湖南省張家界市2021年中考數(shù)學(xué)真題試題（答案+解析）

湖南省張家界市2021年普通初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)

考生注意：本試卷共三道大題，23道小題，滿分100分，考試時間120分鐘.

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分，在每個小題的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

I.-2021的絕對值等于（）

2.我國是世界上免費為國民接種新冠疫苗最多的國家，截至2021年6月5日，免費接種數(shù)量已超過

700000000劑次，將700000000用科學(xué)計數(shù)法表示為（）

A.0.7xlO9B.（）.7xlO8C.7xl08D.7xl09

3.如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）

□

B.（X-y）2"_y2

C.，）3=%6D.X6-i-X3=X2

5.某校有4000名學(xué)生，隨機抽取了400名學(xué)生進行體重調(diào)查，下列說法錯誤的是（）

A.總體是該校4000名學(xué)生的體重B.個體是每一個學(xué)生

C.樣本是抽取400名學(xué)生的體重D.樣本容量是400

6.如圖，正方形ABC。內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方

形的中心成中心對稱，設(shè)正方形ABCD的面積為S,黑色部分面積為5,則5：S的比值為（）

7.對于實數(shù)定義運算如下：a^b=ab2-ab^例如3^2=3x2?-3x2=6，則方程1☆x=2

的根的情況為（）

A.沒有實數(shù)根B.只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根

8.若二次函數(shù)丁=奴2+法+以。#0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ox+Z?與反比例函數(shù)y=—￡在同

X

一個坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）

9.已知方程2x—4=0,則》=

10.如圖是張家界市某周每天最高氣溫的折線統(tǒng)計圖，則這7天的最高氣溫的中位數(shù)是℃.

最高溫度rc

《

32I

30I

28I

26I

24I

22RI

一二三四五六才星期

11.如圖，已知4B〃CD,6C是NABO的平分線，若N2=64°,則N3=

13.如圖，人43c內(nèi)接于OO,NA=5O°,點。是的中點，連接。。，OB,OC,則

/BOD=

14.如圖，在正方形A3C。外取一點E，連接。E，AE，CE,過點。作。E的垂線交AE于點P，若

DE=DP=1，PC=a.下列結(jié)論：①△人尸。之△CED；②AE_LCE；③點。到直線OE的距離為

百；④S正方形AB6=5+2&，其中正確結(jié)論的序號為

三、解答題（本大題共9個小題，滿分58分.請考生用黑色碳素筆在答題卡相應(yīng)的題號后的

答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效.）

15.計算：（-1）202'+12-V21-2cos600+V8

16.先化簡「一一4+手匚_+二￡,然后從0,1,2,3中選一個合適的。值代入求解.

a~+4a+4。一+2au—\

17.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動,

我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀(jì)念館'’成為重要活動基地.據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬

人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人.

（1）求這兩個月參觀人數(shù)月平均增長率；

（2）按照這個增長率，預(yù)計6月份的參觀人數(shù)是多少？

18.如圖，在矩形A8CD中，對角線AC與相交于點。，ZAOB=G）0,對角線AC所在的直線繞點

。順時針旋轉(zhuǎn)角。（0°＜々＜120°）,所得的直線/分別交AD,BC于點E,F.

（1）求證：AAOE名ACOF；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a為多少度時，四邊形AECE為菱形？試說明理由.

19.為了積極響應(yīng)中共中央文明辦關(guān)于“文明用餐”的倡議，某校開展了“你的家庭使用公筷了嗎？”的調(diào)

查活動，并隨機抽取了部分學(xué)生，對他們家庭用餐使用公筷情況進行統(tǒng)計，統(tǒng)計分類為以下四種：A（完全

使用）、B（多數(shù)時間使用）、C（偶爾使用）、D（完全不使用），將數(shù)據(jù)進行整理后，繪制了兩幅不完整的

統(tǒng)計圖.

公筷使用情況條形統(tǒng)計圖使用公筷情況扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）本次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)共有.

