小升初奧數(shù)排列組合

PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁共23頁第26頁排列組合教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生正確理解排列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2.了解排列、排列數(shù)和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列或組合；3.掌握排列組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4.會(huì)、分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對排列組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。5.根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)撥：加法原理：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有M1中不同的方法，在第二類辦法中有M2中不同的方法，……，在第N類辦法中有Mn種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+……+Mn種不同的方法。乘法原理：如果完成某項(xiàng)任務(wù)，可分為k個(gè)步驟，完成第一步有n1種不同的方法，完成第二步有n2種不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ種不同的方法，那么完成此項(xiàng)任務(wù)共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ種不同的方法。兩個(gè)原理的區(qū)別做一件事，完成它若有n類辦法，是分類問題，每一類中的方法都是獨(dú)立的，故用加法原理。每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)做一件事，需要分n個(gè)步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開來．排列及組合基本公式排列及計(jì)算公式從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Pmn表示.Pmn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=EQ\F(n!,(n-m)!)(規(guī)定0!=1).組合及計(jì)算公式從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)Cmn表示.Cmn=Pmn/m!=EQ\F(n!,(n-m)!×m!)一般當(dāng)遇到m比較大時(shí)（常常是m>0.5n時(shí)），可用Cmn=Cn-mn來簡化計(jì)算。規(guī)定：Cnn=1,C0n=1.n的階乘(n!)——n個(gè)不同元素的全排列Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法．那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用加法原理來解決．例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，王老師去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法．上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法．在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法．在具體做的時(shí)候，只要采用一類中的一種方法就可以完成．并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)．二、加法原理的定義一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有種不同做法，第二類方法中有種不同做法，…，第k類方法中有種不同做法，則完成這件事共有種不同方法，這就是加法原理．加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡記為：“加法分類，類類獨(dú)立”．分類時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時(shí)要注意滿足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法．只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算正確．運(yùn)用加法原理解題時(shí)，關(guān)鍵是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對各類逐一計(jì)數(shù)．通俗地說，就是“整體等于局部之和”．三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類；2、每類找種數(shù)（每類的一種情況必須是能完成該件事）；3、類類相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對象一一列舉出來進(jìn)行計(jì)數(shù)．分類討論的時(shí)候經(jīng)常會(huì)需要把每一類的情況全部列舉出來，這時(shí)的方法就是枚舉法．枚舉的時(shí)候要注意順序，這樣才能做到不重不漏．例題精講例題精講一、分類討論中加法原理的應(yīng)用（難度等級(jí)※）小寶去給小貝買生日禮物，商店里賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書20本，不同的紀(jì)念品10種，那么，小寶買一種禮物可以有多少種不同的選法？（難度等級(jí)※）有不同的語文書6本，數(shù)學(xué)書4本，英語書3本，科學(xué)書2本，從中任取一本，共有多少種取法？（難度等級(jí)※）陽光小學(xué)四年級(jí)有3個(gè)班，各班分別有男生18人、20人、16人．從中任意選一人當(dāng)升旗手，有多少種選法？（難度等級(jí)※※）從1～10中每次取兩個(gè)不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？（難度等級(jí)※※）從1～8中每次取兩個(gè)不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？（難度等級(jí)※※）甲、乙、丙三個(gè)工廠共訂300份報(bào)紙，每個(gè)工廠至少訂了99份，至多101份，問：一共有多少種不同的訂法？（難度等級(jí)※※）大林和小林共有小人書不超過9本，他們各自有小人書的數(shù)目有多少種可能的情況？（難度等級(jí)※※）四個(gè)學(xué)生每人做了一張賀年片，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自己做的一張．問：一共有多少種不同的方法？(第六屆走美試題)一次，齊王與大將田忌賽馬．每人有四匹馬，分為四等．田忌知道齊王這次比賽馬的出場順序依次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬，接著依次為自己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等．田忌有________種方法安排自己的馬的出場順序，保證自己至少能贏兩場比賽．（難度等級(jí)※※）把一元錢換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種．（難度等級(jí)※※）一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問這里可能有多少種不同的情況？（難度等級(jí)※※※）用100元錢購買2元、4元或8元飯票若干張，沒有剩錢，共有多少不同的買法?（難度等級(jí)※※）一個(gè)文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角．小明要在該店花5元5角購買兩種文具，他有多少種不同的選擇．（難度等級(jí)※※※）袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和5個(gè)白球，小明從中任意拿出6個(gè)球，他拿出球的情況共有________種可能．（2008年北京“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評選活動(dòng)）（難度等級(jí)※※）1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，從小到大排成一行，在這四個(gè)數(shù)中間，任意插入乘號(hào)(最少插一個(gè)乘號(hào))，可以得到多少個(gè)不同的乘積?（難度等級(jí)※※※）1995的數(shù)字和是1＋9＋9＋5=24，問：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于26的數(shù)共有多少個(gè)?（難度等級(jí)※※※）1995的數(shù)字和是1＋9＋9＋5=24，問：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于24的數(shù)共有多少個(gè)?（難度等級(jí)※※※）2007的數(shù)字和是2+0+0+7=9，問：大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個(gè)?（難度等級(jí)※※※※）在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如，等等，這類數(shù)共有個(gè).如果一個(gè)大于9的整數(shù)，其每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都比他右邊數(shù)位上的數(shù)字小，那么我們稱它為迎春數(shù)．那么，小于2008的迎春數(shù)一共有多少個(gè)？有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1，2，3，4，5，并且任意相鄰兩位數(shù)字(大減小)的差都是1．問這樣的五位數(shù)共有多少個(gè)？模塊二、樹形圖法、標(biāo)數(shù)法及簡單的遞推一、樹形圖法“樹形圖法”實(shí)際上是枚舉的一種，但是它借助于圖形，可以使枚舉過程不僅形象直觀，而且有條理又不重復(fù)遺漏，使人一目了然．（難度等級(jí)※※※）A、B、C三個(gè)小朋友互相傳球，先從A開始發(fā)球(作為第一次傳球)，這樣經(jīng)過了5次傳球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的傳球方式共多少種？(2005年《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)邀請賽)（難度等級(jí)※※※）一只青蛙在A，B，C三點(diǎn)之間跳動(dòng)，若青蛙從A點(diǎn)跳起，跳4次仍回到A點(diǎn)，則這只青蛙一共有多少種不同的跳法？（難度等級(jí)※※※）甲、乙二人打乒乓球，誰先連勝兩局誰贏，若沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止．問：一共有多少種可能的情況？二、標(biāo)數(shù)法適用于最短路線問題，需要一步一步標(biāo)出所有相關(guān)點(diǎn)的線路數(shù)量，最終得到到達(dá)終點(diǎn)的方法總數(shù)．標(biāo)數(shù)法是加法原理與遞推思想的結(jié)合．（難度等級(jí)※※）如圖所示，沿線段從A到B有多少條最短路線？（難度等級(jí)※※）如圖，從點(diǎn)到點(diǎn)的最近路線有多少條？（難度等級(jí)※※）如圖，某城市的街道由5條東西向馬路和7條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的處沿最短的路線走到東北角出，由于修路，十字路口不能通過，那么共有＿＿＿＿種不同走法．（難度等級(jí)※※※）如圖所示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，如果要求經(jīng)過C點(diǎn)或D點(diǎn)的最近路線有多少條？如圖為一幅街道圖，從出發(fā)經(jīng)過十字路口，但不經(jīng)過走到的不同的最短路線有條.

