高中數(shù)學(xué)人教A版必修 第五章 平面向量（備課資源）

第1節(jié)平面向量的概念與線(xiàn)性運(yùn)算對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P1211.了解平面向量及相關(guān)概念.2.掌握平面向量的加、減運(yùn)算及幾何意義.3.掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算,理解向量共線(xiàn)的含義.一、向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小又有方向的量,向量的大小叫作向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量,其方向是任意的記作0

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量與非零向量a共線(xiàn)的單位向量為±a平行向量(共線(xiàn)向量)方向相同或相反的非零向量

0與任一向量平行或共線(xiàn)

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

兩向量只有相等或不相等,不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量

0的相反向量為0二、向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律:a+b=b+a;結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)(續(xù)表)向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算a-b=a+(-b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|=|λ||a|,當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0

λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb向量線(xiàn)性運(yùn)算常見(jiàn)的3個(gè)結(jié)論1.一般地,首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量,即A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An2.若P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),O為平面內(nèi)任一點(diǎn),則OP=12(OA+OB)3.在△ABC中,PA+PB+PC=0?P為△ABC的重心.三、共線(xiàn)向量定理向量a(a≠0)與b共線(xiàn)的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.

與非零向量a共線(xiàn)的單位向量為±a|1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)單位向量的方向無(wú)法確定.()(2)零向量的模等于0,沒(méi)有方向.()(3)若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同.()(4)若|a|=|b|,則a=b.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(教材改編)如圖,向量AB=a,AC=b,CD=c,則向量BD可以表示為().A.a+b+cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c答案C解析BD=AD-AB=AC+CD-AB=b-a+c,故選C.3.(2023·湖南模擬)下列說(shuō)法中正確的是().A.若a=b,則3a>2bB.BC-BA-DC=ADC.a+b=a+b?a與D.若a=b=c,則a=b=c答案B解析對(duì)于A,由于任意兩個(gè)向量不能比較大小,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,BC-BA-DC=AC+CD=AD,故B正確;對(duì)于C,a+b=a+b?a與b的方向相同,故C對(duì)于D,雖然a=b=c,但a,b,c的方向不確定,故D錯(cuò)誤.4.(2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷)在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2DA.記CA=m,CD=n,則CB=().A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n答案B解析CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(AC+CD)=-2CA+3CD=-2m+3n.故選B.考點(diǎn)一平面向量的概念【例1】給出下列命題:①若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同;②若a與b共線(xiàn),b與c共線(xiàn),則a與c也共線(xiàn);③若A,B,C,D是不共線(xiàn)的四點(diǎn),且AB=DC,則四邊形ABCD為平行四邊形;④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b;⑤已知λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線(xiàn).其中真命題的序號(hào)是.

答案③解析①錯(cuò)誤,兩個(gè)向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同,則兩個(gè)向量相等,但兩個(gè)向量相等,不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn);②錯(cuò)誤,若b=0,則a與c不一定共線(xiàn);③正確,因?yàn)锳B=DC,所以|AB|=|DC|且AB∥DC,又A,B,C,D是不共線(xiàn)的四點(diǎn),所以四邊形ABCD為平行四邊形;④錯(cuò)誤,當(dāng)a∥b且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件;⑤錯(cuò)誤,當(dāng)λ=μ=0時(shí),a與b可以為任意向量,滿(mǎn)足λa=μb,但a與b不一定共線(xiàn).故填③.有關(guān)平面向量概念的注意點(diǎn):(1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線(xiàn)向量即平行向量,它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.(4)非零向量a與a|a|的關(guān)系:a|a|是與a方向相同的單位向量,-a|a|是與a方向相反的單位向量.(5)兩個(gè)向量不能比較大小,設(shè)a0為單位向量,有下列命題:①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|·a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0.其中假命題的個(gè)數(shù)是().A.0 B.1 C.2 D.3答案D解析向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題.若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況,一是同向,二是反向.反向時(shí),a=-|a|a0,故②③是假命題.綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3.故選D.考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算命題角度1平面向量的加、減運(yùn)算【例2】(1)(2023·陜西漢中開(kāi)學(xué)考試)如圖所示,已知點(diǎn)O到平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的向量分別為a,b,c,則OD=(用a,b,c表示).

答案a-b+c解析OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.(2)化簡(jiǎn):(AM+OM)+(BO+BC)+(MA+MB)=.

答案BC解析因?yàn)?AM+OM)+(BO+BC)+(MA+MB)=(AM+MA)+(OM+MB+BO+BC)=0+0+BC=BC,所以(AM+OM)+(BO+BC)+(MA+MB)=BC.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法,兩個(gè)法則是統(tǒng)一的,當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí),常選用三角形法則;當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí),常選用平行四邊形法則.1.化簡(jiǎn):AB+BD-AC-CD=().A.AD B.0 C.BC D.DA答案B解析AB+BD-AC-CD=AD-(AC+CD)=AD-AD=0.故選B.2.(2023·湖北武漢調(diào)研)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn),則OA+OB+OC+OD=().A.OM B.2OM C.3OM D.4OM答案D解析如圖,在△OAC中,M為AC的中點(diǎn),所以O(shè)A+OC=2OM,在△OBD中,OB+OD=2OM,所以O(shè)A+OB+OC+OD=4OM.故選D.命題角度2數(shù)乘運(yùn)算與向量共線(xiàn)【例3】(2023·云南昆明模擬)梯形ABCD中,AB=2DC,設(shè)AB=m,AD=n,則AC+BD=().A.-12m+2n B.12m-C.m-2n D.-m+2n答案A解析AC+BD=AD+DC+AD-AB=2AD+12AB-AB=-12AB+2AD=-12m+21.解決平面向量線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量,并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.2.在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,運(yùn)用平行四邊形法則,三角形法則及三角形中位線(xiàn),相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線(xiàn)性表示.(改編)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=2CD,E為BC的中點(diǎn),則AE=().A.23AB+13ADC.23AB-13AD答案A解析如圖,BC=2CD,E為BC的中點(diǎn),所以AE=AB+BE=AB+13BD=AB+13(AD-AB)=23AB+命題角度3根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解參數(shù)【例4】(1)(改編)在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O,若AB+AD=λAO,則實(shí)數(shù)λ=().A.12 B.2 C.13答案B解析在平行四邊形ABCD中,AB+AD=AC=λAO,解得λ=2.故選B.(2)(2023·威海模擬)在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊BC,CD的中點(diǎn),若AB=xAE+yAF(x,y∈R),則x-y=.