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）扇形統(tǒng)計圖中A對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是.

（4）為了了解少數(shù)學(xué)生完全不使用公筷的原因，學(xué)校決定從。組的學(xué)生中隨機抽取兩位進行回訪，若。組

中有3名男生，其余均為女生，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽取的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率.

20.如圖，在R/AAOB中，ZABO=90°,=30°,以點。為圓心，QB為半徑的圓交80的延長

線于點C,過點C作OA的平行線，交于點。，連接A￡>.

（1）求證：為OO的切線；

（2）若03=2,求弧8的長.

21.張家界大峽谷玻璃橋是我市又一聞名中外的五星景點.某校初三年級在一次研學(xué)活動中，數(shù)學(xué)研學(xué)小組

設(shè)計以下方案測量橋的高度.如圖，在橋面正下方的谷底選一觀測點A,觀測到橋面3,C的仰角分別為

30°,60°,測得8c長為320米，求觀測點A到橋面的距離.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：6al.73）

22.閱讀下面材料:

如果函數(shù)y=/(x)滿足：對于自變量x取值范圍內(nèi)的任意X1,馬,

(1)若辦<々，都有/(石)</52)，則稱f(X)是增函數(shù)；

(2)若為<々，都有/(X1)>/*2)，則稱/(X)是減函數(shù).

例題：證明函數(shù)/'(x)=/(X>0)是增函數(shù).

證明：任取石<々，且%>0，工2>0

則/U,)-f(x2)=X：一X；=(%+%)(玉一X2)

；X]<工2且再>0,x2>0

X]+%2>0，X1-x2<0

/.(x,+x2)(x,-x2)<0,即/(%)—/(Z)<0,/(^)</(%2)

???函數(shù)f(x)=/(*>0)是增函數(shù).

根據(jù)以上材料解答下列問題：

⑴函數(shù)/(XALX〉。)，〃)=:=1，/(2)=:，/(3)=,/(4)=；

x12

(2)猜想/(x)=L(x>0)是函數(shù)(填“增”或“減”),并證明你的猜想.

X

23.如圖，已知二次函數(shù)y=o?+以+，的圖象經(jīng)過點。(2,-3)且與x軸交于原點及點8(8,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求頂點A的坐標(biāo)及直線A8的表達(dá)式；

(3)判斷的形狀，試說明理由；

(4)若點P為。。上的動點，且。。的半徑為2及，一動點￡從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度

沿線段AP勻速運動到點尸，再以每秒1個單位長度的速度沿線段PB勻速運動到點B后停止運動，求點E

的運動時間/的最小值.

湖南省張家界市2021年普通初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)

考生注意：本試卷共三道大題，23道小題，滿分100分，考試時間120分鐘.

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分，在每個小題的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.-2021的絕對值等于（）

1

A.2021B.-2021C.-------D.---------

20212021

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的意義，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即可求出答案.

【詳解】解：-2021的絕對值即為：|-2021|=2021.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了絕對值的意義，熟記絕對值的意義是解題的關(guān)鍵.

2.我國是世界上免費為國民接種新冠疫苗最多的國家，截至2021年6月5日，免費接種數(shù)量已超過

700000000劑次，將700000000用科學(xué)計數(shù)法表示為（）

A.0.7xlO9B.0.7xlO8C.7x108D.7x109

【答案】C

【解析】

【分析】將700000000寫成axion（l<|a|<10,n為正整數(shù)）的形式即可.

【詳解】解：700000000=7xlO8.

故選C.

【點睛】本題主要考查了運用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，將原數(shù)寫成axion（l<|a|<10,n為正整

數(shù)）的形式，確定a、n的值成為解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）

△

A.□

/\

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖是從物體上面看所得到的圖形判斷即可.

【詳解】從上面看是一個圓，中間有一個點，

故選：D.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.看得見部分的輪廓線要畫成實

線，看不見部分的輪廓線要畫成虛線.

