人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 專題13.3-13.4 等腰三角形與最短路徑問題講練（原卷版）

專題13.3-13.4等腰三角形與最短路徑問題典例體系（本專題共74頁82題）一、知識點1、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩個底角相等（“等邊對等角”）；②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；2、等腰三角形是軸對稱圖形，三線合一所在直線是其對稱軸；（只有1條對稱軸）等腰三角形的判定：①如果一個三角形有兩條邊相等；②如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等；（等角對等邊）3、等邊三角形：三條邊都相等的三角形；（等邊三角形是特殊的等腰三角形）等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個內(nèi)角都是60?②等邊三角形的每條邊都存在三線合一；4、等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一所在直線；（有3條對稱軸）5、等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角是60?的等腰三角形是等邊三角形；6、在直角三角形中，如果一個銳角等于30?，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；7、最短路徑的選擇①當(dāng)兩點在某一條直線的兩側(cè)時,這兩點的最短距離就是連接這兩點的線段與直線的交點就是最短路徑的點.②當(dāng)兩點在某條直線的同側(cè)時,這兩點到直線上某一點的最短距離的作法:作任意一個點關(guān)于這條直線的對稱點,然后再連接對稱點與另一點之間的線段,與直線的交點就是最短距離的點的位置.[來源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]注意：在解決最短路徑的問題時,我們通常利用平移、軸對稱等變化把已知問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題,從而作出最短路徑的選擇.二、考點點撥與訓(xùn)練考點1：等腰三角形的性質(zhì)典例：（2020·河北河間初二期末）如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB=AC+CD，那么∠ACB與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小明通過觀察分析，形成了如下解題思路：如圖2，延長AC到E，使CE=CD，連接DE．進而得到△ABD≌△AED，便可得到∠ACB與∠B的數(shù)量關(guān)系．請結(jié)合小明的思路，寫出兩個角的數(shù)量關(guān)系，并證明結(jié)論．方法或規(guī)律點撥本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·山東芝罘初一期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分線DE交AB于點E，交AC于點D，且∠DBC＝15°，則∠A的度數(shù)是（）A．50° B．36° C．40° D．45°2．（2020·四川成華初一期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′與△ABC關(guān)于直線EF對稱，∠CAF=10°，連接BB′，則∠ABB′的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°3．（2020·陜西西安高新一中初一期末）如圖，中，是的角平分線，的垂直平分線分別交于點，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C． D．4．（2020·四川龍泉驛初一期末）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于()A．30° B．40° C．45° D．36°5．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第n個三角形中以An為頂點的底角度數(shù)是（）A．（）n?75° B．（）n﹣1?65°C．（）n﹣1?75° D．（）n?85°6．（2020·河南羅山初二期末）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．20° B．35° C．40° D．70°7．（2020·山東中區(qū)濟南外國語學(xué)校初二期末）如圖，在中，，，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，連接AF，則的度數(shù)（）A． B． C． D．8．（2020·浙江南潯初三其他）如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點固定，OC=CD=DE，點D、E可在槽中滑動，若∠BDE=72°，則∠CDE的度數(shù)是（）A．63° B．65° C．75° D．84°9．（2020·山東歷下初一期末）如圖，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，則∠BGH＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°10．（2022·河南宜陽初二期末）如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，則∠C=______．11．（2020·廣東龍崗初一期末）如圖，點O為線段AB上的任意一點（不于A、B重合），分別以AO，BO為一腰在AB的同側(cè)作等腰△AOC和△BOD，OA=OC，OB=OD，∠AOC與∠BOD都是銳角，且∠AOC=∠BOD，AD與BC交于點P，AD交CO于點M，BC交DO于點N．（1）試說明：CB=AD；（2）若∠COD=70°，求∠APB的度數(shù)．12．（2020·陜西渭濱初一期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延長BC至D，使BD＝BA，連接AD．點E在AC上，且CE＝CD，連接BE并延長BE交AD于點F．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）求證：BF是AD的垂直平分線；（3）連接DE，若AB＝10，求△DCE的周長．考點2：等腰三角形的判定典例：（2020·黑龍江牡丹江）在等腰中，，點D，E在射線上，，過點E作，交射線于點F．