人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專(zhuān)題13.3-13.4 等腰三角形與最短路徑問(wèn)題講練（原卷版）

專(zhuān)題13.3-13.4等腰三角形與最短路徑問(wèn)題典例體系（本專(zhuān)題共74頁(yè)82題）一、知識(shí)點(diǎn)1、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩個(gè)底角相等（“等邊對(duì)等角”）；②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；2、等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，三線合一所在直線是其對(duì)稱(chēng)軸；（只有1條對(duì)稱(chēng)軸）等腰三角形的判定：①如果一個(gè)三角形有兩條邊相等；②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等；（等角對(duì)等邊）3、等邊三角形：三條邊都相等的三角形；（等邊三角形是特殊的等腰三角形）等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60?②等邊三角形的每條邊都存在三線合一；4、等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是三線合一所在直線；（有3條對(duì)稱(chēng)軸）5、等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角是60?的等腰三角形是等邊三角形；6、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30?，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；7、最短路徑的選擇①當(dāng)兩點(diǎn)在某一條直線的兩側(cè)時(shí),這兩點(diǎn)的最短距離就是連接這兩點(diǎn)的線段與直線的交點(diǎn)就是最短路徑的點(diǎn).②當(dāng)兩點(diǎn)在某條直線的同側(cè)時(shí),這兩點(diǎn)到直線上某一點(diǎn)的最短距離的作法:作任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),然后再連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)之間的線段,與直線的交點(diǎn)就是最短距離的點(diǎn)的位置.[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]注意：在解決最短路徑的問(wèn)題時(shí),我們通常利用平移、軸對(duì)稱(chēng)等變化把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成容易解決的問(wèn)題,從而作出最短路徑的選擇.二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)典例：（2020·河北河間初二期末）如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB=AC+CD，那么∠ACB與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小明通過(guò)觀察分析，形成了如下解題思路：如圖2，延長(zhǎng)AC到E，使CE=CD，連接DE．進(jìn)而得到△ABD≌△AED，便可得到∠ACB與∠B的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)結(jié)合小明的思路，寫(xiě)出兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，并證明結(jié)論．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·山東芝罘初一期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D，且∠DBC＝15°，則∠A的度數(shù)是（）A．50° B．36° C．40° D．45°2．（2020·四川成華初一期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′與△ABC關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，∠CAF=10°，連接BB′，則∠ABB′的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°3．（2020·陜西西安高新一中初一期末）如圖，中，是的角平分線，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C． D．4．（2020·四川龍泉驛初一期末）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于()A．30° B．40° C．45° D．36°5．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（）A．（）n?75° B．（）n﹣1?65°C．（）n﹣1?75° D．（）n?85°6．（2020·河南羅山初二期末）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．20° B．35° C．40° D．70°7．（2020·山東中區(qū)濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初二期末）如圖，在中，，，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接AF，則的度數(shù)（）A． B． C． D．8．（2020·浙江南潯初三其他）如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)，若∠BDE=72°，則∠CDE的度數(shù)是（）A．63° B．65° C．75° D．84°9．（2020·山東歷下初一期末）如圖，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，則∠BGH＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°10．（2022·河南宜陽(yáng)初二期末）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，則∠C=______．11．（2020·廣東龍崗初一期末）如圖，點(diǎn)O為線段AB上的任意一點(diǎn)（不于A、B重合），分別以AO，BO為一腰在AB的同側(cè)作等腰△AOC和△BOD，OA=OC，OB=OD，∠AOC與∠BOD都是銳角，且∠AOC=∠BOD，AD與BC交于點(diǎn)P，AD交CO于點(diǎn)M，BC交DO于點(diǎn)N．（1）試說(shuō)明：CB=AD；（2）若∠COD=70°，求∠APB的度數(shù)．12．（2020·陜西渭濱初一期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延長(zhǎng)BC至D，使BD＝BA，連接AD．點(diǎn)E在AC上，且CE＝CD，連接BE并延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）求證：BF是AD的垂直平分線；（3）連接DE，若AB＝10，求△DCE的周長(zhǎng)．