4.下列運算正確的是()

A.%2+%3=%5B.(x-y)2

C.，)3=fD.入/=/

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用合并同類項，完全平方差公式、‘暴的乘方、同底數(shù)嘉的除法來計算即可.

【詳解】解：A,一，/不能合并同類項，故選項錯誤，不符合題意；

B,(x-y)2=x2-2xy+y2,故選項錯誤，不符合題意;

232x36

C,(%)=x=X,故選項正確，符合題意；

D,x6-x3=x6-3=x3＞故選項錯誤，不符合題意;

故選：C.

【點睛】本題考查了合并同類項，完全平方差公式、塞的乘方、同底數(shù)塞的除法，解題的關(guān)鍵是：熟練掌

握合并同類項，完全平方差公式、塞的乘方、同底數(shù)轅的除法的基本運算法則.

5.某校有4（X）0名學(xué)生，隨機抽取了400名學(xué)生進行體重調(diào)查，下列說法錯誤的是（）

A.總體是該校4000名學(xué)生的體重B.個體是每一個學(xué)生

C.樣本是抽取的400名學(xué)生的體重D.樣本容量是400

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的知識解答.總體是指所要考察對象的全體；個體是指每一個

考查對象；樣本是指從總體中抽取的部分考察對象稱為樣本；樣本容量是指樣本所含個體的個數(shù)（不含單位）.

【詳解】解：A、總體是該校4000名學(xué)生的體重，此選項正確，不符合題意；

B、個體是每一個學(xué)生的體重，此選項錯誤，符合題意；

C、樣本是抽取的400名學(xué)生的體重，此選項正確，不符合題意；

。、樣本容量是400,此選項正確，不符合題意；

故選:B.

【點睛】本題主要考查了總體、個體、樣本、樣本容量的定義，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣

本，關(guān)鍵是明確考查的對象.總體、個體和樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小.樣本容量

是樣本中包含的個體的數(shù)量，不能帶單位.

6.如圖，正方形ABC。內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方

形的中心成中心對稱，設(shè)正方形ABCD的面積為S,黑色部分面積為則S/S的比值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長為2”，則圓的半徑為“，分別表示出黑色部分面積和正方形ABCO的

面積，進而即可求得工：5的比值.

【詳解】設(shè)正方形的邊長為2”，則圓的半徑為

S=4a2>圓的面積為7/

???正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱

黑色部分面積為圓面積的一半

?*.S.——7tCL~

12

1-rr

S,:S--ncT:(4a2)=—,

128

故選：A.

【點睛】本題主要考查了陰影部分面積的求解，準(zhǔn)確運用字母表示正方形面積和圓形面積并結(jié)合多邊形內(nèi)

切圓性質(zhì)、中心對稱圖形性質(zhì)等相關(guān)知識點是解決本題的關(guān)鍵.

7.對于實數(shù)定義運算如下：a^b=ab2-ab^例如3^2=3x2?-3x2=6，則方程1☆x=2

的根的情況為()

A.沒有實數(shù)根B.只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根

【答案】D

【解析】

【分析】本題根據(jù)題目所給新定義將方程1眾^=2變形為一元二次方程的一般形式，即辦2+/zx+c=0的

形式，再根據(jù)根的判別式△=〃-4ac的值來判斷根的情況即可.

【詳解】解：根據(jù)題意由方程1^^=2得：

x2-x=2

整理得：X2-X-2=0

根據(jù)根的判別式△=V-4xlx(-2)=9>0可知該方程有兩個不相等實數(shù)根.

故選D.

【點睛】本題主要考查了根的判別式，根據(jù)題目所給的定義對方程進行變形后依據(jù)/的值來判斷根的情況,

注意A>0時有兩個不相等的實數(shù)根；△=()時有一個實數(shù)根或兩個相等的實數(shù)根；/<0時沒有實數(shù)根.

