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第11講復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握復(fù)數(shù)集中的運(yùn)算問題.【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一:復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算考點(diǎn)二:復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算考點(diǎn)三:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算考點(diǎn)四:復(fù)數(shù)方程考點(diǎn)五:復(fù)數(shù)的幾何意義【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則:設(shè),(),我們規(guī)定:知識(shí)點(diǎn)詮釋:(1)復(fù)數(shù)加法中的規(guī)定是實(shí)部與實(shí)部相加,虛部與虛部相加,減法同樣.很明顯,兩個(gè)復(fù)數(shù)的和(差)仍然是一個(gè)復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的加(減)法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)的情形.(2)復(fù)數(shù)的加減法,可模仿多項(xiàng)式的加減法法則計(jì)算,不必死記公式.2、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算律:交換律:z1+z2=z2+z1結(jié)合律::(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義1、復(fù)數(shù)的表示形式:代數(shù)形式:()幾何表示:①坐標(biāo)表示:在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)表示復(fù)數(shù)();②向量表示:以原點(diǎn)為起點(diǎn),點(diǎn)為終點(diǎn)的向量表示復(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)詮釋:復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)平面向量2、復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義:如果復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)于向量、,那么以、為兩邊作平行四邊形,對(duì)角線表示的向量就是的和所對(duì)應(yīng)的向量.對(duì)角線表示的向量就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的差所對(duì)應(yīng)的向量.設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量為、,即、的坐標(biāo)形式為=(a,b),=(c,d)以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2,則對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量是,由于,所以和的和就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量知識(shí)點(diǎn)詮釋:要會(huì)運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義去解題,利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理知識(shí)點(diǎn)三、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算1、乘法運(yùn)算法則:設(shè),(),我們規(guī)定:知識(shí)點(diǎn)詮釋:(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,在所得的結(jié)果中把換成,并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).(2)在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí),通常先把除式寫成分式的形式,再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)(分母實(shí)數(shù)化),化簡(jiǎn)后寫成代數(shù)形式.2、乘法運(yùn)算律:(1)交換律:(2)結(jié)合律:(3)分配律:【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一:復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算例1.(2023·黑龍江·大慶中學(xué)高三期中(理))設(shè),則()A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè),則,則,所以,,解得,因此,.故選:C.例2.(2023·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一期中)若復(fù)數(shù),,,則___________.【答案】【解析】解:由題意得,則,故答案為:.考點(diǎn)二:復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算例3.(2023·山西懷仁·高三期末(文))復(fù)數(shù)z滿足,則對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設(shè)復(fù)數(shù),則有:則有:故有:解得:故選:B考點(diǎn)三:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算例4.(2023·云南·高三期中(理))已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.【答案】A【解析】解:由,得,所以虛部為.故選:A.例5.(2023·新疆·一模(文))已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.2【答案】C【解析】∵,∴.故選:C例6.(2023·福建龍巖·高三期中)已知復(fù)數(shù)滿足,,則正數(shù)()A.-2 B.-1 C.4 D.2【答案】C【解析】因?yàn)椋?,又因?yàn)?,所以,解得正?shù).故選:C考點(diǎn)四:復(fù)數(shù)方程例7.(2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高二期中)已知是復(fù)數(shù),和都是實(shí)數(shù).(1)求復(fù)數(shù);(2)設(shè)關(guān)于的方程有實(shí)根,求純虛數(shù).【解析】(1)設(shè),,所以,,,所以,,所以;(2)設(shè),又,,所以,解得.所以.例8.(2023·福建·泉州五中高一期中)已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)解.(1)求、的值;(2)若復(fù)數(shù)滿足,求的最小值.【解析】(1)依題意得,,即,所以,解得,;(2)由(1)可得,設(shè),則,,因?yàn)椋?,整理?,故當(dāng)時(shí),取得最小值.考點(diǎn)五:復(fù)數(shù)的幾何意義例9.