河南省信陽某中學(xué)2022-2023學(xué)年高二年級上冊10月鞏固測試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省信陽高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月鞏固測

試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

JT

1.已知P：“直線/的傾斜角q：“直線/的斜率欠＞1”,則〃是9的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.已知直線2x-y-3=O的傾斜角為。，則sin26的值是.

A.-B.-C.-D.-

4455

3.設(shè)O—A8C是四面體，。是“1BC的重心，G是。Q上的一點，且OG=3GQ,若

OG=xOA+yOB+zOC,則x+y+z等于（）

43

A.1B.-C.-D.2

34

4.已知直線y=2x是二ABC中二C的平分線所在的直線，若點A,B的坐標(biāo)分別是（一4,

2）,（3,1）,則點C的坐標(biāo)為

A.(—2,4)B.(—2,—4)C.(2,4)D.(2,~4)

5.如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，是等邊三角形，平面A8C,

AA=AB=2,D,E,F分別是BB-A%,AG的中點，則直線E尸與8所成角的

余弦值為（）

04D.0

6.如圖，在邊長為2的正方形A8CO中，E,尸分別為3C,C。的中點，H為EF的

中點，沿4E,EF,融將正方形折起，使B,C,。重合于點。，在構(gòu)成的三棱錐0-44

中，下列結(jié)論錯誤的是（）

;；|F\/>

?H\\//W

1\J..jrJ\IX

BEC￡

A.AO_L平面E0尸

B.三棱錐0-越產(chǎn)的體積為g

C.直線AH與平面￡。尸所成角的正切值為2近

D.AE_L平面。4”

二、填空題

7.直線/：以+（。+1）>2=0的傾斜角大于45。，則a的取值范圍是.

8.設(shè)meR,過定點A的動直線x+陽=0和過定點B的動直線〃吹-丫-，"+3=0交于

點P（x,y）,貝”24卜歸卻的最大值是.

9.已知曲線C：。一1尸+（。一?=25.過點N（-2,3）的直線/被C所截得的線段長度為8,

則直線/的方程為.

10.已知直線/：如+>+3祖-石=0與圓V+y2=]2交于A,B兩點，過A,8分別作

/的垂線與x軸交于C,￡>兩點，若|48|=26,貝力。|=.

11.已知實數(shù)為、々、%、滿足：N2+城=],石+以2=1,%%2+乂%=；，則

莊滬+左小的最大值為.

V2V2

12.如圖，已知棱長為1的正方體488—48/。。/中，E,F,〃分別是線段43,AD,

44’的中點,又P,0分別在線段小以，AQi上,且小尸―（081）.

設(shè)平面MET*平面A/P0=/,現(xiàn)有下列結(jié)論：□///平面N8CZ）；DIDAC；□直線/與平面

8CG8/不垂直；□當(dāng)x變化時，/不是定直線.其中成立的結(jié)論是.（寫出所有成

試卷第2頁，共4頁

立結(jié)論的序號)

三、解答題

13.已知圓A1過C(l,-1),￡)(-1,1)兩點，且圓心M在電廣2=0上.

(1)求圓M的方程；

(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,是圓M的兩條切線，A,8為切點，求

四邊形PAMB面積的最小值.

14.如圖，在四棱錐尸-他。中，平面平面ABC￡),

PA±PD,PA=PD,AB±AD,AB=l,AD=2,AC=CD=>/5.

(1)求證，平面RS；

(2)求直線總與平面PC。所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在點使得以0〃平面PCO?若存在，求筆的值；若不存在,

說明理由.

15.已知直線1：x+后y+4=0,半徑為2的圓C與1相切，圓心在x軸上且在直線1

的右上方.

