高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專(zhuān)用）第06講 數(shù)列（教師卷）

第06講數(shù)列【【考點(diǎn)目錄】【【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列及其有關(guān)概念1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示……，第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．注：數(shù)列的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n：數(shù)列{an}的第n項(xiàng)為an，an在數(shù)列{an}中的項(xiàng)數(shù)為n2.數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}．3.對(duì)數(shù)列概念的理解（1）數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無(wú)序性．因此，若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列．（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別．（3）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集和正整數(shù)集的有限子集.所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型含義按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有an＋1>an(n∈N*)遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)按其他標(biāo)準(zhǔn)周期數(shù)列一般地，對(duì)于數(shù)列{an}，若存在一個(gè)固定的正整數(shù)T，使得an＋T＝an恒成立，則稱(chēng){an}是周期為T(mén)的周期數(shù)列按其他標(biāo)準(zhǔn)有界(無(wú)界)數(shù)列任一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一正數(shù)的數(shù)列稱(chēng)為有界數(shù)列，即?M∈R，|an|≤M，否則稱(chēng)為無(wú)界數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的表示方法1．列表法列出表格來(lái)表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系．見(jiàn)下表：序號(hào)n123…n…項(xiàng)ana1a2a3…an…2．圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)列的圖象是一系列橫坐標(biāo)為正整數(shù)的孤立的點(diǎn)(n，an)．3．通項(xiàng)公式法如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．即,不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,也不是每一個(gè)數(shù)列都有一個(gè)個(gè)通項(xiàng)公式.數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)的表達(dá)式．注：通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．4．遞推公式法如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．注：常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)(1)1，2，3，4，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n.(2)2，4，6，8，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n.(3)3，5，7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.(4)2，4，8，16，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n.(5)－1，1，－1，1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n.(6)1，0，1，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).(7)a，b，a，b，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).(8)9，99，999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1.知識(shí)點(diǎn)4數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系1.把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱(chēng)為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系：則特別地，若a1滿(mǎn)足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，則不需要分段．知識(shí)點(diǎn)5數(shù)列的性質(zhì)（1）數(shù)列的單調(diào)性----遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))數(shù)列的周期性.根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和．注：由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．知識(shí)點(diǎn)6等差數(shù)列的有關(guān)概念1.等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.用遞推公式表示為或.注：(1)要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”．如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列．(2)注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別．(3)等差數(shù)列（通?？煞Q(chēng)為數(shù)列）的單調(diào)性：在公差為d的等差數(shù)列{an}中：①d＞0?{an}為遞增數(shù)列；②d＝0?{an}為常數(shù)列；③d<0?{an}為遞減數(shù)列.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；?當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)模型．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的幾何意義是點(diǎn)(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來(lái)利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1.③可用來(lái)由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差．3.從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d

