高一數(shù)學寒假講義(新人教A專用)【預習】第11講 復數(shù)的四則運算(教師卷)_第1頁
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第11講復數(shù)的四則運算【學習目標】1、掌握復數(shù)集中的運算問題.【考點目錄】考點一:復數(shù)的加減運算考點二:復數(shù)的乘除運算考點三:復數(shù)代數(shù)形式的四則運算考點四:復數(shù)方程考點五:復數(shù)的幾何意義【基礎知識】知識點一、復數(shù)的加減運算1、復數(shù)的加法、減法運算法則:設,(),我們規(guī)定:知識點詮釋:(1)復數(shù)加法中的規(guī)定是實部與實部相加,虛部與虛部相加,減法同樣.很明顯,兩個復數(shù)的和(差)仍然是一個復數(shù),復數(shù)的加(減)法可以推廣到多個復數(shù)相加(減)的情形.(2)復數(shù)的加減法,可模仿多項式的加減法法則計算,不必死記公式.2、復數(shù)的加法運算律:交換律:z1+z2=z2+z1結合律::(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)知識點二、復數(shù)的加減運算的幾何意義1、復數(shù)的表示形式:代數(shù)形式:()幾何表示:①坐標表示:在復平面內(nèi)以點表示復數(shù)();②向量表示:以原點為起點,點為終點的向量表示復數(shù).知識點詮釋:復數(shù)復平面內(nèi)的點平面向量2、復數(shù)加、減法的幾何意義:如果復數(shù)、分別對應于向量、,那么以、為兩邊作平行四邊形,對角線表示的向量就是的和所對應的向量.對角線表示的向量就是兩個復數(shù)的差所對應的向量.設復數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,在復平面上所對應的向量為、,即、的坐標形式為=(a,b),=(c,d)以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2,則對角線OZ對應的向量是,由于,所以和的和就是與復數(shù)(a+c)+(b+d)i對應的向量知識點詮釋:要會運用復數(shù)運算的幾何意義去解題,利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復數(shù)運算去處理知識點三、復數(shù)的乘除運算1、乘法運算法則:設,(),我們規(guī)定:知識點詮釋:(1)兩個復數(shù)相乘,類似兩個多項式相乘,在所得的結果中把換成,并且把實部與虛部分別合并.兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù).(2)在進行復數(shù)除法運算時,通常先把除式寫成分式的形式,再把分子與分母都乘以分母的共軛復數(shù)(分母實數(shù)化),化簡后寫成代數(shù)形式.2、乘法運算律:(1)交換律:(2)結合律:(3)分配律:【考點剖析】考點一:復數(shù)的加減運算例1.(2023·黑龍江·大慶中學高三期中(理))設,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】設,則,則,所以,,解得,因此,.故選:C.例2.(2023·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學校高一期中)若復數(shù),,,則___________.【答案】【解析】解:由題意得,則,故答案為:.考點二:復數(shù)的乘除運算例3.(2023·山西懷仁·高三期末(文))復數(shù)z滿足,則對應復平面內(nèi)的點的坐標為()A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設復數(shù),則有:則有:故有:解得:故選:B考點三:復數(shù)代數(shù)形式的四則運算例4.(2023·云南·高三期中(理))已知復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.【答案】A【解析】解:由,得,所以虛部為.故選:A.例5.(2023·新疆·一模(文))已知復數(shù),則()A. B. C. D.2【答案】C【解析】∵,∴.故選:C例6.(2023·福建龍巖·高三期中)已知復數(shù)滿足,,則正數(shù)()A.-2 B.-1 C.4 D.2【答案】C【解析】因為,所以,又因為,所以,解得正數(shù).故選:C考點四:復數(shù)方程例7.(2023·江蘇·揚州中學高二期中)已知是復數(shù),和都是實數(shù).(1)求復數(shù);(2)設關于的方程有實根,求純虛數(shù).【解析】(1)設,,所以,,,所以,,所以;(2)設,又,,所以,解得.所以.例8.(2023·福建·泉州五中高一期中)已知復數(shù)是方程的一個解.(1)求、的值;(2)若復數(shù)滿足,求的最小值.【解析】(1)依題意得,,即,所以,解得,;(2)由(1)可得,設,則,,因為,所以,整理得.,故當時,取得最小值.考點五:復數(shù)的幾何意義例9.(2023·全國·高一課時練習)如圖所示,平行四邊形OABC的頂點O,A,C分別對應復數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:(1)向量對應的復數(shù);(2)向量對應的復數(shù);(3)向量對應的復數(shù).【解析】(1)因為,所以向量對應的復數(shù)為-3-2i;(2)因為=-,所以向量對應的復數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i;(3)因為=+,所以向量對應的復數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.例10.(2023·全國·高一課時練習)已知四邊形是復平面內(nèi)的平行四邊形,是原點,點分別表示復數(shù),是,的交點,如圖所示,求點表示的復數(shù).【解析】因為,分別表示復數(shù),,所以表示的復數(shù)為,即點表示的復數(shù)為,又,所以表示的復數(shù)為,即點表示的復數(shù)為【真題演練】1.(2023·北京·高考真題)若復數(shù)z滿足,則(