(1)求圓C的方程；

(2)過點M(l,0)的直線與圓C交于A,B兩點(A在x軸上方)，問在x軸上是否存在

定點N,使得x軸平分NANB?若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

16.如圖，三棱錐尸-"。的底面是等腰直角三角形，其中AB=AC=2,PA=PB,

平面尸AB_L平面ABC,點E,F,M,N分別是A8,AC,PC,BC的中點.

p

(1)證明：平面EMN，平面口鉆；

7T

(2)當(dāng)PF與平面ABC所成的角為§時，求二面角M-EN-8的余弦值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

TT

【分析】由P：“直線/的傾斜角則直線/的斜率％〉1或左<0或不存在，

4

再由集合法判斷必要不充分條件即可

【詳解】P：“直線/的傾斜角則直線/的斜率％>1或攵v0或不存在；

又4：“直線/的斜率%>1"，

所以2是4的必要不充分條件，

故選：B.

2.C

,八工廠八c.2sin0cos02tanO4?

【詳解】試題分析：tan6=2,sm28=-------7-=--------,選C.

sirr。+cos*1+tarre5

考點：二倍角公式

3.C

【分析】取BC的中點E,連接AE,然后利用三角形法則以及三角形重心的性質(zhì)和中線的

性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖所示，

取8c的中點E,連接AE,

因為OG=3GG1,

所以礪=彳西=j(麗+頻=^OA+^x-AE=^OA+-AE

=-OA+-x-(AB+AC)=-OA+-(OB-OA+OC-OA)=-(OA+OB+OC),

422444

13

所以x+y+z=3x：=：,

44

故選：C.

答案第1頁，共14頁

4.C

【分析】求出4—4,2）關(guān)于直線y=2x的對稱點為（x,.，可寫出8C所在直線方程，與直

線y=2x聯(lián)立，即可求出C點坐標(biāo).

^^x2=-lr

【詳解】設(shè)題一4,2）關(guān)于直線y=2x的對稱點為（x,y）,貝,，解得，

y+2_?x-4+x[y=_2

,22

-2-1（x=2

□5。所在直線方程為y—l=1a—3）,即3x+y—10=0.聯(lián)立直線尸2x,解得.

4-37，=4

則C（2,4）.故選C.

【點睛】本題主要考查了點關(guān)于直線的對稱點，屬于中檔題.

5.D

【分析】方法一：根據(jù)異面直線夾角的定義，延長AG，4C,使GM=AG，CN=AC,連

接尸,MN,分析圖形結(jié)合余弦定理可求直線EF與所成角的余弦值;

方法二：將三棱柱補成四棱柱，結(jié)合異面直線夾角的定義確定夾角，根據(jù)余弦定理與勾股定

理可求得直線EF與CQ所成角的余弦值；方法三：根據(jù)三棱柱的幾何性質(zhì)，建立空間直角

坐標(biāo)系，按照空間坐標(biāo)運算求解直線E尸與CD所成角的余弦值即可.

【詳解】解：方法一：延長AG，AC,使GM=AG，CN=AC,連接

AG，CM,DM,B\M,B\F,MN,如圖所示.

在三棱柱ABC-中，是等邊三角形，至，平面ABC,AAt=AB=2,

易知EF//AC、I/CM,CD=舊,CM=2品,

DM=+=QBQ:BF+FM。=占+行+3?=舊.

設(shè)直線EF與CO所成角為e,

答案第2頁，共14頁

6+（2&）2一拒2

DC2+CM2-DM2

易知cos0=|cosZDCM\==0,

2DCCM2x亞x2近

口直線E尸與CD所成角的余弦值為0.

故選：D.

方法二：如圖，將三棱柱補成四棱柱，其中兩個三棱柱全等.

取尸B中點Q,連接。Q,由棱柱性質(zhì)易知EF//OQ,

□NC。。為的與CO所成角或其補角.連接CQ,

由題知8C=2,3Q=1,3Z）=1,CD=45,DQ=yf2,又NC8Q=120。,

在△C8Q中由余弦定理可得

CQ2=BQ2+BC2-2BQ-BCcosZCBQ=]2+22-2xlx2x7

在ACQQ中，CQ2=CD2+DQ2=1,IZCD(2=90°

□直線EF與C￡＞所成角的余弦值為0.

故選：D.