圖1 圖2

小王在一年中去少年宮學(xué)習(xí)56次，如圖所示，小王家在點(diǎn)，他去少年宮都是走最近的路，且每次去時(shí)所走的路線正好互不相同，那么少年宮在________點(diǎn)處．（難度等級(jí)※※※）在下圖的街道示意圖中，有幾處街區(qū)有積水不能通行，那么從A到B的最短路線有多少種？（難度等級(jí)※※※）在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少條？（難度等級(jí)※※※）在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少種？（難度等級(jí)※※※）如下表，請讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個(gè)字，要求你選擇的9個(gè)字里能連續(xù)(即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰)，這里共有多少種完整的“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”的讀法．我們學(xué)習(xí)好們學(xué)習(xí)好玩學(xué)習(xí)好玩的習(xí)好玩的數(shù)好玩的數(shù)學(xué)（難度等級(jí)※※※）如圖，沿著“北京歡迎你”的順序走（要求只能沿著水平或豎直方向走），一共有多少種不同的走法？（難度等級(jí)※※※）如下表，請讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個(gè)字，要求你選擇的9個(gè)字里能連續(xù)(即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰)，這里共有多少種完整的“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”的讀法．我們學(xué)習(xí)好們學(xué)習(xí)好玩學(xué)習(xí)好玩的習(xí)好玩的數(shù)好玩的數(shù)學(xué)（難度等級(jí)※※※）在下圖中，用水平或者垂直的線段連接相鄰的字母，當(dāng)沿著這些線段行走是，正好拼出“APPLE”的路線共有多少條？【鞏固】如圖，用水平線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“祖國明天更美好”，那么可讀成“祖國明天更美好”的路線有條.圖2【鞏固】(第三屆“希望杯”2試試題)右圖中的“我愛希望杯”有______種不同的讀法.如圖所示，科學(xué)家“愛因斯坦”的英文名拼寫為“Einstein”，按圖中箭頭所示方向有種不同的方法拼出英文單詞“Einstein”.

（難度等級(jí)※※※）圖中有10個(gè)編好號(hào)碼的房間，你可以從小號(hào)碼房間走到相鄰的大號(hào)碼房間，但不能從大號(hào)碼走到小號(hào)碼，從1號(hào)房間走到10號(hào)房間共有多少種不同的走法？（難度等級(jí)※※※）國際象棋中“馬”的走法如圖所示，位于○位置的“馬”只能走到標(biāo)有×的方格中，類似于中國象棋中的“馬走日”．如果“馬”在的國際象棋棋盤中位于第一行第二列（圖中標(biāo)有△的位置），要走到第八行第五列（圖中標(biāo)有＠的位置），最短路線有________條．【2008年北京“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評選活動(dòng)】（難度等級(jí)※※※）從北京出發(fā)有到達(dá)東京、莫斯科、巴黎和悉尼的航線，其他城市間的航線如圖所示(虛線表示在地球背面的航線)，則從北京出發(fā)沿航線到達(dá)其他所有城市各一次的所有不同路線有多少？一個(gè)實(shí)心立方體的每個(gè)面分成了四部分．如圖所示，從頂點(diǎn)出發(fā)，可找出沿圖中相連的線段一步步到達(dá)頂點(diǎn)的各種路徑．若要求每步沿路徑的運(yùn)動(dòng)都更加靠近，則從到的各種路徑的數(shù)目為幾？三、簡單遞推：斐波那契數(shù)列的應(yīng)用對于某些難以發(fā)現(xiàn)其一般情形的計(jì)數(shù)問題，可以找出其相鄰數(shù)之間的遞歸關(guān)系，有了這一遞歸關(guān)系就可以利用前面的數(shù)求出后面的數(shù)，這種方法稱為遞推法．（難度等級(jí)※※※）一樓梯共10級(jí)，規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)，共有多少種不同走法？（難度等級(jí)※※※）1×2的小長方形(橫的豎的都行)覆蓋2×10的方格網(wǎng)，共有多少種不同的蓋法．（難度等級(jí)※※※）如下圖，一只蜜蜂從處出發(fā)，回到家里處，每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行，共有多少種回家的方法？【鞏固】小蜜蜂通過蜂巢房間，規(guī)定只能由小號(hào)房間進(jìn)入大號(hào)房間問小蜜蜂由房間到達(dá)房間有多少種方法？每對小兔子在出生后一個(gè)月就長成大兔子，而每對大兔子每個(gè)月能生出一對小兔子來．如果一個(gè)人在一月份買了一對小兔子，那么十二月份的時(shí)候他共有多少對兔子？樹木生長的過程中，新生的枝條往往需要一段“休息”時(shí)間供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝．一棵樹苗在一年后長出一條新枝，第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)新枝；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則依次“休息”．這在生物學(xué)上稱為“魯?shù)戮S格定律”．那么十年后這棵樹上有多少條樹枝？對一個(gè)自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加1，如此進(jìn)行直到得數(shù)為1操作停止．問經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有多少個(gè)？一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學(xué)們上課，首先得從家出發(fā)到長寧上8點(diǎn)的課，然后得趕到黃埔去上下午1點(diǎn)半的課．如果說申老師的家到長寧有5種可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車、自行車、步行），然后再從長寧到黃埔有2種可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學(xué)們，你們說老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個(gè)示意圖，老師必須先的到長寧，然后再到黃埔．這幾個(gè)環(huán)節(jié)是必不可少的，老師是一定要先到長寧上完課，才能去黃埔的．在沒學(xué)乘法原理之前，我們可以通過一條一條的數(shù)，把線路找出來，顯而易見一共是10條路線．但是要是老師從家到長寧有25種可選擇的交通工具，并且從長寧到黃埔也有30種可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數(shù)，恐怕是要耗費(fèi)很多的時(shí)間了．這個(gè)時(shí)候我們的乘法原理就派上上用場了．二、乘法原理的定義完成一件事，這個(gè)事情可以分成n個(gè)必不可少的步驟（比如說老師從家到黃埔，必須要先到長寧，那么一共可以分成兩個(gè)必不可少的步驟，一是從家到長寧，二是從長寧到黃埔），第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，……，第n步有N種不同的方法．那么完成這件事情一共有A×B×……×N種不同的方法．結(jié)合上個(gè)例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個(gè)步驟，第1步是從家到長寧，一共5種選擇；第2步從長寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有5×2個(gè)可選擇的路線了，即10條．三、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分N個(gè)必要步驟；2、每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨(dú)完成該件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1、路線種類問題——比如說老師舉的這個(gè)例子就是個(gè)路線種類問題；2、字的染色問題——比如說要3個(gè)字，然后有5種顏色可以給每個(gè)字然后，問3個(gè)字有多少種染色方法；3、地圖的染色問題——同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國每個(gè)省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張包括幾個(gè)部分的地圖有幾種染色的方法；4、排隊(duì)問題——比如說6個(gè)同學(xué)，排成一個(gè)隊(duì)伍，有多少種排法；5、數(shù)碼問題——就是對一些數(shù)字的排列，比如說給你幾個(gè)數(shù)字，然后排個(gè)幾為數(shù)的偶數(shù)，有多少種排法．例題精講例題精講郵遞員投遞郵件由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條，那么郵遞員從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？如下圖所示，從A地去B地有5種走法，從B地去C地有3種走法，那么李明從A地經(jīng)B地去C地有多少種不同的走法？如下圖中，小虎要從家沿著線段走到學(xué)校，要求任何地點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過．問：他最多有幾種不同走法？在下圖中，一只甲蟲要從點(diǎn)沿著線段爬到點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？在右圖中，一只甲蟲要從點(diǎn)沿著線段爬到點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？在右圖中，一只螞蟻要從點(diǎn)沿著線段爬到點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只螞蟻?zhàn)疃嘤袔追N不同走法？在右圖中，一只甲蟲要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法？在右圖中，一只甲蟲要從點(diǎn)沿著線段爬到點(diǎn)，要求任何點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同走法?如果將四面顏色不同的小旗子掛在一根繩子上，組成一個(gè)信號(hào)，那么這四面小旗子可組成