)A.1 B.5 C.7 D.25【答案】B【解析】由題意有,故.故選:B.2.(2023·全國·高考真題(理))若,則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】故選:C3.(2023·全國·高考真題)(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】,故選:D.4.(2023·全國·高考真題)若,則(

)A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由題設有,故,故,故選:D5.(2023·北京·高考真題)在復平面內(nèi),復數(shù)滿足,則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得:.故選:D.6.(2023·全國·高考真題(理))設,則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】設,則,則,所以,,解得,因此,.故選:C.7.(2023·全國·高考真題(文))已知,則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】,.故選:B.8.(2023·全國·高考真題)已知,則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】因為,故,故故選:C.9.(2023·天津·高考真題)已知是虛數(shù)單位,化簡的結果為_______.【答案】【解析】.故答案為:.10.(2023·天津·高考真題)是虛數(shù)單位,復數(shù)_____________.【答案】【解析】.故答案為:.【過關檢測】一、單選題1.(2023·上海市第三女子中學高一期末)下列命題中,真命題的個數(shù)是(

)(1)若復數(shù)、,且,則或(2)若復數(shù)、,且,則.(3)若復數(shù),則.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】設、,且,,,均為實數(shù).對于(1),,則有,則有或,所以、中至少有一個為,(1)正確;對于(2),若,,此時,但此時,故(2)錯誤;對于(3),若,則,而,此時,(3)錯誤.故選:B2.(2023·上?!とA東師范大學第三附屬中學高一期末)方程有一個根為,求的值為(

)A.5 B.3 C.4 D.2【答案】A【解析】由可得,.故選:A3.(2023·上海市向明中學高一期末)設是虛數(shù)單位,則的值為(

)A. B. C. D.0【答案】B【解析】,的取值周期為4,連續(xù)4項的和為0,所以,故選:B.4.(2023·河南·高一期末)已知復數(shù)z滿足,則(

)A. B. C.2 D.5【答案】B【解析】由題意,復數(shù)z滿足,則故選:B.5.(2023·安徽省岳西縣湯池中學高一階段練習)已知復數(shù)z滿足,則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復數(shù)滿足,,在復平面內(nèi)所對應的點位于第四象限.故選:D.6.(2023·浙江·永嘉中學高一競賽)已知復數(shù)(其中為虛數(shù)單位),的共軛復數(shù)為,則下列說法錯誤的是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】復數(shù),有,,所以A正確;,所以B正確;,所以C正確;,所以D錯誤.故選:D7.(2023·上海市香山中學高一期末)已知關于的實系數(shù)一元二次方程有兩個虛根和,且,則的值為(

)A.2 B. C. D.【答案】C【解析】因為方程有兩個虛根和,所以,則,又由求根公式知兩虛根為,,所以,則,解得,滿足要求,所以.故選:C.8.(2023·上海市七寶中學高一期末)非零復數(shù)、在復平面內(nèi)分別對應向量、(為坐標原點),若,則(

)A.、、三點共線 B.是直角三角形C.是等邊三角形 D.以上都不對【答案】B【解析】設,則,故,因為,所以,所以,所以或,故或,當時,,當時,,所以,所以是直角三角形,故、、三點不共線且不是等邊三角形.故選:B.二、多選題9.(2023·黑龍江·哈師大青岡實驗中學高一期末)已知復數(shù),則(

)A.z的實部是 B.z的虛部是C.z的共軛復數(shù)為 D.【答案】ACD【解析】∵,則有:z的實部是,A正確;z的虛部是,B錯誤;z的共軛復數(shù)為,C正確;,D正確;故選:ACD.10.(2023·河南·商水縣實驗高級中學高一階段練習)已知i為虛數(shù)單位,以下四種說法中正確的是(

