高一數(shù)學寒假講義（新人教A專用）【預習】第11講 復數(shù)的四則運算（教師卷）

第11講復數(shù)的四則運算【學習目標】1、掌握復數(shù)集中的運算問題．【考點目錄】考點一：復數(shù)的加減運算考點二：復數(shù)的乘除運算考點三：復數(shù)代數(shù)形式的四則運算考點四：復數(shù)方程考點五：復數(shù)的幾何意義【基礎知識】知識點一、復數(shù)的加減運算1、復數(shù)的加法、減法運算法則：設，（），我們規(guī)定：知識點詮釋：（1）復數(shù)加法中的規(guī)定是實部與實部相加，虛部與虛部相加，減法同樣．很明顯，兩個復數(shù)的和（差）仍然是一個復數(shù)，復數(shù)的加（減）法可以推廣到多個復數(shù)相加（減）的情形．（2）復數(shù)的加減法，可模仿多項式的加減法法則計算，不必死記公式．2、復數(shù)的加法運算律：交換律：z1+z2=z2+z1結合律：：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）知識點二、復數(shù)的加減運算的幾何意義1、復數(shù)的表示形式：代數(shù)形式：（）幾何表示：①坐標表示：在復平面內(nèi)以點表示復數(shù)（）；②向量表示：以原點為起點，點為終點的向量表示復數(shù)．知識點詮釋：復數(shù)復平面內(nèi)的點平面向量2、復數(shù)加、減法的幾何意義：如果復數(shù)、分別對應于向量、，那么以、為兩邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是的和所對應的向量．對角線表示的向量就是兩個復數(shù)的差所對應的向量．設復數(shù)z1=a+bi，z2=c+di，在復平面上所對應的向量為、，即、的坐標形式為=（a，b），=（c，d）以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ對應的向量是，由于，所以和的和就是與復數(shù)（a+c）+（b+d）i對應的向量知識點詮釋：要會運用復數(shù)運算的幾何意義去解題，利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復數(shù)運算去處理知識點三、復數(shù)的乘除運算1、乘法運算法則：設，（），我們規(guī)定：知識點詮釋：（1）兩個復數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把換成，并且把實部與虛部分別合并．兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù)．（2）在進行復數(shù)除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復數(shù)（分母實數(shù)化），化簡后寫成代數(shù)形式．2、乘法運算律：（1）交換律：（2）結合律：（3）分配律：【考點剖析】考點一：復數(shù)的加減運算例1．（2023·黑龍江·大慶中學高三期中（理））設，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.例2．（2023·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學校高一期中）若復數(shù)，，，則___________.【答案】【解析】解：由題意得，則，故答案為：.考點二：復數(shù)的乘除運算例3．（2023·山西懷仁·高三期末（文））復數(shù)z滿足，則對應復平面內(nèi)的點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設復數(shù)，則有：則有：故有：解得：故選：B考點三：復數(shù)代數(shù)形式的四則運算例4．（2023·云南·高三期中（理））已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由，得，所以虛部為.故選：A．例5．（2023·新疆·一模（文））已知復數(shù)，則（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】∵，∴.故選：C例6．（2023·福建龍巖·高三期中）已知復數(shù)滿足，，則正數(shù)（）A．-2 B．-1 C．4 D．2【答案】C【解析】因為，所以，又因為，所以，解得正數(shù)．故選：C考點四：復數(shù)方程例7．（2023·江蘇·揚州中學高二期中）已知是復數(shù)，和都是實數(shù).（1）求復數(shù)；（2）設關于的方程有實根，求純虛數(shù).【解析】（1）設，，所以，，，所以，，所以；（2）設，又，，所以，解得．所以．例8．（2023·福建·泉州五中高一期中）已知復數(shù)是方程的一個解.（1）求、的值；（2）若復數(shù)滿足，求的最小值.【解析】（1）依題意得，，即，所以，解得，；（2）由（1）可得，設，則，，因為，所以，整理得.，故當時，取得最小值.考點五：復數(shù)的幾何意義例9．（2023·全國·高一課時練習）如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別對應復數(shù)0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量對應的復數(shù)；（2）向量對應的復數(shù)；（3）向量對應的復數(shù)．【解析】（1）因為，所以向量對應的復數(shù)為－3－2i；（2）因為＝－，所以向量對應的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因為＝＋，所以向量對應的復數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．例10．（2023·全國·高一課時練習）已知四邊形是復平面內(nèi)的平行四邊形，是原點，點分別表示復數(shù)，是，的交點，如圖所示，求點表示的復數(shù).【解析】因為,分別表示復數(shù),,所以表示的復數(shù)為,即點表示的復數(shù)為,又,所以表示的復數(shù)為,即點表示的復數(shù)為【真題演練】1．（2023·北京·高考真題）若復數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】由題意有，故．故選：B．2．（2023·全國·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C3．（2023·全國·高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D.4．（2023·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由題設有，故，故，故選：D5．（2023·北京·高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：.故選：D.6．（2023·全國·高考真題（理））設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.7．（2023·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，.故選：B.8．（2023·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，故，故故選：C.9．（2023·天津·高考真題）已知是虛數(shù)單位，化簡的結果為_______．【答案】【解析】．故答案為：．10．（2023·天津·高考真題）是虛數(shù)單位，復數(shù)_____________．【答案】【解析】.故答案為：.【過關檢測】一、單選題1．（2023·上海市第三女子中學高一期末）下列命題中，真命題的個數(shù)是（