；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.4.等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng),其中.，，成等差數(shù)列.注：在等差數(shù)列{an}中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即{an}成等差數(shù)列?an＋1＋an－1＝2ann≥2.知識(shí)點(diǎn)7等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：對(duì)于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(2)等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(5)是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.提醒：判斷時(shí)易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件.知識(shí)點(diǎn)8等差數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：在等差數(shù)列中，對(duì)任意，，，；（2）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項(xiàng).（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差數(shù)列，公差為md(k，m∈N*)；（4）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列，{pan＋qbn}也是等差數(shù)列（5）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．（6）如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個(gè)原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．知識(shí)點(diǎn)9等差數(shù)列的前n和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d注：（1）等差數(shù)列的前n和公式的推導(dǎo)對(duì)于一般的等差數(shù)列{an}，如何求其前n項(xiàng)和Sn？設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d.(倒序相加法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))兩式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq\f(na1＋an,2)，上述過(guò)程實(shí)際上用到了等差數(shù)列性質(zhì)里面的首末“等距離”的兩項(xiàng)的和相等．（2）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n?當(dāng)d≠0時(shí)，Sn關(guān)于n的表達(dá)式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式，即點(diǎn)(n，Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說(shuō)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)．且d>0時(shí)圖象開(kāi)口向上，d<0時(shí)圖象開(kāi)口向下.（3）公式一反映了等差數(shù)列的性質(zhì)，任意第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首末兩項(xiàng)之和；知識(shí)點(diǎn)10等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列，公差為n2d；（2）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則S2n－1＝(2n－1)an；(中間項(xiàng))；②.等差數(shù)列中，,則,.注：在等差數(shù)列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)（4）若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為與，則.（5）若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；知識(shí)點(diǎn)11等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)，時(shí)，有最大值(即所有非負(fù)項(xiàng)之和)；，時(shí)，有最小值(即所有非正項(xiàng)之和)；若已知，則最值時(shí)的值（）則當(dāng)，，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取最大值，當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)使得取最小值.(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((為常數(shù),))，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最大值．當(dāng)n取最接近對(duì)稱(chēng)軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值,通過(guò)配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)等，將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解.注：當(dāng)a1>0，d>0時(shí)Sn有最小值S1，當(dāng)a1<0，d<0時(shí)Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值時(shí)的n不一定唯一．知識(shí)點(diǎn)12等比數(shù)列有關(guān)概念1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：.注：(1)定義的符號(hào)表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定義強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”，因?yàn)榈谝豁?xiàng)沒(méi)有前一項(xiàng)；(3)比必須是同一個(gè)常數(shù)；(4)等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都不能為0；(5)公比可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)，但不能為0.2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通項(xiàng)公式還可以寫(xiě)成，它與指數(shù)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列．注：（1）等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公比是q，則由定義可知eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．方法一an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．方法二a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…由此可得an＝a1qn－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則.3．等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)，即G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab．注：①只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)時(shí)，這兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).②在等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等比中項(xiàng)；③與等比數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于該項(xiàng)的平方，即在等比數(shù)列中，．④等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的異同，對(duì)比如下表：對(duì)比項(xiàng)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng)定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個(gè)數(shù)a與b的等差中項(xiàng)唯一a與b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)備注任意兩個(gè)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)只有當(dāng)ab＞0時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)13等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系1．當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，等比數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an是指數(shù)型函數(shù)f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)當(dāng)x＝n時(shí)的函數(shù)值，即an＝f(n)．2．任意指數(shù)型函數(shù)f(x)＝kax(k，a是常數(shù)，k≠0，a>0且a≠1)，則f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{kan}，其首項(xiàng)為ka，公比為a.注意點(diǎn)：(1)a1>0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(2)a1>0,0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(3)a1<0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(4)a1<0,0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(5)q＝1時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列；(6)q<0時(shí)，數(shù)列{an}為擺動(dòng)數(shù)列；奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同．知識(shí)點(diǎn)14等比數(shù)列的判定與證明證明等比數(shù)列的方法1．定義法：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q為不為0的常數(shù))；2．等比中項(xiàng)法：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；3．通項(xiàng)公式法：an＝a1qn－1.注：用定義法證明時(shí)，eq\f(an,an－1)和eq\f(an＋1,an)中的n的范圍不同知識(shí)點(diǎn)15等比數(shù)列的性質(zhì)在等比數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等比數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；注：若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．（2）在等比數(shù)列中，對(duì)任意，，； （3）在等比數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中項(xiàng).也就是：，如圖所示：.注：(1)性質(zhì)的推廣：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)該性質(zhì)要求下標(biāo)的和相等，且左右兩側(cè)項(xiàng)數(shù)相同；(3)在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….(4)等比數(shù)列下標(biāo)為奇數(shù)的項(xiàng)正負(fù)相同，下標(biāo)為偶數(shù)的項(xiàng)正負(fù)相同；（4）若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．（5）在等比數(shù)列{an}中按序號(hào)從小到大取出若干項(xiàng)：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數(shù)列，那么是等比數(shù)列.（6）公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即，，，…成等比數(shù)列，且公比為.（7）等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列，當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)16等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)分與聯(lián)系(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列．(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)必成等差數(shù)列．(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列．?dāng)?shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．(4)如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng)，構(gòu)成什么樣的新數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)17等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n與公比q首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an與公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))注：（1）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比是q，如何求該等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和？思路一：因?yàn)镾n＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一項(xiàng)都乘等比數(shù)列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，發(fā)現(xiàn)上面兩式中有很多相同的項(xiàng)，兩式相減可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，當(dāng)q≠1時(shí)，有Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，而當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1.上述等比數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法，我們稱(chēng)為“錯(cuò)位相減法”．思路二：當(dāng)q≠1時(shí)，由等比數(shù)列的定義得：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有eq\f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)＝eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，該推導(dǎo)方法圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)出了公式，通過(guò)上述兩種推導(dǎo)方法，我們獲得了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的兩種形式，而這兩種形式可以利用an＝a1qn－1相互轉(zhuǎn)化．思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1?Sn＝a1＋q(Sn－an)?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)或Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，顯然方程的思想在本次推導(dǎo)過(guò)程中顯示了巨大的威力，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使我們不拘泥于課本，又能使問(wèn)題得到解決．（2）在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè).(和各已知三個(gè)可求第四個(gè)（3）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（4）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況.在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)的使用條件為q≠1，而當(dāng)q＝1時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1.（5）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征當(dāng)公比q≠1時(shí)，設(shè)A＝eq\f(a1,q－1)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，設(shè)A＝－eq\f(a1,1－q)，則Sn＝Aqn－A.）當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù).知識(shí)點(diǎn)18等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．注意點(diǎn)：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件的，即Sn≠0.注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比數(shù)列，證明如下：思路一：當(dāng)q＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q).S2n－Sn＝eq\f(a11－q2n,1－q)－eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn1－qn,1－q)，S3n－S2n＝eq\f(a11－q3n,1－q)－eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，而(S2n－Sn)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq\f(a11－qn,1－q)×eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．思路二：由性質(zhì)Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．2．{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)．注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.4．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：（1）在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；（2）在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).S奇＝a1＋qS偶．注：若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n項(xiàng)，則其偶數(shù)項(xiàng)和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數(shù)項(xiàng)和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間存在聯(lián)系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq\f(S偶,S奇)＝q.＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，從項(xiàng)數(shù)上來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多了一項(xiàng)，于是我們有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．知識(shí)點(diǎn)19等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用1．解應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．3．注意問(wèn)題是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．(3)在數(shù)列類(lèi)型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求．【【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一由前n項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式1．（2023秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知數(shù)列：，則是數(shù)列中的（