(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:(1)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(3)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【解析】(1)因?yàn)椋韵蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i;(2)因?yàn)椋剑韵蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i;(3)因?yàn)椋剑?,所以向量?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.例10.(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí))已知四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形,是原點(diǎn),點(diǎn)分別表示復(fù)數(shù),是,的交點(diǎn),如圖所示,求點(diǎn)表示的復(fù)數(shù).【解析】因?yàn)?分別表示復(fù)數(shù),,所以表示的復(fù)數(shù)為,即點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)為,又,所以表示的復(fù)數(shù)為,即點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)為【真題演練】1.(2023·北京·高考真題)若復(fù)數(shù)z滿足,則(
)A.1 B.5 C.7 D.25【答案】B【解析】由題意有,故.故選:B.2.(2023·全國(guó)·高考真題(理))若,則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】故選:C3.(2023·全國(guó)·高考真題)(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】,故選:D.4.(2023·全國(guó)·高考真題)若,則(
)A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由題設(shè)有,故,故,故選:D5.(2023·北京·高考真題)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)滿足,則(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得:.故選:D.6.(2023·全國(guó)·高考真題(理))設(shè),則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè),則,則,所以,,解得,因此,.故選:C.7.(2023·全國(guó)·高考真題(文))已知,則(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】,.故選:B.8.(2023·全國(guó)·高考真題)已知,則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?,故,故故選:C.9.(2023·天津·高考真題)已知是虛數(shù)單位,化簡(jiǎn)的結(jié)果為_______.【答案】【解析】.故答案為:.10.(2023·天津·高考真題)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)_____________.【答案】【解析】.故答案為:.【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1.(2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末)下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)是(
)(1)若復(fù)數(shù)、,且,則或(2)若復(fù)數(shù)、,且,則.(3)若復(fù)數(shù),則.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】設(shè)、,且,,,均為實(shí)數(shù).對(duì)于(1),,則有,則有或,所以、中至少有一個(gè)為,(1)正確;對(duì)于(2),若,,此時(shí),但此時(shí),故(2)錯(cuò)誤;對(duì)于(3),若,則,而,此時(shí),(3)錯(cuò)誤.故選:B2.(2023·上海·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一期末)方程有一個(gè)根為,求的值為(
)A.5 B.3 C.4 D.2【答案】A【解析】由可得,.故選:A3.(2023·上海市向明中學(xué)高一期末)設(shè)是虛數(shù)單位,則的值為(
)A. B. C. D.0【答案】B【解析】,的取值周期為4,連續(xù)4項(xiàng)的和為0,所以,故選:B.4.(2023·河南·高一期末)已知復(fù)數(shù)z滿足,則(
)A. B. C.2 D.5【答案】B【解析】由題意,復(fù)數(shù)z滿足,則故選:B.5.(2023·安徽省岳西縣湯池中學(xué)高一階段練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)滿足,,在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:D.6.(2023·浙江·永嘉中學(xué)高一競(jìng)賽)已知復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位),的共軛復(fù)數(shù)為,則下列說法錯(cuò)誤的是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】復(fù)數(shù),有,,所以A正確;,所以B正確;,所以C正確;,所以D錯(cuò)誤.故選:D7.(2023·上海市香山中學(xué)高一期末)已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和,且,則的值為(
)A.2 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)虛根和,所以,則,又由求根公式知兩虛根為,,所以,則,解得,滿足要求,所以.故選:C.8.(2023·上海市七寶中學(xué)高一期末)非零復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)向量、(為坐標(biāo)原點(diǎn)),若,則(
)A.、、三點(diǎn)共線 B.是直角三角形C.是等邊三角形 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】設(shè),則,故,因?yàn)椋?,所以,所以或,故或,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,所以是直角三角形,故、、三點(diǎn)不共線且不是等邊三角形.故選:B.二、多選題9.(2023·黑龍江·哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末)已知復(fù)數(shù),則(
)A.z的實(shí)部是 B.z的虛部是C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.【答案】ACD【解析】∵,則有:z的實(shí)部是,A正確;z的虛部是,B錯(cuò)誤;z的共軛復(fù)數(shù)為,C正確;,D正確;故選:ACD.10.(2023·河南·商水縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))已知i為虛數(shù)單位,以下四種說法中正確的是(
