計算機圖形學CG-6-transformation

GeometricGraphics

Transformation

幾何圖形變換

基本幾何變換

BasicGeometrictransformation

■在方向、尺寸和形狀方面的變化是通過幾

何變換來完成的。

■基本幾何變換都是相對于坐標原點和坐標

軸進行的。

3

基本幾何變換

BasicGeometrictransformation

■平移變換transIation

■旋轉(zhuǎn)變換rotation

■比例變換seaIing

■對稱變換refIection

■錯切變換shearing

4

Translation

平移距離

translationdistance

tx，ty

5

Translationmatrix

X

p二

!

x=x+LJ

*/v

P'=

j=歹+々

P'=P+T

6

SeaIingtransformation

■比例變換改變物體的尺寸.

■假定物體的比例變換是相對于坐標原點O

X'=xs*y=ysy

sxX方向的比例因子.

SyX方向的比例因子.

7

0

SeaIingtransformationmatrixS

F0x

0sy[y

■PJ=SP

9

Sometips

■比例因子是一個正數(shù)positivenumber

■比例因子＜1,物體變小，物體靠近原點.

■比例因子＞1,物體變大，物體遠離原點.

■比例變換不是剛體變換

■當S*和相等時，稱為均勻變換

(uniform).

■當S*和Sy不等時，稱為不等比變換.

■物體經(jīng)過毋例變換后，改變了物體比例,

同時重定位(repositioned).

旋轉(zhuǎn)變換Rotationtransformation

■2D旋轉(zhuǎn)變換是指物體沿著某個定點轉(zhuǎn)動

某個角度的重定位過程(reposition)。

■定點或成為基準點(pivotpoint)

■旋轉(zhuǎn)角(rotationangIe0)

正值表示逆時針旋轉(zhuǎn)counterclockwise

負值表示順時針旋轉(zhuǎn)cIockwise

11

Rotationtransformation

(a)(b)

12

Rotationtransformationequation

■假定基準點位于原點,我們有

xf=rcos(0+3)=rcoscos0-rsinsin0

y"=rsin(①+6)=rcos0sin0+rsincos0

因為x=rcos①andy=rsin①

所以x=xcosO-ysinO

y=xsinO+ycosO

13

RotationtransformationmatrixR

■方程可表示為矩陣形式

P'=RP

cos/9—sin/9

sin。cos。

14

對稱變換reflectiontransformation

0x

T_J

■關(guān)于y軸的對稱變換x-10x

X--Xy-y

y01」

15

⑶對X軸(b)對y軸

16

關(guān)于坐標原點的對稱變換

reflectiontransformationaboutorgin

-10x

0-1y

17

關(guān)于對角線(diagonal)的對稱變換

■對角線y二x

□X-y

口y-x

■對角線尸-x

x--y

y--x

18

0)

錯切變換Sheartransformation

■X方向的錯切x1

□x,=x+cy!

口y-yJ0

y

y

錯切變換Sheartransformation

■y方向的錯切

□X-X

□y,=bx+y

21

矩陣表示與齊次坐標

MatrixRepresentationand

HomogeneousCoordinates

■問題的提出

很多應(yīng)用包含多個幾何變換，如先平移，再進

行旋轉(zhuǎn)變換、比例變換等

矩陣如何表示才能有效處理多個變換?

22

MatrixRepresentationand

HomogeneousCoordinates

■變換可表示成一般矩陣形式

P'二P+M2

這里，

M1是一個2X2矩陣，包含旋轉(zhuǎn)、比例等多個變換.

M2是一個2X1矩陣，包含平移變量.

■使用這個表達式，我們必須每步都計算變換坐標.

23

MatrixRepresentationand

HomogeneousCoordinates

■一個更有效的方法是將這些變換矩陣組合成一個,

最后根據(jù)初始坐標和坐標變換直接計算最終坐標.

■為了達到這個目標，必須重新規(guī)整上述方程，消

除平移矩陣M2

■將2D變換矩陣2X2模式擴展成3*3模式可解決上述

問題，所有變換矩陣可轉(zhuǎn)換成矩陣連乘形式.

24

齊次坐標HomogeneousCoordinates

■將每個笛卡爾坐標(X,力表示成三元組的坐標形

式優(yōu)，外,〃，其中二者之間的關(guān)系滿足

X-x/h,y=y/h

■我們把它稱為齊次坐標，也可表示為(hx,hyf

h).