考點(diǎn)2：等腰三角形的判定典例：（2020·黑龍江牡丹江）在等腰中，，點(diǎn)D，E在射線上，，過(guò)點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段上，是的角平分線時(shí)，如圖①，求證：；（提示：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M．）（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，是的角平分線時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，是的外角平分線時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若，則___________．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題是考查了角平分線、平行線和等腰三角形及全等三角形的綜合題，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建角平分線加平行的模型，是一道較好的中考真題．鞏固練習(xí)1．（2022·薛城區(qū)祁連山路中學(xué)初一期中）如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于，交于，若，則線段的長(zhǎng)為（）A．8 B．．7 C．6 D．52．（2020·湖北黃州初二期末）如圖，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)為AB+AC；④BD=CE．其中正確的是____．3．（2020·廣東英德初二期中）如圖所示，在四邊形中，，，，平分交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．4．（2020·廣東高州初三月考）如圖，已知等腰△ABC頂角∠A=36°．（1）尺規(guī)作圖：在AC上作一點(diǎn)D，使AD=BD；（保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法和證明）（2）求證：△BCD是等腰三角形．5．（2020·廣東佛山初二月考）如圖，在和中，，，AC與BD相交于點(diǎn)O.（1）求證：；（2）是何種三角形？6．（2020·江蘇海安初二月考）已知∠MAN=30°，點(diǎn)B在射線AM上，且AB=6，點(diǎn)C在射線AN上．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的長(zhǎng)；（2）若△ABC是等腰三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有個(gè)；（3）設(shè)BC=x，當(dāng)△ABC唯一確定時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．7．（2020·黑龍江南崗初三其他）已知:在中,,線段的垂直平分線交于點(diǎn),點(diǎn)在上，且,連接如圖1,求證:如圖2,當(dāng)時(shí).在不添加任何輔助線情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中的四個(gè)等腰三角形．∴AD=BD，8．（2020·黑龍江哈爾濱初三二模）圖1、圖2分別是的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段的端點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D1、圖2中各畫(huà)一個(gè)圖形，分別滿足以下要求：（1）在圖1中畫(huà)一個(gè)，使得是面積為10的直角三角形，所畫(huà)圖形的各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫(huà)一個(gè)以線段為一邊的鈍角等腰三角形，并且面積等于10，所畫(huà)等腰三角形的各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上．9．（2020·鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三一模）（1）如圖1,△ABC中,∠C=90°,請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作一條直線,把△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形(不寫(xiě)作法,但須保留作圖痕跡).（2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個(gè)三角形如圖2,圖3所示.請(qǐng)你判斷,能否分別畫(huà)一條直線把它們分割成兩個(gè)等腰三角形?若能,請(qǐng)寫(xiě)出分割成的兩個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù).10．（2021·額爾古納市三河中學(xué)初二期末）如圖，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．（1）求證：≌．（2）連接，判斷與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．考點(diǎn)3：與等腰三角形有關(guān)的分類(lèi)討論典例：（2020·福建寧德初一期末）如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分線，CD與BE交于點(diǎn)P．當(dāng)∠A的大小變化時(shí)，△EPC的形狀也隨之改變．（1）當(dāng)∠A=44°時(shí)，求∠BPD的度數(shù)；（2）設(shè)∠A=x°，∠EPC=y°，求變量y與x的關(guān)系式；（3）當(dāng)△EPC是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A的度數(shù)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，二元一次方程組的應(yīng)用，高與角平分線的定義，有一定難度，關(guān)鍵是找到角之間的等量關(guān)系.鞏固練習(xí)1．（2020·河北河間初二期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對(duì)2．（2020·雞東縣第三中學(xué)初一期中）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為17cm，一邊長(zhǎng)為4cm，則它的腰長(zhǎng)為（）A．4cm B．6.5cm或9cm C．6.5cm D．4cm或6.5cm3．（2020·山東中區(qū)濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初二期末）如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為4、9，則它的周長(zhǎng)為()A．17 B．22 C．17或22 D．無(wú)法計(jì)算4．（2020·廣東龍崗初一期末）如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°，那么其它兩個(gè)內(nèi)角為（）A．50°，80° B．65°，65°C．50°，65° D．50°，80°或65°，65°5．（2020·山東招遠(yuǎn)初一期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或6．