種不同的信號(hào)。按下表給出的詞造句，每句必須包括一個(gè)人、一個(gè)交通工具，以及一個(gè)目的地，請問可以造出多少個(gè)不同的句子？小琴、小惠、小梅三人報(bào)名參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳繩，跳高和短跑這三個(gè)項(xiàng)目的比賽，每人參加一項(xiàng)，報(bào)名的情況有______種。題庫中有三種類型的題目，數(shù)量分別為30道、40道和45道，每次考試要從三種類型的題目中各取一道組成一張?jiān)嚲恚畣枺河稍擃}庫共可組成多少種不同的試卷？文藝活動(dòng)小組有3名男生，4名女生，從男、女生中各選1人做領(lǐng)唱，有多少種選法？要從四年級(jí)六個(gè)班中評選出學(xué)習(xí)、體育、衛(wèi)生先進(jìn)集體，有多少種不同的評選結(jié)果？小丸子有許多套服裝，帽子的數(shù)量為5頂、上衣有10件，褲子有8條，還有皮鞋6雙，每次出行要從幾種服裝中各取一個(gè)搭配．問：共可組成多少種不同的搭配(帽子可以選擇戴與不戴)？已知圖3是一個(gè)軸對稱圖形，若將圖中某些黑色的圖形去掉后，得到一些新的圖形，則其中軸對稱圖形共有（）個(gè)。（A）9（B）8（C）7（D）6從四年級(jí)六個(gè)班中評選出學(xué)習(xí)、體育、衛(wèi)生先進(jìn)集體，如果要求同一個(gè)班級(jí)只能得到一個(gè)先進(jìn)集體，那么一共有多少種評選方法？奧運(yùn)吉祥物中的5個(gè)“福娃”取“北京歡迎您”的諧音：貝貝、京京、歡歡、迎迎、妮妮。如果在盒子中從左向右放5個(gè)不同的“福娃”，那么，有________種不同的放法。從全班20人中選出3名學(xué)生排隊(duì)，一共有多少種排法？五位同學(xué)扮成奧運(yùn)會(huì)吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目．如果貝貝和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法？10個(gè)人圍成一圈，從中選出三個(gè)人，其中恰有兩人相鄰，共有多少種不同選法？12個(gè)人圍成一圈，從中選出3個(gè)人，其中恰有兩個(gè)人相鄰，共有種不同的選法?！皵?shù)學(xué)”這個(gè)詞的英文單詞是“MATH”．用紅、黃、藍(lán)、綠、紫五種顏色去分別給字母染色，每個(gè)字母染的顏色都不一樣．這些顏色一共可以染出多少種不同搭配方式？“IMO”是國際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，把這3個(gè)字母用3種不同顏色來寫，現(xiàn)有5種不同顏色的筆，問共有多少種不同的寫法？“學(xué)習(xí)改變命運(yùn)”這六個(gè)字要用6種不同顏色來寫，現(xiàn)只有6種不同顏色的筆，問共有多少種不同的寫法？有6種不同顏色的筆，來寫“學(xué)習(xí)改變命運(yùn)”這六個(gè)字，要求相鄰字的顏色不能相同，有多少種不同的方法？用5種不同顏色的筆來寫“智康教育”這幾個(gè)字，相鄰的字顏色不同，共有多少種寫法？聯(lián)歡會(huì)上有一則數(shù)字謎語，謎底是一個(gè)八位數(shù)?，F(xiàn)已猜出：□54□7□39，主持人提示：“這個(gè)無重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)中，最小的數(shù)是2?！币鲁鲞@個(gè)謎語，最多還要猜次。在右面每個(gè)方格中各放1枚圍棋子(黑子或白子)，有（）種放法．將1～6分別填入圖中的6個(gè)方框內(nèi)，使得同一行中左邊的數(shù)比右邊的小，同一列中上邊的數(shù)比下邊的小，共有______種不同的填法．將19枚棋子放入的方格網(wǎng)內(nèi)，每個(gè)方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子個(gè)數(shù)均為奇數(shù)個(gè)，那么共有________種不同的放法．知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，在具體做的時(shí)候，只要采用其中某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的．那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來解決．還有這樣的一種情況：就是在做一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾種不同的方法．要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決．二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時(shí)要注意下面幾點(diǎn)：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和．⑵乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積．⑶在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨(dú)出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運(yùn)用好這兩大原理，綜合分析，正確作出分類和分步．加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡記為：“加法分類，類類獨(dú)立”．乘法原理運(yùn)用的范圍：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決．我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關(guān)”．例題精講例題精講一、簡單加乘原理綜合應(yīng)用商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2種水果糖：蘋果味、梨味、橙味．小明想買一些糖送給他的小朋友．⑴如果小明只買一種糖，他有幾種選法？⑵如果小明想買水果糖、巧克力糖各種，他有幾種選法？（2級(jí)）從北京到廣州可以選擇直達(dá)的飛機(jī)和火車，也可以選擇中途在上海或者武漢作停留，已知北京到上海、武漢和上海、武漢到廣州除了有飛機(jī)和火車兩種交通方式外還有汽車．問，從北京到廣州一共有多少種交通方式供選擇？（2級(jí)）從學(xué)而思學(xué)校到王明家有3條路可走，從王明家到張老師家有2條路可走，從學(xué)而思學(xué)校到張老師家有3條路可走，那么從學(xué)而思學(xué)校到張老師家共有多少種走法？（2級(jí)）如下圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有4條路，從甲地到丁地有3條路可走，從丁地到丙地也有3條路，請問從甲地到丙地共有多少種不同走法？（2級(jí)）王老師從重慶到南京，他可以乘飛機(jī)、汽車直接到達(dá)，也可以先到武漢，再由武漢到南京．他從重慶到武漢可乘船，也可乘火車；又從武漢到南京可以乘船、火車或者飛機(jī)，如圖．那么王老師從重慶到南京有多少種不同走法呢？（2級(jí)）如下圖，八面體有12條棱，6個(gè)頂點(diǎn)．一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，要求恰好經(jīng)過每一個(gè)頂點(diǎn)一次．問共有多少種不同的走法？（6級(jí)）如果從3本不同的語文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、5本不同的外語書中選取2本不同學(xué)科的書閱讀，那么共有多少種不同的選擇？（4級(jí)）某條鐵路線上，包括起點(diǎn)和終點(diǎn)在內(nèi)原來共有7個(gè)車站，現(xiàn)在新增了3個(gè)車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，這樣需要增加多少種不同的車票？（6級(jí)）某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成．現(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會(huì)．從7人中挑選4人完成這項(xiàng)工作，共有多少種方法？（6級(jí)）某信號(hào)兵用紅，黃，藍(lán)，綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個(gè)位置表示信號(hào)．每次可掛一面，二面或三面，并且不同的順序，不同的位置表示不同的信號(hào)．一共可以表示出多少種不同的信號(hào)？（6級(jí)）五面五種顏色的小旗，任意取出一面、兩面或三面排成一行表示各種信號(hào)，問：共可以表示多少種不同的信號(hào)？（6級(jí)）五種顏色不同的信號(hào)旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一種信號(hào)，問：共可以表示多少種不同的信號(hào)？（6級(jí)）（6級(jí)）(2008年清華附中考題)小紅和小明舉行象棋比賽，按比賽規(guī)定，誰先勝頭兩局誰贏，如果沒有勝頭兩局，誰先勝三局誰贏．共有種可能的情況．（6級(jí)）（2009年“數(shù)學(xué)解題能力展示”中年級(jí)復(fù)賽試題）過年了，媽媽買了7件不同的禮物，要送給親朋好友的5個(gè)孩子每人一件．其中姐姐的兒子小強(qiáng)想從智力拼圖和遙控汽車中選一個(gè)，朋友的女兒小玉想從學(xué)習(xí)機(jī)和遙控汽車中選一件．那么，媽媽送出這5件禮物共有種方法．（6級(jí)）有3所學(xué)校共訂300份中國少年報(bào)，每所學(xué)校訂了至少98份，至多102份．問：一共有多少種不同的訂法？（6級(jí)）玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色．這家廠共可生產(chǎn)________種顏色不同的玩具棒．（8級(jí)）奧蘇旺大陸上的居民使用的文字非常獨(dú)特，他們文字的每個(gè)單詞都由個(gè)字母、、、、組成，并且所有的單詞都有著如下的規(guī)律，⑴字母不打頭，⑵單詞中每個(gè)字母后邊必然著字母，⑶和不會(huì)出現(xiàn)在同一個(gè)字母之中，那么由四個(gè)字母構(gòu)成的單詞一共有多少種？（8級(jí)）從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加接力賽，求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6級(jí)）二、加乘原理與數(shù)字問題由數(shù)字1，2，3可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)？（4級(jí)）由數(shù)字0，1，3，9可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（6級(jí)）用數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)小于1000的自然數(shù)？（6級(jí)）用數(shù)碼0，1，2，3，4，可以組成多少個(gè)小于1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（6級(jí)）用0～9這十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．（6級(jí)）用0，1，2，3四個(gè)數(shù)碼可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（6級(jí)）在2000到2999這1000個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)千位、百位、十位、個(gè)位數(shù)字中恰有兩個(gè)相同的數(shù)？（6級(jí)）在1000至1999這些自然數(shù)中個(gè)位數(shù)大于百位數(shù)的有多少個(gè)?（6級(jí)）某人忘記了自己的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非0數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是9．為確保打開保險(xiǎn)柜至少要試多少次？（6級(jí)）從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)?（6級(jí)）從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)?（6級(jí)）從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)有多少個(gè)?