）（1）若復數(shù)、，且，則或（2）若復數(shù)、，且，則．（3）若復數(shù)，則．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】設、，且，，，均為實數(shù).對于（1），，則有，則有或，所以、中至少有一個為，（1）正確；對于（2），若，，此時，但此時，故（2）錯誤；對于（3），若，則，而，此時，（3）錯誤.故選：B2．（2023·上?！とA東師范大學第三附屬中學高一期末）方程有一個根為，求的值為（

）A．5 B．3 C．4 D．2【答案】A【解析】由可得，.故選：A3．（2023·上海市向明中學高一期末）設是虛數(shù)單位，則的值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【解析】，的取值周期為4，連續(xù)4項的和為0，所以，故選:B.4．（2023·河南·高一期末）已知復數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【解析】由題意，復數(shù)z滿足，則故選:B．5．（2023·安徽省岳西縣湯池中學高一階段練習）已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】復數(shù)滿足，，在復平面內(nèi)所對應的點位于第四象限．故選：D．6．（2023·浙江·永嘉中學高一競賽）已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），的共軛復數(shù)為，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】復數(shù)，有，，所以A正確；，所以B正確；，所以C正確；，所以D錯誤.故選：D7．（2023·上海市香山中學高一期末）已知關于的實系數(shù)一元二次方程有兩個虛根和，且，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因為方程有兩個虛根和，所以，則，又由求根公式知兩虛根為，，所以，則，解得，滿足要求，所以.故選：C.8．（2023·上海市七寶中學高一期末）非零復數(shù)、在復平面內(nèi)分別對應向量、（為坐標原點），若，則（

）A．、、三點共線 B．是直角三角形C．是等邊三角形 D．以上都不對【答案】B【解析】設，則，故，因為，所以，所以，所以或，故或，當時，，當時，，所以，所以是直角三角形，故、、三點不共線且不是等邊三角形.故選：B.二、多選題9．（2023·黑龍江·哈師大青岡實驗中學高一期末）已知復數(shù)，則（

）A．z的實部是 B．z的虛部是C．z的共軛復數(shù)為 D．【答案】ACD【解析】∵，則有：z的實部是，A正確；z的虛部是，B錯誤；z的共軛復數(shù)為，C正確；，D正確；故選：ACD.10．（2023·河南·商水縣實驗高級中學高一階段練習）已知i為虛數(shù)單位，以下四種說法中正確的是（

