.b45>a45,即b>a,Xa>0,:.c<a<b.

故選：C.

3、D

【解析】根據(jù)周期求出0=工，結(jié)合9的范圍及xe[0,5加，得到當效"+孚3萬，把夕看做一個整體，研究

2222

y=sinx-,在[0,3菊的零點，結(jié)合/(%)的零點個數(shù)，最終列出關(guān)于。的不等式組，求得。的取值范圍

-2

。111

【詳解】因為T=-=4不，所以3=—.由f(x)=O,得sin(-x+°)=-.

co222

IS777T577S77

當xw［0,5%］時，-x+(pe(p,(p+—,又噴切—,則一領(lǐng)力+—3兀

2［2J222

因為y=sinx-1■在［0,3加上的零點為當,—,叱，且/*)在［0,5幻內(nèi)恰有3個零點，所以

26666

7171

噴切工<夕,,

6O2n7t

或，解得。G0,-u

13乃5417乃1745乃63~2

丁,。+彳,

故選：D

4、A

【解析】詳解】由3'-3-'00得X。。，

Cf>q?r-I-1

故函數(shù)/(x)=與：、.的定義域為(-8,0)U(0,T8)

3-3-

r,,、cos3x+lcos3x+l—,

又f(一x)=-----------=-------------=-f(.x),

3一一3、3X-3-X

所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除B

7T7C7V

又當x=丁時，/(-)=0當%€(0,丁)時，/(x)>0.排除C,D.選A

33;6

5、D

【解析】利用函數(shù)y=Acos3x+0)的圖象變換規(guī)律即可得解.

nIT

【詳解】解：?.?/(x)=cos(2x-”)=cos[2(x-6)],

612

只需將函數(shù)g(x)=cos2x圖象向右平移3個單位長度即可

故選D.

【點睛】本題主要考查函數(shù)y=Acos(0x+。)圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題

6、B

【解析】根據(jù)直線方程的截距式寫出直線方程即可

【詳解】根據(jù)直線方程的截距式寫出直線方程二+上=1,化簡得4x-3y+12=0,故選B.

-34

【點睛】本題考查直線的截距式方程，屬于基礎(chǔ)題

7、C

【解析】利用圖象求出函數(shù)/（X）的解析式，即可求得的值.

【詳解】由圖可知，A=l,函數(shù)/（X）的最小正周期為T=2x[?-鳥]=乃，則。=四=2,

（1212J7t

所以，/（x）=sin（2x+°）,由圖可得/（1||=sin（K+e）=O,

因為函數(shù)/（可在X=管5TT附近單調(diào)遞增，

故且+夕=2攵〃（％wZ）,則*=2攵乃一包（攵eZ）,

66

,.?一"<0<0,故夕=_2,所以，/（X）=sin|2x-^|,

故選：C.

8、B

44

【解析】一+xW。在（0,+s）上有解，利用基本不等式求出一+x的最小值即可.

XX

4

【詳解】即一+X—4W0在（0，+8）上有解,

x

4444

所以一+X4”在（0，+8）上有解，由？+任-x=4,當且僅當一=x,即x=2時取得等號，故a24

xXNxx

故選：B

9,B

【解析】根據(jù)題意不妨設(shè)。=1，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡工,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出y的取值范圍，利用指數(shù)塞

4

的運算求出z,進而得出結(jié)果.

【詳解】由不妨設(shè)

24

則x=log,2=log]2=log,-22=-^<0,

72

所以x<z<y,

故選：B

10、A

【解析】利用二倍角公式及平方關(guān)系可得Vl-sin4=Qs2-s%2|,結(jié)合三角函數(shù)的符號即可得到結(jié)果.

【詳解】Jl-sin4=1（cos2-si〃2）-=\cos2-sin2\,

又2弧度在第二象限，故sin2>0,cos2V0,

:.Jl-sin4=sin2-cos2

故選A

【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡問題，涉及到二倍角公式，平方關(guān)系，三角函數(shù)值的符號，考查計算能力.

n、D

【解析】根據(jù)題意函數(shù),，、的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變），再將所得圖象

f⑺=cos（X+.

向左平移個單位長度，得到函數(shù)，、，即可求出最小正周期，把看成是整體，分別求的單

:g（%）=cos（2x+q2%+彳外同

調(diào)遞減區(qū)間、對稱軸、對稱中心，在分別驗證選項即可得到答案.