答案2解析由題意得AE=AB+BE=AB+12AD,AF=AD+DF=AD+因?yàn)锳B=xAE+yAF,所以AB=x+y2所以x+y2=1,x利用向量線(xiàn)性運(yùn)算求解參數(shù)的思路:(1)利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算得到相關(guān)向量的線(xiàn)性表示;(2)對(duì)比向量等式求出參數(shù)或建立方程(組)求解.1.(2023·湖北武漢模擬)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上,且|AC|=34|CB|,若AB=λBC,則實(shí)數(shù)λ=()A.13 B.-34 C.74答案D解析不妨設(shè)|CB|=4a,則|AC|=34|CB|=3a,因?yàn)辄c(diǎn)C在線(xiàn)段AB上,則AB=-74BC,2.(2023·河南八市聯(lián)考)如圖,在直角梯形ABCD中,DC=14AB,BE=2EC,且AE=rAB+sAD,則2r+3s=(A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析由題圖可得AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(BA+AD+DC)=13AB+23(AD+DC)=13因?yàn)锳E=rAB+sAD,所以r=12,s=2則2r+3s=1+2=3.對(duì)應(yīng)《高效訓(xùn)練》P49基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.有下列命題:①兩個(gè)相等向量,若它們的起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)也相同;②若|a|=|b|,則a=b;③若AB=DC,則四邊形ABCD是平行四邊形;④若m=n,n=k,則m=k;⑤若a∥b,b∥c,則a∥c;⑥有向線(xiàn)段就是向量,向量就是有向線(xiàn)段.其中假命題的個(gè)數(shù)是(A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析對(duì)于①,兩個(gè)相等向量,若它們的起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)也相同,①是真命題;對(duì)于②,若a=b,但由于a,b的方向不確定,所以a,b不一定相等,②是假命題;對(duì)于③,若AB=DC,由②知AB,DC不一定相等,所以四邊形ABCD不一定是平行四邊形,③是假命題;對(duì)于④,若m=n,n=k,則m=k,④是真命題;對(duì)于⑤,若a∥b,b∥c,則當(dāng)b=0時(shí),a∥c不一定成立,⑤是假命題;對(duì)于⑥,有向線(xiàn)段不是向量,向量可以用有向線(xiàn)段表示,⑥是假命題.綜上所述,假命題是②③⑤⑥,共4個(gè)2.如圖,向量a-b=().A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2C.e1-3e2 D.3e1-e2答案C解析a-b=CA-CB=-3e2-(-e1)=e1-3e2.故選C.3.已知AB=a+5b,BC=-3a+6b,CD=4a-b,則().A.A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn) B.A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)C.B,C,D三點(diǎn)共線(xiàn) D.A,C,D三點(diǎn)共線(xiàn)答案A解析由題意得BD=BC+CD=a+5b=AB,又BD,AB有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn).4.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為BC的中點(diǎn),F為DE的中點(diǎn),若AF=xAB+34AD,則x=(A.34 B.C.12 D.答案C解析因?yàn)镕為DE的中點(diǎn),所以AF=12(AD+AE而AE=AB+BE=AB+12BC=AB+即有AF=12AD+AB+又AF=xAB+34AD,所以x=12.5.八卦是中國(guó)文化中的哲學(xué)概念,如圖,八卦的平面圖形記為正八邊形ABCDEFGH,其中OA=1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是().A.BF-HF+HD=0B.OA+OC=-2C.AE+FC-GE=ABD.正八邊形ABCDEFGH的面積是22答案A解析對(duì)于A,因?yàn)锽F-HF+HD=BF+FH+HD=BH+HD=BD,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)椤螦OC=360°8×2=90°,則以O(shè)A,OC為鄰邊的平行四邊形為正方形,又因?yàn)镺B平分∠AOC,所以O(shè)A+OC=2OB=-2OF,對(duì)于C,因?yàn)锳E+FC-GE=AE+EG+FC=AG+FC=AO+OG+FO+OC,且OG=-OC,FO=OB,所以AE+FC-GE=AO+OB=AB,故C正確;對(duì)于D,正八邊形ABCDEFGH的面積是8×12×1×1×sin45°=22,故D正確故選BCD.6.已知O是直角三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),直角三角形ABC的斜邊BC長(zhǎng)為4,若點(diǎn)P在BC上,滿(mǎn)足OP=OA+12(AB+AC),則|AP|=()A.4 B.2 C.1 D.1答案B解析由OP=OA+12(AB+AC)可得OP-OA=12(AB+AC),即AP=12(AB+AC),易知P為BC的中點(diǎn),則|AP|=12|7.設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)足OA+2OB+2OC=0,則△ABC的面積與△BOC的面積的比值為().A.6 B.83 C.127 D答案D解析如圖,取BC的中點(diǎn)D,由平行四邊形法則,可知OB+OC=2OD,∴2OB+2OC=4OD,又∵OA+2OB+2OC=0,∴OA=-4OD,∴|OA|=4|OD|,∴AD=5OD,∴△ABC中以BC為底的高h(yuǎn)1,是△BOC中以BC為底的高h(yuǎn)2的5倍,∴S△ABCS△BOC=8.在等邊三角形ABC中,BD=DC,EC=2AE,AD與BE交于點(diǎn)F,則下列結(jié)論正確的是().A.AD=13(AB+AC) B.BE=23C.AF=12AD D.BF=1答案C解析因?yàn)锽D=DC,所以D為BC的中點(diǎn),所以AD=12(AB+AC),故A錯(cuò)誤因?yàn)镋C=2AE,所以BE=BC+CE=BC+23CA=BC+23(CB+BA)=13BC+2由B,F,E三點(diǎn)共線(xiàn),得AF=λAE+(1-λ)AB=13λAC+(1-λ)AB又AF=xAD=x2(AB+AC),所以x2=13λBF=BA+AF=BA+12AD=BA+12(BD-BA)=12BA+19.在等邊△ABC中,D,E,F分別為BC,AB,AC的中點(diǎn),寫(xiě)出一個(gè)與向量AB+AC垂直的向量:.(用字母作答)

答案BC(答案不唯一)解析如圖,連接EF,AD,則AB+AC=2AD,因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,D為中點(diǎn),故AD⊥BC,所以與向量AB+AC垂直的向量有BC(答案不唯一,CB,EF,FE,BD,DB,DC,CD也滿(mǎn)足題意).10.已知e1,e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量,而a=k2e1+1-52ke2,b=2e1+3e2是兩個(gè)共線(xiàn)向量,則實(shí)數(shù)k=.

