計(jì)算物理 蒙特卡羅方法基礎(chǔ)課件

計(jì)算機(jī)模擬方法(1)：隨機(jī)性模擬方法或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，又稱蒙特卡洛(MonteCarlo)方法。它是通過不斷產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列來模擬過程。自然界中有的過程本身就是隨機(jī)的過程，物理現(xiàn)象中如粒子的衰變過程、粒子在介質(zhì)中的輸運(yùn)過程...等。當(dāng)然蒙特卡洛方法也可以借助概率模型來解決不直接具有隨機(jī)性的確定性問題。(2)分子動力學(xué)方法：確定性模擬方法。它是通過數(shù)值求解一個個的粒子運(yùn)動方程來模擬整個系統(tǒng)的行為。在統(tǒng)計(jì)物理中稱為分子動力學(xué)（MolecularDynamics）方法。(3)離散型模擬方法--元胞自動機(jī)等1計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)WhatisaMonteCarlomethod?2-1蒙特卡羅方法的基礎(chǔ)知識theComtedeBuffonneedleexperiment,AD1777SSSL2計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)StanislawUlam

(1909-1984)NicholasMetropolis

(1915-1999)蒙特卡洛方法的起源3計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)TheNameoftheGameMetropoliscoinedthename“MonteCarlo”,fromitsgamblingcasino.Monte-Carlo,Monaco4計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)從蒙特卡洛模擬的應(yīng)用來看，該類型的應(yīng)用可以分為三種形式：（1）直接蒙特卡洛模擬。它采用隨機(jī)數(shù)序列來模擬復(fù)雜隨機(jī)過程的效應(yīng)。（2）蒙特卡洛積分。這是利用隨機(jī)數(shù)序列計(jì)算積分的方法。積分維數(shù)越高，該方法的積分效率就越高。（3）Metropolis蒙特卡洛模擬這種模擬是以所謂“馬爾科夫”（Markov）鏈的形式產(chǎn)生系統(tǒng)的分布序列。該方法可以使我們能夠研究經(jīng)典和量子多粒子系統(tǒng)的問題。5計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)一基本思想直接蒙特卡洛模擬法：

對求解問題本身就具有概率和統(tǒng)計(jì)性的情況。如：中子在介質(zhì)中的傳播，核衰變過程等，

思想是按照實(shí)際問題所遵循的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行直接的抽樣試驗(yàn)，然后計(jì)算其統(tǒng)計(jì)參數(shù)。該方法也就是通常所說的“計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)”。間接蒙特卡洛方法：

蒙特卡洛方法也可以人為地構(gòu)造出一個合適的概率模型，依照該模型進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，使它的某些統(tǒng)計(jì)參量正好是待求問題的解。6計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)

代表了該運(yùn)動員的成績。換言之，<g>為積分的估計(jì)值，或近似值。

現(xiàn)假設(shè)該運(yùn)動員進(jìn)行了N次射擊，每次射擊的彈著點(diǎn)依次為r1，r2，…，rN，則N次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值例1

射擊問題（打靶游戲）--直接蒙特卡洛方法環(huán)數(shù)78910擊中次數(shù)10103050概率0.10.10.30.5假設(shè)射擊100次，平均成績7計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)

設(shè)r表示射擊運(yùn)動員的彈著點(diǎn)到靶心的距離，g(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分?jǐn)?shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運(yùn)動員的彈著點(diǎn)的分布密度函數(shù)，它反映運(yùn)動員的射擊水平。該運(yùn)動員的射擊成績?yōu)?/p>

用概率語言來說，g(r)是隨機(jī)變量，<g>的數(shù)學(xué)期望，即

在該例中，用N次試驗(yàn)所得成績的算術(shù)平均值作為數(shù)學(xué)期望<g>的估計(jì)值（積分近似值）。8計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)(1)巴夫昂(Buffon)投針實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方案：在平滑桌面上劃一組相距為s的平行線，向此桌面隨意地投擲長度l的細(xì)針，那末從針與平行線相交的概率就可以得到π的數(shù)值。SSSL例2圓周率的數(shù)值計(jì)算--間接蒙特卡洛方法9計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)理論計(jì)算：SAB針的投影長度確定的，相交的概率的平均值

