全等三角形-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（解析版）

專題19全等三角形

【知識要點】

知識點1全等三角形及其性質(zhì)

全等圖形概念：能完全重合的圖形叫做全等圖形.

特征：①形狀相同。②大小相等。③對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。

全等三角形概念：兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形.

小結(jié)：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對

應(yīng)角.

表示方法：全等用符號“g”，讀作“全等于”。書寫三角形全等時，要注意對應(yīng)頂點字母要寫在對應(yīng)位置

上。

全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換。

變換方式（常見）：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)。

全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

知識點2：全等三角形的判定（重點）

一般三角形直角三角形

邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）具備一般三角形的判定方法

判定

角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）

對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

性質(zhì)

對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等

注：①判定兩個三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等;

②全等三角形周長、面積相等.

證題的思路（重點）:

'找夾角（SAS）

已知兩邊:找直角（也）

［找第三邊（SSS）

j若邊為角的對邊，則找任意角（也?。?/p>

口加_祐_晶！找已知角的另一邊（sxs）

已卻一邊一角f邊為角的鄰邊，找已知邊的對角

找夾已知邊的另一角（ASA）

.找兩角的夾邊（ASA）

已知兩角

找任意一邊S）

知識點3角平分線

角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；

判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

三角形中角平分線的性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這點到三條邊距離相等。

【考查題型】

考查題型一全等三角形的性質(zhì)

典例1.如圖，若aABC會Z\ADE,則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A.AC=DEB.NBAD=NCAE

C.AB=AED.ZABC=ZAED

【答案】B【詳解】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：VAABC^AADE,；.AC=AE,AB=AD,/ABC=NADE,NBAC=/DAE,

，ZBAC-NDAC=/DAE-ZDAC,

即/BAD=/CAE.故A,C,D選項錯誤，B選項正確，故選：B.

變式1-1.三個全等三角形按如圖的形式擺放，則/1+N2+N3的度數(shù)是（）

A.90°B.120°C.135°D.180°

【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角可得N1+N2+N3+/4+

Z5+Z6=360°,Z5+Z7+Z8=180°,即/1+/2+/3=360°-180°.

【詳解】???圖中是三個全等三角形，；./4=/8,Z6=Z7,

又；三角形ABC的外角和=Nl+N2+N3+N4+N5+N6=360。，又N5+N7+N8=180°,

/.Zl+Z2+Z3=360°-180°=180°.

變式1-2.如圖所示，4ABD絲△CDB,下面四個結(jié)論中，不正確的是()

A.ZXABD和4CDB的面積相等B.4ABD和4CDB的周長相等

C.ZA+ZABD=ZC+ZCBDD.AD〃BC,且AD=BC

【答案】C【分析】通過全等三角形的性質(zhì)進行逐一判斷即可.

【詳解】A、?.?△ABQZZXCOB,...△ABD和△CQ8的面積相等，故本選項錯誤；

8、?.?△48。絲△CO8,.?.△A8O和aCOB的周長相等，故本選項錯誤；

C、,:4ABD絲/\CDB,：.ZA=ZC,ZABD=ZCDB,

：.ZA+ZABD^ZC+ZCDB/ZC+ZCBD,故本選項正確；

D、,:4ABD@ACDB,：.AD=BC,NADB=NCBD,：.AD//BC,故本選項錯誤；故選：C.

考查題型二全等三角形的判定-SSS

典例2.用直尺和圓規(guī)作一個角的角平分線的示意圖如圖所示，其中說明ACOE三AOOE的依據(jù)是

()

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的作法可知CO=DO,EO=EO,EC=ED,符合三角形全等的判定方法中的

SSS,可證ACOE三AOOE.

【詳解】解：由作法知CO=DO,EO=EO,EC=ED,AACOESADOE(SSS),變式2-1.在平面直角

坐標系xO)，中，點A(-3,0),B(2,0),C(-1,2),E(4,2),如果“8C與AEFB全等，那么點尸

的坐標可以是()

A.(6,0)B.(4,0)C.(4.-2)D.(4,-3)

【答案】D【分析】畫出平面直角坐標系，利用全等三角形的性質(zhì)以及坐標與圖形的性質(zhì)得出符合題意的答

案.詳解】解：如圖所示：AABC與AEFB全等,點F的坐標可以是：(4,-3).故選：D.

