II范希爾的幾何思維水平理論

II.范希爾的幾何思維水平1精選2021版課件起因在50年代的荷蘭，幾何教學(xué)所面臨的問題是很普遍的（Freudenthal,1958）。范希爾夫婦（PierreVanHiele&DinaVanHiele）作為荷蘭一所中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，每天都親身經(jīng)歷著這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現(xiàn)的問題或作業(yè)所需要的語言及專業(yè)知識常常超出了學(xué)生的思維水平，這使得他們開始關(guān)注皮亞杰的工作。經(jīng)過一段時間的研究，他們提出了幾何思維的五個水平。這一成果最初發(fā)表在他們夫婦于1957年在烏特勒克大學(xué)共同完成的的博士論文上。2精選2021版課件評價 前蘇聯(lián)學(xué)者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（1959）在1963年就由皮什卡羅（A.M.Pyshkalo）作了詳盡的報道。10年之后，美國人才開始了解范希爾的工作。在1974年召開的大西洋城NCTM年會上，芝加哥大學(xué)的威茲普（IsaakWirszup）將范希爾的思想正式介紹給了美國學(xué)者，并同時介紹了前蘇聯(lián)幾何教學(xué)的“驚人進展”。威茲普的報告后來以“幾何教學(xué)心理學(xué)中的一個重大突破”為標(biāo)題發(fā)表在Martin和Bradbard主編的著作上（Wirszup，1976）。與此同時，弗賴登塔爾也提供了思維水平在數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中的范例。他發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)歸納實際上也是沿著五個思維水平發(fā)展的（Freudenthal,1973,p123）。所有這一些，使范希爾理論引起了全世界的廣泛關(guān)注，并成為上世紀(jì)80年代幾何教學(xué)研究的一個熱點。3精選2021版課件水平的劃分層次0︰視覺(visuality)層次1︰分析(analysis)層次2︰非形式化的演繹(informaldeduction)層次3︰形式的演繹(formaldeduction)層次4︰嚴(yán)密性(rigior)4精選2021版課件層次0︰視覺(visuality)兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述幾何圖形；能根據(jù)對形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對圖形做概括的論述.例如：兒童可能會說某個圖形是三角形，因為它看起來像一個三明治。5精選2021版課件層次1︰分析(analysis)兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系，也無法了解圖形的定義；能根據(jù)組成要素比較兩個形體，利用某一性質(zhì)做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也無法導(dǎo)出公式和使用正式的定義。例如：兒童會知道三角形有三條邊和三個角，但不能理解如果內(nèi)角愈大，則對邊愈長的性質(zhì)。6精選2021版課件層次2︰非形式化的演繹(informaldeduction)兒童能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，可以提出非形式化的推論，了解建構(gòu)圖形的要素，能進一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論。但不能了解證明與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結(jié)果的成立，也未能建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系。例如：學(xué)生了解了等腰三角形的性質(zhì)后，他們會推出等腰直角三角形同時也是直角三角形的一種，因為等腰直角三角形較直角三角形多了一些性質(zhì)的限制。因此，學(xué)童能作一些非正式的說明但還不能作系統(tǒng)性的證明.7精選2021版課件層次3︰形式的演繹學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公里、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，能比較一個定理的不同證明方式；能理解證明中的必要與充分條件，例如至少有一個邊對應(yīng)相等或至少一個角對應(yīng)相等是證明兩個三角形全等的必要條件，兩角夾邊對應(yīng)相等則是兩三角形全等的充分條件；能寫出一定理的逆定理，如平行四邊形的對角線互相平分，其逆定理是對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。8精選2021版課件層次4︰嚴(yán)密性在這個層次能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ硪苑治霰容^不同的幾何系統(tǒng)，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統(tǒng)的比較。9精選2021版課件水平的修正（VanHiele，1986）直觀水平（visuallevel）——整體地認(rèn)識幾何對象。Fuys,geddes,Lovett和Tischler（1988）認(rèn)為這一階段是“學(xué)習(xí)者依據(jù)幾何圖形的外表來認(rèn)識，命名，比較，和畫出這些圖形的時候，像三角形，角度，平行線”。描述水平（descriptivelevel）——通過幾何性質(zhì)認(rèn)識幾何對象。在這一階段學(xué)生按照圖形的組成部分和這些組成部分之間的聯(lián)系來分析圖形。學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗確立圖形的性質(zhì)和使用這些性質(zhì)解決問題。理論水平（theoreticallevel）——利用演繹推理證明幾何關(guān)系。在描述階段中由Murray（1997）提出的概念網(wǎng)絡(luò)圖在這一階段完整和穩(wěn)定了。學(xué)生理解和接受了準(zhǔn)確的定義，學(xué)生談?wù)撔螤顣r涉及到這些定義，學(xué)生理解圖形內(nèi)部和圖形之間的聯(lián)系。這一階段學(xué)生能夠運用“如果┉那么”思想，并由此發(fā)展邏輯推理能力。10精選2021版課件幾何教學(xué)階段