（6級(jí)）由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列，2008排在第個(gè)．【2008年第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽】（8級(jí)）從分別寫有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張，做兩個(gè)一位數(shù)乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少種不同的乘積？（6級(jí)）自然數(shù)8336，8545，8782有一些共同特征，每個(gè)數(shù)都是以8開頭的四位數(shù)，且每個(gè)數(shù)中恰好有兩個(gè)數(shù)字相同．這樣的數(shù)共有多少個(gè)？（6級(jí)）在1000到1999這1000個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)千位、百位、十位、個(gè)位數(shù)字中恰有兩個(gè)相同的數(shù)？（6級(jí)）如果一個(gè)三位數(shù)滿足，，那么把這個(gè)三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，求所有“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)．（8級(jí)）用數(shù)字1，2組成一個(gè)八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是1的有多少個(gè)？（6級(jí)）七位數(shù)的各位數(shù)字之和為60，這樣的七位數(shù)一共有多少個(gè)？（6級(jí)）從自然數(shù)1~40中任意選取兩個(gè)數(shù)，使得所選取的兩個(gè)數(shù)的和能被4整除，有多少種取法？（6級(jí)）（6級(jí)）在1~10這10個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)，共有多少種不同的取法？（6級(jí)）（6級(jí)）（6級(jí)）（6級(jí)）1到60這60個(gè)自然數(shù)中，選取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積是被5除余2的偶數(shù)，問，一共有多少種選法？（6級(jí)）一個(gè)自然數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個(gè)數(shù)為“回文數(shù)”．例如1331，7，202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)．問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個(gè)?其中的第1996個(gè)數(shù)是多少?（6級(jí)）如圖，將1，2，3，4，5分別填入圖中的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大．共有種不同的填法．【走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園少年數(shù)學(xué)邀請賽】（6級(jí)）在如圖所示1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五個(gè)數(shù)，要求填入的數(shù)各不相同，并且填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大．共有種不同的填法．（6級(jí)）從1～12中選出7個(gè)自然數(shù)，要求選出的數(shù)中不存在某個(gè)自然數(shù)是另一個(gè)自然數(shù)的2倍，那么一共有種選法．（6級(jí)）從到這個(gè)自然數(shù)中有個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除．（6級(jí)）【鞏固】從10到4999這4990個(gè)自然數(shù)中，其數(shù)字和能被4整除的數(shù)有多少個(gè)？（6級(jí)）【鞏固】從1到3998這3998個(gè)自然數(shù)中，又多少個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除？（6級(jí)）（2001年第十屆日本小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽）表中第1行是把的整數(shù)依次全部排列出來，然后從第2行起是根據(jù)規(guī)律一直排到最后的第100行.請問：這個(gè)表中一共有多少個(gè)數(shù)能被77整除？有兩個(gè)不完全一樣的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6．將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？（6級(jí)）有兩個(gè)不完全一樣的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6．將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？（6級(jí)）有兩個(gè)骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面分別有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)．隨意擲這兩個(gè)骰子，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？（6級(jí)）有三個(gè)骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面分別有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)．隨意擲這三個(gè)骰子，向上一面點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？（6級(jí)）3個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)和中，哪個(gè)數(shù)最有可能？（6級(jí)）有一種用12位數(shù)表示時(shí)間的方法：前兩位表示分，三四位表示時(shí)，五六位表示日，七八位表示月，后四位表示年．凡不足數(shù)時(shí)，前面補(bǔ)0．按照這種方法，2002年2月20日2點(diǎn)20分可以表示為200220022002．這個(gè)數(shù)的特點(diǎn)是：它是一個(gè)12位的反序數(shù)，即按數(shù)位順序正著寫反著寫都是相同的自然數(shù)，稱為反序數(shù)．例如171，23032等是反序數(shù)．而28與82不相同，所以28，82都不是反序數(shù)．問：從公元1000年到2002年12月，共有多少個(gè)這樣的時(shí)刻？（6級(jí)）假如電子計(jì)時(shí)器所顯示的十個(gè)數(shù)字是“0126093028”這樣一串?dāng)?shù)，它表示的是1月26日9時(shí)30分28秒．在這串?dāng)?shù)里，“0”出現(xiàn)了3次，“2”出現(xiàn)了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出現(xiàn)1次，而“4”、“5”、“7”沒有出現(xiàn)．如果在電子計(jì)時(shí)器所顯示的這串?dāng)?shù)里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”這十個(gè)數(shù)字都只能出現(xiàn)一次，稱它所表示的時(shí)刻為“十全時(shí)”，那么2003年一共有多少個(gè)這樣的“十全時(shí)”？（6級(jí)）三、加乘原理與圖論地圖上有A，B，C，D四個(gè)國家(如下圖)，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？（6級(jí)）如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給例題中的地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？（6級(jí)）如右圖，有A、B、C、D、E五個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用五種顏色給區(qū)域染色，染色要求：每相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，每個(gè)區(qū)域染一色．有多少種不同的染色方式？（6級(jí)）如右圖，有A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域的顏色不同，每個(gè)區(qū)域染一色．有多少種染色方法？（6級(jí)）用四種顏色對右圖的五個(gè)字染色，要求相鄰的區(qū)域的字染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用．問：共有多少種不同的染色方法?（6級(jí)）分別用五種顏色中的某一種對下圖的，，，，，六個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰的區(qū)域染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用．問：有多少種不同的染法？（8級(jí)）將圖中的○分別涂成紅色、黃色或綠色，要求有線段相連的兩個(gè)相鄰○涂不同的顏色，共有多少種不同涂法？（6級(jí)）直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和4個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)三角形？（6級(jí)）直線a，b上分別有4個(gè)點(diǎn)和2個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)三角形？（4級(jí)）直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和4個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)四邊形？（4級(jí)）三條平行線上分別有2，4，3個(gè)點(diǎn)(下圖)，已知在不同直線上的任意三個(gè)點(diǎn)都不共線．問：以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)不同的三角形？（6級(jí)）5條直線兩兩相交，沒有兩條直線平行，沒有任何三條直線通過同一個(gè)點(diǎn)，以這5條直線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)能構(gòu)成幾個(gè)三角形？（6級(jí)）（6級(jí)）在一個(gè)圓周上均勻分布10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以畫出多少不同的鈍角三角形？(補(bǔ)充知識(shí)：由直徑和圓周上的一點(diǎn)構(gòu)成的三角形一定是直角三角形，其中直徑的邊所對的角是直角，所以如果圓周上三點(diǎn)在同一段半圓周上，則這三點(diǎn)構(gòu)成鈍角三角形)．（6級(jí)）從1至9這九個(gè)數(shù)字中挑出六個(gè)不同的數(shù)填在下圖的六個(gè)圓圈內(nèi)，使在任意相鄰兩個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是不能被3整除的奇數(shù)，那么最多能找出種不同的挑法來．(六個(gè)數(shù)字相同、排列次序不同的都算同一種)【第九屆北京市“迎春杯”決賽第二題第8題】（6級(jí)）用紅、橙、黃、綠、藍(lán)5種顏色中的1種，或2種，或3種，或4種，分別涂在正四面體各個(gè)面上，一個(gè)面不能用兩色，也無一個(gè)面不涂色的，問共有幾種不同涂色方式？（6級(jí)）用紅、黃、藍(lán)三種顏色對一個(gè)正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色對正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有五種顏色去染又有多少種？(注：正方體不能翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn))（6級(jí)）【鞏固】用6種不同的顏色來涂正方體的六個(gè)面，使得不同的面涂上不同的顏色一共有多少種涂色的方法？