變式2-2.如圖，在四邊形A6CD中，NB=ND=90。，點E,F分別在A8,AD上，AE=AF，CE=CF,

求證：CB=CD.

【答案】見解析

【分析】連接AC,證明4ACE絲AACF,得至ljNCAE=/CAF,再利用角平分線的性質(zhì)定理得到CB=CD.

【詳解】解：連接AC,VAE=AF,CE=CF,AC=AC,/.AACE^AACF(SSS),

.?.NCAE=/CAF,VZB=ZD=90°,.*.CB=CD.

變式2-3.人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法：

已知：ZAOB

求作：NA08的平分線

做法：(1)以0為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M,交0B于點N,

(2)分別以點M,N為圓心，大于‘MN的長為半徑畫弧，兩弧在NAO3的內(nèi)部相交于點C

2

(3)畫射線0C,射線0C即為所求.

請你根據(jù)提供的材料完成下面問題：

(1)這種作已知角平分線的方法的依據(jù)是(填序號).

①SSS②SAS③A4s④ASA

(2)請你證明0C為ZAOB的平分線.

【答案】(1)①；(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)作圖的過程知道：OM=ON,OC=OC,CM=CM,由“SSS”可以證得絲△口（）（：；

（2）根據(jù)作圖的過程知道：OM=ON,OC=OC,CM=CM,由全等三角形的判定定理SSS可以證得△EOC

^△DOC,從而得到OC為ZAOB的平分線.

【詳解】（1）根據(jù)作圖的過程知道：OM=ON,OC=OC,CM=CM,所以由全等三角形的判定定理SSS可以

證得△EOC絲△DOC,從而得到OC為ZAOB的平分線；

故答案為：①；

OM=ON

（2）如圖，連接MC、NC.根據(jù)作圖的過程知，在△MOC與△NOC中，＜OC=OC,

CM=CN

AAMOC^ANOC（SSS）,NAOC=/BOC,；.OC為NAOB的平分線.

考查題型三全等三角形的判定-SAS

典例3.如圖，已知A8=OC,NA5C=ZDC5.能直接判斷△ABC且的方法是（）

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

【答案】A【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理解答.

AB^DC

【詳解】在aABC和4DCB中，＜=△ABCgaDCB（SAS）,故選：A.

BC=CB

變式3-1.如圖所示，將兩根鋼條AA-BB，的中點O連在一起，使AA\BB，可以繞著點O自由旋轉(zhuǎn)，就

做成了一個測量工件，則A，B，的長等于內(nèi)槽寬AB,那么判定AOAB絲△OA，B，的理由是（）

A.邊角邊B.角邊角C.邊邊邊D.角角邊

【答案】A【分析】根據(jù)線段中點的定義可得AO=A'O,BO=5'O,進一步即可根據(jù)SAS證明△048多

△OA'B',于是可得答案.

【詳解】解：:點。是A4'和83'的中點，.?.AO=AO,8O=B'O,

在△OAB和^OA'B'中，；AO=A'O,ZAOB=ZA'OB',BO=B'O,

：./\OAB^^OA'B'(SAS).故選：A.

變式3-2.如圖，已知AB//CO,AB=CD,BE=CF.

求證：(1)\ABF=\DCE；

(2)AFIIDE.

【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見解析.

【分析】(1)先由平行線的性質(zhì)得NB=NC,從而利用SAS判定aABF咨ADCE；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得/AFB=NDEC,由等角的補角相等可得NAFE=/DEF,再由平行線的判定

可得結(jié)論.【詳解】證明：(1)VAB^CD,.,.ZB=ZC,

AB=CD

VBE=CF,/.BE-EF=CF-EF,即BF=CE,在AABF和ZkDCE中，＜NB=NC.-.AABF^ADCE(SAS)；

BF=CE

(2),.,△ABF^ADCE,ZAFB=ZDEC,AZAFE=ZDEF,；.AF〃DE.

變式3-3.已知：如圖，點A、B、C、。在一條直線上，EA//FB,EA=FB,AB=CD.

(1)求證：ZE=ZF；

(2)若NA=40。,/。=80。，求NE的度數(shù).

【答案】⑴見解析：(2)60°

【分析】(1)根據(jù)已知條件證明4ACE四△BDF,即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ND=NACE=80。，再利用三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果.