■對于2D幾何變換，可把齊次參數(shù)力設(shè)為任意非零

值。最常用的是設(shè)置A=1,則每個2D坐標可表

示成齊次坐標6GK1).

■齊次坐標可使得所有幾何變換表示成矩陣連乘形

O25

平移齊次坐標變換TransIation

■或表示成：P'=T

■平移變換的逆變換TT用負位移代替-勺，F(xiàn).

26

旋轉(zhuǎn)齊次坐標變換Rotation

一sin。0X

cos。0

01i

■旋轉(zhuǎn)變換的逆變換R7用-。值代入.

27

比例齊次坐標變換SeaIe

X5丫00X

0邑0J

10011

■Or,P'二S⑸㈤P

■比例變換的逆變換ST用1/Sx，^Sy值代入.

28

對稱齊次坐標變換RefIection

!

■關(guān)于X軸x-10oT%

□X-X

—0-1°y

口y--y100ij[i

■關(guān)于y軸-10oT%

X=-x010y

口

y-y100山

29

對稱齊次坐標變換RefIection

■關(guān)于原點x-100x

□x'=-x0-10

y'=-y

iooii

■關(guān)于尸X軸xoioX

□x'=y

□y'=x100

iooii

■關(guān)于y二一x軸

x-iX

nx'=-yoo

□yz=-x-100y

iooii30

錯切齊次坐標變換Shear

■沿X軸"1ooTx

□x5=x+cy—0Coy

□y-y1001￡1

ooT%

■沿y軸ari

□X-Xy=bIOy

□y-bx+y1J[o0山

31

ompositeTransformations

田使用齊次坐標表示，多個變換的組合可計

算單個變換矩陣的連積，用復合矩陣來表

示。這個過程稱矩陣串聯(lián)或矩陣復合

concatenationorcompositionof

matrix.

叱如果點坐標采用列向量，復合矩陣由右到

左順序連乘排列，也就是說，后續(xù)變換左

乘前續(xù)變換。如果是行向量，則右乘。

32

組合平移CompositeTranslation

先平移ty1,然后再平移出2W

P'=T(tx2fty2){T(tx1fty1)P}

=仃%“T(tx1fty1)]P

10x2101°^x\+tx2

01y20101tx2+ty2

001001001

T72,ty2)T(tx13tyl)一丁(如+'x2,ty1+^y2)

33

組合旋車專CompositeRotation

■先旋轉(zhuǎn)。7,再旋轉(zhuǎn)多,相當于一次旋轉(zhuǎn)為+e2

P'=R(%){R(%)P}

={R(%)R(4)1P

R(%)R(%)=R(仇+e2)

,

p=R(%+e2)p

34

組合比例JCompositeScale

■先縮放Sxi,S1,再縮放Sx2,S2，相當于一次

縮放SRSSX2,Sy1SSy2

P,=S(sx2,sy2){S(sx1,sy1)P}

0

%*/V乙oo%00%%°

0500Syl0=011%0

001001001

S(Sx2，Sy?)S(Sx1,Syl)—S(Sx1Sx2，Sy1Sy2)

35

基準點是任意點的旋轉(zhuǎn)

GeneraIPivot-PointRotation

■平面圖形繞任意固定點pivotpoint(x〃

%)的旋轉(zhuǎn)可由通過平移-旋轉(zhuǎn)-平移操作來

實現(xiàn)：

1.平移物體及固定點，使得固定點移到原

占

2.圍繞原點旋轉(zhuǎn)物體.

3.再將物體及固定點平移回原來位置.

36

繞任意點（Xr，y）的旋轉(zhuǎn)矩陣

10xrCOS。一sin。010—xr

o1Ksin。cos。001f

R=

001001001

cos?！猻in。x(l-cos0)+ysin3

rr

sin。cos。j;(l-cos。)—x〃sin。

001

可以表示成

T(xr?yr)R(0)T(-xr9-y)=R(xpyr?0)

37

基準點是任意點(xr,yr)的旋轉(zhuǎn)方程

可表示為

J

x=xr+(x-xr)cos0-(y—yr)sin0

J

y=yr+(x-xr)sin0+(y-yr)cos0

(xr,y，為任意點的坐標

基準點是任意點的旋轉(zhuǎn)可以看作先平移到原

點，旋轉(zhuǎn)后再平移回任意點。

38

基準點是任意點的比例縮放

GeneraIFixed-PointSeaIing

■基于任一固定點J/J的比例縮放也可通

過三個步驟實現(xiàn)：

1平移物體，使得固定點與原點位置相符.

