現(xiàn)代控制理論第4章2

4.3.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性的含義和非線性系統(tǒng)的含義完全不同。在線性定常系統(tǒng)中，假設(shè)平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的，那么它是大范圍漸近穩(wěn)定的。然而在非線性系統(tǒng)中，不是大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的。對(duì)于非線性系統(tǒng)的分析，基于Lyapunov第一法的分析方法永遠(yuǎn)不夠，基于Lyapunov第二法的方法非線性系統(tǒng)的分析方法——克拉索夫斯基法、Schultz-Gibson變量梯度法、魯里葉(Lure’)法以及波波夫法等。編輯ppt下面主要討論非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的兩種方法

1、克拉索夫斯基法2、變量梯度法定理4.7非線性系統(tǒng)方程為已知系統(tǒng)平衡狀態(tài)為坐標(biāo)原點(diǎn)xe=0，即f(xe)=0,且f(x

)對(duì)xi處是可微的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為編輯ppt那么系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的充分條件是：以下矩陣在所有x下都是負(fù)定的，而且是一個(gè)李亞普諾夫〔Lyapunov〕函數(shù)。對(duì)任意n維狀態(tài)向量x，有對(duì)任意n維狀態(tài)向量x，有標(biāo)量標(biāo)量編輯ppt編輯ppt編輯ppt例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試用克拉索夫基法確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的

xe=0穩(wěn)定性.解：編輯ppt由塞爾維斯特準(zhǔn)那么有編輯ppt關(guān)于定理的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）該定理對(duì)非線性系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)只給出了穩(wěn)定的充分條件，若不是負(fù)定的，則不能給出任何結(jié)論。（2）使為負(fù)定的必要條件是，F(xiàn)(x)主對(duì)角線上的所有元素不為零，即：編輯ppt〔3〕線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例，該定理也適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。若A為非奇異，則當(dāng)為負(fù)定時(shí)，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定。(4)克拉索夫斯基方法主要適用于針對(duì)可線性化表示的函數(shù)，即〔a〕非線性特性可用解析表達(dá)式表示的單值函數(shù)；（b）非線性函數(shù)對(duì)是可微的；（c）編輯ppt變量梯度法1〕梯度的概念一個(gè)多元函數(shù)v(x1,x2,…,xn)存在對(duì)n個(gè)變量xi的偏導(dǎo)數(shù)。在控制問(wèn)題中，偏導(dǎo)數(shù)是指n維空間中的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)某一位置時(shí)沿各個(gè)坐標(biāo)方向的變化率。把反映運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)沿各個(gè)坐標(biāo)方向的變化率的各偏導(dǎo)數(shù)作為分量，構(gòu)成一個(gè)n維向量，稱該向量為函數(shù)v(x1,x2,…,xn)的梯度。習(xí)慣上用符號(hào)“V〞表示。編輯ppt2〕向量的曲線積分

變力做功問(wèn)題：變力F沿著給定路徑L所做的功可用曲線積分來(lái)計(jì)算。積分的結(jié)果與積分路徑的選擇無(wú)關(guān)。編輯ppt3〕旋度方程如果一個(gè)向量的曲線積分與積分路徑選擇無(wú)關(guān)，那么向量的旋度必為零。由向量的旋度為零可得出由所組成的雅可比矩陣必為對(duì)稱矩陣。編輯ppt4〕變量梯度法求李氏函數(shù)式中為維狀態(tài)向量，是變量,,…,和t的n維向量函數(shù)。設(shè)非線性系統(tǒng)方程為設(shè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即xe=0,假設(shè)要尋找的李氏函數(shù)為v(x)=v(x1,x2,…,xn)編輯ppt李氏函數(shù)的求取變成求一個(gè)適宜的梯度向量V。求取V利用了以下兩個(gè)條件：1）由于

