中考數(shù)學(xué)全面突破：題型2 　圓的相關(guān)證明與計(jì)算

題型2圓的相關(guān)證明與計(jì)算eq\x(題型解讀)1.考查類(lèi)型：①圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算；②圓與全等、相似知識(shí)綜合題；③圓與三角函數(shù)等其他知識(shí)綜合題；2.考查內(nèi)容：①考查多與圓周角定理、垂徑定理及切線(xiàn)定理有關(guān)；②多與三角形全等、相似的判定與性質(zhì)有關(guān)；③多與三角函數(shù)等有關(guān)；3.在做此題型時(shí)，要觀(guān)察題中已知條件并結(jié)合題的設(shè)問(wèn)，聯(lián)系全等、相似三角形的判定及切線(xiàn)的性質(zhì)等解題．類(lèi)型一圓的基本性質(zhì)證明計(jì)算題1.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為eq\o(AD,\s\up8(︵))中點(diǎn)，連接BM，CM.(1)求證：BM＝CM；(2)當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，求eq\o(BM,\s\up8(︵))的長(zhǎng)．2.如圖，A，P，B，C是圓上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)D.(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝2eq\r(3)，求PD的長(zhǎng)．類(lèi)型二圓與全等、相似知識(shí)綜合題3.如圖，OA，OD是⊙O半徑，過(guò)A作⊙O的切線(xiàn)，交∠AOD的平分線(xiàn)于點(diǎn)C，連接CD，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)B.(1)求證：直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；(2)如果D點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3cm，求eq\o(DE,\s\up8(︵))的長(zhǎng)度．(結(jié)果保留π)4.已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED.若ED＝EC.(1)求證：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝2eq\r(3)，求CD的長(zhǎng)．5.如圖，點(diǎn)D是等邊三角形ABC的外接圓上一點(diǎn)，M是BD上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足DM＝DC，點(diǎn)E是AC與BD的交點(diǎn)．(1)求證：CM∥AD；(2)如果AD＝1，CM＝2.求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)及△BCE的面積．6.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長(zhǎng)線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)交于點(diǎn)E，且∠A＝∠EBC.(1)求證：BE是⊙O的切線(xiàn)；(2)已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G，若BG·BA＝48，F(xiàn)G＝eq\r(2)，DF＝2BF；求AH的值．7.如圖，AB為△ABC外接圓⊙O的直徑，點(diǎn)P是線(xiàn)段CA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在圓上且滿(mǎn)足PE2＝PA·PC，連接CE，AE，OE，OE交CA于點(diǎn)D.(1)求證：△PAE∽△PEC；(2)求證：PE為⊙O的切線(xiàn)；(3)若∠B＝30°，AP＝eq\f(1,2)AC，求證：DO＝DP.類(lèi)型三圓與三角函數(shù)等其他知識(shí)綜合題8.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線(xiàn)AC上，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F，且∠ACB＝∠DCE.(1)判斷直線(xiàn)CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，求⊙O的半徑．9.如圖①，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，且ED⊥AC.(1)試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，若線(xiàn)段AB、DE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，∠C＝75°，CD＝2－eq\r(3)，求⊙O的半徑和BF的長(zhǎng)．10.如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF.(1)證明：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度數(shù)；(3)設(shè)DE交AB于點(diǎn)G，若DF＝4，cosB＝eq\f(2,3)，E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，求EG·ED的值．11.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線(xiàn)AC為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度數(shù)；(2)求證：DF是⊙O的切線(xiàn)；(3)若AC＝2eq\r(5)DE，求tan∠ABD的值．12.如圖，在Rt△ABC與Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O為AB的中點(diǎn)．(1)求證：∠B＝∠ACD；(2)已知點(diǎn)E在AB上，且BC2＝AB·BE.(i)若tan∠ACD＝eq\f(3,4)，BC＝10，求CE的長(zhǎng)；(ii)試判定CD與以A為圓心，AE為半徑的⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．答案與解析：類(lèi)型一圓的基本性質(zhì)證明計(jì)算題1.