高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【預(yù)習(xí)】第12講 基本立體圖形（學(xué)生卷）

第12講基本立體圖形【學(xué)習(xí)目標】1、認識基本立體圖形的結(jié)構(gòu)并能夠結(jié)合生活．2、認識由幾個基本立體圖形組合的簡單組合體．【考點目錄】考點一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點二：幾何體中的基本計算考點三：簡單幾何體的組合體考點四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題【基礎(chǔ)知識】知識點一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點．棱柱中不在同一平面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線．過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對角面．2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行．知識點詮釋：有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．知識點二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．這個多邊形面叫做棱錐的底面．有公共頂點的各個三角形叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；SSSDDCCBBAAECBAS3、棱錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐．知識點詮釋：棱錐有兩個本質(zhì)特征：（1）有一個面是多邊形；（2）其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可．知識點三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面．平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線．2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱知識點詮釋：（1）用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面．（2）經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．知識點四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面．不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線．2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐．知識點詮釋：（1）用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面．（2）經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．（3）圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側(cè)面的母線．知識點五：棱臺和圓臺的結(jié)構(gòu)特征１、定義：用一個平行于棱錐（圓錐）底面的平面去截棱錐（圓錐），底面和截面之間的部分叫做棱臺（圓臺）；原棱錐（圓錐）的底面和截面分別叫做棱臺（圓臺）的下底面和上底面；原棱錐（圓錐）的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺（圓臺）的側(cè)面；原棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側(cè)棱；原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點；圓臺可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓臺的軸．2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺；3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺；知識點詮釋：（1）棱臺必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體．所以，棱臺可還原為棱錐，即延長棱臺的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點．（2）棱臺的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方．（3）圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成．（4）圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方．知識點六：球的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球．半圓的半徑叫做球的半徑．半圓的圓心叫做球心．半圓的直徑叫做球的直徑．2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．知識點詮釋：（1）用一個平面去截一個球，截面是一個圓面．如果截面經(jīng)過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑．（2）若半徑為的球的一個截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有．知識點七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；知識點八：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、組合體的基本形式：①由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合．①多面體與多面體的組合體由兩個或兩個以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體．如下圖（1）是一個四棱柱與一個三棱柱的組合體；如圖（2）是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體；如圖（3）是一個三棱柱與一個三棱臺的組合體．②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由一個多面體與一個旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是一個三棱柱與一個圓柱組合而成的；如圖（2）是一個圓錐與一個四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個球與一個三棱錐組合而成的．③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由兩個或兩個以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．如圖（1）是由一個球體和一個圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個圓臺和兩個圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個圓臺、一個圓柱和一個圓錐組合而成的．知識點九：幾何體中的計算問題幾何體的有關(guān)計算中要注意下列方法與技巧：（1）在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所構(gòu)成的兩個直角三角形，有關(guān)證明及運算往往與兩者相關(guān)．（2）正四棱臺中要掌握其對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的計算，有關(guān)問題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個等腰梯形中．另外要能夠?qū)⒄睦馀_、正三棱臺中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來．（3）研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系．（4）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段之一．（5）圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決．（6）關(guān)于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應(yīng)用平面幾何的有關(guān)知識解決；關(guān)于球與多面體的切接問題，要恰當(dāng)?shù)剡x取截面，化“空間”為平面．【考點剖析】考點一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．（2023·全國·高一課時練習(xí)）下列命題正確的是（）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形例2．（2023·全國·高一）關(guān)于如下圖所示的4個幾何體，說法正確的是（）A．只有②是棱柱 B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D．只有①②④是棱柱考點二：幾何體中的基本計算例3．（2023·福建福州·高三期中）已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長與底面半徑的比為（）A．2 B． C．4 D．例4．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，它的軸截面的面積等于，母線與軸的夾角是，求該圓臺的高與母線長.考點三：簡單幾何體的組合體例5．（2023·浙江·麗水外國語實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）已知半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的棱長為，則球的半徑為（）A． B．3 C．2 D．例6．（2023·全國全國·模擬預(yù)測）已知棱長為2的正方體內(nèi)含有一個可以旋轉(zhuǎn)的小正方體，則所含的小正方體的體積的最大值為___________.考點四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題例7．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知正方體棱長為1.一只螞蟻從頂點出發(fā)沿正方體的表面爬到頂點.則螞蟻經(jīng)過的最短路程為______.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動點，則的最小值為（）A． B． C． D．3【真題演練】1．（2007·北京·高考真題（文））如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是（

）A． B． C． D．2．（2008·重慶·高考真題（文））如圖，模塊①－⑤均由個棱長為的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由個棱長為的小正方體構(gòu)成．現(xiàn)從模塊①－⑤中選出三個放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個棱長為的大正方體．則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為（

）

A．模塊①，②，⑤ B．模塊①，③，⑤C．模塊②，④，⑥ D．模塊③，④，⑤3．（全國·高考真題（文））某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為A． B． C． D．24．（2007·北京·高考真題（文））兩個完全相同的長方體的長、寬、高分別為5厘米、4厘米、3厘米，把它們重疊在一起組成一個新長方體，在這些新長方體中，最長的對角線的長度是A． B． C． D．5．（2007·全國·高考真題（文））若正棱錐底面邊長與側(cè)棱長相等，則該棱錐一定不是A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐6．（2007·江西·高考真題（文））已知正三棱柱的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點自點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達的最短路線的長為___________.7．（2007·江西·高考真題（理））在直三棱柱ABC－中，AB＝BC＝，＝2，ABC＝，E、F分別為、的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度為________8．（2007·江西·高考真題（理））如圖所示，在直三棱柱中，底面為直角三角形，是上一動點，則的最小值是______________．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·全國·高一單元測試）滿足下列條件的棱柱中，一定是直棱柱的是（

）A．底面是矩形 B．有一個側(cè)面與底面垂直C．有一個側(cè)面是矩形 D．相鄰兩個側(cè)面是矩形2．（2023·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長為，過點的平面與側(cè)棱相交于，則△的周長的最小值為（

）A．

B．

C．

D．3．（2023·全國·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．圓柱上下底面各取一點，它們的連線即為圓柱的母線B．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓C．圓錐的軸截面是等腰三角形D．用一個平面去截球，所得的圓即為大圓4．（2023·四川瀘州·高一期末）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．45．（2023·四川省內(nèi)江市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）如圖是一個正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后“抗”字一面相對面上的字是（

）A．新 B．冠 C．病 D．毒6．（2023·全國·高一課時練習(xí)）下列平面圖形中，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的空間圖形的是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，從一個正方體中挖掉一個四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下面哪個選項不是該幾何體的截面？A． B． C． D．8．（2023·河北張家口·高一階段練習(xí)）如圖，圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點出發(fā)，沿表面爬到的中點處，則其爬行的最短路線長為，則圓錐的底面圓的半徑為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）下列命題中不正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱B．底面是正多邊形的直棱柱一定是正棱柱C．正三棱錐就是正四面體D．側(cè)棱垂直于底面的棱柱是直棱柱10．（2023·山西·平遙縣第二中學(xué)校高一階段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）.A．棱臺的上?下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等B．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐11．（2023·遼寧大連·高一期末）一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一個截面，則截面的圖形可能是（

）A．B．C．D．1