請解答下列問題：（1）當(dāng)點E在線段上，是的角平分線時，如圖①，求證：；（提示：延長，交于點M．）（2）當(dāng)點E在線段的延長線上，是的角平分線時，如圖②；當(dāng)點E在線段的延長線上，是的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若，則___________．方法或規(guī)律點撥本題是考查了角平分線、平行線和等腰三角形及全等三角形的綜合題，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建角平分線加平行的模型，是一道較好的中考真題．鞏固練習(xí)1．（2022·薛城區(qū)祁連山路中學(xué)初一期中）如圖，在中，和的平分線交于點，過點作，交于，交于，若，則線段的長為（）A．8 B．．7 C．6 D．52．（2020·湖北黃州初二期末）如圖，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長為AB+AC；④BD=CE．其中正確的是____．3．（2020·廣東英德初二期中）如圖所示，在四邊形中，，，，平分交邊于點，求的長．4．（2020·廣東高州初三月考）如圖，已知等腰△ABC頂角∠A=36°．（1）尺規(guī)作圖：在AC上作一點D，使AD=BD；（保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）（2）求證：△BCD是等腰三角形．5．（2020·廣東佛山初二月考）如圖，在和中，，，AC與BD相交于點O.（1）求證：；（2）是何種三角形？6．（2020·江蘇海安初二月考）已知∠MAN=30°，點B在射線AM上，且AB=6，點C在射線AN上．（1）若△ABC是直角三角形，求AC的長；（2）若△ABC是等腰三角形，則滿足條件的C點有個；（3）設(shè)BC=x，當(dāng)△ABC唯一確定時，直接寫出的取值范圍．7．（2020·黑龍江南崗初三其他）已知:在中,,線段的垂直平分線交于點,點在上，且,連接如圖1,求證:如圖2,當(dāng)時.在不添加任何輔助線情況下,請直接寫出圖2中的四個等腰三角形．∴AD=BD，8．（2020·黑龍江哈爾濱初三二模）圖1、圖2分別是的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，線段的端點在小正方形的頂點上，請在圖1、圖2中各畫一個圖形，分別滿足以下要求：（1）在圖1中畫一個，使得是面積為10的直角三角形，所畫圖形的各頂點必須在小正方形的頂點上；（2）在圖2中畫一個以線段為一邊的鈍角等腰三角形，并且面積等于10，所畫等腰三角形的各頂點必須在小正方形的頂點上．9．（2020·鎮(zhèn)江實驗學(xué)校初三一模）（1）如圖1,△ABC中,∠C=90°,請用直尺和圓規(guī)作一條直線,把△ABC分割成兩個等腰三角形(不寫作法,但須保留作圖痕跡).（2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個三角形如圖2,圖3所示.請你判斷,能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形?若能,請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù).10．（2021·額爾古納市三河中學(xué)初二期末）如圖，在四邊形中，，是的中點，連接并延長交的延長線于點，點在邊上，且．（1）求證：≌．（2）連接，判斷與的位置關(guān)系并說明理由．考點3：與等腰三角形有關(guān)的分類討論典例：（2020·福建寧德初一期末）如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分線，CD與BE交于點P．當(dāng)∠A的大小變化時，△EPC的形狀也隨之改變．（1）當(dāng)∠A=44°時，求∠BPD的度數(shù)；（2）設(shè)∠A=x°，∠EPC=y°，求變量y與x的關(guān)系式；（3）當(dāng)△EPC是等腰三角形時，請直接寫出∠A的度數(shù)．方法或規(guī)律點撥本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，二元一次方程組的應(yīng)用，高與角平分線的定義，有一定難度，關(guān)鍵是找到角之間的等量關(guān)系.鞏固練習(xí)1．（2020·河北河間初二期末）已知實數(shù)x，y滿足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對2．（2020·雞東縣第三中學(xué)初一期中）已知等腰三角形的周長為17cm，一邊長為4cm，則它的腰長為（）A．4cm B．6.5cm或9cm C．6.5cm D．4cm或6.5cm3．（2020·山東中區(qū)濟南外國語學(xué)校初二期末）如果一個等腰三角形的兩邊長為4、9，則它的周長為()A．17 B．22 C．17或22 D．無法計算4．（2020·廣東龍崗初一期末）如果等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，那么其它兩個內(nèi)角為（）A．50°，80° B．65°，65°C．50°，65° D．50°，80°或65°，65°5．（2020·山東招遠(yuǎn)初一期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或6．（2021·河南孟津初二期末）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的格點（頂點）上，請在圖中找一個格點C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點C有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．77．（2022·河南偃師初二期末）在一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片上，要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的頂點A重合，其余的兩個頂點都在矩形邊上），這個等腰三角形有幾種剪法（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2020·四川前鋒初三其他）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（2，2），點Q在y軸上，△PQO是等腰三角形，則滿足條件的點Q共有A．5個 B．4個 C．3個 D．2個9．（2020·貴州松桃初三其他）平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐標(biāo)軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（2020·四川內(nèi)江初一期末）已知等腰三角形的兩邊長是5和12，則它的周長是______________；考點4：等邊三角形的性質(zhì)典例：（2020·四川涼山中考真題）如圖，點P、Q分別是等邊邊AB、BC上的動點（端點除外），點P、點Q以相同的速度，同時從點A、點B出發(fā)．