方法三：如圖，取AC中點為。，連接。8,。尸，在三棱柱48C-A8c中，是等邊三

角形，平面A8C,然=48=2,

易得/O_L平面A8C,則尸。，。3,尸。，AC,又AB=BC=2,。為AC中點，所以03_LAC,

則以。為原點，以O(shè)CO尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

答案第3頁，共14頁

所以0（0,0,0）,C（0,l,0）,0（g,0,l）,F（0,0,2）,E（0,-l,l）,

Eh'-CD0-1+1

則甌=(0,1,1),①所以cos而，而=

HR立X石

□直線EF與CO所成角的余弦值為0.

故選：D.

6.D

【分析】利用線面垂直的判定定理即可判斷A,利用體積法即可判斷B,作出三棱錐的直觀

圖，作出要求的空間角即可判斷C,利用線面垂直的判定定理證明所工平面04〃即可判斷

D

【詳解】翻折前，ABYBE,AD±DF,故翻折后，OA1.OE,OAA.OF,

又OEcOF=O,0E,0尸u平面￡0尸，平面EOF,故A正確；

由題意可知，三棱錐的側(cè)棱4。，底面OEF,

則%3=匕-的=gx；x"lx2=g,故B正確；

連接?！?，AH,則N0H4為A”與平面EOF所成的角，

答案第4頁，共14頁

A

<OE=OF=\,"是E尸的中點，OELOF9

；.OH=-EF=^-.又OA=2,..tan/OHA=g=2&,故C正確；

22OH

?.?。4，平面￡0f，EFu平面EOF,：.OA±EF,

又OHLEF,。4門。”=0,。4,0”<=平面04”，.?.￡尸_1_平面。4”.

口AE與E尸不平行，

.：A￡不可能與平面OAH垂直，故D錯誤.

故選：D.

7.1-8,-；)U(0,+°0)

【分析】當(dāng)a=-l時，符合題意；當(dāng)時-1時，只需-二〈0或-一即可，解不等式綜

合可得.

【詳解】當(dāng)。=一1時,直線/的傾斜角為90°,符合要求;當(dāng)在一1時,直線/的斜率為，

只要-/7>1或者-=<0即可，解得一17<一!或者"一1或者心0.綜上可知，實數(shù)。

a+\〃+12

的取值范圍是(一8,一;)口(0,+8).

【點睛】本題考查直線的傾斜角，涉及解不等式和分類討論，屬基礎(chǔ)題.

8.5

【詳解】試題分析：易得A(0,0),8(l,3).設(shè)P(x,y),則消去加得：x2+y2-x-3y=0,所以

點P在以AB為直徑的圓上，P4,,所以F+樣|2=|AB|2=10,|PA|x|PB|<9斐=5.

法二、因為兩直線的斜率互為負倒數(shù)，所以84，P3,點P的軌跡是以AB為直徑的圓.以

答案第5頁，共14頁

下同法一.

【考點定位】1、直線與圓；2、重要不等式.

9.乂=一2或5x-12y+46=0

【分析】根據(jù)直線與圓的位置，分2種情況討論：口當(dāng)直線/的斜率不存在，口當(dāng)直線/的斜

率存在時，每種情況下先設(shè)出直線的方程，利用直線/被C所截得的線段長度為8,可得關(guān)

于火的方程，解可得&的值，綜合即可得答案.

【詳解】解：圓C：(x-?+(y-l)2=25的圓心半徑/'=5

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=-2,則圓心到直線/的距離1=1-(-2)=3,

此時所截得的線段的長為2>/7彳==8，

所以/:x=-2符合題意.

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)/的方程為y-3=k(x+2),

|3%+2|

即+22+3=0,圓心到/的距離1=

J22+1

此時所截得的線段的長為坊7二居=2卜-仁耳|=8,得號*=3,解得“=青

所以直線/的方程為=5x-y+2§3=0,即5x—12y+46=0,

126

綜上，直線/的方程為x=-2或5x-12y+46=0.

故答案為：-2或5x—12y+46=0.

10.4

【分析】由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長可

得答案.