）A．第18項(xiàng) B．第19項(xiàng) C．第20項(xiàng) D．第21項(xiàng)【答案】A【分析】通過(guò)觀察將數(shù)列分為第1組1個(gè)，第2組2個(gè)，……，第n組n個(gè)，找到每一組中數(shù)的分子、分母的和為，進(jìn)而判斷結(jié)果.【詳解】將數(shù)列分為第1組1個(gè)，第2組2個(gè)，……，第n組n個(gè)，即，則這n組中，每一組中數(shù)的分子、分母的和為，所以是第6組的第3個(gè)數(shù)，在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為，故選:A.2．（2023秋·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知一組數(shù)據(jù)2，5，10，17，26，…，按此規(guī)律可以得到第100個(gè)數(shù)為（

）A．9802 B．9991 C．10001 D．10202【答案】C【分析】由所給的數(shù)據(jù)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，從而可求出其第100個(gè)數(shù)【詳解】因?yàn)?，5，10，17，26，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為，所以第100個(gè)數(shù)為，故選：C3．（2023秋·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀?shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，，…的第2022項(xiàng)的值是（

）A．61 B．62 C．63 D．64【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列中數(shù)字出現(xiàn)規(guī)律，到數(shù)字n共有項(xiàng)，進(jìn)而判斷和對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)剛好包含2022即可.【詳解】由題設(shè)，數(shù)字n出現(xiàn)次數(shù)為n，所以數(shù)列到數(shù)字n共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以第2022項(xiàng)的值是64.故選：D4．（2023秋·河南濮陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則的值為（