)A.是純虛數(shù) B.若,則復平面內(nèi)對應的點位于第四象限C.若,則 D.已知復數(shù)z滿足,則z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為直線【答案】CD【解析】是實數(shù),故A錯誤;因為,所以,所以復平面內(nèi)對應的點位于第三象限,故B錯誤,若,則,故,故C正確,令,則,所以,化簡得,所以,所以z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為直線,故D正確,故選:CD11.(2023·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學高一階段練習)設z為復數(shù),則下列命題中正確的是(

)A.z2=|z|2 B.C.若|z|=1,則|z+i|的最大值為2 D.若,則z是純虛數(shù)【答案】BC【解析】可設,對于A,由,,則,故A錯誤;對于B,由,則,故B正確;對于C,,則,,易知當時,取得最大值,故C正確;對于D,,但當時,,故D錯誤.故選:BC.12.(2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高一期末)已知復數(shù),滿足,,則(

)A. B.C. D.在復面內(nèi)對應的點位于第一象限【答案】ACD【解析】由題意得,所以.對于A,,故A正確;對于B,,故B不正確;對于C,,故C正確;對于D,,在復平面內(nèi)對應的點為,位于第一象限,故D正確.故選:ACD.三、填空題13.(2023·上海市朱家角中學高一期末)若復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則______.【答案】【解析】由,,則,故答案為:.14.(2023·上海市浦東中學高一期末)下列說法中正確的個數(shù)是__.(1);(2)若一個復數(shù)是純虛數(shù),則其實部不存在;(3)虛軸上的點表示的數(shù)都是純虛數(shù);(4)設(為虛數(shù)單位),若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的向量為,則向量的模長為2;(5)若,則對應的點在復平面內(nèi)的第四象限.【答案】1【解析】當復數(shù)不是實數(shù)時,不能比較大小,與為虛數(shù),不能比較大小,故(1)錯誤;若一個復數(shù)是純虛數(shù),則其實部為0,并非不存在,故(2)錯誤;虛軸上的點表示的數(shù)并非都是純虛數(shù),虛軸上原點表示的數(shù)是實數(shù),故(3)錯誤;,復數(shù),在復平面內(nèi)對應的向量的模長為2,故(4)正確;若,則在復平面內(nèi)對應的點為(1,1),在復平面內(nèi)的第一象限.故(5)錯誤.正確的只有1個.故答案為:1.15.(2023·上海市第三女子中學高一期末)若復數(shù)和復數(shù)滿足,則_____.【答案】【解析】設,且,則,又,所以,也即,則,因為,所以故答案為:.16.(2023·浙江·高一期中)已知,關于x的一元二次方程的一個根z是純虛數(shù),則________.【答案】【解析】設,則,因為,故,解得,故,故,故答案為:四、解答題17.(2023·上海市第三女子中學高一期末)關于的方程()的兩個根為,.(1)若,求實數(shù)的值;(2)若,求實數(shù)的值.【解析】(1)由得方程有一對共軛復數(shù)根,所以,所以,所以.(2)①當,即時,方程有兩實數(shù)根,所以,,則,解得;②當,即時,方程有兩虛數(shù)根,即,不妨設,;則解得;綜上:實數(shù)的值為或.18.(2023·上海市朱家角中學高一期末)已知關于的一元二次方程的兩根為、.(1)若為虛數(shù),求的取值范圍;(2)若,求的值.【解析】(1)因為為虛數(shù),所以,即.(2)因為,所以,,①當時,,則;②當時,,則;綜上,的值為或.19.(2023·上海市金山中學高一期末)已知復數(shù)為虛數(shù)單位.(1)若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根,求的值;(2)若為實數(shù),求的值.【解析】(1)若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根,則,所以,所以,所以或;(2)由題意得為實數(shù),所以,所以.20.(2023·上海市七寶中學附屬鑫都實驗中學高一期末)設、為實數(shù),關于的方程有四個互不相同的根,它們在復平面上對應四個不同的點.(1)當時,求方程在復數(shù)集上的解集,并求對應四點圍成圖形的面積;(2)若對應的四個點構成正方形,求實數(shù)、的值.【解析】(1)當時,方程為,解得其在復平面對應的點的坐標分別為:,如圖四點圍成的圖形為等腰梯形面積為(2)若對應的四個點構成正方形

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