學(xué)前咨詢(information)，教師和學(xué)生就學(xué)習(xí)對象進行雙向交談，教師了解學(xué)生如何理解指導(dǎo)語，并且?guī)椭鷮W(xué)生理解要學(xué)習(xí)的課題。學(xué)生提出問題，對課題的對象和運用的詞匯做出觀察，確定下一步的學(xué)習(xí)。引導(dǎo)定向(guidedOrientation)，教師為學(xué)生仔細安排活動順序，使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)進行的方向，逐漸熟悉這一結(jié)構(gòu)的特性。在這個階段中，許多活動都是引起一個特定的反應(yīng)的一步（簡單）作業(yè)。11精選2021版課件幾何教學(xué)階段闡明

(explication)，通過前面的經(jīng)驗和教師最小程度的提示，學(xué)生明確了詞匯的意義，表達自己對內(nèi)在結(jié)構(gòu)的看法。通過這一階段，學(xué)生開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng)。vanHiele（1984b）指出：在這個階段的過程中，經(jīng)驗的獲得取決于正確的語言符號和學(xué)生們在課堂上學(xué)習(xí)透過討論去表達他們所觀察到的結(jié)構(gòu)之意見，老師只需注意這些討論所使用的習(xí)慣措詞。關(guān)連系統(tǒng)在這階段就有一部份形成了12精選2021版課件幾何教學(xué)階段自由定向(freeorientation)，在這個階段，學(xué)生碰到多步作業(yè)或能以不同方式完成的作業(yè)。在尋找方法和解決問題過程中，學(xué)生獲得了經(jīng)驗。通過自己確定學(xué)習(xí)領(lǐng)域的方向，他們對學(xué)習(xí)對象之間的關(guān)系越來越明確。按照vanHiele（1984b）的觀點：這個階段是自由探索，調(diào)查的范圍是大多數(shù)學(xué)生知道的，但學(xué)生仍需迅速地找到他的方向。13精選2021版課件幾何教學(xué)階段整合(integration)，學(xué)生回顧自己所用的方法并形成一種觀點，對象和關(guān)系被統(tǒng)一并內(nèi)化進一個新的思維領(lǐng)域。教師對學(xué)生理解的東西作一個全面的評述，幫助學(xué)生完成這一過程，在此，教師要小心，不要提出新的或不一致的觀點14精選2021版課件范希爾理論的特點次序性(sequential)：學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進的，要在特定的水平順利發(fā)展，必須具有前一水平的各個概念和策略。也就是說，學(xué)生在沒通過第n-1層次之前，無法到達第n層次。進階性(advancement)：學(xué)生幾何思維水平的提升是經(jīng)由教學(xué)，而不是隨年齡成長或心理成熟自然而然的。沒有一種教學(xué)方法能讓學(xué)生跳過某一水平而進入下一水平，由一水平進入下一水平并非一蹴而就的。內(nèi)隱性及外顯性(intrinsicandextrinsic)：某一水平的內(nèi)隱性質(zhì)成為下一水平的外顯性質(zhì)，如某一個水平上的個人化的模糊概念在下一水平上通過外顯的表征工具(如符號)而得到澄清。語言性(linguistics)：每一層次都有其專屬的階段性語言符號。在某一層次使用的