V是一個(gè)向量，則n維廣義旋度為0，故

V必須滿足以下旋度方程：2）由

V計(jì)算出來(lái)的v

(x)和必須滿足李氏函數(shù)穩(wěn)定性的要求。編輯ppt總結(jié)上述分析，如果非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定，變量梯度法確定李氏函數(shù)的步驟概括如下：1〕假定V是一個(gè)任意列向量，即：式中：aij(i,j=1,2,…,n)為待定系數(shù),可以是常數(shù)，也可以是時(shí)間t的函數(shù)或狀態(tài)變量的函數(shù)，通常aij選為常數(shù)或t的函數(shù)。2）由V寫出，即：編輯ppt3）限定是負(fù)定的或至少是負(fù)半定的，并用n(n-1)/2個(gè)旋度方程確定待定系數(shù)aij。4）將得出的重新校驗(yàn)負(fù)定性，因?yàn)樾确匠檀_定系數(shù)可能會(huì)使它改變。5）由

V的線積分求出，積分路徑按式（4-44）給出。6〕確定在平衡點(diǎn)處的漸近穩(wěn)定性范圍。注意：用這種方法不能構(gòu)造出一個(gè)適宜的李氏函數(shù)時(shí)，并不意味著平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。編輯ppt例：設(shè)非線性系統(tǒng)方程為利用變量梯度法構(gòu)造李氏函數(shù)，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：〔1〕假定v(x)的梯度為（2）寫出

的形式編輯ppt編輯ppt〔4〕求出李氏函數(shù)滿足旋度方程條件，于是有可見，李氏函數(shù)是正定的。編輯ppt式中P為正定Hermite矩陣（如果是實(shí)向量，且A是實(shí)矩陣，則P可取為正定的實(shí)對(duì)稱矩陣）。對(duì)于式(4.3)的系統(tǒng)，選取如下二次型Lyapunov函數(shù)，即4.4線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析假設(shè)A為非奇異矩陣，則有唯一的平衡狀態(tài)，其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性很容易通Lyapunov第二法進(jìn)行研究?？紤]如下線性定常自治系統(tǒng)(4.3)式中。編輯ppt沿任一軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為為正定矩陣。式中由于取為正定，對(duì)于漸近穩(wěn)定性，要求為負(fù)定的，因此必須有：編輯ppt因此，對(duì)于式(4.3〕的系統(tǒng)，其漸近穩(wěn)定的充分條件是Q正定。這可歸納為如下定理。為了判斷nn維矩陣的正定性，可采用賽爾維斯特準(zhǔn)那么，即矩陣為正定的充要條件是矩陣的所有主子行列式均為正值。然后檢查由在判別時(shí)，方便的方法，不是先指定一個(gè)正定矩陣P，然后檢查Q是否也是正定的，而是先指定一個(gè)正定的矩陣Q，確定的P是否也是正定的。編輯ppt定理4.9線性定常系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的充要條件是：特別地，當(dāng)時(shí)，可取(正半定)。此時(shí)，Lyapunov函數(shù)為這里P、Q均為Hermite矩陣或?qū)崒?duì)稱矩陣。對(duì)于，，滿足如下Lyapunov方程編輯ppt現(xiàn)對(duì)該定理作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)如果系統(tǒng)只包含實(shí)狀態(tài)向量和實(shí)系統(tǒng)矩陣A，則Lyapunov函數(shù)變?yōu)?，且Lyapunov方程為(2)如果沿任一條軌跡不恒等于零，則Q可取正半定矩陣。

(3)如果取任意的正定矩陣Q，或如果沿任一軌跡不恒等于零時(shí)取任意的正半定矩陣Q，并求解矩陣方程以確定P，則對(duì)于在平衡點(diǎn)處的漸近穩(wěn)定性，P為正定是充要條件。編輯ppt則沿任意軌跡不恒等于零。注意，如果正半定矩陣Q滿足下列秩的條件(4)只要選擇的矩陣Q為正定的〔或根據(jù)情況選為正半定的〕，那么最終的判定結(jié)果將與矩陣Q的不同選擇無(wú)關(guān)。編輯ppt(5)為了確定矩陣P的各元素，可使矩陣和矩陣–Q

的各元素對(duì)應(yīng)相等。為了確定矩陣P的各元素將導(dǎo)致n(n-1)/2個(gè)線性方程。如果用表示矩陣A的特征值，則每個(gè)特征值的重?cái)?shù)與特征方程根的重?cái)?shù)是一致的，并且如果每?jī)蓚€(gè)根的和