【詳解】解：(1)VAE^BF,.*.ZA=ZDBF,VAB=CD,

...AB+BC=CD+BC,即AC=BD,又：AE=BF,/.AACE^AEDF(SAS),.,.ZE=ZF；

(2)VAACE^AEDF,；.ND=NACE=80°,VZA=40°,

.?.NE=180°-ZA-ZACE=60°.

考查題型四全等三角形的判定-AAS

典例4.如圖，ABd.CD,且出?.E、尸是AD上兩點，CEJ_A。，BFLAO.若CE=a,8/=0,

EF=c,則AZ＞的長為()

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

【答案】D【解析】如圖,?.?AB，CD,CEJ_AD,.?.N1=N2,又?.?N3=N4,

二1800-Nl-N4=180°-/2-/3,即/A=/C.：BF_LAD,；./CED=NBFD=90°,

AB=CD,AABF^ACDE,，AF=CE=a,ED=BF=b，又：EF=c,；.AD=a+b-c.故選:D.

變式4-1.如圖，。是AB上一點，。尸交AC于點E,DE=FE,FCIIAB,若AB=4,CF=3,

則BD的長是（）

A.0.5B.1C.1.5D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，m\ZA^ZFCE,/ADE=NF,根據(jù)全等三角形的判定，得出

\ADE=\CFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出A0=CF,根據(jù)AB=4,CF=3,即可求線段08的

NA=NFCE

長.【詳解】?：CF//AB,：.ZA=ZFCE,NADE=NF,在AADE和△尸CE中｛NAOE=NF,

DE=FE

...MDE三ACFE（A4S）,：.AD=CF=3,'：AB=4,

/.￡>6=A8—AO=4—3=1.故選B.

變式4-2.ZSBDE和AFGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi).若

求五邊形DECHF的周長，則只需知道()

A.AABC的周長B.ZXAFH的周長

C.四邊形FBGH的周長D.四邊形ADEC的周長

【答案】A

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得：FH=GH,ZACB=ZA=60°,ZAHF=ZHGC,

進而可根據(jù)AAS證明aAFH絲aCHG,可得AF=CH,然后根據(jù)等量代換和線段間的和差關(guān)系即可推出五

邊形DECHF的周長=AB+BC,從而可得結(jié)論.

【詳解】解：?.,△GFH為等邊三角形，...FH=GH,ZFHG=60°,/.ZAHF+ZGHC=120°,

:△ABC為等邊三角形，；.AB=BC=AC,ZACB=ZA=60°,AZGHC+ZHGC=120°,

；./AHF=/HGC,/.AAFH^ACHG(AAS),；.AF=CH.

?.?△BDE和AFGH是兩個全等的等邊三角形，；.BE=FH,

Z.五邊形DECHF的周長=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF

=(BD+DF+AF)+(CE+BE),=AB+BC.

...只需知道aABC的周長即可.故選：A.

變式4-3.如圖，AC是NBAE的平分線，點。是線段AC上的一點，NC=NE,AB=AD.求證：BC=DE.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明△A4C絲△￡>>!￡即可得到結(jié)果；

【詳解】證明：:AC是N84E的平分線，：.ZBAC=ZDAE,ZC=ZE,AB=AD.

：./\BAC^/\DAE(AAS),:.BC=DE.

變式4-4.如圖，在AABC中，AB=AC,點。、E分別是線段BC、A。的中點，過點A作BC的平行線交

3E的延長線于點F,連接CF.

(1)求證：△BQEg△砌E；

(2)求證：四邊形AOCF為矩形.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】(1)首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/AFE=/DBE,再根據(jù)線段中點的定義得到AE=DE,根據(jù)全等

三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BD,推出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

ZADC=90°,于是得到結(jié)論.

【詳解】1)證明：：AF〃BC,，/AFE=/DBE,是線段AD的中點，

；.AE=DE,?.-ZAEF=ZDEB,/.ABDE=AFAE(AAS)；

(2)證明：VABDEsAFAE,；.AF=BD,是線段BC的中點，；.BD=CD,

；.AF=CD,：AF〃CD,二四邊形ADCF是平行四邊形，VAB=AC,

，AD1BC,NADC=90°,；.四邊形ADCF為矩形.