假如在N次投針中，有M次和平行線相交。當(dāng)N充分大時，相交的頻數(shù)M/N就近似為細(xì)針與平行線相交的概率。10計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)經(jīng)過n次投針后得到π值的精度針與平行線相交的概率針與平行線相交的次數(shù)應(yīng)滿足二項(xiàng)式分布其期望值為的方差的標(biāo)準(zhǔn)誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差相交和不相交11計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)這意味著試驗(yàn)所得的值的不確定性的范圍如下：對100次投針為，0.2374對10,000次投針為，0.0237對1,000,000次投針為，0.0024可見，增加模擬的次數(shù)可以減小誤差，但不可消除誤差。的標(biāo)準(zhǔn)誤差12計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929前人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：13計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)(2)投點(diǎn)法實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方案：在平滑桌面上劃正方形，同時劃一內(nèi)切圓，向此正方形隨意地投點(diǎn)，那末投點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率就可以得到的π數(shù)值。2L任意投點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率14計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)的標(biāo)準(zhǔn)誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差投針實(shí)驗(yàn)的誤差分析投點(diǎn)實(shí)驗(yàn)的誤差分析對100次投針為，0.1642對10,000次投針為，0.0164對1,000,000次投針為，0.001615計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)投點(diǎn)法實(shí)驗(yàn)程序流程圖

產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)YesYes16計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)programmainusefreconstantuserandomnameimplicitnoneintegernmax,mintegeri,ncountreal*8lenr,lens,lenr2real*8x,y,dxy2open(10,file='Pi.dat')callrandomval()lenr=1.0d0lens=2.0d0*lenrlenr2=lenr*lenrm=0ncount=0write(*,*)"Inputnmax:"read(*,*)nmaxdoi=1,nmax

callrandomnum()x=lenr*(rand-0.5d0)*2.0d0

callrandomnum()y=lenr*(rand-0.5d0)*2.0d0dxy2=x*x+y*yif(dxy2.le.lenr2)thenm=m+1endif

ncount=ncount+1if(mod(ncount,100).eq.0)thenwrite(10,"(I10,F15.6)")ncount,4.0d0*dble(m)/dble(ncount)endifenddoend投點(diǎn)法實(shí)驗(yàn)源程序17計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)結(jié)果和分析(1)

總計(jì)投點(diǎn)1.0×105次(2)該算法收斂，計(jì)算值平均值為3.139218計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)例3定積分計(jì)算

這時我們可以隨機(jī)地向正方形內(nèi)投點(diǎn)，最后統(tǒng)計(jì)落在曲線下的點(diǎn)數(shù)M，當(dāng)總的擲點(diǎn)數(shù)N充分大時，M/N就近似等于積分值I。Oxy1119計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)間接蒙特卡羅方法的思想s

當(dāng)問題可以抽象為某個確定的數(shù)學(xué)問題時，(1)首先建立一個恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，即確定某個隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X，使得待求的解等于隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率或隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值。(2)然后進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，即重復(fù)多次地模擬隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X。(3)最后對隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或

X的平均值作為問題的近似解。

該方法是按照實(shí)際問題所遵循的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行直接的抽樣試驗(yàn)，然后計(jì)算其統(tǒng)計(jì)參數(shù)。直接蒙特卡羅方法的思想20計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)“Buffon投針法”計(jì)算圓周率。作業(yè)21計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)二隨機(jī)變量和隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量：是一個不止是一個值的變量（通常是連續(xù)的），并且人們可能無法事先預(yù)言某一個特定的值。但是：其分布是可以了解的，假設(shè)我們研究某一連續(xù)性的變量，由隨機(jī)變量的分布我可以得到它取某值的概率：稱為u的概率分布密度函數(shù)，它表示隨機(jī)變量u’在u到u+du之間值的概率。稱為g(u)的分布函數(shù)。G(u)在區(qū)間取值的單調(diào)遞增函數(shù)22計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)三隨機(jī)變量的獨(dú)立性