(1)【思路分析】要證BM＝CM，可通過(guò)等弧對(duì)等邊的性質(zhì)先證明eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(CM,\s\up8(︵))，由M為eq\o(AD,\s\up8(︵))的中點(diǎn)和圓內(nèi)接正方形ABCD的性質(zhì)即可證得eq\o(AB,\s\up8(︵))＋eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＋eq\o(DM,\s\up8(︵))，通過(guò)等量代換即可得證；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∵M(jìn)為eq\o(AD,\s\up8(︵))中點(diǎn)，∴eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(DM,\s\up8(︵))，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＋eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＋eq\o(DM,\s\up8(︵))，∴eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(CM,\s\up8(︵))，∴BM＝CM.(2)【思路分析】連接OM，OB，OC.由(1)得eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(CM,\s\up8(︵))，即可得到∠BOM＝∠COM，由于∠BOC所對(duì)應(yīng)的是圓內(nèi)接正方形的一條邊，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到∠BOC的度數(shù)，即可得到eq\o(BM,\s\up8(︵))所對(duì)的圓心角∠BOM的度數(shù)，知道圓心角和半徑長(zhǎng)即可得到eq\o(BM,\s\up8(︵))的長(zhǎng)度．解：如解圖，連接OM，OB，OC，∵eq\o(BM,\s\up8(︵))＝eq\o(CM,\s\up8(︵))，第1題解圖∴∠BOM＝∠COM，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BOC＝eq\f(360°,4)＝90°，∴∠BOM＝eq\f(1,2)(360°－90°)＝135°，由弧長(zhǎng)公式得，eq\o(BM,\s\up8(︵))的長(zhǎng)l＝eq\f(135×2×π,180)＝eq\f(3,2)π.2.(1)證明：由題意可得：∠BPC＝∠BAC，∠APC＝∠ABC，∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．(2)解：∵∠PAC＝90°，∴PC是圓的直徑，∴∠PBC＝90°，∴∠PBD＝90°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝2eq\r(3)，∵∠CPB＝60°，∴PB＝eq\f(2\r(3),tan60°)＝2，∵∠APC＝60°，∴∠DPB＝180°－60°－60°＝60°，∴PD＝2PB＝4.類(lèi)型二圓與全等、相似知識(shí)綜合題3.(1)證明：∵CA切⊙O于點(diǎn)A，∴∠CAO＝90°.∵OC平分∠AOD，∴∠AOC＝∠DOC，在△AOC和△DOC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(OA＝OD,∠AOC＝∠DOC,OC＝OC)))，∴△AOC≌△DOC(SAS)，∴∠CDO＝∠CAO＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線(xiàn)．(2)解：由(1)知：OD⊥BC，又∵D是BC的中點(diǎn)，∴OD是BC的垂直平分線(xiàn)，∴OC＝OB，∴∠BOD＝∠DOC＝∠COA＝eq\f(1,3)×180°＝60°，∴∠DOE＝60°，∴eq\o(DE,\s\up8(︵))的長(zhǎng)度為eq\f(60,180)π×3＝π.4.(1)證明：∵ED＝EC，∴∠CDE＝∠C，又∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B＋∠EDA＝180°，∵∠EDA＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，∵∠CDE＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.(2)解：如解圖，連接AE，則AE⊥BC，第4題解圖由(1)知，AB＝AC，∴BE＝EC＝eq\f(1,2)BC，在△ABC與△EDC中，∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△ABC∽△EDC.∴eq\f(AB,ED)＝eq\f(BC,DC)，即DC＝eq\f(BC·ED,AB)＝eq\f(BC·\f(1,2)BC,AB)＝eq\f(BC2,2AB)，由AB＝4，BC＝2eq\r(3)，得DC＝eq\f(（2\r(3)）2,2×4)＝eq\f(3,2).5.(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DM＝DC，∴△DMC是等邊三角形，∴∠MCD＝60°，∴∠MCD＋∠ADC＝180°，∴CM∥AD.(2)解：∵BC＝AC，∠ADC＝∠BMC＝120°，∠CBM＝∠CAD，∴△ADC≌△BMC，∴AD＝MB＝1，∴BD＝BM＋MD＝AD＋CM＝1＋2＝3，∵CM∥AD，∴∠CAD＝∠ACM，∠ADE＝∠EMC，∴△ADE∽△CME，∴eq\f(AD,CM)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(1,2)，∴S△ADE＝eq\f(1,4)S△EMC，∵S△CMD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2＝eq\r(3)，∴S△EMC＝eq\f(2,3)S△CMD＝eq\f(2,3)eq\r(3)，S△EDC＝eq\f(1,3)S△CDM＝eq\f(\r(3),3)，∴S△ADE＝eq\f(1,4)S△EMC＝eq\f(\r(3),6)，(∴S△ADC＝S△ADE＋S△DCE＝eq\f(\r(3),6)＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),2)，∴S△BCE＝S△BMC＋S△MCE＝S△ADC＋S△CME＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(2,3)eq\r(3)＝eq\f(7,6)eq\r(3).6.解：(1)連接DC，如解圖，第6題解圖∵DB是⊙O的直徑，∴∠DCB＝90°，∴∠D＋∠DBC＝90°，∵∠D＝∠A，∠EBC＝∠A.∴∠D＝∠EBC，∴∠EBC＋∠DBC＝90°，即∠DBE＝90°，∴BE是⊙O的切線(xiàn)．