答案-2或1解析由已知,e1,e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量,a=k2e1+1-52ke2,b=2e1+3e2是兩個(gè)共線(xiàn)向量,所以3k2=21-52k,解得k=-2或k=13.能力提升11.已知在△ABC中,AB=BC=3,AC=4,設(shè)O是△ABC的內(nèi)心,若AO=mAB+nAC,則m∶n=().A.5∶3 B.4∶3 C.2∶3 D.3∶4答案B解析如圖所示,設(shè)三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)分別為BD,AE,CF,則它們相交于點(diǎn)O,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知,S△ABOS△ADO=BO∴BO=35∴AO=AB+BO=AB+35BD=AB+35(AD-AB)=2∵D是AC的中點(diǎn),∴AO=25AB+∴m=25,n=310,則m∶n=4∶3.故選12.如圖,在△ABC中,線(xiàn)段BE,CF交于點(diǎn)P,設(shè)向量AB=a,AC=b,AP=c,AF=23a,AE=12b,則向量c可以表示為(A.c=34a+12b B.c=12aC.c=12a+14b D.c=14a答案C解析∵F,P,C三點(diǎn)共線(xiàn),∴存在實(shí)數(shù)λ,使AP=λAF+(1-λ)AC,由AF=23a,得AP=23λa+(1-λ)同理可得,AP=μAB+(1-μ)AE=μa+12(1-μ)b∴23λ∴c=12a+14b.故選13.設(shè)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列說(shuō)法不正確的是().A.若AM=12AB+12AC,則B.若AM=2AB-AC,則M在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上C.若AM=-BM-CM,則M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,則△MBC的面積是△ABC面積的答案B解析若AM=12AB+12AC=12(AB+AC),根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知,M是邊BC的中點(diǎn)若AM=2AB-AC,即有AM-AB=AB-AC,即BM=CB,則M在邊CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,故B錯(cuò)誤;若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,則M是△ABC的重心,故C正確;如圖,AM=xAB+yAC,且x+y=12,可得2AM=2xAB+2yAC設(shè)AN=2AM,即M為AN的中點(diǎn),則AN=2xAB+2yAC,由2x+2y=1,可知B,N,C三點(diǎn)共線(xiàn),即點(diǎn)N落在線(xiàn)段BC上,又△MBC與△ABC的底邊BC相等,△MBC的高是△ABC的高的12,所以△MBC的面積是△ABC面積的12,故D14.如圖,在平行四邊形ABCD中,E是CD的中點(diǎn),F是線(xiàn)段BD上的一動(dòng)點(diǎn).若AF=xAE+yDC(x>0,y>0),則2-3x4yA.12 B.C.1 D.2答案A解析如圖所示,設(shè)BD,AE交于點(diǎn)O,因?yàn)镈E∥AB,所以△AOB∽△EOD,所以AOEO=ABED=2,所以AO=2EO,則AE=32AO,所以AF=xAE+yDC=32因?yàn)镺,F,B三點(diǎn)共線(xiàn),所以32x+y=1,即2-3x=2y,所以2-3x4y2+1=2y4y2+1=24y+1y,因?yàn)閤>0,y>0,所以4y+1y≥24y·1y=4,當(dāng)且僅當(dāng)4y=1y,即y=12思維拓展15.在如圖所示的圖形中,圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切,A,B,C,D是其中四個(gè)圓的圓心,則AB+CD=(A.19 B.19C.27 D.23答案C解析由題圖可得CD=BC,所以AB+CD=AB+BC=AC.在△ACD中,由余弦定理得,AC=A=62+22故選C.16.已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿(mǎn)足PA+2PB+3PC=0,記△ABP,△BCP,△ACP的面積依次為S1,S2,S3,則S1∶S2∶S3=().A.1∶2∶3 B.1∶4∶9 C.2∶1∶3 D.3∶1∶2答案D解析如圖,設(shè)D,E分別為BC,AC的中點(diǎn),因?yàn)镻A+2PB+3PC=0,所以PA-PB=-3(PB+PC),即BA=-3×2PD=-6PD,同理,PA+PC=-2(PB+PC),即2PE=-2×2PD=-4PD,所以BA=3PE,則點(diǎn)P到BC的距離等于點(diǎn)A到BC的距離的16,點(diǎn)P到AC的距離等于點(diǎn)B到AC的距離的1設(shè)△ABC的面積為S,則S2=16S,S3=13S,S1=S-S3-S2=12S,所以S1∶S2∶S3=3∶1∶2.培優(yōu)微專(zhuān)題七平面向量之三點(diǎn)共線(xiàn)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P124培優(yōu)點(diǎn)1利用三點(diǎn)共線(xiàn)求參數(shù)【例1】(2023·河南模擬)已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D,滿(mǎn)足AD=mAB+2mAC,則實(shí)數(shù)m=().A.1 B.12 C.13答案C解析因?yàn)镈是BC上一點(diǎn),AD=mAB+2mAC,所以m+2m=1,解得m=13在平面內(nèi),OP,OA,OB是不共線(xiàn)向量,設(shè)OP=xOA+yOB(x,y∈R),P,A,B三點(diǎn)共線(xiàn)?x+y=1.說(shuō)明:1.上述結(jié)論可概括為“起點(diǎn)一致,終點(diǎn)共線(xiàn),系數(shù)和為1”,利用此結(jié)論,可求交點(diǎn)位置向量或者兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度的比值;2.當(dāng)條件中出現(xiàn)共起點(diǎn)的兩個(gè)向量的線(xiàn)性組合時(shí),應(yīng)往三點(diǎn)共線(xiàn)方向考慮,特別地,當(dāng)系數(shù)和不是“1”時(shí),應(yīng)轉(zhuǎn)化為“1”;3.遇到條件“兩條線(xiàn)段相交于一點(diǎn)”時(shí),可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量共線(xiàn),進(jìn)而確定交點(diǎn)位置.(2023·山東濟(jì)南檢測(cè))如圖,在△ABC中,AN=13NC,P是BN上的一點(diǎn),若AP=mAB+211AC,則實(shí)數(shù)m的值為(A.911 B.511 C.4答案D解析因?yàn)锳N=13NC,所以AC=4AN,又AP=mAB+211AC,于是得AP=mAB+811AN,而AB,AN不共線(xiàn),點(diǎn)P在直線(xiàn)BN上,因此m+811=1,培優(yōu)點(diǎn)2不共線(xiàn)與共線(xiàn)的轉(zhuǎn)化【例2】(1)(2023·湖北開(kāi)學(xué)考試)如圖,在△ABC中,已知D是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),若BC=2CD,且AE=λAB+34AC,則實(shí)數(shù)λ=答案-1解析因?yàn)镋是AD的中點(diǎn),所以AE=12AD=λAB+34AC,即AD=2λAB+32AC,又因?yàn)锽,C,D三點(diǎn)共線(xiàn),所以2λ+32=1(2)(改編)若O是銳角△ABC的外心,AB=6,AC=10,AO=xAB+yAC,且滿(mǎn)足2x+10y=5,則cos∠BAC=.

答案1解析由2x+10y=5得25x+2y=1,將AO=xAB+yAC變形為AO=25x·52AB+2y·12AC.如圖,作AD=52AB,AE=12AC,則D,O,E三點(diǎn)共線(xiàn),且OE⊥AC.在Rt△ADE中,AD=15在平面內(nèi),OP,OA,OB是不共線(xiàn)向量,設(shè)OP=xOA+yOB(x,y∈R),但P,A,B三點(diǎn)不共線(xiàn).此時(shí)的系數(shù)和不為1,需要考慮通過(guò)將向量共線(xiàn)轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題,即化為“1”解答.1.(2023·重慶模擬)如圖,在平行四邊形ABCD中,DE=12EC,F為BC的中點(diǎn),G為線(xiàn)段EF上一點(diǎn),且滿(mǎn)足AG=79AB+mAD,則實(shí)數(shù)m=(A.23 B.13 C.-13答案A解析因?yàn)镚,E,F三點(diǎn)共線(xiàn),所以AG=λAE+(1-λ)AF(其中0≤λ≤1),又AE=AD+DE=AD+13AB,AF=AB+BF=AB+所以AG=λAD+13AB+(1-λ)AB+12所以3-2λ3=2.(2023·河南鄭州三模)如圖,在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在邊BC上,延長(zhǎng)AD到P,使得AP=9,若PA=mPB+32-mPC(m為常數(shù)),則答案0或18解析PA=mPB+32-mPC可化為23PA=23mPB+1-23mPC,當(dāng)m≠0且m≠32時(shí),∵B,D,C三點(diǎn)共線(xiàn),∴23PA=PD,故DP=6,AD=3,在△ACD中,AD=AC=3當(dāng)m=0時(shí),PA=32PC,C,D重合,此時(shí)CD的長(zhǎng)度為當(dāng)m=32時(shí),PA=32PB,B,D重合,此時(shí)PA=12,不合題意綜上所述,CD的長(zhǎng)度為0或185培優(yōu)點(diǎn)3利用三點(diǎn)共線(xiàn)求最值或范圍【例3】(改編)如圖,在△ABC中,E為AC上一點(diǎn),AC=3AE,P為BE上任一點(diǎn),若AP=mAB+nAC(m>0,n>0),則3m+1n的最小值是(A.9 B.10 C.11 D.12答案D解析因?yàn)锳C=3AE,AP=mAB+nAC,所以AP=mAB+3nAE,又因?yàn)锽,P,E三點(diǎn)共線(xiàn),所以m+3n=1,所以3m+1n=3m+1n(m+3n)=9nm+mn+6≥29nm·mn+6=12,當(dāng)且僅當(dāng)m=3n,即m=12,n=在平面內(nèi),若OP,OA,OB是不共線(xiàn)向量,設(shè)OP=xOA+yOB(x,y∈R),求關(guān)于x,y的最值或范圍問(wèn)題,常常通過(guò)“三點(diǎn)共線(xiàn)”的向量充要條件,探究出x,y間的等量關(guān)系,再利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求解.(2023·天津模擬)如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是BC邊上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則AD·BC的取值范圍是.