【詳解】由于函數(shù)，、的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變），故函數(shù)的解析式為

f㈤=cos［%+J

,、，再將所得圖象向左平移個單位長度，/，，故A錯誤；/哈

cos（2x4-^）彳gCx）=cos（2x+：+力=cos（2%+；）T="^=71

的單調(diào)減區(qū)間為，故川必在區(qū)間1］內(nèi)不單調(diào)遞減;

2kn<2x+^<TT+2kn,（kez）-+kn<xkn,（k&z）［。用

（X）圖象的對稱軸為.您加，不存在出使得忒的圖象的一條對稱軸為直線口，故C

2x+-=ku,fc€zx=——+—,k&zx=--

3/6212

錯誤；（%）圖象的對稱中心的橫坐標為7T汽融，當土=1時，道力圖象的一個對稱中

2欠+巴=巴+々區(qū),々WZ,%=三十一,々62

3212Z

心為,、,故D正確.

口）

故選：D.

12、C

【解析】運用向量的減法運算，表示向量，再運用向量的數(shù)量積運算，可得選項.

【詳解】由宜=(說一砌正孫守.啊而.確

=—AB'+AD--ABAD=-X32+32--x3x3cos—=—.

333332

故選:C.

【點睛】本題考查向量的加法、減法運算，向量的線性表示，向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題.

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.)

4

13、①,二②?-3

【解析】將sin2x化為"nx可得值,通過兩角和的正切公式可得tan+的值.

tan^x+114)

■、4.rsin2x2sinxcosx2tanx4

【詳解】因為tanx=2,所以sin2x=-^---------=—--------—=—弓——;=

sinx+cosxsinx+cosxtan~x+l5

(兀、tanx4-12+1「

tan兀+—=-------=-----=-3,

I4)1-tanx1-2

4

故答案為：y,-3.

14、①.[-2,0)②.[16,”)

-1A「1、

【解析】(1)分析可知內(nèi)層函數(shù)M=5+4在亍2上為減函數(shù)，且對任意的xe-,2,〃>()恒成立，由此

-2J|_2/

可得出關(guān)于實數(shù)"的不等式組，由此可解得實數(shù)。的取值范圍；

(2)分析可知(0,+功為二次函數(shù)u=ax2—ox+4值域的子集，分。=0、a。()兩種情況討論，可得出關(guān)于實數(shù)。的

不等式組，綜合可得出實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】(1)令〃=一火+4,y=log2u.

當a=0時，/(x)=log24=2,該函數(shù)為常值函數(shù)，不合乎題意.

所以，內(nèi)層函數(shù)“=以2一以+4的對稱軸為直線工=1,

由于函數(shù)“力在2)上單調(diào)遞減，且外層函數(shù)y=log2〃為增函數(shù)，

'1「1、

故內(nèi)層函數(shù)“二奴2一以+4在彳,2上為減函數(shù)，且對任意的xe-,2,“〉0恒成立，

Q<0

所以，9解得—2<6T<0；

4。―2。+420

（2）因為函數(shù)/（X）的值域是R,則（（）,+"）為二次函數(shù)〃=以2_6+4值域的子集.

當。=0時，內(nèi)層函數(shù)為〃=4,不合乎題意;

當"。時，則有a>―0

解得〃N16.

-16?>0

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是[16,物）.

故答案為：（1）[-2,0）；（2）[16,4w）.

5

15、一兀##150°

6

【解析】二次不等式解的邊界值即為與之對應(yīng)的二次方程的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得

11

-+1

a+b=4^cos20,ab=2,Q人=-2sin26,整理得tan26=-百，結(jié)合范圍判定求值

【詳解】設(shè)M一4A?cos2e+2<0的解集為（〃/），則2V+4x?sin2e+l<（）的解集為（!，一）

ba

由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得

a+。=4Gcos2仇〃力=2一+,=-2sin20

ab

:.""=-2sin26,即〃+〃=-4sin2夕

ab

:.-4sin20=4Gcos20,即tan29=-6

又????！辏?|,兀｝則2夕￡（兀,2兀）

：?26=史,即。=3兀

36

故答案為：-7T

6

7

16、-

9

【解析】至少1人選擇物理即為1人選擇物理或2人都選擇物理，由題分別得到甲選擇物理的概率與乙選擇歷史的概

率，進而求解即可.