（1）如圖1，連接AQ、CP求證：（2）如圖1，當(dāng)點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，AQ、CP相交于點M，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)（3）如圖2，當(dāng)點P、Q在AB、BC的延長線上運動時，直線AQ、CP相交于M，的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．方法或規(guī)律點撥本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運用等邊三角形的性質(zhì)證全等是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·內(nèi)蒙古林西初二期末）如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N．給出以下三個結(jié)論：①AE=BD；②CN=CM；③MN∥AB；④∠CDB=∠NBE．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2020·山東槐蔭初一期末）如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，A、C、B三點共線，AE與BD相交于點P，AE與BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正確結(jié)論是__________（填序號）3．（2020·武漢市梅苑學(xué)校初二期中）如圖，和都是等邊三角形，∠EBD=78°，則∠AEB=_________度．4．（2020·河南嵩縣初二期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點D在邊AB上，點E在邊AC上，將△ADE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，則∠BDF+∠CEF＝_____．5．（2020·廣東新豐初三其他）如圖，點在射線上，點在射線上，，，△、△、△均為等邊三角形，則的長為__．6．（2020·寧夏銀川市教育局初三其他）如圖，是由9個等邊三角形拼成的一個六邊形，如果中間最小的等邊三角形的邊長是1，則右上角的最大的正三角形的邊長是_____．7．（2020·福建安溪初三二模）如圖，△ABC與△ADE均為等邊三角形，點B、D、E在同一直線上，連接CE．求證：BD＝CE．8．（2020·山東章丘初一期末）(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．①請直接寫出∠AEB的度數(shù)為_____；②試猜想線段AD與線段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)拓展探究：圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同－直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．（2020·廣東龍崗初二期末）如圖，已知ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F．（1）求證：BE=AD；（2）求∠BFD的度數(shù)．10．（2020·江西廣豐初一期末）在同一平面內(nèi)，將兩塊正三角形的紙板的兩個頂點重合在一起．（1）如圖1重疊部分∠AOD=30°，求∠COB的大??；（2）如圖2重疊部分∠AOD=15°，求∠COB的大小；（3）如圖3，若兩圖形除O外沒有重疊，∠AOD=10°，求∠COB的大??；（4）求∠AOD和∠COB的數(shù)量關(guān)系．11．（2020·陜西西安初一期末）（2020?錦州模擬）問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點O，點M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．方法感悟：小芳的思考過程是在CM上取一點，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；小麗的思考過程是在AB取一點，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；問題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點N在BA的延長線上時，請你在圖2中補全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．考點5：等邊三角形的判定典例：（2021·山西呂梁初二期末）問題情景：數(shù)學(xué)課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是BC的中點，且滿足∠ADE＝60°，DE交等邊三角形外角平分線于點E．試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．操作發(fā)現(xiàn)：（1）小明同學(xué)過點D作DF∥AC交AB于F，通過構(gòu)造全等三角形經(jīng)過推理論證就可以解決問題，請您按照小明同學(xué)的方法確定AD與DE的數(shù)量關(guān)系，并進行證明．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點D是線段BC上任意一點(除B、C外)，其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點D在線段BC的延長線上，且滿足CD＝BC，在圖3中補全圖形，直接判斷△ADE的形狀(不要求證明)．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關(guān)鍵.鞏固練習(xí)1．（2020·山東廣饒初一期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四個結(jié)論：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD是等邊三角形．