考查題型五全等三角形的判定-ASA

典例5.如圖，所過。ABCQ對角線的交點0,交AO于E,交BC于凡若以88的周長為18,0E=\.5,

則四邊形E尸CO的周長為()

A.14B.13C.12D.10

【答案】C【詳解】：平行四邊形ABCD,.?.AO〃8C,AD=BC,AO=CO,：.ZEAO=ZFCO,

NAEO=NCFO

?.,在△AEO和△CFO中，AO=CO,A△AEO^ACFO,

ZAOE=4cOF

：.AE=CF,EO=FO=\.5,"：CmiABCi)=^>：.CD+AD=9,

，CW娜CDE產(chǎn)CD+力后+后尸+/^=<7。+?！?￡：尸+4后=8+/1。+后尸=9+3=12.故選C.

變式5-1.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,/。=90°，A0=8,BC=6,分別以點A,C為圓心,

大于工AC長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線BE交AD于點F,交AC于點O.若點0是AC的中點,

2

則CD的長為()

A.4忘B.6C.2回D.8

【答案】A【分析】連接FC,根據(jù)基本作圖，可得。E垂直平分AC,由垂直平分線的性質(zhì)得出AF=FC.再

根據(jù)ASA證明△FOAgABOC,那么AF=BC=3,等量代換得到FC=AF=3,利用線段的和差關(guān)系求出

FD=AD-AF=\.然后在直角△“€1中利用勾股定理求出CD的長.

【詳解】解：如圖，連接FC,?.?點。是AC的中點，由作法可知，OE垂直平分AC,

：.AF=FC.'：AD//BC,：.ZFAO^ZBCO.

NFAO=NBCO

在△尸0A與△BOC中，OA=OC,△FOAABOC(ASA),

NAOF=/COB

.\AF=BC=6,：.FC=AF=6,FD=AD-AF=S-6=2.

在△尸DC中，VZZ)=90o,Z.CD2+DF2=FC2,CD2+22=62,

:.CD=4及.故選：A.

變式5-2.如圖，AB=AC,ABrAC,ADLAE,]^ZABD=ZACE.

求證：BD=CE.

E

B

【答案】見解析.

【分析】先求出/CAE=/BAD再利用ASA證明“8。絲/VICE,即可解答

【詳解】'：AB±AC,AD±AE,：.ZBAE+ZCAE=90°,NBAE+NBAD=90°,

：.ZCAE=/BAD又AB=AC,乙480=AACE,

：.AABD^AACE(ASA).：.BD=CE.

變式5-2.如圖，點C在線段BD上，且AB_LBD,DE±BD,AC1CE,BC=DE,求證：AB=CD.

【答案】詳見解析【分析】根據(jù)A818D,DELBD,ACLCE,可以得到NA8C=NCDE=NAC3=90°，

ZACB+NECD=90°，Z.ECD+NCED=90°，從而有NAC8=NCED,可以驗證\ABC和ACOE全

等，從而得到A8=CD

【詳解】證明：ABLBD,DELBD,ACLCE

/?ZABC=ZCDE=ZACB=90"；.ZACB+ZECD=90°.NECD+ZCED=90"

4ACB=NCED

：.ZACB=ZCED在\ABC和kCDE中■BC=DE

ZABC=ZCDE

\ABC絲bCDE故AB=CO.

考查題型六全等三角形的判定-HL

典例&如圖，ZB=ZE,BF=EC,AC〃DF.求證：AABC嶺Z^DEF.

【答案】證明見解析

(分析］首先利用平行線的性質(zhì)得出NACB=NDFE,進而利用全等三角形的判定定理ASA,進而得出答案.

【詳解】證明：：AC〃DF,.?./ACB=/DFE,：BF=CE,

ZB=ZE

，BC=EF,在aABC和ADEF中，(BC=EF,.,.AABC^ADEF(ASA).

ZACB=ZDFE

變式6-1.已知：如圖，AB=CD,DE±AC,BF±AC,E,F是垂足，AE=CF.求證：AABF^ACDE

D.

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)HL即可判定RtAABF^RtACDE.

【詳解】證明："：DEA.AC,BFLAC,:.NAFB=NCED=9Q°,'：AE=CF,：.AF=CE,

[AB=CD

在RtZsAB尸和RtZXCCE中，\：.Rt/\ABF^Rt^CDE(HL).