（2021·河南孟津初二期末）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．77．（2022·河南偃師初二期末）在一張長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形紙片上，要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的頂點(diǎn)A重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)都在矩形邊上），這個(gè)等腰三角形有幾種剪法（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2020·四川前鋒初三其他）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2，2），點(diǎn)Q在y軸上，△PQO是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)Q共有A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)9．（2020·貴州松桃初三其他）平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（2020·四川內(nèi)江初一期末）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)是5和12，則它的周長(zhǎng)是______________；考點(diǎn)4：等邊三角形的性質(zhì)典例：（2020·四川涼山中考真題）如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)．

（1）如圖1，連接AQ、CP求證：（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ、CP相交于點(diǎn)M，的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AQ、CP相交于M，的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)證全等是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·內(nèi)蒙古林西初二期末）如圖，已知C是線段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N．給出以下三個(gè)結(jié)論：①AE=BD；②CN=CM；③MN∥AB；④∠CDB=∠NBE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，A、C、B三點(diǎn)共線，AE與BD相交于點(diǎn)P，AE與BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正確結(jié)論是__________（填序號(hào)）3．（2020·武漢市梅苑學(xué)校初二期中）如圖，和都是等邊三角形，∠EBD=78°，則∠AEB=_________度．4．（2020·河南嵩縣初二期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則∠BDF+∠CEF＝_____．5．（2020·廣東新豐初三其他）如圖，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，，，△、△、△均為等邊三角形，則的長(zhǎng)為_(kāi)_．6．（2020·寧夏銀川市教育局初三其他）如圖，是由9個(gè)等邊三角形拼成的一個(gè)六邊形，如果中間最小的等邊三角形的邊長(zhǎng)是1，則右上角的最大的正三角形的邊長(zhǎng)是_____．7．（2020·福建安溪初三二模）如圖，△ABC與△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE．求證：BD＝CE．8．（2020·山東章丘初一期末）(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．①請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AEB的度數(shù)為_(kāi)____；②試猜想線段AD與線段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)拓展探究：圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同－直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．（2020·廣東龍崗初二期末）如圖，已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F．（1）求證：BE=AD；（2）求∠BFD的度數(shù)．10．（2020·江西廣豐初一期末）在同一平面內(nèi)，將兩塊正三角形的紙板的兩個(gè)頂點(diǎn)重合在一起．（1）如圖1重疊部分∠AOD=30°，求∠COB的大?。唬?）如圖2重疊部分∠AOD=15°，求∠COB的大小；（3）如圖3，若兩圖形除O外沒(méi)有重疊，∠AOD=10°，求∠COB的大??；（4）求∠AOD和∠COB的數(shù)量關(guān)系．11．（2020·陜西西安初一期末）（2020?錦州模擬）問(wèn)題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．方法感悟：小芳的思考過(guò)程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；小麗的思考過(guò)程是在AB取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題；問(wèn)題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時(shí)，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．考點(diǎn)5：等邊三角形的判定典例：（2021·山西呂梁初二期末）問(wèn)題情景：數(shù)學(xué)課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且滿足∠ADE＝60°，DE交等邊三角形外角平分線于點(diǎn)E．試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．操作發(fā)現(xiàn)：（1）小明同學(xué)過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于F，通過(guò)構(gòu)造全等三角形經(jīng)過(guò)推理論證就可以解決問(wèn)題，請(qǐng)您按照小明同學(xué)的方法確定AD與DE的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．類(lèi)比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)(除B、C外)，其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且滿足CD＝BC，在圖3中補(bǔ)全圖形，直接判斷△ADE的形狀(不要求證明)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1．（2020·山東廣饒初一期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD是等邊三角形．