(將正方體任意旋轉(zhuǎn)之后仍然不同的涂色方法才被認(rèn)為是相同的)（6級(jí)）教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生正確理解排列的意義；2.了解排列、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；3.掌握排列的計(jì)算公式；4.會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對排列的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等．知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)一、排列問題在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法，就是排列問題．在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)．一般地，從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù)．從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同的元素的排列中取出個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做．根據(jù)排列的定義，做一個(gè)元素的排列由個(gè)步驟完成：步驟：從個(gè)不同的元素中任取一個(gè)元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第二位，有()種方法；……步驟：從剩下的個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第個(gè)位置，有(種)方法；由乘法原理，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)是，即，這里，，且等號(hào)右邊從開始，后面每個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小，共有個(gè)因數(shù)相乘．二、排列數(shù)一般地，對于的情況，排列數(shù)公式變?yōu)椋硎緩膫€(gè)不同元素中取個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)．這種個(gè)排列全部取出的排列，叫做個(gè)不同元素的全排列．式子右邊是從開始，后面每一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小，一直乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還可以寫為：，其中．例題精講例題精講一、排列的基本應(yīng)用計(jì)算：⑴；⑵．（2級(jí)）（難度等級(jí)※）計(jì)算：⑴；⑵．（2級(jí)）（難度等級(jí)※）計(jì)算：⑴；⑵．（2級(jí)）有4個(gè)同學(xué)一起去郊游，照相時(shí)，必須有一名同學(xué)給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況？(照相時(shí)3人站成一排)（4級(jí)）4名同學(xué)到照相館照相．他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？（4級(jí)）9名同學(xué)站成兩排照相，前排4人，后排5人，共有多少種站法？（4級(jí)）5個(gè)人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同的站法？（4級(jí)）丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家?！?，人并排站成一排，奶奶要站在正中間，有多少種不同的站法？（4級(jí)）一列往返于北京和上海方向的列車全程停靠個(gè)車站(包括北京和上海)，這條鐵路線共需要多少種不同的車票．（4級(jí)）班集體中選出了5名班委，他們要分別擔(dān)任班長，學(xué)習(xí)委員、生活委員、宣傳委員和體育委員．問：有多少種不同的分工方式？（4級(jí)）有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號(hào)，問：共可以表示多少種不同的信號(hào)？（4級(jí)）有紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號(hào)，問共可以組成多少種不同的信號(hào)？（4級(jí)）在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號(hào)．如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時(shí)升起表示一定的信號(hào)，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號(hào)？（4級(jí)）用1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（4級(jí)）由數(shù)字、、、、、可以組成多少?zèng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2級(jí)）用、、、、可以組成多少個(gè)沒重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（4級(jí)）用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？（2級(jí)）用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？（4級(jí)）由，，，，，組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個(gè)？（4級(jí)）用、、、、這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個(gè)3的倍數(shù)？（4級(jí)）用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比大且百位數(shù)字不是的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（4級(jí)）用0到9十個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個(gè)數(shù)？（4級(jí)）由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列．2008排在個(gè)．（6級(jí)）千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為2（大減小)，且不含重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)?（4級(jí)）某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是，那么確保打開保險(xiǎn)柜至少要試幾次？（6級(jí)）幼兒園里的名小朋友去坐把不同的椅子，有多少種坐法？（4級(jí)）幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少種不同的坐法？（4級(jí)）10個(gè)人走進(jìn)只有輛不同顏色碰碰車的游樂場，每輛碰碰車必須且只能坐一個(gè)人，那么共有多少種不同的坐法？（4級(jí)）一個(gè)籃球隊(duì)有五名隊(duì)員，，，，，由于某種原因，不能做中鋒，而其余個(gè)人可以分配到五個(gè)位置的任何一個(gè)上，問一共有多少種不同的站位方法？（4級(jí)）小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?（4級(jí)）一種電子表在6時(shí)24分30秒時(shí)的顯示為::，那么從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè)?（6級(jí)）二、捆綁法在排列問題中，有時(shí)候會(huì)要求某些物體或元素必須相鄰；求某些物體必須相鄰的方法數(shù)量，可以將這些物體當(dāng)作一個(gè)整體捆綁在一起進(jìn)行計(jì)算．4個(gè)男生2個(gè)女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果要求2個(gè)女生緊挨著排在正中間有多少種不同的排法？（4級(jí)）4男2女6個(gè)人站成一排合影留念，要求2個(gè)女的緊挨著有多少種不同的排法？（4級(jí)）將A、B、C、D、E、F、G七位同學(xué)在操場排成一列，其中學(xué)生B與C必須相鄰．請問共有多少種不同的排列方法？（2007年臺(tái)灣第十一屆小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽）（4級(jí)）【鞏固】6名小朋友站成一排，若兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法？若兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？（6級(jí)）某小組有12個(gè)同學(xué)，其中男少先隊(duì)員有3人，女少先隊(duì)員有人，全組同學(xué)站成一排，要求女少先隊(duì)員都排一起，而男少先隊(duì)員不排在一起，這樣的排法有多少種？（6級(jí)）學(xué)校乒乓球隊(duì)一共有4名男生和3名女生．某次比賽后他們站成一排照相，請問：（1）如果要求男生不能相鄰，一共有多少不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少種不同的站法？（6級(jí)）書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果同類型的書不要分開，一共有多少種排法？如果只要求童話書和漫畫書不要分開有多少種排法？（6級(jí)）四年級(jí)三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動(dòng)．整個(gè)活動(dòng)由2個(gè)舞蹈、2個(gè)演唱和3個(gè)小品組成．請問：如果要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場順序？（4級(jí)）停車站劃出一排個(gè)停車位置，今有輛不同的車需要停放，若要求剩余的個(gè)空車位連在一起，一共有多少種不同的停車方案?（4級(jí)）a，b，c，d，e五個(gè)人排成一排，a與b不相鄰，共有多少種不同的排法？（4級(jí)）8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法？（6級(jí)）三、排列的綜合應(yīng)用甲、乙、丙、丁、戊、己六個(gè)人站隊(duì)，要求：甲乙兩人之間必須有兩個(gè)人，問一共有多少種站法？（6級(jí)）甲、乙、丙、丁、戊、己六個(gè)人站隊(duì)，要求：甲乙兩人之間最多有兩個(gè)人，問一共有多少種站法？（6級(jí)）甲、乙、丙、丁、戊、己六個(gè)人站隊(duì)，要求：甲不能站在隊(duì)伍左半邊，乙不能站在隊(duì)伍右半邊，丙不能站在隊(duì)伍兩端，問一共有多少種站法？（6級(jí)）甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八個(gè)人站隊(duì)，要求：甲不能站在隊(duì)伍最靠左的三個(gè)位置，乙不能站在隊(duì)伍最靠右的三個(gè)位置，丙不能站在隊(duì)伍兩端，問一共有多少種站法？（6級(jí)）名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：⑴甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；⑷男女相間．（6級(jí)）小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個(gè)人排成一排；（2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排．（6級(jí)）已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？（6級(jí)）書架上有本故事書，本作文選和本漫畫書，全部豎起來排成一排．⑴如果同類的書不分開，一共有多少種排法？⑵如果同類的書可以分開，一共有多種排法？（6級(jí)）一共有赤、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫七種顏色的燈各一盞，按照下列條件把燈串成一串，有多少種不同的串法？