AF=CE

考查題型七判定三角形全等的的條件

典例7.如圖，點E在菱形ABCD的AB邊上，點F在BC邊的延長線上，連接CE,DF,對于下列條件:

①BE=CF；②CE_LAB,DF_L8C；③CE=DF；④NBCE=NCDF,只選其中一個添加，不能確

定ABCEMACO/的是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?四邊形ABC0是菱形，.?.8C=CO,AB//CD,:.ZB=ZDCF,

①???添加BE=CF,ABC￡=ACDF(SAS),

②?.?添加CE_LAB,DFIBC,：.ZCEB=ZF=90°,ABCE=ACDF(A45),

③：添加CE=OF,不能確定NBCE=\CDF；

④?.?添加N8CE=NC0E,；.ABCE=ACDF(ASA),故選：

變式7-1.如圖，等腰△ABC中，點。，E分別在腰AB,AC上，添加下列條件，不能判定AABE四△AC。

的是()

D,

BC

A.AD=AEB.BE=CD

C.ZADC=ZAEBD.NDCB=NEBC

【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法逐項判斷即得答案.

【詳解】解：A、若添加AD=AE,由于AB=AC,ZA是公共角，則可根據(jù)SAS判定aABE芻△ACD,

故本選項不符合題意；

B、若添加BE=CO,不能判定△ABE絲△AC￡>,故本選項符合題意；

C、若添加NADC=NAE5,由于AB=AC,是公共角，則可根據(jù)AAS判定△ABE四△ACD,故本

選項不符合題意；

D、若添加NOCB=NE5C,\'AB=AC,：.ZABC^ZACB,：.ZABE^ZACD,由于NA是公共角，則可

根據(jù)ASA判定△A8Eg△ACD,故本選項不符合題意.故選：B.

變式7-2.如圖，四邊形A5CO是菱形，E、F分別是BC、C。兩邊上的點，不能保證aABE和□A。尸

一定全等的條件是()

A.NBAF=NDAEB.EC=FCC.AE=AFD.BE=DF

【答案】C【詳解】：四邊形ABC。是菱形，；.AB=BC=CD=DA,ABAD=ZC,ZB=ZD,

如果NBAF=ZDAE,NBAF-NEAF=NDAE-ZEAF,即NBAE=ZDAF,

NBAE=NDAF

AB^DA,AAABE^[]ADF(ASA),故A正確；如果EC=FC,

NB=ND

AB=DA

.?.BC-EC=CD-FC,即BE=DF,,?<ZB=ZD,：.AABE^[]ADF(SAS),故B正確；

BE=DF

如果AE=AF,；AB=DA,NB=ND,是SSA,則不能判定△ABE和口AD尸全等，故C錯誤：

AB^DA

如果BE=DF,則<NB=NO,AABE=DA￡)F(S4S),故D正確；故選：C.

BE=DF

考查題型八全等三角形綜合問題

典例8.如圖AB=AC,CDLAB于D,BELAC于E,BE與CD相交于點O.

(1)求證AD=AE；

(2)連接OA,BC,試判斷直線OA,BC的關(guān)系并說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）互相垂直，證明見解析

【詳解】（1）證明:VCD1AB,BE1AC,AZADC=ZAEB=90°,

NADC=NAEB

△ACD和^ABE中，V]ZCAD=ZBAE.-.AACD^AABE（AAS）,AAD=AE.

AB=AC

（2）猜想：OA_LBC.證明：連接OA、BC,

VCD±AB,BEXAC,AZADC=ZAEB=90°.

OA=OA

在RtAADO和RtAAEO'3：《

AD=AE

ARtAADO^RtAAEO（HL）.AZDAO=ZEAO,XVAB=AC,AOA1BC.

變式8-1.如圖，AC±BC,DCLEC,AC=BC.DC=EC,AE與8。交于點尸.

（1）求證：AE=BD；

（2）求NAFD的度數(shù).

【答案】（1）見解析（2）90°

【分析】（1）根據(jù)題意證明4ACE絲4BCD即可求解；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)即可得到NAFD的度數(shù).

【詳解】（1）；ACLBC,DCX.EC.：.ZACB=ZECD=90°

二ZACB+ZBCE=ZECD+ZBCE即NACE=NBCD

又AC=BC.DC=EC.,.△ACE^ABCDAAE=BD

（2）:△ACE四△BCD；.NA=NB設(shè)AE與BC交于O點，

二ZAOC=ZBOF/.ZA+ZAOC+ZACO=ZB+ZBOF+ZBFO=180°

，NBFO=/ACO=90°故ZAFD=180°-/BFO=9()°.

