高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【預(yù)習(xí)】第11講 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（教師卷）

第11講復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握復(fù)數(shù)集中的運(yùn)算問題．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)方程考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的幾何意義【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則：設(shè)，（），我們規(guī)定：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）復(fù)數(shù)加法中的規(guī)定是實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加，減法同樣．很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和（差）仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的加（減）法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加（減）的情形．（2）復(fù)數(shù)的加減法，可模仿多項(xiàng)式的加減法法則計(jì)算，不必死記公式．2、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算律：交換律：z1+z2=z2+z1結(jié)合律：：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義1、復(fù)數(shù)的表示形式：代數(shù)形式：（）幾何表示：①坐標(biāo)表示：在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)表示復(fù)數(shù)（）；②向量表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)為終點(diǎn)的向量表示復(fù)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)平面向量2、復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)于向量、，那么以、為兩邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是的和所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)角線表示的向量就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的差所對(duì)應(yīng)的向量．設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量為、，即、的坐標(biāo)形式為=（a，b），=（c，d）以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量是，由于，所以和的和就是與復(fù)數(shù)（a+c）+（b+d）i對(duì)應(yīng)的向量知識(shí)點(diǎn)詮釋：要會(huì)運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義去解題，利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理知識(shí)點(diǎn)三、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算1、乘法運(yùn)算法則：設(shè)，（），我們規(guī)定：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．（2）在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)（分母實(shí)數(shù)化），化簡(jiǎn)后寫成代數(shù)形式．2、乘法運(yùn)算律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算例1．（2023·黑龍江·大慶中學(xué)高三期中（理））設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.例2．（2023·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一期中）若復(fù)數(shù)，，，則___________.【答案】【解析】解：由題意得，則，故答案為：.考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算例3．（2023·山西懷仁·高三期末（文））復(fù)數(shù)z滿足，則對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)復(fù)數(shù)，則有：則有：故有：解得：故選：B考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算例4．（2023·云南·高三期中（理））已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由，得，所以虛部為.故選：A．例5．（2023·新疆·一模（文））已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】∵，∴.故選：C例6．（2023·福建龍巖·高三期中）已知復(fù)數(shù)滿足，，則正數(shù)（）A．-2 B．-1 C．4 D．2【答案】C【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，解得正?shù)．故選：C考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)方程例7．（2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高二期中）已知是復(fù)數(shù)，和都是實(shí)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)關(guān)于的方程有實(shí)根，求純虛數(shù).【解析】（1）設(shè)，，所以，，，所以，，所以；（2）設(shè)，又，，所以，解得．所以．例8．（2023·福建·泉州五中高一期中）已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)解.（1）求、的值；（2）若復(fù)數(shù)滿足，求的最小值.【解析】（1）依題意得，，即，所以，解得，；（2）由（1）可得，設(shè)，則，，因?yàn)椋?，整理?，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的幾何意義例9．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（3）向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【解析】（1）因?yàn)椋韵蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3－2i；（2）因?yàn)椋剑韵蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因?yàn)椋剑?，所以向量?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．例10．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，是原點(diǎn)，點(diǎn)分別表示復(fù)數(shù)，是，的交點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)表示的復(fù)數(shù).【解析】因?yàn)?分別表示復(fù)數(shù),,所以表示的復(fù)數(shù)為,即點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)為,又,所以表示的復(fù)數(shù)為,即點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)為【真題演練】1．（2023·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】由題意有，故．故選：B．2．（2023·全國(guó)·高考真題（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C3．（2023·全國(guó)·高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D.4．（2023·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由題設(shè)有，故，故，故選：D5．（2023·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：.故選：D.6．（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.7．（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，.故選：B.8．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故，故故選：C.9．（2023·天津·高考真題）已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_______．【答案】【解析】．故答案為：．10．（2023·天津·高考真題）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_____________．【答案】【解析】.故答案為：.【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）若復(fù)數(shù)、，且，則或（2）若復(fù)數(shù)、，且，則．（3）若復(fù)數(shù)，則．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】設(shè)、，且，，，均為實(shí)數(shù).對(duì)于（1），，則有，則有或，所以、中至少有一個(gè)為，（1）正確；對(duì)于（2），若，，此時(shí)，但此時(shí)，故（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3），若，則，而，此時(shí)，（3）錯(cuò)誤.故選：B2．（2023·上海·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一期末）方程有一個(gè)根為，求的值為（