⑴把盞燈都串起來，其中紫燈不排在第一位，也不排在第七位．⑵串起其中盞燈，紫燈不排在第一位，也不排在第四位．（4級(jí)）某市的電視臺(tái)有八個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備分兩天播出，每天播出四個(gè)，其中某動(dòng)畫片和某新聞播報(bào)必須在第一天播出，一場體育比賽必須在第二天播出，那么一共有多少種不同的播放節(jié)目方案？（4級(jí)）從名運(yùn)動(dòng)員中選出人參加接力賽．試求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：⑴甲不能跑第一棒和第四棒；⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．（6級(jí)）一臺(tái)晚會(huì)上有個(gè)演唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目．求：（6級(jí)）⑴當(dāng)個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的順序？⑵當(dāng)要求每個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？由個(gè)不同的獨(dú)唱節(jié)目和個(gè)不同的合唱節(jié)目組成一臺(tái)晚會(huì)，要求任意兩個(gè)合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個(gè)節(jié)目必須是合唱，則這臺(tái)晚會(huì)節(jié)目的編排方法共有多少種？（6級(jí)）用排成四位數(shù)：（6級(jí)）（1）共有多少個(gè)四位數(shù)？（2）無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？（3）無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個(gè)？（4）2在3的左邊的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？（5）2在千位上的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？（6）5不在十位、個(gè)位上的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？用數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)．（6級(jí)）⑴能組成多少個(gè)五位數(shù)？⑵能組成多少個(gè)正整數(shù)？⑶能組成多少個(gè)六位奇數(shù)？⑷能組成我少個(gè)能被整除的四位數(shù)？⑸能組成多少個(gè)比大的數(shù)？⑹求三位數(shù)的和．由0，2，5，6，7，8組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)．（6級(jí)）⑴四位數(shù)有多少個(gè)？⑵四位數(shù)奇數(shù)有多少個(gè)？⑶四位數(shù)偶數(shù)有多少個(gè)？⑷整數(shù)有多少個(gè)？⑸是5的倍數(shù)的三位數(shù)有多少個(gè)？⑹是25的倍數(shù)的四位數(shù)有多少個(gè)？⑺大于5860的四位數(shù)有多少個(gè)？⑻小于5860的四位數(shù)有多少個(gè)？⑼由小到大排列的四位數(shù)中，5607是第幾個(gè)數(shù)？⑽由小到大排列的四位數(shù)中，第128個(gè)數(shù)是多少？⑴從1，2，…，8中任取3個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？（只要求列式）（6級(jí)）⑵從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？⑶3位同學(xué)坐8個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有幾種坐法？⑷8個(gè)人坐3個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有多少種坐法？⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？現(xiàn)有男同學(xué)3人，女同學(xué)4人(女同學(xué)中有一人叫王紅)，從中選出男女同學(xué)各2人，分別參加數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)四個(gè)興趣小組：（6級(jí)）(1)共有多少種選法?(2)其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?(3)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有多少種?(4)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2.了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的組合；3.掌握組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4.會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等．知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)一、組合問題日常生活中有很多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項(xiàng)活動(dòng)等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題．一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)()元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)．如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素()的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素的組合數(shù)．記作．一般地，求從個(gè)不同元素中取出的個(gè)元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素組成一組，共有種方法；第二步：將每一個(gè)組合中的個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有種排法．根據(jù)乘法原理，得到．因此，組合數(shù)．這個(gè)公式就是組合數(shù)公式．二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：()這個(gè)公式的直觀意義是：表示從個(gè)元素中取出個(gè)元素組成一組的所有分組方法．表示從個(gè)元素中取出()個(gè)元素組成一組的所有分組方法．顯然，從個(gè)元素中選出個(gè)元素的分組方法恰是從個(gè)元素中選個(gè)元素剩下的()個(gè)元素的分組方法．例如，從人中選人開會(huì)的方法和從人中選出人不去開會(huì)的方法是一樣多的，即．規(guī)定，．例題精講例題精講一、組合及其應(yīng)用計(jì)算：⑴，；⑵，．（2級(jí)）計(jì)算：⑴；⑵；⑶．（2級(jí)）計(jì)算：⑴；⑵；⑶．（2級(jí)）6個(gè)朋友聚會(huì)，每兩人握手一次，一共握手多少次？（2級(jí)）某班畢業(yè)生中有名同學(xué)相見了，他們互相都握了一次手，問這次聚會(huì)大家一共握了多少次手？（2級(jí)）（難度等級(jí)※※）學(xué)校開設(shè)門任意選修課，要求每個(gè)學(xué)生從中選學(xué)門，共有多少種不同的選法？（4級(jí)）某校舉行排球單循環(huán)賽，有個(gè)隊(duì)參加．問：共需要進(jìn)行多少場比賽？（2級(jí)）芳草地小學(xué)舉行足球單循環(huán)賽，有個(gè)隊(duì)參加．問：共需要進(jìn)行多少場比賽？（2級(jí)）一批象棋棋手進(jìn)行循環(huán)賽，每人都與其他所有的人賽一場，根據(jù)積分決出冠軍，循環(huán)賽共要進(jìn)行78場，那么共有多少人參加循環(huán)賽？（4級(jí)）某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個(gè)小組，每組人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的個(gè)第名進(jìn)行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場比賽？（4級(jí)）從分別寫有、、、、的五張卡片中任取兩張，做成一道兩個(gè)一位數(shù)的乘法題，問：⑴有多少個(gè)不同的乘積？有多少個(gè)不同的乘法算式？（6級(jí)）9、8、7、6、5、4、3、2、1、0這10個(gè)數(shù)字中劃去7個(gè)數(shù)字，一共有多少種方法？（4級(jí)）從分別寫有、、、、、、、的八張卡片中任取兩張，做成一道兩個(gè)一位數(shù)的加法題，有多少種不同的和？（4級(jí)）在中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？（6級(jí)）從、、……、、這個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少？（6級(jí)）一個(gè)盒子裝有個(gè)編號(hào)依次為，，，，的球，從中摸出個(gè)球，使它們的編號(hào)之和為奇數(shù)，則不同的摸法種數(shù)是多少？（6級(jí)）用2個(gè)1，2個(gè)2，2個(gè)3可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？用個(gè)，個(gè)，個(gè)可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？（6級(jí)）從，，，，中任取三個(gè)數(shù)字，從，，，中任取兩個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)數(shù)？（6級(jí)）從、、、、、、這七個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？（這里每個(gè)數(shù)字只允許用次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）．（2008年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學(xué)邀請賽五年級(jí)）（4級(jí)）用2個(gè)1，2個(gè)2，2個(gè)3可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？用2個(gè)0，2個(gè)1，2個(gè)2可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？（6級(jí)）【鞏固】用兩個(gè)3，一個(gè)2，一個(gè)1，可以組成多少個(gè)不重復(fù)的4位數(shù)？（6級(jí)）工廠某日生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中有2件次品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件進(jìn)行檢查，問：（1）一共有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少種？（6級(jí)）200件產(chǎn)品中有5件是次品，現(xiàn)從中任意抽取4件，按下列條件，各有多少種不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6級(jí)）在一個(gè)圓周上有個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)或頂點(diǎn)，可以畫出多少不同的：直線段；⑵三角形；⑶四邊形．（6級(jí)）平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？（4級(jí)）在正七邊形中，以七邊形的三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè)？（4級(jí)）平面內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)共線，此外再無三點(diǎn)共線．