8.若二次函數(shù))=?2+法+c(aw0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)丁=改+人與反比例函數(shù)y=-￡在同

X

一個坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為()

【解析】

【分析】先根據(jù)拋物線的開口方向確定。＜0,對稱軸可確定6的正負(fù)，與y軸的交點可知。＞0,然后逐項

排查即可.

【詳解】解：.??拋物線開口方向向下

：.a<0,

?..拋物線對稱軸-2＞o

2a

：,h>0

:拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸

.".c>0

丁=以+〃的圖像過二、一、四象限，y=—￡的圖象在二、四象限

x

選項滿足題意.

故選D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的特征、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，牢記各種函數(shù)圖象的特點成為

解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）

9.已知方程2%—4=0,則》=______.

【答案】2

【解析】

【分析】直接移項求解一元一次方程的解.

【詳解】解：?.?2x-4=0,

2x-4,

解得：x=2,

故答案是：2.

【點睛】本題考查了解一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是：掌握解一元一次方程的一般步驟.

10.如圖是張家界市某周每天最高氣溫的折線統(tǒng)計圖，則這7天的最高氣溫的中位數(shù)是℃.

【答案】26

【解析】

【分析】將7天的最高氣溫按從小到大排列以后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：根據(jù)7天的最高氣溫折線統(tǒng)計圖，

將這7天的最高氣溫按從小到大排列為：

20,22,24,26,28,28,30,

故中位數(shù)為26℃.

故答案為：26.

【點睛】本題主要考查中位數(shù)的定義，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻@組數(shù)據(jù)的

個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)

的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

11.如圖，已知AB//CD,8c是乙鉆。的平分線，若N2=64°,則/3=

【解析】

【分析】先根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得/BOC=N2=64。,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求得NABC,最后根據(jù)角平分線

的定義求解即可.

【詳解】解：和N2對頂角

：.ZBDC=Z2=64°

:ABI/CD

：.ZBDC+ZABD=180°,即ZABD=116°

；8c是NA8￡）的平分線

/.Z3=Z1=—ZABD=58°.

2

故填:58°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等以及角平分線的相關(guān)知識，掌握平行線的性質(zhì)成為解

答本題的關(guān)鍵.

x>2

12.不等式L,r正整數(shù)解為

2x+l<7

【答案】3

【解析】

【分析】直接解出各個不等式的解集，再取公共部分，再找正整數(shù)解即可.

【詳解】解：由2x+lW7,

解得：xW3,

由x>2,

二原不等式的解集是：2〈尤W3.

x>2

故不等式,r的正整數(shù)解為：3'

2x+l<7

故答案是：3.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組的解集和求不等式組的正整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是：掌握解不等式

組的基本運算法則，求出解集后，找出滿足條件的正整數(shù)解即可.

13.如圖，AABC內(nèi)接于OO,NA=50°,點。是8C的中點，連接。。，OB,0C,則

ZBOD=一.

A

【答案】50°

【解析】

【分析】圓上弧長對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】解:根據(jù)圓上弦長對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，

ZA=L/BOC,

2

;.NBOC=100。,

-.OB=OC，

為等腰三角形，

又.??點。是的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一，

.?.OD為ZBOC的角平分線，

,-.ZBOD=50°,

故答案是：50°.

【點睛】本題考查了弦長所對應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是:

根據(jù)性質(zhì)求出NBOC,再利用角平分線或三角形全等都能求出解.

14.如圖，在正方形ABCO外取一點E，連接。E，AE，CE,過點。作。E的垂線交AE于點P，若

DE=DP=1，PC=逐.下列結(jié)論：①?AE1CE；③點C到直線DE的距離為

百；④/：方形468=5+2及，其中正確結(jié)論的序號為.