2.再使物體做相對于原點的比例縮放.

3.再使用步驟1的逆操作，使物體和固定點回到原

來位置.

39

基準點是任意點的縮放

100oTi°~xf

010%001~yf

001001001

S'oX/(l-sQ

°Sy丹(JS>)

001

T(Xf，yf)S(sx9sy)T(-xf9-yf)=S(xf9yf9sx9sy)

40

對任意直線作對稱變換

■設(shè)任意直線的方程為Ax+By+C=O,直線在x軸和y軸上的截距

分別為-C/A和-C/B,直線與x軸的夾角為

a.a=arct虱一A/B)

41

對任意直線作對稱變換步驟

1.X軸方向平移，使直線通過原點

-ioaA

T(-G=010

001

42

對任意直線作對稱變換步驟

2.繞原點旋轉(zhuǎn)角度，使直線與X軸相重合

cosasin。0

R(-a)=一sin。cos。0

001

43

對任意直線作對稱變換步驟

3.繞X軸對稱變換

100

F(reflection)=0-10

001

對任意直線作對稱變換步驟

4.繞原點旋轉(zhuǎn)角度，使直線轉(zhuǎn)回原來的角度

coso-sma0

R(a)=sin。cosa0

001

45

對任意直線作對稱變換步驟

5.X軸方向平移回原來的位置

"10-C/A

7(4)=010

001

46

對任意直線作對稱變換復合矩陣

M=T(tx)R{a}F(reflection)R(-a)T(-tx)

47

矩陣合并特性

Concatenationproperties

■矩陣相乘滿足結(jié)合律

D4"L'J/JLJ'4JL/

■矩陣一般不滿足交換律

48

Fmol

Posibon

FlgurrVIi

ReversingIh?orderinwhicha<equcnceofIraibtomutloiViis

performedmayaffecttheiranslormcdjwitionufanobjectIn(4an

ubjertBfir5tIrarvldled,thenn)Utcd.In(b)Jhe0峰式grotatttifirsts

thentramhhd

幾何變換中滿足交換律的矩陣

■二次連續(xù)平移

□TJT2=T2*TI

■二次連續(xù)旋轉(zhuǎn)

□R1*R2=R2*RI

■二次連續(xù)比例縮放

□S1*S2=S2*S1

50

Summary

■基本幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)、比例、對稱）

■齊次坐標的概念和目的

■復合變換，對任意點/直線的變換可轉(zhuǎn)換為

基本幾何變換問題來處理

■矩陣連乘及其順序排列規(guī)則

■矩陣運算規(guī)則

51

3DTransformation

圖形變換

52

3D基本幾何變換

3DGeometrictransformation

■3D幾何變換可由2D幾何變換擴展而來，包

括：

3D平移

3D旋轉(zhuǎn)

3D比例縮放等

■同樣，我們用齊次坐標來表示3D幾何變換

矩陣

54

3D平移變換transIation

z'=z+tz

orP=TP

55

一個三棱錐的平移

X

56

3D比例變換

oooTx

VoSy00J

z'o0邑0z

10001￡1

P'=SP

57

3D比例變換

■當sx=sy=sz>1時，圖形相對于原點作等比

例放大。

■當SX=sy=sz<1時，圖形相對于原點作等比

例縮小。

■當sx〈>sy〈>sz時，圖形作非等比例變換。

58

全比例變換

■當sx二sy二sz是稱全比例變換

當s<1時，3D物體等比例放大

當s>1時，3D物體等比例縮小

59

一個正方體的等比例變換

F

60

一個三棱錐的不等比例變換

61

3D旋轉(zhuǎn)Rotation

■3D旋轉(zhuǎn)可以是繞3D空間中任意一條直線旋

轉(zhuǎn)。

■和2D一樣，繞坐標軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正

角，假定我們從坐標軸的正向朝著原點觀

看。

62

3D旋轉(zhuǎn)Rotation

(01

63

3D旋轉(zhuǎn)Rotation

64

繞Z軸旋轉(zhuǎn)

xcos?！猻in。0oT%

V,sin。cos。00

z0010z

100011

or,P'=Rz(0)90旋轉(zhuǎn)角

65

繞Z軸旋轉(zhuǎn)

x'=xcos0-ysin0

y'=xsin0+ysin0

zJ=z

■用Y替代X,用Z替代Y,用X替代Z：x->y-

>z->x可以給出繞X,Y軸的循環(huán)變換

66

繞X軸旋轉(zhuǎn)