其中正確的是()A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④2．（2022·山東肥城初二開學(xué)考試）如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（）．A．等邊三角形 B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形 D．不等邊三角形3．（2022·湖南長沙初二期中）已知，如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，下列結(jié)論：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AC＝AO+AP；其中正確的序號是（）A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③4．（2022·北京師大附中初二期中）如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．3個以上5．（2022·東安縣舜德學(xué)校初二期中）如圖所示，是等邊中邊上的點，，，則對的形狀判斷最準(zhǔn)確的是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．不等邊三角形 D．不能確定形狀6．（2022·山東曹縣）如圖，為等邊三角形，為延長線上一點，CE=BD，平分，下列結(jié)論:(1)；(2)；(3)是等邊三角形，其中正確的個數(shù)為()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．（2020·廣西初三三模）如圖，中，，，，，平分，與相交于點，則的長等于_____.8．（2022·廣西興賓初二期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足為H，D為直線BC上一動點(不與點B、C重合)，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）求證：BD=CE；（2）若點D在線段BC上，問點D運動到何處時，AC⊥DE？請說明理由；（3）當(dāng)CE∥AB時，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數(shù)．(直接寫出結(jié)果，無需寫出求解過程)9．（2020·佛山市南海區(qū)桂城街道映月中學(xué)初二月考）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，兩線相交于F點．（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；（2）若D是BC的中點，∠ABE=30°，求證：△ABC是等邊三角形．考點6：含30°銳角三角函數(shù)的直角三角形典例：（2020·廣西東蘭初二期末）如圖，已知為等邊三角形，AE=CD,,相交于點F,于點Q．（1）求證：≌；（2）若，求的長．方法或規(guī)律點撥本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．鞏固練習(xí)1．（2020·甘肅蘭州初二期末）如圖，在中，，，AD是的中線，AE是的角平分線，交AE的延長線于點F，則DF的長是A．2 B．4 C．5 D．2．（2020·內(nèi)蒙古杭錦后旗初二期末）如圖，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P為OC上一點，PD∥OA交OB于點D，PE⊥OA于點E．若OD＝4，則PE的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．43．（2020·廣西防城港初二期中）如圖5，一棵大樹在一次強臺風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵大樹在折斷前的高度為（）A．10米 B．15米 C．25米 D．30米4．（2020·山東嵐山初二期末）如圖，邊長為12的等邊三角形ABC中，E是高AD上的一個動點，連結(jié)CE，將線段CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，連結(jié)DF．則在點E運動過程中，線段DF長度的最小值是__________．5．（2020·湖南淥口初三其他）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則在①3.6②4，③5.5，④7，這四個數(shù)中AP長不可能是_____（填序號）6．（2020·廣東南海初二期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，將△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四邊形ABED的面積為20，則平移距離為___________．7．（2020·貴州銅仁偉才學(xué)校初二期中）如圖，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，則CD=_______.8．（2020·山西壽陽初二期中）如圖，將一幅三角尺如圖所示疊放在一起，若AB=24cm，則陰影部分的面積是__．9．（2020·廣東高州初二期中）如圖，已知在中，，為邊的中點，過點作，，垂足分別為，.（1）求證：；（2）若，，求的周長.10．（2020·甘肅省武威市第十中學(xué)初三三模）如圖，已知∠AOB＝60°，點P在邊OA上，OP＝12，點M，N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM的長．考點7：最短路徑問題典例：（2022·湖北十堰初二期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中（1）做出△ABC關(guān)于y軸對稱的,并求出三個頂點的坐標(biāo)；（2）計算△ABC的面積；（3）在x軸上畫點P，使PA+PC最小．方法或規(guī)律點撥本題考查了作坐標(biāo)系中的對稱圖形，利用構(gòu)造法來求三角形面積和將軍飲馬的問題，熟練掌握相關(guān)知識點是解決本題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·山東槐蔭初一期末）某平原有一條很直的小河和兩個村莊，要在此小河邊的某處修建一個水泵站向這兩個村莊供水.某同學(xué)用直線（虛線）表示小河，兩點表示村莊，線段（實線）表示鋪設(shè)的管道，畫出了如下四個示意圖，則所需管道最短的是（）.A． B．C． D．2．（2020·河南內(nèi)黃初二期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點C是