⑴可確定多少個(gè)三角形？⑵可確定多少條射線？（6級(jí)）如圖，問：⑴圖中，共有多少條線段？

⑵圖中，共有多少個(gè)角？（4級(jí)）圖圖某班要在名同學(xué)中選出名同學(xué)去參加夏令營，問共有多少種選法？如果在人中選人站成一排，有多少種站法？（6級(jí)）學(xué)校新修建的一條道路上有盞路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的盞燈，那么熄燈的方法共有多少種？（6級(jí)）將三盤同樣的紅花和四盤同樣的黃花擺放成一排，要求三盤紅花互不相鄰，共有__________種不同的方法．（2007年“希望杯”第一試）（4級(jí)）在一次合唱比賽中，有身高互不相同的8個(gè)人要站成兩排，每排4個(gè)人，且前后對齊．而且第二排的每個(gè)人都要比他身前的那個(gè)人高，這樣才不會(huì)被擋?。还灿卸嗌俜N不同的排隊(duì)方法？（4級(jí)）在一次考試的選做題部分，要求在第一題的個(gè)小題中選做個(gè)小題，在第二題的個(gè)小題中選做個(gè)小題，在第三題的個(gè)小題中選做個(gè)小題，有多少種不同的選法？（6級(jí)）某年級(jí)個(gè)班的數(shù)學(xué)課，分配給甲、乙、丙三名數(shù)學(xué)老師任教，每人教兩個(gè)班，分派的方法有多少種？（6級(jí)）(2007年“迎春杯”高年級(jí)初賽)將19枚棋子放入的方格網(wǎng)內(nèi)，每個(gè)方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子個(gè)數(shù)均為奇數(shù)個(gè)，那么共有________種不同的放法．（4級(jí)）甲射擊員在練習(xí)射擊，前方有三種不同類型的氣球，共3串，有一串是紅氣球3個(gè)，有一串是黃氣球2個(gè)，有一串是綠氣球4個(gè)，而且每次射擊必須射最下面的氣球，問有多少種不同的射法？（6級(jí)）有8個(gè)隊(duì)參加比賽，采用如下圖所示的淘汰制方式．問在比賽前抽簽時(shí)，可以得到多少種實(shí)質(zhì)不同的比賽安排表？（6級(jí)）某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個(gè)成人和個(gè)兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？（6級(jí)）有藍(lán)色旗面，黃色旗面，紅色旗面．這些旗的模樣、大小都相同．現(xiàn)在把這些旗掛在一個(gè)旗桿上做成各種信號(hào)，如果按掛旗的面數(shù)及從上到下顏色的順序區(qū)分信號(hào)，那么利用這些旗能表示多少種不同信號(hào)?（4級(jí)）從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？

⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；

⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人．（6級(jí)）從名男生，名女生中選出名代表．

⑴不同的選法共有多少種？

⑵“至少有一名女生”的不同選法共有多少種？

⑶“代表中男、女生都要有”的不同選法共有多少種？（6級(jí)）在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？