【詳解】由題，設(shè)“在物理和歷史兩門科目中甲、乙兩同學(xué)至少有1人選擇物理”事件A,則包括有1人選擇物理,

或2人都選擇物理，

因為甲同學(xué)選擇歷史的概率為3,則甲同學(xué)選擇物理的概率為

33

21

因為乙同學(xué)選擇物理的概率為3,則乙同學(xué)選擇歷史的概率為彳，

33

故P(4)=，XL2X2+_LX2=N,

\,3333339

故答案為：—

9

三、解答題(本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

JTTTjrk穴

17、(D單調(diào)遞增區(qū)間為一二+%兀，三+4兀，*ez,對稱軸方程為竺，其中AGZ

163」32

(2)/(x)的最大值為2,最小值為-1

【解析】(1)因為/(x)=2sin(2x-t],由一5+2%兀42x-g4]+2々兀，keZ,

求得---Hz兀4x<—Fkit9kez,

63

71兀

可得函數(shù)/CO的單調(diào)遞增區(qū)間為一±++Z兀，kGZ

63

,_7C7C,._7tklZ

由2x=—FkitfkeZr,求得x——I---,A￡Z

6232

故f(x)的對稱軸方程為x=1+g,其中〃GZ

(2)因為04x4工，所以一四42x-二故有—!<sin(2x—21Kl,

26662k6J

TT7T

故當2工一二=一;即*=0時，/(x)的最小值為-1,

66

JiITTT

當21-2=彳即工=彳時，/(x)的最大值為2

18.(1)詳見解析；(2)詳見解析

【解析】(1)連結(jié)A4和8(,由條件可證得EF_L平面AgC和8A，平面AB。，從而得到所〃臺4.(2)結(jié)

合題意可得直線。尸和BE必相交，根據(jù)線面關(guān)系再證明該交點直線D4上即可得到結(jié)論

【詳解】證明：(1)如圖，連結(jié)A4和80,

在正方體ABC。-A中，4D//B、C,

'：EF

：.EF±B}C,

又EFLAC,ACnB,C=C,

EF±平面ABC

又在正方體ABC。-A耳CQ中，B[C上BC],B】CLD?,BC]cD?=C

gc,平面，

又3。u平面BGA，

/.B￡工ER

同理可得與A，64,

又B]AcB[C=B],

BD}±平面44c

:.EFHBD].

(2)由題意可得EF<BDi(或者。/和BE不平行)，

又由⑴知EF〃8￡>1,

所以直線2尸和BE必相交，不妨設(shè)6Ec￡>L=G,

則Gw"E,

又。尸u平面A4QQ,

所以Ge平面

同理Ge平面ABC。

因為平面A4aoe平面ABC。=AD,

所以GwAD,

所以BE、D4三條直線交于一點

【點睛】(1)證明兩直線平行時，可根據(jù)三種平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系進行證明，也可利用線面垂直的性質(zhì)進行證明，解題

時要注意合理選擇方法進行求解

(2)證明三線共點的方法是：先證明其中的兩條直線相交，再證明該交點在第三條直線上.解題時要依據(jù)空間中的線

面關(guān)系及三個公理，并結(jié)合圖形進行求解

7乃

19>(1)2(2)——

6

【解析】(1)根據(jù)輔助角公式化簡，由正弦型函數(shù)的最值求解即可；

(2)由所給自變量的范圍及函數(shù)由最大值4,確定2機+222兀+生即可求解.

62

【小問1詳解】

,/f(x)=-J3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+—)+a,

6

???/d=-2+。=()，

解得a=2.

【小問2詳解】

由(1)知/(x)=2sin(2x+—)+2,

6

5乃jc乃「5兀八兀、

當x￡—,m時2xH—G[—,2mH—],

39666

/(?max=4,

二.2m+—>2乃+一,

62

解得九2二，

6

7萬

m-=——?

m,n6

2

(2)見解析

-h

【解析】(1)由可得解；

/(1)=4Z----=—

IV33

(2)利用單調(diào)性的定義證明即可.

【小問1詳解】

已知/'(xha-一二一是R上的奇函數(shù)，且f(l)=L

2+13

b

/(O)=?0

2a=l

所以1,解得'

bb=2'

”1)=a——

33

?

所以/(力=1一F77

小問2詳解】

2

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷得/(x)=1-］不為增函數(shù).

下證明：設(shè)不々是R上任意給定的兩個實數(shù)，且王＜々,

2?2(2.-2f)

則/㈤-/⑸=1-的7r(1-罰)==(2』+1).(2*+1)

X2X,1

2>2?2'+l>0,2熱+1>0,.-./(x1)</(x2)

函數(shù)y="X)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)

21、(1)b=Y；c=0；(2)?！?或一5va<0

【解析】(D代值計算即可,

(2)先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出g(x)的解析式，(i)根據(jù)函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)g(x)的單調(diào)

減區(qū)間,

a>0?<0,

(ii)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)可得〈或*2)解得即