線性代數課件矩陣的初等變換與線性方程組-習題課

線性代數1/23/2024第三章

矩陣的初等變換與線性方程組1/23/20241/23/20241/23/2024１初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換1/23/2024初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．1/23/2024反身性傳遞性對稱性２矩陣的等價1/23/2024三種初等變換對應著三種初等矩陣．３初等矩陣由單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．1/23/2024〔１〕換法變換：對調兩行〔列〕，得初等矩陣．1/23/2024〔２〕倍法變換：以數〔非零〕乘某行〔列〕，得初等矩陣．1/23/2024〔３〕消法變換：以數乘某行〔列〕加到另一行〔列〕上去，得初等矩陣．1/23/2024經過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數即是非零行的行數，階梯線的豎線〔每段豎線的長度為一行〕后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元．例如４行階梯形矩陣1/23/2024經過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進一步化為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0．例如５行最簡形矩陣1/23/2024對行階梯形矩陣再進行初等列變換，可得到矩陣的標準形，其特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都為0．例如６矩陣的標準形1/23/2024所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中形狀最簡單的矩陣．1/23/2024定義７矩陣的秩定義1/23/2024定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數．８矩陣秩的性質及定理1/23/20241/23/2024定理定理９線性方程組有解判別定理1/23/2024

齊次線性方程組：把系數矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解．非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據有解判別定理判斷是否有解，假設有解，把增廣矩陣進一步化成行最簡形矩陣，寫出通解．10線性方程組的解法1/23/2024定理11初等矩陣與初等變換的關系定理推論1/23/2024一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題1/23/2024求矩陣的秩有以下根本方法〔１〕計算矩陣的各階子式，從階數最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數最大的一個子式，那么這個子式的階數就是矩陣的秩．一、求矩陣的秩1/23/2024〔２〕用初等變換．即用矩陣的初等行〔或列〕變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行〔或列〕的個數，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行〔或列〕的個數就是原矩陣的秩．第一種方法當矩陣的行數與列數較高時，計算量很大，第二種方法那么較為簡單實用．1/23/2024例１求以下矩陣的秩解對施行初等行變換化為階梯形矩陣1/23/20241/23/2024

注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可以同時兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．1/23/2024當方程的個數與未知數的個數不相同時，一般用初等行變換求方程的解．當方程的個數與未知數的個數相同時，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法那么．二、求解線性方程組1/23/2024例２求非齊次線性方程組的通解．解對方程組的增廣矩陣進行初等行變換，使其成為行最簡單形．1/23/20241/23/20241/23/2024由此可知，而方程組(1)中未知量的個數是，故有一個自由未知量.1/23/2024例３當取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．解法一系數矩陣的行列式為1/23/20241/23/2024從而得到方程組的通解1/23/20241/23/20241/23/2024解法二用初等行變換把系數矩陣化為階梯形1/23/20241/23/2024三、求逆矩陣的初等變換法1/23/2024例４求下述矩陣的逆矩陣．解1/23/20241/23/2024

注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．1/23/2024四、解矩陣方程的初等變換法或者1/23/2024例５解1/23/20241/23/2024第三章測試題一、填空題(每題4分，共24分)．1．假設元線性方程組有解，且其系數矩陣的秩為，那么當時，方程組有唯一解；當時，方程組有無窮多解．2．齊次線性方程組只有零解，那么應滿足的條件是．1/23/20244．線性方程組有解的充要條件是1/23/2024二、計算題(第1題每題8分，共16分；第2題每小題9分，共18分；第3題12分)．1/23/20242．求解以下線性方程組1/23/2024有唯一解、無解或有無窮多解？在有