則P的元素將唯一地被確定。注意，如果矩陣A表示一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，那么的和總不等于零。(6)在確定是否存在一個(gè)正定的Hermite或?qū)崒?duì)稱矩陣P時(shí)，為方便起見，通常取，I為單位矩陣。從而，P的各元素可按下式確定然后再檢驗(yàn)P是否正定。編輯ppt上式可寫為此時(shí)實(shí)對(duì)稱矩陣P可由下式確定[解]不妨取Lyapunov函數(shù)顯然，平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[例4.5]設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為編輯ppt從方程組中解出、、，可得為了檢驗(yàn)P的正定性，可校核各主子行列式將矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組為編輯ppt

顯然，P是正定的。因此，在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的，且Lyapunov函數(shù)為

此時(shí)編輯ppt[例4.6]試確定如圖4.3所示系統(tǒng)的增益K的穩(wěn)定范圍。圖4.3控制系統(tǒng)編輯ppt[解]容易確定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為在確定K的穩(wěn)定范圍時(shí)，假設(shè)輸入u為零。于是上式可寫為 (4.4) (4.5) (4.6)編輯ppt如果恒等于零，也必恒等于零，因?yàn)橛墒?4.6）可得取恒等于零，意味著也恒等于零。為了證實(shí)這一點(diǎn)，注意由于除原點(diǎn)外不恒等于零，因此可選上式的Q。假設(shè)取正半定的實(shí)對(duì)稱矩陣Q為 (4.7)由式(4.4〕到〔5.6〕可發(fā)現(xiàn)，原點(diǎn)是平衡狀態(tài)編輯ppt于是只在原點(diǎn)處才恒等于零。因此，為了分析穩(wěn)定性，可采用由式(4.7）定義的矩陣Q。也可檢驗(yàn)下列矩陣的秩如果恒等于零，也恒等于零。因?yàn)橛墒?4.4）可得編輯ppt顯然，對(duì)于，其秩為3。因此可選擇這樣的Q用于Lyapunov方程。求解如下Lyapunov方程為它可重寫為編輯ppt編輯ppt

對(duì)P的各元素求解

為使P成為正定矩陣，其充要條件為和或因此，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，也就是說(shuō)，原點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定的。編輯ppt對(duì)于線性定常系統(tǒng)，利用李亞普諾夫判據(jù)不但可以判斷其原點(diǎn)平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定，而且還可以對(duì)其自由運(yùn)動(dòng)趨向原點(diǎn)平衡狀態(tài)的收斂快慢作出估計(jì)。4.5線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定自由運(yùn)動(dòng)的衰減率性能估計(jì)編輯ppt考察線性定常自治系統(tǒng)，，(4.8）顯然，越小，相應(yīng)地自由運(yùn)動(dòng)衰減的越慢。來(lái)表征系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的衰減性能，稱為衰減系數(shù)。(4.9)當(dāng)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定時(shí)，正定，而為負(fù)定，因此引入如下定義的一個(gè)正實(shí)數(shù)4.5.1衰減系數(shù)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是系統(tǒng)狀態(tài)的正定函數(shù)，是系統(tǒng)某種“能量”的度量，而則為“能量”隨時(shí)間的變化速率。編輯ppt(4.12)一般來(lái)說(shuō)，直接由(4.11)難以直接進(jìn)行估計(jì)，一般取(4.11)由此得出對(duì)(4.9)式兩邊積分得到(4.10)編輯ppt對(duì)線性定常系統(tǒng)，可以定出隨時(shí)間的衰減上界。一旦定出，則可定出隨時(shí)間衰減上界。將(4.12)代入(4.11)，得到(4.13)編輯ppt4.5.2計(jì)算的關(guān)系式

的解陣P存在唯一且為正定。(4.14)對(duì)系統(tǒng)(4.8)式，當(dāng)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定時(shí)，對(duì)任意給定正定對(duì)稱陣Q，李雅普諾夫方程(4.15)編輯ppt證明〔略〕。幾何含義為，為狀態(tài)空間的超平面上極小點(diǎn)處的標(biāo)量值。其中表示的最小特征值。