）A．5 B．3 C．4 D．2【答案】A【解析】由可得，.故選：A3．（2023·上海市向明中學(xué)高一期末）設(shè)是虛數(shù)單位，則的值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【解析】，的取值周期為4，連續(xù)4項(xiàng)的和為0，所以，故選:B.4．（2023·河南·高一期末）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【解析】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，則故選:B．5．（2023·安徽省岳西縣湯池中學(xué)高一階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)滿足，，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．6．（2023·浙江·永嘉中學(xué)高一競(jìng)賽）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），的共軛復(fù)數(shù)為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】復(fù)數(shù)，有，，所以A正確；，所以B正確；，所以C正確；，所以D錯(cuò)誤.故選：D7．（2023·上海市香山中學(xué)高一期末）已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，且，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)虛根和，所以，則，又由求根公式知兩虛根為，，所以，則，解得，滿足要求，所以.故選：C.8．（2023·上海市七寶中學(xué)高一期末）非零復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)向量、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，則（

）A．、、三點(diǎn)共線 B．是直角三角形C．是等邊三角形 D．以上都不對(duì)【答案】B【解析】設(shè)，則，故，因?yàn)椋?，所以，所以或，故或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以是直角三角形，故、、三點(diǎn)不共線且不是等邊三角形.故選：B.二、多選題9．（2023·黑龍江·哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）已知復(fù)數(shù)，則（

）A．z的實(shí)部是 B．z的虛部是C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．【答案】ACD【解析】∵，則有：z的實(shí)部是，A正確；z的虛部是，B錯(cuò)誤；z的共軛復(fù)數(shù)為，C正確；，D正確；故選：ACD.10．（2023·河南·商水縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，以下四種說法中正確的是（

）A．是純虛數(shù) B．若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C．若，則 D．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線【答案】CD【解析】是實(shí)數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故B錯(cuò)誤，若，則，故，故C正確，令，則，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線，故D正確，故選：CD11．（2023·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．z2＝|z|2 B．C．若|z|＝1，則|z+i|的最大值為2 D．若，則z是純虛數(shù)【答案】BC【解析】可設(shè)，對(duì)于A，由，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，故B正確；對(duì)于C，，則，，易知當(dāng)時(shí)，取得最大值，故C正確；對(duì)于D，，但當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．（2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高一期末）已知復(fù)數(shù)，滿足，，則（

）A． B．C． D．在復(fù)面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】ACD【解析】由題意得，所以.對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．（2023·上海市朱家角中學(xué)高一期末）若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．【答案】【解析】由，，則，故答案為：.14．（2023·上海市浦東中學(xué)高一期末）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是__．（1）；（2）若一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則其實(shí)部不存在；（3）虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是純虛數(shù)；（4）設(shè)（為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，則向量的模長(zhǎng)為2；（5）若，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第四象限．【答案】1【解析】當(dāng)復(fù)數(shù)不是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小，與為虛數(shù)，不能比較大小，故(1)錯(cuò)誤；若一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則其實(shí)部為0，并非不存在，故(2)錯(cuò)誤；虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)并非都是純虛數(shù)，虛軸上原點(diǎn)表示的數(shù)是實(shí)數(shù)，故(3)錯(cuò)誤；，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量的模長(zhǎng)為2，故（4）正確；若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1），在復(fù)平面內(nèi)的第一象限．故（5）錯(cuò)誤．正確的只有1個(gè).故答案為：1．15．（2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）若復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足，則_____．【答案】【解析】設(shè)，且，則，又，所以，也即，則，因?yàn)?，所以故答案為?16．（2023·浙江·高一期中）已知，關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根z是純虛數(shù)，則________．【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，故，解得，故，故，故答案為：四、解答題17．（2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）關(guān)于的方程（）的兩個(gè)根為，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）由得方程有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，所以，所以，所以.（2）①當(dāng)，即時(shí)，方程有兩實(shí)數(shù)根，所以，，則，解得；②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩虛數(shù)根，即，不妨設(shè)，；則解得；綜上：實(shí)數(shù)的值為或．18．（2023·上海市朱家角中學(xué)高一期末）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為、．(1)若為虛數(shù)，求的取值范圍；(2)若，求的值．【解析】（1）因?yàn)闉樘摂?shù)，所以，即.（2）因?yàn)?，所以，，①?dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，，則；綜上，的值為或．19．（2023·上海市金山中學(xué)高一期末）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位．(1)若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求的值；(2)若為實(shí)數(shù)，求的值．【解析】（1）若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則，所以，所以，所以或；（2）由題意得為實(shí)數(shù)，所以，所以．20．（2023·上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）設(shè)、為實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有四個(gè)互不相同的根，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)四個(gè)不同的點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求方程在復(fù)數(shù)集上的解集，并求對(duì)應(yīng)四點(diǎn)圍成圖形的面積；(2)若對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正方形，求實(shí)數(shù)、的值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，方程為，解得其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，如圖四點(diǎn)圍成的圖形為等腰梯形面積為（2）若對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正方形