【詳解】因為|A網(wǎng)=26,且圓的半徑為r=26,所以圓心(0,0)到直線皿+y+3m-6=0

則由窯"解得吟一等'

的距離為=3，代入直線/的方程，得

尸去+25所以直線/的傾斜角為3。。

由平面幾何知識知在梯形ABDC中,

\CD\=4.

cos300

故答案為4

答案第6頁，共14頁

【點睛】解決直線與圓的綜合問題時.，一方面，要注意運用解析幾何的基本思想方法（即幾

何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊

密，因此，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較

為簡捷地得到解決.

11.

【分析】設(shè)A（xi,yi）,B（X2,y2）,0A=（xi,yi）,0B=（X2,y2）,由圓的方程和向量

歸+%-1|,H+y2Tl

數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示，可得三角形OAB為等邊三角形，AB=1,^/T

的幾何意義為點A,B兩點到直線x+y-1=0的距離出與ch之和，由兩平行線的距離可得所

求最大值.

【詳解】設(shè)A(xi>yi).B(X2.y2)，

OA=(xi,yi),OB=(X2,y2),

由x/+y[2=l,X22+y22=UXlX2+y?2=；,

可得A,B兩點在圓x2+y2=l上，

且麗?麗=1x1xcosDAOB=y,

即有口人08=60。，

即三角形OAB為等邊三角形，

AB=1,

歸+昆+^T的幾何意義為點A,B兩點

V2V2

到直線x+y-1=0的距離di與d2之和，

顯然A,B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=l平行,

可設(shè)AB：x+y+t=O,(t>0),

由圓心O到直線AB的距離d=kl

可得2、1-二=1,解得t=

V22

即有兩平行線的距離為,

丁2

即、二1+且職的最大值為夜+6,

725/2

答案第7頁，共14頁

故答案為四+G.

【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和定義，以及圓的方程和運用，考查點與圓的位置

關(guān)系，運用點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

12.□□□

【分析】□根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明出線線平行，進而證明出〃/平面N8CZ)；口結(jié)合E1EF,

EFUAC,故證得阻力C,IQEFQBD,而所,8￡>與平面8CC向不垂直，故證明出結(jié)論；□

得到/是過點M且與直線E/平行的定直線.

【詳解】連接8。，BQi，［AF=4Q=x,

D,

QA

AEB

DPQUBiDiUBDQEF,易證PQ□平面MEK

又平面平面MPQ=l,

DPQI,同理可證：10EF,

口/口平面/8C。，故：］成立；

XEFQAC,alDAC,故口成立；

口/口所匚出。，而與平面8CC向不垂直口直線/與平面8CC向不垂直，故口成立；

當(dāng)x變化時，/是過點M且與直線E尸平行的定直線，故門不成立.

故答案為：□□口

13.(1)(x-l)2+(y-l)2=4；(2)2G

【分析】(1)設(shè)圓M的方程為：(x-o)2+(y-b)2=，(r>0),由已知列出方程組，解之可

得圓的方程；

(2)由已知得四邊形的面積為5=$.“+$,,“，即有S=2|PA|,又有

S=24PM1-4.因此要求S的最小值,只需求|加|的最小值即可，根據(jù)點到直線的距離公

式可求得答案.

答案第8頁，共14頁

【詳解】解：（1）設(shè)圓M的方程為：（萬一4+（〉一32=/（廠＞0）,

(l-fl)2+(-l-&)2=-a=1

根據(jù)題意得(一1一。)2+(1-力2=r2n?b=1,

。+人一2=0r=2

故所求圓”的方程為：（x-iy+（y—l）2=4；

（2）如圖,

四邊形RWB的面積為$=久.+$.網(wǎng)，即S=；（|AM||PA|+忸

5C\AM\=\BM\=2,\PA\=\PB\,所以S=2|%，

而網(wǎng)=J|PW1-4,即S=2j|PM『-4.

因此要求S的最小值，只需求|「河|的最小值即可，

|尸網(wǎng)的最小值即為點M到直線3x+4y+8=0的距離

所以時面，1=%等=3,

四邊形R4A仍面積的最小值為24PM『T=2百.