)A.是純虛數(shù) B.若,則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.若,則 D.已知復(fù)數(shù)z滿足,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線【答案】CD【解析】是實(shí)數(shù),故A錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以,所以?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,故B錯(cuò)誤,若,則,故,故C正確,令,則,所以,化簡(jiǎn)得,所以,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線,故D正確,故選:CD11.(2023·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)z為復(fù)數(shù),則下列命題中正確的是(
)A.z2=|z|2 B.C.若|z|=1,則|z+i|的最大值為2 D.若,則z是純虛數(shù)【答案】BC【解析】可設(shè),對(duì)于A,由,,則,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,則,故B正確;對(duì)于C,,則,,易知當(dāng)時(shí),取得最大值,故C正確;對(duì)于D,,但當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤.故選:BC.12.(2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高一期末)已知復(fù)數(shù),滿足,,則(
)A. B.C. D.在復(fù)面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】ACD【解析】由題意得,所以.對(duì)于A,,故A正確;對(duì)于B,,故B不正確;對(duì)于C,,故C正確;對(duì)于D,,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第一象限,故D正確.故選:ACD.三、填空題13.(2023·上海市朱家角中學(xué)高一期末)若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則______.【答案】【解析】由,,則,故答案為:.14.(2023·上海市浦東中學(xué)高一期末)下列說法中正確的個(gè)數(shù)是__.(1);(2)若一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則其實(shí)部不存在;(3)虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是純虛數(shù);(4)設(shè)(為虛數(shù)單位),若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為,則向量的模長(zhǎng)為2;(5)若,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第四象限.【答案】1【解析】當(dāng)復(fù)數(shù)不是實(shí)數(shù)時(shí),不能比較大小,與為虛數(shù),不能比較大小,故(1)錯(cuò)誤;若一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則其實(shí)部為0,并非不存在,故(2)錯(cuò)誤;虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)并非都是純虛數(shù),虛軸上原點(diǎn)表示的數(shù)是實(shí)數(shù),故(3)錯(cuò)誤;,復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量的模長(zhǎng)為2,故(4)正確;若,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),在復(fù)平面內(nèi)的第一象限.故(5)錯(cuò)誤.正確的只有1個(gè).故答案為:1.15.(2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末)若復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足,則_____.【答案】【解析】設(shè),且,則,又,所以,也即,則,因?yàn)?,所以故答案為?16.(2023·浙江·高一期中)已知,關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根z是純虛數(shù),則________.【答案】【解析】設(shè),則,因?yàn)?,故,解得,故,故,故答案為:四、解答題17.(2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末)關(guān)于的方程()的兩個(gè)根為,.(1)若,求實(shí)數(shù)的值;(2)若,求實(shí)數(shù)的值.【解析】(1)由得方程有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根,所以,所以,所以.(2)①當(dāng),即時(shí),方程有兩實(shí)數(shù)根,所以,,則,解得;②當(dāng),即時(shí),方程有兩虛數(shù)根,即,不妨設(shè),;則解得;綜上:實(shí)數(shù)的值為或.18.(2023·上海市朱家角中學(xué)高一期末)已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為、.(1)若為虛數(shù),求的取值范圍;(2)若,求的值.【解析】(1)因?yàn)闉樘摂?shù),所以,即.(2)因?yàn)?,所以,,①?dāng)時(shí),,則;②當(dāng)時(shí),,則;綜上,的值為或.19.(2023·上海市金山中學(xué)高一期末)已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位.(1)若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根,求的值;(2)若為實(shí)數(shù),求的值.【解析】(1)若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根,則,所以,所以,所以或;(2)由題意得為實(shí)數(shù),所以,所以.20.(2023·上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末)設(shè)、為實(shí)數(shù),關(guān)于的方程有四個(gè)互不相同的根,它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)四個(gè)不同的點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求方程在復(fù)數(shù)集上的解集,并求對(duì)應(yīng)四點(diǎn)圍成圖形的面積;(2)若對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正方形,求實(shí)數(shù)、的值.【解析】(1)當(dāng)時(shí),方程為,解得其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:,如圖四點(diǎn)圍成的圖形為等腰梯形面積為(2)若對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正方形
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