）A．是純虛數(shù) B．若，則復平面內(nèi)對應的點位于第四象限C．若，則 D．已知復數(shù)z滿足，則z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為直線【答案】CD【解析】是實數(shù)，故A錯誤；因為，所以，所以復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，故B錯誤，若，則，故，故C正確，令，則，所以，化簡得，所以，所以z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為直線，故D正確，故選：CD11．（2023·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學高一階段練習）設z為復數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．z2＝|z|2 B．C．若|z|＝1，則|z+i|的最大值為2 D．若，則z是純虛數(shù)【答案】BC【解析】可設，對于A，由，，則，故A錯誤；對于B，由，則，故B正確；對于C，，則，，易知當時，取得最大值，故C正確；對于D，，但當時，，故D錯誤.故選：BC.12．（2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高一期末）已知復數(shù)，滿足，，則（

）A． B．C． D．在復面內(nèi)對應的點位于第一象限【答案】ACD【解析】由題意得，所以.對于A，，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，，在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．（2023·上海市朱家角中學高一期末）若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．【答案】【解析】由，，則，故答案為：.14．（2023·上海市浦東中學高一期末）下列說法中正確的個數(shù)是__．（1）；（2）若一個復數(shù)是純虛數(shù)，則其實部不存在；（3）虛軸上的點表示的數(shù)都是純虛數(shù)；（4）設（為虛數(shù)單位），若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的向量為，則向量的模長為2；（5）若，則對應的點在復平面內(nèi)的第四象限．【答案】1【解析】當復數(shù)不是實數(shù)時，不能比較大小，與為虛數(shù)，不能比較大小，故(1)錯誤；若一個復數(shù)是純虛數(shù)，則其實部為0，并非不存在，故(2)錯誤；虛軸上的點表示的數(shù)并非都是純虛數(shù)，虛軸上原點表示的數(shù)是實數(shù)，故(3)錯誤；，復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的向量的模長為2，故（4）正確；若，則在復平面內(nèi)對應的點為（1,1），在復平面內(nèi)的第一象限．故（5）錯誤．正確的只有1個.故答案為：1．15．（2023·上海市第三女子中學高一期末）若復數(shù)和復數(shù)滿足，則_____．【答案】【解析】設，且，則，又，所以，也即，則，因為，所以故答案為：.16．（2023·浙江·高一期中）已知，關于x的一元二次方程的一個根z是純虛數(shù)，則________．【答案】【解析】設，則，因為，故，解得，故，故，故答案為：四、解答題17．（2023·上海市第三女子中學高一期末）關于的方程（）的兩個根為，．(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值．【解析】（1）由得方程有一對共軛復數(shù)根，所以，所以，所以.（2）①當，即時，方程有兩實數(shù)根，所以，，則，解得；②當，即時，方程有兩虛數(shù)根，即，不妨設，；則解得；綜上：實數(shù)的值為或．18．（2023·上海市朱家角中學高一期末）已知關于的一元二次方程的兩根為、．(1)若為虛數(shù)，求的取值范圍；(2)若，求的值．【解析】（1）因為為虛數(shù)，所以，即.（2）因為，所以，，①當時，，則；②當時，，則；綜上，的值為或．19．（2023·上海市金山中學高一期末）已知復數(shù)為虛數(shù)單位．(1)若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，求的值；(2)若為實數(shù)，求的值．【解析】（1）若是關于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則，所以，所以，所以或；（2）由題意得為實數(shù)，所以，所以．20．（2023·上海市七寶中學附屬鑫都實驗中學高一期末）設、為實數(shù)，關于的方程有四個互不相同的根，它們在復平面上對應四個不同的點.(1)當時，求方程在復數(shù)集上的解集，并求對應四點圍成圖形的面積；(2)若對應的四個點構成正方形，求實數(shù)、的值.【解析】（1）當時，方程為，解得其在復平面對應的點的坐標分別為：，如圖四點圍成的圖形為等腰梯形面積為（2）若對應的四個點構成正方形