3

【答案】①②④

【解析】

【分析】利用同角的余角相等可得/E￡>C=/PD4,利用SAS可證明△”￡）四△CE。，可得①正確；②根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NAPD=/CED,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NOPE=NOEP=45。，即可得出

ZPEC=90°,可得②正確；過C作CF1DE,交OE的延長線于F,利用勾股定理可求出CE的長，根據(jù)△DEP

是等腰直角三角形，可證△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出C尸的長，可得③

錯誤；④由③可知EF的長，即可得出DF的長，利用勾股定理可求出CZ）的長，即可求出正方形A8CZ）的

面積，可得④正確，綜上即可得答案.

【詳解】?.,四邊形ABCD為正方形，PDLDE,

：.ZPDA+ZPDC=90°,NEDC+NPDC=9。。,AD=CD,

.\ZEDC=ZPDA,

AD=CD

在^APD和4CED中<ZEDC=ZPDA,

DP=DE

AAPD^△CED，故①正確，

NAPD=NDEC,

?；DP=DE,NPDE=90°,

：.NDPE=NDEP=45。,

：.ZAPD=ZDEC=\35°,

：.NPEC=NDEC-NDEP=90°,

：.AE±CE,故②正確，

如圖，過C作CF_LOE,交OE的延長線于F,

:DE=DP=1,ZPDE=90°,

:.PE=6.,

：PC=指，ZPEC=90°,

:.CEZPCJPE?=2,

?：NDEP=45。,ZPEC=90°,

：./尸EC=45°,

NEFC=9Q°,

.?.△CE尸是等腰直角三角形，

:.CF=EF=*CE=O，

2

點C到直線DE的距離為0,故③錯誤，

DF=EF+DE=yfi+l,

???CD2=DF1+cP=（&+I）2+（后了=5+20,

,,,S正方形4BCD=5+20＞故④正確，

綜上所述：正確的結(jié)論有①②④，

故答案為：①②④

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正方形面積公式、

勾股定理的運用等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共9個小題，滿分58分.請考生用黑色碳素筆在答題卡相應(yīng)的題號后的

答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫出運算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效.）

15.計算：（-1）2021+|2-及卜2cos60。+次

【答案】72

【解析】

【分析】先運用乘方、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值以及平方根的性質(zhì)化簡，然后計算即可.

【詳解】解：（—1）2⑼+|2—灰卜2cos60°+血

=-1+2-&-2」+2也

2

=V2"

【點睛】本題主要考查了乘方、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、平方根的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知

識成為解答本題的關(guān)鍵.

16.先化簡/―一4+然后從0,1,2,3中選一個合適的。值代入求解.

。~+4。+4+2aci—1

【答案】2a,6

【解析】

【分析】將分子、分母因式分解除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分、合并同類項，選擇合適的值時，”的取值不能使原

算式的分母及除數(shù)為0.

(a-2)(a+2)a(a+2)a(a-l)

【詳解】解：原式=…乂不丁不-

=2a

因為a=0,1,2時分式無意義，所以。=3

當(dāng)4=3時，原式=6

【點睛】本題考查了分式化簡求值，關(guān)鍵是先化簡，后代值，注意。的取值不能使原算式的分母及除數(shù)

為0.

17.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動,

我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀(jì)念館'’成為重要的活動基地.據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬

人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人.

(1)求這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率；

(2)按照這個增長率，預(yù)計6月份的參觀人數(shù)是多少？

【答案】(1)10%；(2)13.31萬

【解析】

【分析】(1)設(shè)這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為x,根據(jù)題意列出等式解出x即可；

(2)直接利用(1)中求出的月平均增長率計算即可.

【詳解】(1)解：設(shè)這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為x,

由題意得：10(1+x>=12.1,

21

解得：玉=10%,x,=-一(不合題意，舍去)，

'10

答：這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為10%.

(2)12.1x(l+10%)=13.31(萬人)，

答：六月份的參觀人數(shù)為13.31萬人.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)和增長率問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題目條件列出等式，求出增長率，再利

用增長率來預(yù)測.

18.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與30相交于點O，NA0B=6()°,對角線AC所在的直線繞點

。順時針旋轉(zhuǎn)角a（00<a<120°）,所得的直線/分別交AD，BC于點E,F.