變式8-2.如圖，在AABC和ADCE中，AC=DE,ZB=ZDCE=90°,點A,C,D依次在同一直線上，且

AB〃DE.

(1)求證：aABC絲4DCE；

(2)連結(jié)AE,當BC=5,AC=12時，求AE的長.

【答案】(1)見解析；(2)13

【分析】根據(jù)題意可知，本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，根據(jù)判定定理，運用兩直

線平行內(nèi)錯角相等再通過AAS以及勾股定理進行求解.

【詳解】解：(1)AB//DE：.ABAC=NCDE在4ABC和ADCE中

4B=4DCE

<ZBAC=ZCDE.,.AABC^ADCE

AC=DE

(2)由(1)可得BC=CE=5在直角三角形ACE中而7壽=13

變式8-3.如圖，AC是四邊形4BCC的對角線，N1=NB,點、E、尸分別在AB、BC上,BE=CD,BF=CA,

連接EE

(1)求證：Z￡)=Z2；

(2)EF//AC,/。=78。,求N84。的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）78°.

【分析】（1）由“SAb可證△BEFgZ\CD4,可得/。=/2；

（2）由（1）可得/。=/2=78。，由平行線的性質(zhì)可得N2=/BAC=78。.

BE=CD

【詳解】證明：（1）在△BE尸和△CD4中，，NB=N1,名△CDA（SAS）,

BF=CA

.?./￡>=N2；

（2）VZD=Z2,ZD=78°,Z.ZD=Z2=78°,"：EF//AC,：.Z2=ZBAC=1S°.

變式8-4.如圖，在三角形ABC中，點D是BC上的中點，連接AD并延長到點E,使QE=AQ，連接

CE.

（1）求證：\A.BDs\ECD

（2）若AAAD的面積為5,求AACE的面積.

【答案】（1）詳見解析；（2）10.

【詳解】證明：（1）：D是BC的中點，；.BD=CD在4ABD和4CED中，

BD=CD

'NADB=NCED所以^ABD=\ECD；

AD=ED

（2）V在△ABC中，D是BC的中點二；MBD三\ECD

??^ABD~^ECDSABD=5-SACE=SACD+SECD=5+5=10.答：二角形ACE的面積為10.

考查題型九角平分線的性質(zhì)定理

典例9.如圖，已知在aABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分NABC,交CD于點E,BC=5,DE=2,

則4BCE的面積等于（）

AA

A.10

【答案】C【解析】試題分析：如圖，過點E作EF_LBC交BC于點F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=EF=2,

所以4BCE的面積等于LxBCxEF=■!■x5x2=5,故答案選C.

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變式9-1.如圖，AB〃CD,AD平分NBAC,若/BAD=70。，則/ACD的度數(shù)為（）

A.40°B.35°C.50°D.45°

【答案】A

【解析】試題分析：已知AD平分NBAC,/BAD=70。，根據(jù)角平分線定義求出NBAC=2/BAD=140。，再

由AB〃CD,所以NACD=180。-NBAC=40。，故選A.

變式9-2.如圖，在AABC中，ZC=90°,以點B為圓心，以適當長為半徑畫弧交AB、BC于P、Q兩點，

再分別以點P，Q為圓心，大于gPQ的長為半徑畫弧，兩弧相交于點N,射線BN交AC于點D.若AB

=10,AC=8,則CD的長是（）

B.2.4

【答案】C

【分析】作DE_LAB于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE=OC,設(shè)￡>E=OC=x,根據(jù)A48O的面積公

式列方程計算即可.

【詳解】解：如圖所示，作DELAB于E,VAB=10,AC=8,ZC=90°,

/.BC=6,由基本尺規(guī)作圖可知，BD是AABC的角平分線，

?q

VZC=90°,DE±AB,,可設(shè)￡>E=DC=x,?0ABD=-xABxDE^-xADxBC,

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即」X10XX=LX(8-X)X6,解得X=3,即CZ)=3,故選C.

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變式9-3.三條公路將A、3、。三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個公園,

要使公園到三條公路的距離相等，那么這個公園應(yīng)建的位置是（）

A.三條高線的交點B.三條