答案(-5,2)解析在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,所以AB·AC=|AB|·|AC|cos120°=-1,因?yàn)锽,D,C三點(diǎn)共線(xiàn),所以存在實(shí)數(shù)λ使得AD=λAC+(1-λ)AB(0<λ<1),所以AD·BC=[λAC+(1-λ)AB]·BC=[λAC+(1-λ)AB]·(AC-AB)=λAC2-(1-λ)AB2+(-λ+1-λ)AB·AC=7λ-因?yàn)?<λ<1,所以-5<7λ-5<2,所以AD·BC的取值范圍是(-5,2).第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P1251.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算.4.掌握平面向量共線(xiàn)的充要條件及應(yīng)用.一、平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.若e1,e2不共線(xiàn),我們就把{e1,e2}叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.1.若a與b不共線(xiàn),且λa+μb=0,則λ=μ=0.2.若G是△ABC的重心,則GA+GB+GC=0,AG=13(AB+AC)3.三點(diǎn)共線(xiàn)定理若OA,OB是平面內(nèi)不共線(xiàn)的向量,且存在實(shí)數(shù)λ1,λ2使得OC=λ1OA+λ2OB,則當(dāng)λ1+λ2=1時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn).特別地,當(dāng)λ1=λ2=12時(shí),C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.向量的加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),

a-b=(x1-x2,y1-y2),

λa=(λx1,λy1),|a|=x12.向量坐標(biāo)的求法(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即向量的坐標(biāo).(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x三、平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.特別地,若x2≠0,y2≠0,則a∥b?x1x21.判斷下列結(jié)論是否正確.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()(2)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).()(3)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.()(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件可表示成x1x2=y1y答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(教材改編)已知點(diǎn)A(-1,2),B(3,-6),則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為().A.(2,1) B.(1,-2)C.(1,2) D.(2,-2)答案B解析∵A(-1,2),B(3,-6),∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為-1+32,2-62,即3.(2023·廣東模擬)已知向量a=(1,3),b=(-6,m),且a∥(a+b),則實(shí)數(shù)m=.

答案-18解析∵a=(1,3),b=(-6,m),∴a+b=(-5,3+m),∵a∥a+b,∴1×(3+m)-3×(-5)=0,解得m=-4.(2022年全國(guó)乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),則|a-b|=().A.2 B.3 C.4 D.5答案D解析因?yàn)閍-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|=42+(-3)2考點(diǎn)一平面向量基本定理及應(yīng)用【例1】(2023·濟(jì)南質(zhì)檢)在△ABC中,AN=14NC,若P是直線(xiàn)BN上的一點(diǎn),且滿(mǎn)足AP=mAB+25AC,則實(shí)數(shù)m的值為A.-4 B.-1 C.1 D.4答案B解析根據(jù)題意,設(shè)BP=nBN(n∈R),則AP=AB+BP=AB+nBN=AB+n(AN-AB)=AB+n15AC-AB=(1-n)AB+n5又AP=mAB+25AC,AB與AC∴1-n平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)運(yùn)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.提示:在基底未給出的情況下,合理地選取基底能給解題帶來(lái)方便.另外,要熟練地運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)及定理.1.(2023·山東濱州檢測(cè))在平行四邊形ABCD中,設(shè)CB=a,CD=b,E為AD的中點(diǎn),CE與BD交于F,則AF=().A.-a+2b3C.-a-2b答案B解析如圖所示,連接AC與BD交于點(diǎn)O,則O為AC的中點(diǎn),因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),所以點(diǎn)F為△ACD的重心,所以AF=13(AC+AD)=13(-a-b-a)=-2.(2023·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB,BC的中點(diǎn),連接CE,DF,交于點(diǎn)G.若CG=λCD+μCB(λ,μ∈R),則λμ=答案1解析由題圖可設(shè)CG=xCE(x>0),則CG=x(CB+BE)=xCB+12CD=x2CD+xCB.因?yàn)镃G=λCD+μCB,CD與CB不共線(xiàn),所以λ=x2,μ=x,所以λ考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】已知AB=(1,-1),C(0,1),若CD=2AB,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為().A.(-2,3) B.(2,-3) C.(-2,1) D.(2,-1)答案D解析設(shè)D(x,y),則CD=(x,y-1),2AB=(2,-2).由CD=2AB,得(x,y-1)=(2,-2),即x=2,y-1=◎同源改編◎若將條件“CD=2AB”改為“四邊形ABCD為平行四邊形”,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

答案(-1,2)解析設(shè)D(x,y),則CD=(x,y-1),因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,所以CD=BA=-AB=(-1,1),即CD=(x,y-1)=(-1,1),所以x=-1,y=2,即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,2).平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解,若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去向量始點(diǎn)的坐標(biāo).(2)在解題過(guò)程中,常利用“若向量相等,則其坐標(biāo)相同”這一原則,通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解.1.若向量a,b滿(mǎn)足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),則b=().A.(-3,4) B.(3,4)C.(3,-4) D.(-3,-4)答案A解析因?yàn)閍+b=(-1,5),a-b=(5,-3),所以a=(2,1),b=(-3,4),故選A.2.(2023·江蘇模擬)在正方形ABCD中,M是BC的中點(diǎn).若AC=λAM+μBD,則λ+μ的值為().A.43 B.53 C.答案B解析在正方形ABCD中,以A為原點(diǎn),直線(xiàn)AB,AD分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.令|AB|=2,則B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),AC=(2,2),AM=(2,1),BD=(-2,2),所以λAM+μBD=(2λ-2μ,λ+2μ),因?yàn)锳C=λAM+μBD,于是得2λ-2μ=2,λ+2μ考點(diǎn)三向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示【例3】(1)(2023·廣西模擬)已知平面向量a=(3,-2),b=(-4,λ),若a∥(a+2b),則實(shí)數(shù)λ=.

答案8解析因?yàn)閍=(3,-2),b=(-4,λ),所以a+2b=(3,-2)+2(-4,λ)=(-5,-2+2λ),又a∥(a+2b),所以3(-2+2λ)-(-2)×(-5)=0,解得λ=83(2)(2022·北師大附中檢測(cè))已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-3b共線(xiàn),則mn=答案-1解析因?yàn)?-1≠32,所以a與又a-3b=(2,3)-3(-1,2)=(5,-3)≠0,那么當(dāng)ma+nb與a-3b共線(xiàn)時(shí),有m1=n-3,即m與平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)利用兩向量共線(xiàn)求參數(shù).如果已知兩向量共線(xiàn),求某些參數(shù)的值時(shí),利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便.(2)利用兩向量共線(xiàn)的條件求向量坐標(biāo).一般地,在求一個(gè)與已知向量a共線(xiàn)的向量時(shí),可設(shè)所求向量為λa(λ∈R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.1.(2023·浙江模擬)已知向量a=(m,m+3),b=(4,m),則“m=6”是“a與b共線(xiàn)”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析向量a=(m,m+3),b=(4,m),則a∥b?m2-4(m+3)=0,解得m=-2或m=6,所以“m=6”是“a與b共線(xiàn)”的充分不必要條件.2.(2023·江西臨川模擬)已知向量a=(m,2)與b=(3,2m+1)的方向相同,那么實(shí)數(shù)m的值為.