（1）求證：AAOE^ACOF；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a為多少度時，四邊形AFCE為菱形？試說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）90。，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線相交，對頂角相等，且AO=CO,可以證明兩三角形

全等；

（2）根據(jù)平行四邊形對角線垂直即可說明.

【詳解】（1）證明：???四邊形A3CO是矩形，

AD//BC,AO=CO,

ZAEO=ZCFO,

又：ZAOE=ZCOF,

：.^AOE^COF（AAS）.

（2）當(dāng)a=90°時四邊形AFCE為菱形，

理由：???△4。叵△COF',

OE=OF,

又：AO^CO,

四邊形AFCE為平行四邊形，

又；NAQE=90°,

四邊形AFCE為菱形.

【點睛】本題考查了三角形全等的判斷定理，菱形的判定定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)得

出角之間的關(guān)系，利用A4S來證明；證明四邊形是菱形，只要求證明平行四邊形對角線垂直即可.

19.為了積極響應(yīng)中共中央文明辦關(guān)于“文明用餐”的倡議，某校開展了“你的家庭使用公筷了嗎？”的調(diào)

查活動，并隨機抽取了部分學(xué)生，對他們家庭用餐使用公筷情況進行統(tǒng)計，統(tǒng)計分類為以下四種：A（完全

使用）、B（多數(shù)時間使用）、C（偶爾使用）、D（完全不使用），將數(shù)據(jù)進行整理后，繪制了兩幅不完整的

統(tǒng)計圖.

公筷使用情況條形統(tǒng)計圖使用公筷情況扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）本次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)共有.

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）扇形統(tǒng)計圖中A對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是.

（4）為了了解少數(shù)學(xué)生完全不使用公筷的原因，學(xué)校決定從。組的學(xué)生中隨機抽取兩位進行回訪，若。組

中有3名男生，其余均為女生，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求抽取的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率.

【答案】（1）50人；（2）作圖見解析；（3）72°；（4）!

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的性質(zhì)計算，即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得。類學(xué)生數(shù)量，再根據(jù)條形統(tǒng)計圖性質(zhì)作圖，即可得到答案;

（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的性質(zhì)計算，即可得到答案；

（4）根據(jù)列表法求概率，即可得到答案.

20

【詳解】（1）本次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)共有：--=50人

40%

故答案為：50人；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得。類學(xué)生數(shù)量為：50—10—20-16=4人

條形統(tǒng)計圖補全如下：

人題

0ABCD使用公筷情況

(3)扇形統(tǒng)計圖中A對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是：—X360°=72°

50

故答案為：72°；

(4)列表如下：

男1男2男3女

男1男1，男2男1，男3男1，女

男2男2,男1男2,男3男2,女

男3男3,男1男3,男2男3,女

女女，男1女，男2女，男3

總共有12種情況，其中抽取的兩位學(xué)生恰好是一男一女的情況總共有6種

抽取的兩位學(xué)生恰好是一男一女的概率=9=1.

122

【點睛】本題考查了統(tǒng)計調(diào)查和簡單概率的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、列表

法或者樹狀圖法求概率的性質(zhì)，從而完成求解.

20.如圖，在R/AAOB中，ZABO=90°,=30°,以點。為圓心，QB為半徑的圓交80的延長

線于點C,過點C作OA的平行線，交于點。，連接A￡>.

(1)求證：AO為。。的切線；

(2)若03=2,求弧8的長.

2

【答案】(1)見解析；(2)-71

3

【解析】

【分析】(1)連接先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/4。8=60。，再運用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得

ZAOD=60°，再證明/\AOB^/\AOD可得ZADO=ZABO=900即可；

(2)先求出/COD,然后再運用弧長公式計算即可.