V'=ycos0-zsin0

z,=ysin9+zcos0

p'=Rx(0)Px'=x

X1100oT%

0cos。-sin。0

z，0sin。COS0oz

10001」U

67

繞Y軸旋轉(zhuǎn)z'=zcos0xsin0

xJ=zsin0xcos0

P'=Ry(0)Py，=y

x!cos。0sin。0x

0100J

一sin。0cos。0z

100011

68

旋轉(zhuǎn)變換示例

(a)(b)

69

逆旋轉(zhuǎn)

■逆旋轉(zhuǎn)用-。替換0O

■替換后，有逆旋轉(zhuǎn)變換矩陣就是旋轉(zhuǎn)變換

矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:

R-1=RT

70

3D對稱變換

■關(guān)于XOY平面對稱

f「X,

X-XioooTx

0100

y'=y

z*=—zz，00-10z

10001￡1

71

3D對稱變換

■關(guān)于YOZ平面對稱

f「X,

X--loooTx

0100

y1=y

z'=Z2'0010z

10001￡1

72

3D對稱變換

■關(guān)于xoz平面對稱

,「X,

X=XioooTx

y1=-yy，0-100

z'=Z2'0010z

10001￡1

73

對稱變換不總圖

6T

(b)

74

3D對稱變換

■關(guān)于x軸對稱

x!ioooTx

y'=-y0-100J

z'=-zz'00-10z

0001￡1

75

3D對稱變換

■關(guān)于丫軸對稱

f「X’

X--100OTx

y,=y0100j

z'=-zz'00-10z

0001￡1

76

3D對稱變換

■關(guān)于z軸對稱

x!—1oooT%

X二一X

y'=-y0-100J

z'=zz'0010z

0001￡1

77

3D錯切變換

■沿x軸錯切

!

x)=x+dy+gzx1dg0x

y'=yy0100

z'=zz'0010z

10001￡1

78

3

3D錯切變換

■沿丫軸錯切

x!ioooTx

X二X

b1h0

Y=bx+y+hz

2’0010z

Z=Z

1OOO1￡1

80

3D錯切變換

■沿z軸錯切

XioooTx

X=X

0100

y,=y

Z10z

z!=cx+fy+zCf

10001￡1

81

三維組合變換

■與二維圖形的組合變換一樣，三維立體圖

形也可通過三維基本變換矩陣，按一定順

序依次相乘而得到一個組合矩陣（稱級聯(lián)），

完成組合變換。同樣，三維組合平移、組

合旋轉(zhuǎn)和組合比例變換與二維組合平移、

組合旋轉(zhuǎn)和組合比例變換具有類似的規(guī)律。

82

相對于空間任意一點的3D變換

■D先將物體連同參考點平移回原點

-2)相對于原點作幾何變換

■3)再進行平移逆變換

M=T(txtytz)S(sxsysz)T(~tx>-ty^-tz)

圖形變換矩陣s可以是旋轉(zhuǎn)、比例等變換

83

繞空間任意軸線旋轉(zhuǎn)

可由以下步驟實現(xiàn)

■平移物體使得旋轉(zhuǎn)軸通過坐標原點

■旋轉(zhuǎn)物體使得旋轉(zhuǎn)軸和坐標軸相吻合

■再圍繞相吻合的坐標軸旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的角度

■逆旋轉(zhuǎn)回原來的方向角度

■逆平移回原來的位置

我們可以將旋轉(zhuǎn)軸變換到3個坐標軸的任意一個。

但直觀上看，變換到Z軸，和2D情況相似，容易被

接受。

84

Y

Initial

Step1

Position

Translate

totheOriginStep2

RotateP；

ontothezAxis

Step4Step5

Step3RotatetheAxisTfansleuthe

RotatethetotheOriginalRotationAxis

ObjectAroundtheOrientationtotheOriginal

/AxisPosition

繞過原點的直線ON旋轉(zhuǎn)

(a)(b)

86

繞過原點的直線旋轉(zhuǎn)

■設(shè)ON為過原點的任意直線，其單位矢量為

n—{/,m.n}

■則該直線的方程為

xyz

mn

87

繞過原點的直線旋轉(zhuǎn)。角