答案3解析由向量a=(m,2),b=(3,2m+1)共線(xiàn)得m(2m+1)-6=0,即2m2+m-6=0,解得m=-2或m=32當(dāng)m=-2時(shí),a=(-2,2),b=(3,-3)=-32a,a與b方向相反,不符合題意當(dāng)m=32時(shí),a=32,2,b=(3,4)=2a,a與b所以實(shí)數(shù)m的值為32對(duì)應(yīng)《高效訓(xùn)練》P51基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.若i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,則a-b=().A.(2,5) B.(-2,5) C.(4,3) D.(-4,3)答案C解析因?yàn)閕=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,所以a=(3,4),b=(-1,1),所以a-b=(4,3).2.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,則c=().A.133,83 B.-133,-83C.133,43 D.-133,-43答案D解析∵a-2b+3c=0,∴c=-13(a-2b).∵a-2b=(5,-2)-(-8,-6)=(13,4),∴c=-13(a-2b)=-133,-43.故選3.已知a=(1,2),b=(4,k),若(a+2b)∥(3a-b),則下列說(shuō)法正確的是().A.k=4 B.|b|=43C.a·b=12 D.a∥b答案D解析因?yàn)閍=(1,2),b=(4,k),所以a+2b=(1,2)+(8,2k)=(9,2+2k),3a-b=(3,6)-(4,k)=(-1,6-k),因?yàn)?a+2b)∥(3a-b),所以9(6-k)=(-1)(2+2k),解得k=8,故A錯(cuò)誤;|b|=42+82=45,a·b=1×4+2×8=20,故C錯(cuò)誤;因?yàn)?×8=2×4,所以a∥b,故D正確.4.如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),若AD=a,BC=b,則EF=().A.12a+1B.12a-1C.12a+3D.12a-3答案A解析由題意知,EF=EC+CF=EB+BC+CF,EF=ED+DF=EA+AD+DF,因?yàn)镋,F分別為AB,CD的中點(diǎn),所以EB=-EA,DF=-CF,所以2EF=AD+BC,所以EF=12AD+12BC,即EF=12a+15.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,則角C的大小為().A.π6 B.C.π2 D.答案B解析因?yàn)閜∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,整理得a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=126.在平行四邊形ABCD中,A(1,2),B(-2,0),AC=(2,-3),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為().A.(6,1) B.(-6,-1)C.(0,-3) D.(0,3)答案A解析∵AB=(-3,-2),∴AD=BC=AC-AB=(5,-1),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,1).故選A.7.如圖1,蜜蜂的蜂房是由嚴(yán)格的正六棱柱構(gòu)成的,它的一端是平整的六邊形開(kāi)口.六邊形開(kāi)口可記為圖2中的正六邊形ABCDEF,其中O為正六邊形ABCDEF的中心,設(shè)AB=a,AF=b,若BM=MC,EF=3EN,則MN=().A.56a+76b B.-56aC.-35a+16b D.35a答案B解析因?yàn)锽M=MC,EF=3EN,由正六邊形的性質(zhì)可知AB=FO=OC,AF=OE=BO,所以O(shè)M=12(OB+OC),ON=OF+FN=OF+23FE=OF+23(OE-OF)=所以MN=MO+ON=-12(OB+OC)+23=-12(-AF+AB)+23AF+13=12AF-12AB=76AF-56AB=-56故選B.8.“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載,西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題,比畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年.如圖,在矩形ABCD中,△ABC滿(mǎn)足“勾3股4弦5”,且AB=3,BC=4,E為AD上一點(diǎn),BE⊥AC.若BA=λBE+μAC,則λ+μ的值為().A.-925 B.725 C.1625答案B解析由題意,以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,因?yàn)锳B=3,BC=4,則B(0,0),A(0,3),C(4,0),BA=(0,3),AC=(4,-3),設(shè)E(a,3),則BE=(a,3),因?yàn)锽E⊥AC,所以AC·BE=4a-9=0,解得a=94.由BA=λBE+μAC,得(0,3)=λ94,3+μ(4,-3),所以94λ+4μ=0,3λ-9.已知點(diǎn)A(1,-2),若向量AB與a=(2,3)同向,|AB|=213,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

答案(5,4)解析設(shè)B(x,y),AB=λa,λ>0,則(x-1,y+2)=(2λ,3λ),故x因?yàn)閨AB|=λ|a|=λ13=213,所以λ=2,所以x10.已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,b=(-1,3),b=λa(λ∈R),則|a-b|=.

答案1或3解析∵b=(-1,3),∴|b|=2,又∵|a|=1,b=λa,∴λ=±2.當(dāng)λ=2時(shí),|a-b|=|a-2a|=|a|=1;當(dāng)λ=-2時(shí),|a-b|=|a+2a|=|3a|=3.能力提升11.在∠A=90°的等腰△ABC中,E為AB的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),BC=λAF+μCE,則λ=().A.-23 B.-C.-43 D.-答案A解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)B(2,0),C(0,2),則F(1,1),E(1,0),BC=(-2,2).因?yàn)棣薃F+μCE=λ(1,1)+μ(1,-2)=(λ+μ,λ-2μ),所以λ+μ=-2,λ12.在正方形ABCD中,O為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),若AE=λAC+μDO(λ,μ>0),則2λ+1μ的最小值為(A.9 B.92 C.7 D.答案B解析由題意知,AE=λAC+μDO=2λOC+μO(píng)B,又AE=AO+OE=OC+OE,可得OE=(2λ-1)OC+μO(píng)B.因?yàn)辄c(diǎn)E在線(xiàn)段BC上,所以2λ-1+μ=1,故2λ+μ=2,μ>0,λ>12,所以2λ+1μ=12(2λ+μ)2λ+1μ=125+2λμ+2μλ≥92,當(dāng)且僅當(dāng)2λμ=2μλ,即λ=μ=23時(shí)13.已知a,b是單位向量,a·b=0,若向量c滿(mǎn)足|c-a+b|=1,則|c-b|的取值范圍是().A.[2-1,2+1]B.[1,2+1]C.[0,2]D.[5-1,5+1]答案D解析單位向量a,b滿(mǎn)足a·b=0,即a⊥b,作OA=a,OB=b,以射線(xiàn)OA,OB分別作為x軸,y軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則a=(1,0),b=(0,1),設(shè)c=(x,y),則c-a+b=(x-1,y+1),由|c-a+b|=1得(x-1)2+(y+1)2=1,令x=1+cosθ,y=-即c=(1+cosθ,-1+sinθ),則|c-b|=(=6=6-其中銳角φ滿(mǎn)足sin所以當(dāng)sin(θ-φ)=-1時(shí),|c-b|max=6+25=5+1當(dāng)sin(θ-φ)=1時(shí),|c-b|min=6-25=5所以|c-b|的取值范圍為[5-1,5+1].14.如圖,在△ABC中,D為AB的中點(diǎn),E,F為BC的兩個(gè)三等分點(diǎn),AE交CD于點(diǎn)M,設(shè)AB=a,AC=b,則FM=().A.115a-715b B.115C.215a-415b D.215答案A解析連接FA,FD(圖略).由E,M,A三點(diǎn)共線(xiàn),可設(shè)FM=λFE+(1-λ)FA,由題意知FE=13CB=13(AB-AC),FA=FB+BA=23CB-AB=23(AB-AC)-所以FM=2λ-1同理,由D,M,C三點(diǎn)共線(xiàn),可設(shè)FM=μFD+(1-μ)FC,同上,可得FM=3μ-2所以2λ-13=3μ-26故選A.思維拓展15.瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲線(xiàn),這是一種分形曲線(xiàn),它的分形過(guò)程是:從一個(gè)正三角形(如圖①)開(kāi)始,把每條邊分成三等份,以各邊的中間部分為底邊,分別向外作正三角形后,抹掉“底邊”線(xiàn)段,這樣就得到一個(gè)六角形(如圖②),所得六角形共有12條邊.再把每條邊分成三等份,以各邊的中間部分為底邊,分別向外作正三角形后,抹掉“底邊”線(xiàn)段.反復(fù)進(jìn)行這一分形,就會(huì)得到一個(gè)“雪花”形狀的曲線(xiàn),這樣的曲線(xiàn)叫作科赫曲線(xiàn)或“雪花”曲線(xiàn),如圖2.已知點(diǎn)O是六角形的對(duì)稱(chēng)中心,A,B是六角形的兩個(gè)頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在六角形上(內(nèi)部以及邊界).若OP=xOA+yOB,則x+y的取值范圍是().A.[-3,3] B.[-4,4] C.[-5,5] D.[-6,6]答案C解析如圖,設(shè)OA=a,OB=b,求x+y的最大值,只需考慮圖中以O(shè)為起點(diǎn),6個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F分別為終點(diǎn)的向量即可,討論如下:當(dāng)點(diǎn)P在A處時(shí),x=1,y=0,故x+y=1;當(dāng)點(diǎn)P在B處時(shí),x=0,y=1,故x+y=1;當(dāng)點(diǎn)P在C處時(shí),OC=OA+AC=a+2b,故x+y=3;當(dāng)點(diǎn)P在D處時(shí),OD=OC+CD=OC+BC=2OC-OB=2a+3b,故x+y=5;當(dāng)點(diǎn)P在E處時(shí),OE=OA+AE=a+b,故x+y=2;當(dāng)點(diǎn)P在F處時(shí),OF=OA+AF=a+3b,故x+y=4.所以x+y的最大值為5.根據(jù)其對(duì)稱(chēng)性可知x+y的最小值為-5,故x+y的取值范圍是[-5,5].故選C.16.如圖,定圓C的半徑為3,A,B為圓C上的兩點(diǎn),且|AC+tAB|的最小值為2,則|AB|=.