【詳解】（1）證明：連接。￡）

VZOAB=30°,ZB=90。

/.ZAQ8=60°

又：CDIIAO

NC=ZAO3=60。

，NBOD=2NC=120。

???ZAO。=60。

又?：OB=OD,AO=AO

：.^AOB^AOD(SAS)

/.ZADO^ZABO=90°

又：點。在0。上

；?AO是。。的切線；

（2）-：ZBOD=120°

/.NCW=60。

.,600-2

../=----x2萬x2=一萬.

3603

【點睛】本題主要考查了圓的切線的證明、弧長公式等知識點，掌握圓的切線的證明方法成為解答本題的

關(guān)鍵.

21.張家界大峽谷玻璃橋是我市又一聞名中外的五星景點.某校初三年級在一次研學(xué)活動中，數(shù)學(xué)研學(xué)小組

設(shè)計以下方案測量橋的高度.如圖，在橋面正下方的谷底選一觀測點A,觀測到橋面8，C的仰角分別為

30°,60°,測得8c長為320米，求觀測點A到橋面8c的距離.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）

【答案】277米

【解析】

【分析】過點A作A。，3c交延長線于點。，根據(jù)已知條件可得C4=CB=320m,在RrAACD

中，求出AO即可

【詳解】解：過點A作A3,8c交3c的延長線于點。

A

由圖可知：N8=30°,AM//CD

：.ZB=ZBAM=30°,ZDCA=ZCAM=60°

ZCAB=ZCAM-ZBAM=60°-30°=30°

/.ZB=ZBAC

：.C4=C8=320m

在肋八48中，ZDC4=60°

AF）An

：.sinZDC4=—,B|JsinZ60°=—

AC320

A/1D=—x320?—x320?277（米）

22

答.觀測點A到橋面BC的距離是277米.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、根據(jù)三角函數(shù)正確列方程是解題

的關(guān)鍵.

22.閱讀下面的材料：

如果函數(shù)y=/(x)滿足：對于自變量x取值范圍內(nèi)的任意X，々，

(1)若都有/(M)</(々)，則稱f(x)是增函數(shù);

⑵若王<々，都有/*1)>/(工2)，則稱f(X)減函數(shù).

例題：證明函數(shù)/'(X)=x\x>0)是增函數(shù).

證明：任取占<々，且芯>0，工2>0

則f(xl)-f(x2)=X；_X；=(玉+%2)(而一%2)

：X[<々且內(nèi)>0，工2>0

玉+%2>0，X1-x2<0

(%1+X2)(X1-X2)<0,即/(王)一/(%2)<0,/(x,)</(x2)

函數(shù)f(x)=x\x>0)是增函數(shù).

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)函數(shù)/(x)=L(x>0),/⑴=:=1，/(2)=:，八3)=,/(4)=

x12

(2)猜想/(x)='(x>0)是函數(shù)(填“增”或“減”)，并證明你的猜想.

X

【答案】(1)'；(2)減，證明見解析

34

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題目中函數(shù)解析式可以解答本題；

(2)根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明(1)中的猜想成立.

【詳解】解：(1)/(3)=1,〃4)=；

(2)猜想：/(x)=』(x>0)是減函數(shù)；

X

證明：任取為<々，%>0，入2>°，則

X]x2xtx2

X</且無]>0，x2>0

/.x2-x,>0,XjX2>0

J〉0，即/(%)_/(%2)>0

函數(shù)/(x)=」(x>0)是減函數(shù).

X

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出

所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

23.如圖，己知二次函數(shù)丁=辦2+加:+c的圖象經(jīng)過點C(2,-3)且與x軸交于原點及點8(8,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求頂點A的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；

(3)判斷AABO的形狀，試說明理由；

(4)若點P為。。上的動點，且。。的半徑為20，一動點E從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度

沿線段AP勻速運動到點尸，再以每秒1個單位長度的速度沿線段尸5勻速運動到點B后停止運動，求點E

的運動時間，的最小值.

【答案】(1)y=；f—2x；(2)A(4,-4),y=x-8；(3