、81

14.（1）證明見解析；（2）3；（3）存在，4

【分析】試題分析：（口）由面面垂直的性質(zhì)定理知ABZ3平面上仞，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)

定理可知,再由線面垂直的判定定理可知即_￡平面上你；（口）取Q的中點O,

連結(jié)尸O,CO,以0為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用向量法可求出直線PB與

答案第9頁，共14頁

平面PCD所成角的正弦值；（口）假設(shè)存在，根據(jù)A,P,M三點共線，設(shè)而=根

據(jù)BM口平面PCD,即麗.〃=（）（〃為平面PCD的法向量），求出Z的值，從而求出”的

AP

值.

試題解析：（口）因為平面上仞_L平面&CD,ABJ.AD,

所以平面E0.

所以加

又因為34_LQD,

所以?乃_1_平面E43.

（□）取q的中點o,連結(jié)做9

因為34=如，所以PO_LQ.

又因為POu平面衛(wèi)4D,平面EM_L平面45cZ）,

所以PO_L平面幺BCD.

因為COu平面幺5c0,所以尸O_LCO.

因為〃C=C。，所以COJL3.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系°一位.由題意得，

4（U0）,BQD）,q2,0,0）刀（0「L0）,P（0Ol）

設(shè)平面PCD的法向量為〃=（x，y,z）,則

n-PD=0,[―y—z=0,

（一即4c

n-PC=09[2x-z=0,

令z=2,則x="=-2.

所以”=（1,一2,2）.

-------/~DD\〃'PB>/3

又PB=QL-I），所以8s〈〃7B〉=麗[=一百.

答案第10頁，共14頁

(□)設(shè)M是棱上4上一點，則存在2口0』使得而=zNp

因此點”(OJ-ZZ),礪

因為a平面PCD，所以皿“平面尸CD當(dāng)且僅當(dāng)麗',〃=()，

.1

即(T-24)a-22)=0,解得42一屋

AM1

所以在棱上4上存在點M使得3MII平面PCD,此時備一W.

【考點】空間線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理；線面角的計算；空間想象能力，推理論證能

力

【名師點睛】平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用：當(dāng)兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其

中一個平面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂直(必要時

可以通過平面幾何的知識證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離

等.

15.(1)X2+/=4；(2)見解析

【分析】(1)設(shè)圓心(a,0),由圓心到直線的距離等于半徑列等式解得a=O或a=-8,再

根據(jù)圓心在直線1的右上方可得a=0,從而可得圓的方程;

(2)聯(lián)立直線與圓的方程消去y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理和斜率公式列式化簡可得.

』la+4l

【詳解】⑴設(shè)圓C的方程為:(x-a)2+y2=4,由和=2得a=0或a=-8,又圓心在在

答案第11頁，共14頁

直線1的右上方，故a=0.

故所求圓C的方程為：x2+y2=4.

x=ty+l

{x2+y2=4=>(t2+l)y2+2ty-3=0

設(shè)A(x“3B(x2,y2),故%+%=言,％力=言，假設(shè)存在N(gO)使得x軸平分

/ANB,則

yY2

kAN+kBN=0=>'+=0=?yl(x2-m)+y2(x,-m)=0^>y,(ty2+l-m)+y2(ty|+l-m)=0

x(-mx2-m

即2日也+(1-m)(yi+y2)=0,故2t?j^+O-m)=0對任意teR恒成立，

即(8—2m)t=0恒成立，故m=4,即N(4,0)

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，也考查了韋達定理和斜率公式的應(yīng)用，屬于中檔

題.

16.(1)證明見解析；(2)-也.

7

【分析】(1)首先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，再通過線面垂直證明面面垂直；

(2)首先找到直線PF與平面ABC所成角，計算得到PE的長，方法一是由向量法求角，

再根據(jù)角是鈍角，進而求得角的余弦值；方法二是根據(jù)幾何法找角，再邊長求角的余弦值.

【詳解】(1)證明：由題意可得，ABJ.AC,

點、E,N分別是A8,8c的中點，

故R