答案25解析當(dāng)t=0時(shí),|AC+tAB|=|AC|=3,不滿(mǎn)足題意;當(dāng)t>0時(shí),設(shè)tAB=AE,延長(zhǎng)EA到F,使AF=AE,則tAB=AE=FA,則|AC+tAB|=|AC+FA|=|FC|,取AB的中點(diǎn)D,連接CD,則CD⊥AB,則在Rt△CDF中,|FC|>|AC|=3,不滿(mǎn)足題意;當(dāng)t<0時(shí),設(shè)tAB=GA,則AC+tAB=AC+GA=GC,取AB的中點(diǎn)D,則CD⊥AB,由圖可知,|AC+tAB|=|GC|≥|CD|,∵|AC+tAB|的最小值為2,∴|CD|=2,∴|AB|=2|AC|2-|CD|2拓展視野三等和線(xiàn)定理對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P128若PA,PB為平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量,設(shè)PC=xPA+yPB(x,y∈R),則A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件為x+y=1.當(dāng)點(diǎn)C不在直線(xiàn)AB上時(shí),如圖所示,直線(xiàn)DE∥AB,C為直線(xiàn)DE上任一點(diǎn),設(shè)PC=xPA+yPB(x,y∈R).1.平面向量等和線(xiàn)定義(1)當(dāng)直線(xiàn)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí),容易得到x+y=0.(2)當(dāng)直線(xiàn)DE不過(guò)點(diǎn)P時(shí),直線(xiàn)PC與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)記為F,因?yàn)辄c(diǎn)F在直線(xiàn)AB上,所以由三點(diǎn)共線(xiàn)結(jié)論可知,若PF=λPA+μPB(λ,μ∈R),則λ+μ=1.由△PAB與△PED相似知,必存在一個(gè)常數(shù)k∈R,使得PC=kPF其中k=|PC||PF|=|PE||PA|=|PD||PB|,則PC=kPF=kλPA+kμPB.又PC=xPA在向量起點(diǎn)相同的前提下,所有以與兩向量終點(diǎn)所在的直線(xiàn)平行的直線(xiàn)上的點(diǎn)為終點(diǎn)的向量,其基底的系數(shù)和為定值,這樣的線(xiàn),我們稱(chēng)之為“等和線(xiàn)”.2.平面向量等和線(xiàn)定理平面內(nèi)一組基底PA,PB及任一向量PF滿(mǎn)足:PF=λPA+μPB(λ,μ∈R),若點(diǎn)F在直線(xiàn)AB上或在平行于AB的直線(xiàn)上,則λ+μ=k(定值),反之也成立.我們把直線(xiàn)AB以及與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)稱(chēng)為等和線(xiàn).3.平面向量等和線(xiàn)性質(zhì)(1)當(dāng)?shù)群途€(xiàn)恰為直線(xiàn)AB時(shí),k=1;(2)當(dāng)?shù)群途€(xiàn)在點(diǎn)P和直線(xiàn)AB之間時(shí),k∈(0,1);(3)當(dāng)直線(xiàn)AB在點(diǎn)P和等和線(xiàn)之間時(shí),k∈(1,+∞);(4)當(dāng)?shù)群途€(xiàn)過(guò)點(diǎn)P時(shí),k=0;(5)若兩等和線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng),則兩線(xiàn)的定值分別為k和-k.【典例】(1)在△ABC中,M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),AN=λAB+μAC,則λ+μ的值為().A.12 B.C.14答案A解析如圖,BC為值是1的等和線(xiàn),過(guò)點(diǎn)N作BC的平行線(xiàn),設(shè)λ+μ=k,則k=|AN||AM|.由圖易知,|AN(2)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD,則λ+μ的最大值為().A.3 B.22 C.5 D.2答案A解析過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作等和線(xiàn),設(shè)λ+μ=k,則k=|AM||AB|.由圖易知,當(dāng)?shù)群途€(xiàn)與直線(xiàn)EF重合時(shí),k取最大值,由EF∥BD,可得|AE||AB|1.如圖所示,在△ABC中,D,F分別是AB,AC的中點(diǎn),BF與CD交于點(diǎn)O,設(shè)AB=a,AC=b,向量AO=λa+μb,則λ+μ=.

答案2解析延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)M,如圖,BC為值是1的等和線(xiàn),過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線(xiàn),設(shè)λ+μ=k,則k=|AO||AM|.由三角形重心的性質(zhì)易知,|AO|2.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn).若AB=λAM+μAN,則λ+μ的值為().A.14 B.15 C.4答案C解析如圖,連接MN并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T,則MT為值是1的等和線(xiàn),設(shè)λ+μ=k,則k=|AB||AT|.因?yàn)椤鱉CN≌△TBN,所以BT=CM=12CD,又CD=12AB,所以BT=14AB,3.如圖所示,A,B,C是圓O上的三點(diǎn),線(xiàn)段CO的延長(zhǎng)線(xiàn)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于圓O外的一點(diǎn)D,若OC=mOA+nOB,則m+n的取值范圍是.

答案(-1,0)解析如圖,作OA,OB的相反向量OA1,OB1,則AB∥A1B1,過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)則直線(xiàn)l,A1B1分別為以O(shè)A,OB為基底的值為0,-1的等和線(xiàn),由題意知,線(xiàn)段CO的延長(zhǎng)線(xiàn)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于圓O外的一點(diǎn)D,所以點(diǎn)C在直線(xiàn)l與直線(xiàn)A1B1之間,所以m+n∈(-1,0).4.(改編)如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),P為以A為圓心,AB為半徑的圓弧(在正方形內(nèi),包括邊界點(diǎn))上的任意一點(diǎn),若AC=xDE+yAP,則x+y的最小值為.

答案1解析由題意,作AK=DE,設(shè)AF=λAC,直線(xiàn)AC與直線(xiàn)PK相交于點(diǎn)F,則有AF=λxAK+λyAP,由等和線(xiàn)定理得,λx+λy=1,從而x+y=1λ,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),λmax=2,此時(shí),(x+y)min=1第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P1291.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.2.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷垂直關(guān)系.3.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何與力學(xué)問(wèn)題.一、平面向量的數(shù)量積1.定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|·cosθ.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0·a=0.