(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴eq\f(BC,BG)＝eq\f(AB,BC)，即BC2＝BG·AB＝48，∴BC＝4eq\r(3)，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴∠CFB＝∠DCB＝90°，又∵∠CBF＝∠DBC，∴Rt△BFC∽R(shí)t△BCD，∴eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC,BD)，∴BC2＝BF·BD＝48，又∵DF＝2BF，BD＝DF＋BF＝3BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝eq\r(BC2－BF2)＝4eq\r(2)，∴CG＝CF＋FG＝5eq\r(2)，在Rt△BFG中，BG＝eq\r(BF2＋FG2)＝3eq\r(2)，∵BA＝eq\f(48,BG)＝8eq\r(2)，∴AG＝5eq\r(2)，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4eq\r(3)，∵∠ABC＝∠CBG，∠BCG＝∠A，∴△ABC∽△CBG，∴eq\f(AC,CG)＝eq\f(BC,BG)，∴AC＝eq\f(BC·CG,BG)＝4eq\r(3)×eq\f(5\r(2),3\r(2))＝eq\f(20\r(3),3)，∴AH＝AC－CH＝eq\f(20\r(3),3)－4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3).7.(1)解：∵PE2＝PA·PC，∴eq\f(PA,PE)＝eq\f(PE,PC)，∵∠P＝∠P，∴△PAE∽△PEC，(2)證明：∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OAE＋∠ECA＝90°，∴∠PEO＝∠PEA＋∠OEA＝∠PCE＋∠OAE＝90°，∵OE為⊙O半徑，∴PE是⊙O的切線(xiàn)．(3)證明：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CP于點(diǎn)H，∵AB是⊙O的直徑，∠B＝30°，第7題解圖∴BC＝eq\f(AC,tan30°)＝eq\f(AC,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)AC，∵O是AB的中點(diǎn)，∴OH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)AC，∵PE2＝PA·PC，AP＝eq\f(1,2)AC，∴PE2＝eq\f(1,2)AC·(eq\f(1,2)AC＋AC)＝eq\f(1,2)AC·eq\f(3,2)AC＝eq\f(3,4)AC2，∴PE＝eq\f(\r(3),2)AC，∴OH＝PE，∵∠OHA＝∠PED＝90°，∠HDO＝∠EDP，∴△HDO≌△EDP，∴DO＝DP.類(lèi)型三圓與三角函數(shù)等其他知識(shí)綜合題8.解：(1)直線(xiàn)CE與⊙O相切．證明如下：連接OE，∴∠OAE＝∠AEO，∵四邊形ABCD是矩形，第8題解圖∴BC∥AD，∠ACB＝∠DAC,又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠AEO＝∠DCE，∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE是⊙O的半徑，∴直線(xiàn)CE與⊙O相切．(2)∵tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(6)，又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝eq\f(\r(2),2)，∴DE＝DC·tan∠DCE＝AB·tan∠DCE＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，在Rt△CDE中，CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(3)，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(eq\r(6)－r)2＝r2＋3，解得r＝eq\f(\r(6),4).∴⊙O的半徑為eq\f(\r(6),4).9.解：(1)△ABC為等腰三角形，理由如下：如解圖①，連接OE，在⊙O中，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，第9題解圖①∵DE是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OED＝90°，∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°＝∠OED，∴OE∥AC且BE＝CE＝eq\f(1,2)BC，∴∠OEB＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AC＝AB，∴△ABC為等腰三角形．(2)如解圖②，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DF，∵AC⊥DF，∴BH∥AC，∠EBH＝∠C，由(1)知∠CDE＝∠BHE＝90°，BE＝CE，∴△CDE≌△BHE(AAS)，∴CD＝BH＝2－eq\r(3)，∵∠HBF＝180°－∠OBE－∠EBH＝180°－75°－75°＝30°，第9題解圖②∴∠F＝90°－30°＝60°，在Rt△BFH中，∴BF＝eq\f(BH,sin60°)＝eq\f(4\r(3)－6,3)，設(shè)OE＝x，在Rt△OEF中，sin60°＝eq\f(OE,OF)＝eq\f(x,x＋BF)，解得x＝2，故⊙O的半徑為2，BF的長(zhǎng)為eq\f(4\r(3)－6,3).10.(1)第10題解圖證明：如解圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)解：∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.(3)解：如解圖，連接OE，∵∠CFD＝∠E＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4，在Rt△ABD中，cosB＝eq\f(2,3)，BD＝4，∴AB＝6，∵E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，∴∠AOE＝90°，∵AO＝OE＝eq\f(1,2)AB＝3，∴AE＝eq\r(OA2＋OE2)＝3eq\r(2)，∵E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴eq\f(AE,EG)＝eq\f(DE,AE)，即EG·ED＝AE2＝18.11.(1)解：∵對(duì)角線(xiàn)AC為⊙O直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°.第11題解圖①(2)證明：如解圖，連接OF、OD，在Rt△CDE中，點(diǎn)F為斜邊CE的中點(diǎn)，∴DF＝FC，在△DOF和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF＝CF,OF＝OF,OD＝DC))，∴△DOF≌△COF(SSS)，∴∠ODF＝∠OCF＝90°，∴DF⊥OD，又∵OD為⊙O半徑，∴DF為⊙O的切線(xiàn)；(3)解：由圓周角定理可得，∠ABD＝∠ACD，由題意知，∠ADC＝∠CDE＝90°，∠CAD＝∠ECD，∴△ADC∽△CDE，∴