結(jié)論：對(duì)線性定常系統(tǒng)(4.8),設(shè)正定對(duì)稱矩陣成立：(4.16)編輯ppt[例4.6]設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，并求從封閉曲線v(x)=100邊界上的一點(diǎn)到封閉曲線v(x)

=0.05內(nèi)一點(diǎn)的響應(yīng)時(shí)間上限。[解]:顯然，平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。不妨取Lyapunov函數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣P可由下式確定上式可寫為編輯ppt將矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組為從方程組中解出、、，可得各主子行列式均大于零,P是正定性的。編輯ppt編輯ppt4.6離散時(shí)間系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定性及其判據(jù)類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，給出如下主要結(jié)論：考慮定常離散時(shí)間系統(tǒng)（4.17）且設(shè)即為平衡狀態(tài)

。結(jié)論1[離散系統(tǒng)的大范圍淅近穩(wěn)定判據(jù)]對(duì)于離散系統(tǒng)（4.17），如果存在一個(gè)相對(duì)的標(biāo)量函數(shù)且對(duì)任意滿足:為正定;(i)(ii)編輯ppt

(iii)

當(dāng)時(shí)，有;則原點(diǎn)平衡狀態(tài)即x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。在實(shí)際運(yùn)用結(jié)論1時(shí)發(fā)現(xiàn)，由于條件(ii)偏于保守，以致對(duì)相當(dāng)一些問(wèn)題導(dǎo)致判斷失敗。因此，可相應(yīng)對(duì)其放寬，而得到較少保守性的李亞普諾夫穩(wěn)定性定理。編輯ppt那么原點(diǎn)平衡狀態(tài)即x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。(iv)

當(dāng)時(shí)，有;(ii)為負(fù)半定；(i)

為正定；結(jié)論2[離散系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判據(jù)]對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)（4.17），如果存在一個(gè)相對(duì)于的標(biāo)量函數(shù)，且對(duì)任意滿足:(iii)

對(duì)由任意初態(tài)x(0)所確定的(4.17)的解的軌線，不恒為零；編輯ppt由結(jié)論1，結(jié)論3得證。這樣負(fù)定。且當(dāng)時(shí)，。證明：設(shè)結(jié)論3：對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)(4.17)，且設(shè)，則當(dāng)收斂，即對(duì)所有有 時(shí)，系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)即為大范圍漸近穩(wěn)定。(4.18)編輯ppt線性定常離散系統(tǒng)李亞普諾夫穩(wěn)定性分析定理4-10：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)為x(k+1)=Gx(k),xe=0式中：x——n維狀態(tài)向量G——n*n常系數(shù)非奇異矩陣那么系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處xe=0大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)任意給定的正定對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P，且滿足如下矩陣方程：GTPG–P=-Q并且v(x)=xT(k)Px(k)是這個(gè)系統(tǒng)的李氏函數(shù)。編輯ppt證明：設(shè)所選李氏函數(shù)為

v[x(k)]=xT

(k)

Px(k)式中：P為正定實(shí)對(duì)稱矩陣。

v[x(k)]=v[x(k+1)]

–

v[x(k)]

=xT

(k+1)

Px(k+1)–xT

(k)

Px(k)=[Gx(k)]TP

Gx(k)–xT

(k)

Px(k)=[xT

(k)GT

]P

Gx(k)–xT

(k)

Px(k)=xT

(k)[

GT

P

G–P]x(k)=xT

(k)[–

Q]x(k)李氏函數(shù)v(x)=xT

(k)

P

x(k)選為正定，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定條件是

v[x(k)]=–xT

(k)Qx(k)負(fù)定即Q

=–

(GTPG–P)正定編輯ppt因此，對(duì)于選定正定對(duì)稱矩陣P，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件是：Q為正定對(duì)稱矩陣。反之對(duì)于選定正定對(duì)稱矩陣Q

，由矩陣方程

Q

=–

(GTPG–P)解出P陣，P為正定對(duì)稱矩陣是系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的必要條件。證畢。注意：與線性定常系統(tǒng)類似，假設(shè)v[x(k)]=–xT(k)Qx(k)沿任意解的軌跡不恒等于零，那么Q可取正半定矩陣。編輯ppt李氏方法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定