2.向量的夾角(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a和b,如右圖,作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a與b的夾角,記作<a,b>.(2)當(dāng)θ=0°時(shí),a與b同向;

當(dāng)θ=180°時(shí),a與b反向;

當(dāng)θ=90°時(shí),a與b垂直.

3.投影向量設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,AB=a,CD=b,過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為A1,B1,得到A1B1,這種變換稱(chēng)為向量a向向量b投影,A1B1注:|a|cos<a,b>稱(chēng)為向量a在向量b方向上的投影數(shù)量.向量a,b的夾角為銳角?a·b>0且a,b不共線(xiàn);向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0且a,b不共線(xiàn).二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為向量a,b的夾角,則(1)a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2;

(2)|a|=a·a=

x(3)cosθ=a·b|(4)a·b=0?x1x2+y1y2=0;

(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2+y1y2|≤x12+三、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.a·b=b·a(交換律).2.λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若a∥b,則必有a·b≠0.()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果是向量.()(3)若a·b<0,則向量a,b的夾角為鈍角.()(4)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0,π2.((5)若a·b=a·c(a≠0),則b=c.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2.(教材改編)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c=.

答案-3解析∵a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=-5×3+6×2=-3.3.(2023·四川瀘縣模擬)如圖,正六邊形ABCDEF中,AB=2,點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF的中心,則AP·AB=.

答案2解析在正六邊形中,點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF的中心,∴∠PAB=60°,且AP=AB=2,∴AP·AB=AP·AB·cos60°=2×2×12=24.(2022年全國(guó)甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,則m=.

答案-3解析由題意知a·b=m+3(m+1)=0,解得m=-34考點(diǎn)一計(jì)算數(shù)量積【例1】(1)(2023·安徽模擬)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,以CD為邊作正三角形CDE,使得A,E位于直線(xiàn)CD的兩側(cè),則AC·AE的值為().A.6-23 B.6-22C.6+22 D.6+23答案D解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB,AD所在直線(xiàn)為x軸,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,由正三角形CDE及正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2可知,C(2,2),E(1,2+3),所以AC·AE=(2,2)·(1,2+3)=6+23.(2)(2022年全國(guó)甲卷)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為13,且|a|=1,|b|=3,則(2a+b)·b=答案11解析由題意可得a·b=1×3×13=1,b2=9,則(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11平面向量數(shù)量積的三種計(jì)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,則a·b+b·c+c·a=.

答案-9解析由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-92◎同源改編◎若條件不變,則cos<a,b>的值為.

答案-1解析由a+b+c=0得,a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,所以|a+b|2=|c|2,即a2+b2+2a·b=c2,即1+4+2a·b=4,所以a·b=-12,故cos<a,b>=a·b|a考點(diǎn)二數(shù)量積的應(yīng)用命題角度1向量垂直問(wèn)題【例2】(1)向量a,b均為非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,則a,b的夾角為().A.π3 B.π2 C.2π答案A解析由題意可知,(a-2b)·a=a2-2a·b=0,(b-2a)·b=b2-2a·b=0,即a2=b2=2a·b.記a,b的夾角為θ,則cosθ=a·b|又θ∈[0,π],所以θ=π3,故選A(2)(2021年全國(guó)甲卷)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,則k=.

答案-10解析因?yàn)橄蛄縜=(3,1),b=(1,0),c=a+kb,又a⊥c,所以a·(a+kb)=|a|2+ka·b=32+12+k·(3×1+1×0)=10+3k=0,解得k=-103平面向量垂直問(wèn)題的類(lèi)型及求解方法(1)判斷兩向量垂直:第一,計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo);第二,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.(2)已知兩向量垂直求參數(shù):根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件,列出相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而求解參數(shù).1.(2020年全國(guó)Ⅱ卷)已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中,與b垂直的是().A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b答案D解析由題意得a·b=|a|·|b|cos60°=12.對(duì)于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=12+2=52≠0,故A不符合題意;對(duì)于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=1+1=2≠0,故B不符合題意;對(duì)于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=12-2=-32≠0,故C不符合題意;對(duì)于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=1-1=0,所以(2a-b)⊥2.(2021年全國(guó)乙卷)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,則λ=.

答案3解析因?yàn)閍-λb=(1,3)-λ(3,4)=(1-3λ,3-4λ),所以由(a-λb)⊥b可得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,解得λ=35命題角度2數(shù)量積求解夾角【例3】(1)(2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,則實(shí)數(shù)t=().A.-6 B.-5 C.5 D.6答案C解析由已知得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故9+3t+16|c|·5=3+t(2)已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,則cos<a,a+b>=().A.-3135 B.-1935 C.1735答案D解析∵a=5,b=6,a·b=-6,∴a·(a+b)=a2+a·b=52-6=19,a+b=(a+b)2∴cos<a,a+b>=a·(a+b)|a求向量夾角問(wèn)題的方法(1)當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時(shí),要求a與b的夾角θ,需求出a·b及|a|,|b|或得出它們之間的關(guān)系.(2)若已知a=(x1,y1)與b=(x2,y2),則cos<a,b>=x1提醒:<a,b>∈[0,π].1.(2019年全國(guó)Ⅰ卷)已知非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為().A.π6 B.π3 C.2π答案B解析因?yàn)?a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-|b|2=|a|·|b|·cos<a,b>-|b|2=0,又因?yàn)閨a|=2|b|,所以cos<a,b>=|b|2又<a,b>∈[0,π],所以a與b的夾角為π32.已知向量a=(2,1),b=(1,3),則向量2a-b與a的夾角為().A.135° B.60° C.45° D.30°答案C解析因?yàn)閍=(2,1),b=(1,3),所以|a|=22+1=5,2a-b=(3,-所以|2a-b|=32+(-(2a-b)·a=(3,-1)·(2,1)=5.記2a-b與a的夾角為θ,則cosθ=(2a-b)又0°≤θ≤180°,所以θ=45°,故選C.命題角度3向量求?！纠?】(1)若向量a,b滿(mǎn)足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,則|b|=.

答案32解析∵|a-b|=5,∴|a-b|2=a2+b2-2a·b=9+|b|2-2=25,∴|b|=32.(2)(開(kāi)放性題)已知向量a=(3,1),b=(x,y)(xy≠0),且|b|=1,a·b<0,則向量b的坐標(biāo)可以是.(寫(xiě)出一個(gè)即可)

答案-32,12(答案不唯一)解析因?yàn)閍=(3,1),b=(x,y),a·b<0,所以|b|=x2+y2=1,a·b=3x+y<0,所以當(dāng)x=-32,y=12時(shí)符合題意,所以向量b的坐標(biāo)可以是-求平面向量的模的常用方法1.若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的,可直接利用公式|a|=x2+y22.若向量a,b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的,可運(yùn)用公式|a|2=a2=a·a或|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2求向量的模,即先求向量模的平方,再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解.1.(改編)已知平面向量a與b的夾角為120°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=.

答案2解析由題意知|a|=2,則a·b=|a|·|b|cos120°=-1,所以|a+2b|=(a+2b)2=a2.(2020年全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=.

答案3解析因?yàn)閍,b為單位向量,所以a=b=1,所以a+b=(a+b)2=a2+2a·b+所以a-b=(a-b命題角度4與數(shù)量積有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題【例5】(1)(2023·浙江舟山模擬)已知平面向量a,b,e滿(mǎn)足e=1,a·e=1,b·e=2,a-b=2,則a·b的最小值為答案5解析因?yàn)閑=1,不妨設(shè)e=(1,0),因?yàn)閍·e=1,b·e=2,不妨設(shè)a=(1,m),b=(2,n),所以a-b=(-1,m-n),因?yàn)閍-b=2,所以1+(m-n)2=4,即(m-n)2=故(m+n)2=(m-n)2+4mn=3+4mn≥0,所以mn≥-34,當(dāng)且僅當(dāng)m=-n=±32時(shí)等號(hào)成立,所以a·b=2+mn≥2-34(2)(2023·山東濰坊開(kāi)學(xué)考試)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿(mǎn)足|c-a-b|=1,則|c|的最大值是.