⑴有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；

⑵既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；

⑶至少有一名主任參加；

⑷既有主任，又有外科醫(yī)生．（8級(jí)）在10名學(xué)生中，有5人會(huì)裝電腦，有3人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余2人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？（8級(jí)）有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通．從中找出人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作．問這樣的分配名單共可以開出多少張？（8級(jí)）某旅社有導(dǎo)游人，其中人只會(huì)英語，人只會(huì)日語，其余個(gè)既會(huì)英語又會(huì)日語．現(xiàn)要從中選人，其中人做英語導(dǎo)游，另外人做日語導(dǎo)游．則不同的選擇方法有多少種？（8級(jí)）二、排除法對于某些有特殊要求的計(jì)數(shù)，當(dāng)限制條件較多時(shí)，可以先計(jì)算所有可能的情況，再從中排除掉那些不符合要求的情況．如圖所示，在半圓弧及其直徑上共有9個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可畫出多少個(gè)三角形？（6級(jí)）如圖，正方形的邊界上共有7個(gè)點(diǎn)、、、、、、、其中、、分別在邊、、上．以這7個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的不同的四邊形的個(gè)數(shù)是_____個(gè)．(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽)（6級(jí)）圖中正方形的四邊共有8個(gè)點(diǎn)，其中任意4點(diǎn)不在一條直線上，那么可組成多少個(gè)四邊形？（4級(jí)）如圖，有個(gè)點(diǎn)，取不同的三個(gè)點(diǎn)就可以組合一個(gè)三角形，問總共可以組成＿＿＿＿個(gè)三角形．（4級(jí)）在的所有自然數(shù)中，百位數(shù)與個(gè)位數(shù)不相同的自然數(shù)有多少個(gè)？（4級(jí)）1到1999的自然數(shù)中，有多少個(gè)與5678相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？（6級(jí)）所有三位數(shù)中，與456相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)有多少個(gè)？（6級(jí)）【鞏固】從1到2004這2004個(gè)正整數(shù)中，共有幾個(gè)數(shù)與四位數(shù)8866相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？（6級(jí)）在三位數(shù)中，至少出現(xiàn)一個(gè)6的偶數(shù)有多少個(gè)？（6級(jí)）由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，百位不是2的奇數(shù)有個(gè)．（6級(jí)）從三個(gè)0、四個(gè)1，五個(gè)2中挑選出五個(gè)數(shù)字，能組成多少個(gè)不同的五位數(shù)？（6級(jí)）個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？（6級(jí)）一棟12層樓房備有電梯，第二層至第六層電梯不停．在一樓有3人進(jìn)了電梯，其中至少有一個(gè)要上12樓，則他們到各層的可能情況共有多少種？（6級(jí)）8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？（6級(jí)）若一個(gè)自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)字，且每個(gè)數(shù)字小于其右邊的所有數(shù)字，則稱這個(gè)數(shù)是“上升的”．問一共有多少“上升的”自然數(shù)？（6級(jí)）6人同時(shí)被邀請參加一項(xiàng)活動(dòng)．必須有人去，去幾個(gè)人自行決定，共有多少種不同的去法？（6級(jí)）由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個(gè)．(2007年“迎春杯”高年級(jí)組決賽)（6級(jí)）5條直線兩兩相交，沒有兩條直線平行，沒有任何三條直線通過同一個(gè)點(diǎn)，以這5條直線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)能構(gòu)成幾個(gè)三角形？(構(gòu)成的三角形的邊不一定在這5條直線上)（8級(jí)）正方體的頂點(diǎn)(8個(gè))，各邊的中點(diǎn)(12個(gè))，各面的中心(6個(gè))，正方體的中心(1個(gè))，共27個(gè)點(diǎn)，以這27個(gè)點(diǎn)中的其中3點(diǎn)一共能構(gòu)成多少個(gè)三角形？（6級(jí)）用A、B、C、D、E、F六種染料去染圖中的兩個(gè)調(diào)色盤，要求每個(gè)調(diào)色盤里的六種顏色不能相同，且相鄰四種顏色在兩個(gè)調(diào)色盤里不能重復(fù)，那么共有多少種不同的染色方案（旋轉(zhuǎn)算不同的方法）（6級(jí)）有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？（4級(jí)）【鞏固】小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？（6級(jí)）（6級(jí)）【鞏固】（2009年十三分小升初入學(xué)測試題）把5件相同的禮物全部分給3個(gè)小朋友，要使每個(gè)小朋友都分到禮物，則分禮物的不同方法一共有種．（6級(jí)）【鞏固】把7支完全相同的鉛筆分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少1支，問有多少種方法？（6級(jí)）【鞏固】學(xué)校合唱團(tuán)要從個(gè)班中補(bǔ)充名同學(xué)，每個(gè)班至少名，共有多少種抽調(diào)方法？（6級(jí)）10只無差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，允許有的盤子空著．請問一共有多少種不同的放法？（6級(jí)）把20個(gè)蘋果分給3個(gè)小朋友，每人最少分3個(gè)，可以有多少種不同的分法？（6級(jí)）如果把20支鉛筆，分給甲、乙、丙三人，每人至少3支，可以有多少種不同的分法？（6級(jí)）【鞏固】三所學(xué)校組織一次聯(lián)歡晚會(huì)，共演出14個(gè)節(jié)目，如果每校至少演出3個(gè)節(jié)目，那么這三所學(xué)校演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有多少種？（6級(jí)）(1)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法?(2)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天或8天之內(nèi)吃完，共有多少種吃法?（6級(jí)）【鞏固】（難度等級(jí)※※※※）有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？（6級(jí)）馬路上有編號(hào)為，，，…，的十只路燈，為節(jié)約用電又能看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但又不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？（6級(jí)）在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？（6級(jí)）【鞏固】大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個(gè)？（6級(jí)）兔媽媽摘了15個(gè)相同的磨菇，分裝在3個(gè)相同的筐子里，如果不允許有空筐，共有多少種不同的裝法？如果分裝在3個(gè)不同的筐子里，不允許有空筐，又有多少種不同的裝法？（8級(jí)）例題精講：排列組合的應(yīng)用小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個(gè)人排成一排；（2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比大且百位數(shù)字不是的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？用0到9十個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個(gè)數(shù)？用、、、、這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個(gè)3的倍數(shù)？用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是，那么確保打開保險(xiǎn)柜至少要試幾次？兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個(gè)人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？一種電子表在6時(shí)24分30秒時(shí)的顯示為6:24：30，那么從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè)?一個(gè)六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的．將這個(gè)六位數(shù)的6個(gè)數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個(gè)能被11整除的六位數(shù)?已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：⑴甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；⑷男女相間．五位同學(xué)扮成奧運(yùn)會(huì)吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法。一臺(tái)晚會(huì)上有個(gè)演唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目．求：⑴當(dāng)個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的順序？⑵當(dāng)要求每個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？由個(gè)不同的獨(dú)唱節(jié)目和個(gè)不同的合唱節(jié)目組成一臺(tái)晚會(huì)，要求任意兩個(gè)合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個(gè)節(jié)目必須是合唱，則這臺(tái)晚會(huì)節(jié)目的編排方法共有多少種？⑴從1，2，…，8中任取3個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？（只要求列式）⑵從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？⑶3位同學(xué)坐8個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有幾種坐法？⑷8個(gè)人坐3個(gè)座位，每個(gè)座位坐1人，共有多少種坐法？⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？現(xiàn)有男同學(xué)3人，女同學(xué)4人(女同學(xué)中有一人叫王紅)，從中選出男女同學(xué)各2人，分別參加數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)四個(gè)興趣小組：(1)共有多少種選法?(2)其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?(3)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有多少種?(4)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個(gè)小組，每組人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的個(gè)第名進(jìn)行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場比賽？由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個(gè)。(2007年“迎春杯”高年級(jí)組決賽)個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？把20個(gè)蘋果分給3個(gè)小朋友，每人最少分3個(gè)，可以有多少種不同的分法？有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個(gè)成人和個(gè)兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？

⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；

⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？

⑴有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；

⑵既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；

⑶至少有一名主任參加；

⑷既有主任，又有外科醫(yī)生。在10名學(xué)生中，有5人會(huì)裝電腦，有3人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余2人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通．從中找出人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作．