其中正確的是()A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④2．（2022·山東肥城初二開(kāi)學(xué)考試）如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（）．A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形 D．不等邊三角形3．（2022·湖南長(zhǎng)沙初二期中）已知，如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下列結(jié)論：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AC＝AO+AP；其中正確的序號(hào)是（）A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③4．（2022·北京師大附中初二期中）如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．3個(gè)以上5．（2022·東安縣舜德學(xué)校初二期中）如圖所示，是等邊中邊上的點(diǎn)，，，則對(duì)的形狀判斷最準(zhǔn)確的是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．不等邊三角形 D．不能確定形狀6．（2022·山東曹縣）如圖，為等邊三角形，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=BD，平分，下列結(jié)論:(1)；(2)；(3)是等邊三角形，其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．（2020·廣西初三三模）如圖，中，，，，，平分，與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)等于_____.8．（2022·廣西興賓初二期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足為H，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）求證：BD=CE；（2）若點(diǎn)D在線段BC上，問(wèn)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AC⊥DE？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)CE∥AB時(shí)，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數(shù)．(直接寫(xiě)出結(jié)果，無(wú)需寫(xiě)出求解過(guò)程)9．（2020·佛山市南海區(qū)桂城街道映月中學(xué)初二月考）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，兩線相交于F點(diǎn)．（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大??；（2）若D是BC的中點(diǎn)，∠ABE=30°，求證：△ABC是等邊三角形．考點(diǎn)6：含30°銳角三角函數(shù)的直角三角形典例：（2020·廣西東蘭初二期末）如圖，已知為等邊三角形，AE=CD,,相交于點(diǎn)F,于點(diǎn)Q．（1）求證：≌；（2）若，求的長(zhǎng)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．鞏固練習(xí)1．（2020·甘肅蘭州初二期末）如圖，在中，，，AD是的中線，AE是的角平分線，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)是A．2 B．4 C．5 D．2．（2020·內(nèi)蒙古杭錦后旗初二期末）如圖，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P為OC上一點(diǎn)，PD∥OA交OB于點(diǎn)D，PE⊥OA于點(diǎn)E．若OD＝4，則PE的長(zhǎng)為（）A．2 B．2.5 C．3 D．43．（2020·廣西防城港初二期中）如圖5，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為（）A．10米 B．15米 C．25米 D．30米4．（2020·山東嵐山初二期末）如圖，邊長(zhǎng)為12的等邊三角形ABC中，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連結(jié)DF．則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DF長(zhǎng)度的最小值是__________．5．（2020·湖南淥口初三其他）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則在①3.6②4，③5.5，④7，這四個(gè)數(shù)中AP長(zhǎng)不可能是_____（填序號(hào)）6．（2020·廣東南海初二期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，將△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四邊形ABED的面積為20，則平移距離為_(kāi)__________．7．（2020·貴州銅仁偉才學(xué)校初二期中）如圖，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，則CD=_______.8．（2020·山西壽陽(yáng)初二期中）如圖，將一幅三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=24cm，則陰影部分的面積是__．9．（2020·廣東高州初二期中）如圖，已知在中，，為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為，.（1）求證：；（2）若，，求的周長(zhǎng).10．（2020·甘肅省武威市第十中學(xué)初三三模）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM的長(zhǎng)．考點(diǎn)7：最短路徑問(wèn)題典例：（2022·湖北十堰初二期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中（1）做出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的,并求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）計(jì)算△ABC的面積；（3）在x軸上畫(huà)點(diǎn)P，使PA+PC最?。椒ɑ蛞?guī)律點(diǎn)撥本題考查了作坐標(biāo)系中的對(duì)稱(chēng)圖形，利用構(gòu)造法來(lái)求三角形面積和將軍飲馬的問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·山東槐蔭初一期末）某平原有一條很直的小河和兩個(gè)村莊，要在此小河邊的某處修建一個(gè)水泵站向這兩個(gè)村莊供水.某同學(xué)用直線（虛線）表示小河，兩點(diǎn)表示村莊，線段（實(shí)線）表示鋪設(shè)的管道，畫(huà)出了如下四個(gè)示意圖，則所需管道最短的是（）.A． B．C． D．2．（2020·河南內(nèi)黃初二期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是