答案2+1解析由a·b=0,得a⊥b,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),設(shè)c=OC=(x,y),由|c-a-b|=1,得(x-1)2+(y-1)2=1,所以點(diǎn)C在以(1,1)為圓心,1為半徑的圓上.所以|c|max=2+1.利用向量的數(shù)量積求最值與范圍問(wèn)題常常有兩種思路:(1)基底法:利用一組基底,通過(guò)向量的運(yùn)算,轉(zhuǎn)化為求最值或范圍,此時(shí)應(yīng)注意幾何特征的應(yīng)用;(2)坐標(biāo)法:建立合適的平面直角坐標(biāo)系,通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,轉(zhuǎn)化為關(guān)系變量的最值或范圍問(wèn)題,常常利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.1.(2023·云南階段練)已知向量a=(2t,2),b=(-t-2,-5),若向量a與向量a+b的夾角為鈍角,則t的取值范圍為().A.(-3,1) B.(-3,-1)∪(-1,1)C.(-1,3) D.-1,答案D解析因?yàn)閍+b=(t-2,-3),又a與a+b的夾角為鈍角,當(dāng)a與a+b共線(xiàn)時(shí),-6t-2(t-2)=0,解得t=12所以a·(a+b)<0且a與a+b不共線(xiàn),即t2-2t-3<0且t≠12解得t∈-1,12∪12.(2023·湖南長(zhǎng)沙開(kāi)學(xué)考試)如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別在x軸、y軸正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng),則OB·OC的最大值是().A.1B.2C.2D.22答案C解析令∠OAD=θ,由于AD=1,故OA=cosθ,OD=sinθ,∠BAx=π2-θ,AB=1,故xB=cosθ+cosπ2-θ=cosθ+sinθ,yB=sinπ2-θ=cosθ,故OB=(cosθ+sin同理可求得C(sinθ,cosθ+sinθ),即OC=(sinθ,cosθ+sinθ),所以O(shè)B·OC=(cosθ+sinθ,cosθ)·(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ.所以當(dāng)sin2θ=1時(shí),OB·OC取得最大值為2,故選C.考點(diǎn)三平面向量的應(yīng)用命題角度1向量在平面幾何中的應(yīng)用【例6】折紙發(fā)源于中國(guó)19世紀(jì),折紙傳入歐洲后,與自然科學(xué)結(jié)合在一起成為建筑學(xué)院的教具,并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支,我國(guó)傳統(tǒng)的一種手工折紙風(fēng)車(chē)是從正方形紙片的一個(gè)直角頂點(diǎn)開(kāi)始,沿對(duì)角線(xiàn)部分剪開(kāi)成兩個(gè)角,將其中一個(gè)角折疊使其頂點(diǎn)仍落在該對(duì)角線(xiàn)上,同樣操作其余三個(gè)直角制作而成的,其平面圖形如下,則下列說(shuō)法不正確的是().A.EH∥FCB.AH·BE=0C.EG=EH+EFD.EC·EH=EC·ED答案A解析選項(xiàng)A,由對(duì)稱(chēng)性知,EH∥FG,而FG與FC不重合,即A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,設(shè)風(fēng)車(chē)的中心為O,AH·BE=(OH-OA)·(OE-OB)=OH·OE-OH·OB-OA·OE+OA·OB=0-OH·OB-OA·OE+0=OF·OB-OA·OE=0,即B正確;選項(xiàng)C,EG=EH+HG=EH+EF,即C正確;選項(xiàng)D,EC·EH=|EC|·|EH|cos∠CEH=|EC|·|OE|,EC·ED=|EC|·|ED|cos∠CED=|EC|·|OE|,即D正確.故選A.平面幾何中的向量問(wèn)題,主要是注意平面圖形中的數(shù)量關(guān)系、角度大小,然后利用向量的相關(guān)知識(shí)求解即可.(原創(chuàng)新題)在平面直角坐標(biāo)系中,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,0),B(0,5),C(7,8),若D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn),且OD·BA=-5,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為().A.(4,2) B.4,175 C.(5,4) D.(6答案C解析設(shè)D(x0,y0),則OD=(x0,y0),BA=(3,-5),依題意可得OD·BA=3x0-5y0=-5,直線(xiàn)AC的方程為y-08-0=x-37∵D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn),∴2x0-y0-6=0(3≤x0≤7),∴OD·BA=3x0-5(2x0-6)=30-7x0=-5,解得x0=5,∴y0=4,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,4).故選C.命題角度2平面向量在物理中的應(yīng)用【例7】(1)(2023·遼寧沈陽(yáng)模擬)渭河某處南北兩岸平行,如圖所示.某艘游船從南岸碼頭A出發(fā)向北航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中航行的速度大小為v1=10km/h,水流速度的大小為v2=6km/h.設(shè)速度v1與速度v2的夾角為120°,北岸的點(diǎn)A'在碼頭A的正北方向.那么該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)(A.在A'東側(cè) B.在A'西側(cè)C.恰好與A'重合 D.無(wú)法確定答案A解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題意可得v1=(-5,53),v2=(6,0),所以v1+v2=(1,53),說(shuō)明船有x軸正方向的速度,即向東的速度,所以該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)在A'東側(cè),故選A.(2)(2023·內(nèi)蒙古赤峰三模)如圖所示,把一個(gè)物體放在傾斜角為30°的斜面上,物體處于平衡狀態(tài),且受到三個(gè)力的作用,即重力G,垂直于斜面向上的彈力F1,沿著斜面向上的摩擦力F2.已知F1=803N,G=160N,則F2的大小為答案80N解析由題設(shè)知,|F2|=|G|·sin30°=160×12=80N用平面向量方法解決物理問(wèn)題的步驟1.(2023·福建廈門(mén)模擬)長(zhǎng)江某地南北兩岸平行,一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度v1的大小為v1=10km/h,水流的速度v2的大小為v2=4km/h.設(shè)v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°),北岸的點(diǎn)A'在A的正北方向,則游船正好到達(dá)點(diǎn)A'處時(shí),cosθ=答案-2解析設(shè)船的實(shí)際速度為v,v1與南岸上游的夾角為α,如圖所示,要使得游船正好到達(dá)A'處,則|v1|cosα=|v2|,即cosα=|v2||v又因?yàn)棣?π-α,所以cosθ=cos(π-α)=-cosα=-252.(2023·福建泉州模擬)如圖所示,一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住,且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是F1,F2,且F1,F2與水平夾角均為45°,F1=F2=42N,則物體的重力大小為答案8解析設(shè)F1,F2的合力為F,則F=F1+F2,∵F1,F2的夾角為90°,∴F2=(F1+F2)2=F12+F22+2F∴|F|=8N.∵物體處于平衡狀態(tài),∴物體的重力大小為|G|=8N.對(duì)應(yīng)《高效訓(xùn)練》P53基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.已知向量a,b滿(mǎn)足a=1,a·(a-2b)=-5,則a·b=().A.2 B.2 C.3 D.3答案D解析由向量a,b滿(mǎn)足a=1,a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2a·b=-5,解得a·b=3.故選D.2.若非零向量a,b滿(mǎn)足a=2b且a-b2=a·b,則a與b的夾角為A.π3 B.π4 C.π6答案B解析因?yàn)閍=2b,a-b2=a·b,設(shè)a與b的夾角為θ,所以a2-2a·b+b2=a·b,即2b2+b2=32b2·cosθ,解得