假如我們考慮兩個隨機(jī)變量u’和v’的分布，則必須引進(jìn)這兩個變量的聯(lián)合分布密度函數(shù)h(u,v)，此時帶來的數(shù)學(xué)問題就更為復(fù)雜。

若h(u,v)=p(u)·q(v)，則兩個隨機(jī)變量u’和v’彼此獨(dú)立。對如下三個變量(x,y)彼此獨(dú)立；(x,z)彼此獨(dú)立；(y,z)彼此獨(dú)立；(x,y,z)相互關(guān)聯(lián)。23計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)四期望值、方差和協(xié)方差一個函數(shù)f(u’)的數(shù)學(xué)期望值定義為該函數(shù)的平均值稱為u的分布函數(shù)。通常u是在[a,b]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)變量，有f的數(shù)學(xué)期望值：類似地，自由變量u的期望值為u的平均值，有24計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)一個函數(shù)或變量的方差:標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差：方差的平方根。

由于標(biāo)準(zhǔn)誤差與其真值有相同的量綱，因而它比方差更具有物理意義。假如x和y是隨機(jī)變量，c是一個常數(shù)，則：(1)數(shù)學(xué)期望是線性算符(2)方差是非線性算符x,y間的協(xié)方差25計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)協(xié)方差>0，正關(guān)聯(lián)協(xié)方差<0，負(fù)關(guān)聯(lián)注意：(1)

協(xié)方差=0x,y

為獨(dú)立變量(2)

x,y

為獨(dú)立變量協(xié)方差=026計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)五大數(shù)法則和中心極限定理概率論中的大數(shù)法則和中心極限定理是蒙特卡洛方法的基礎(chǔ)。1

大數(shù)法則反映了大量隨機(jī)數(shù)之和的性質(zhì)。

如果函數(shù)在[a,b]區(qū)間，以均勻的概率分布密度隨機(jī)地取n個數(shù)ui，對每個計(jì)算出函數(shù)值h[ui]。大數(shù)法則告訴我們這些函數(shù)值之和除以n所得的值將收斂于函數(shù)h在區(qū)間[a,b]的期望值，即

大數(shù)法則保證了在抽取足夠多的隨機(jī)樣本后，計(jì)算得到的積分的蒙特卡洛估計(jì)值將收斂于該積分的正確結(jié)果。27計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)2

中心極限定理中心極限定理告訴我們：在有足夠大，但又有限的抽樣數(shù)n的情況下，蒙特卡洛估計(jì)值是如何分布的。該定理指出：無論隨機(jī)變量的分布如何，它的若干個獨(dú)立隨機(jī)變量抽樣值之和總是滿足正則分布(即高斯分布)。例如：有一個隨機(jī)變量η，它滿足分布密度函數(shù)f(x)。如果我們將n個滿足分布密度函數(shù)f(x)的獨(dú)立隨機(jī)數(shù)相加：

則Rn滿足高斯分布。高斯分布可以由給定的期望值μ和方差σ完全確定下來。28計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)當(dāng)n充分大時，對任意的λ，由列維定理知：這說明，該積分的期望值與蒙特卡羅估計(jì)值之差在范圍內(nèi)的概率為1-α。29計(jì)算物理蒙特卡羅方法基礎(chǔ)積分的期望值與蒙特卡羅估計(jì)值之差在范圍內(nèi)的概率為1-α。顯著水平：α

，置信水平：1-α

。減小蒙特卡羅估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差的辦法：(1)

適當(dāng)選取最優(yōu)的隨機(jī)變量，使其方差變?。?2)

提高實(shí)驗(yàn)次數(shù)