）A．1225 B．1275 C．1326 D．1362【答案】B【分析】觀察前4項(xiàng)可得，從而可求得結(jié)果【詳解】由題意可得，……，觀察規(guī)律可得，所以，故選：B5．（2023春·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）如圖三角形數(shù)陣：12

34

5

67

8

9

1011

12

13

14

15……按照自上而下，自左而右的順序，2021位于第i行的第j列，則______．【答案】69【分析】由圖可知，第行有個(gè)數(shù)，求出第行的最后一個(gè)數(shù)，從而可分析計(jì)算出，即可得出答案.【詳解】解：由圖可知，第行有個(gè)數(shù)，第行最后一個(gè)數(shù)為，因?yàn)?，所以第行的最后一個(gè)數(shù)為2016，所以2021位第行，即，又，所以2021位第行第5列，即，所以.故答案為：69.6．（2023秋·黑龍江·高二黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無(wú)處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖①?②?③等）.反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到雪花曲線.不妨記第個(gè)圖中的圖形的周長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題圖規(guī)律確定第n個(gè)圖邊的條數(shù)及其邊長(zhǎng)，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，再求第5個(gè)圖的周長(zhǎng).【詳解】由圖知：第一個(gè)圖有3條邊，各邊長(zhǎng)為2，故周長(zhǎng)；第二個(gè)圖有12條邊，各邊長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)；第三個(gè)圖有48條邊，各邊長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)；……所以邊的條數(shù)是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，則第n個(gè)圖的邊有條，邊長(zhǎng)是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則第n個(gè)圖的邊長(zhǎng)為，故.故選：C考點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式7．（2023春·陜西西安·高二期末）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)公式，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A8．（2023春·陜西渭南·高二期末）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出，利用即可得到數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而得到.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，所以，故選：A.9．（2023春·安徽宿州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，令代入，求得，判斷A;結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與的關(guān)系式，求出時(shí)，結(jié)合，判斷C,求出，即可判斷B;利用可得，進(jìn)而推出，即可判斷D．【詳解】由題意數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則，即，即選項(xiàng)A正確；∵①，∴當(dāng)時(shí)，②，①-②可得，，即，，不滿(mǎn)足，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤，由時(shí)，可得，，則，故，故B正確；由得：,則，即，故是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，D正確，故選︰C．10．（2023春·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時(shí)得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)②，①②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；故選：D考點(diǎn)三由遞推公式求通項(xiàng)公式11．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學(xué)期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用累加法可求得的值.【詳解】由已知，，，，，上述等式全加可得，.故選：D.12．（2023春·海南·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足且，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】D【分析】由，化簡(jiǎn)得，結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義可求解.【詳解】由，可得，所以，又由，，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，，，，所以不是等差數(shù)列；不等于常數(shù)，所以不是等比數(shù)列.故選：D.13．（2023秋·湖北·高二期末）在數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)變形可得，所以為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，即可得解.【詳解】在中，，由可得，所以為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，故選：A.14．（2023·全國(guó)·高二期末）數(shù)列中，，且，則數(shù)列的通項(xiàng)___________.【答案】【分析】變換得到，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，計(jì)算得到答案.【詳解】，則，，故是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，故.故答案為：.15．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿(mǎn)足，則__________.【答案】【分析】由題，用累乘法求得通項(xiàng)公式：，則，通過(guò)裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)果.【詳解】由題，所以累乘法求通項(xiàng)公式：，所以，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合.所以，則.故答案為：考點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性與最值16．（2023秋·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項(xiàng)是第___________項(xiàng).【答案】5【分析】結(jié)合二次函數(shù)的最值即可判斷為整數(shù)時(shí)，的最大值.【詳解】因?yàn)?所以,由于,所以當(dāng)時(shí),最大,此時(shí)故答案為：517．（2023春·廣東深圳·高二紅嶺中學(xué)?？计谀┰跀?shù)列中，，，則數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為_(kāi)_________．【答案】【分析】用累加法求出通項(xiàng)，再由通項(xiàng)表達(dá)式確定最大項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為．故答案為:18．（2023秋·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的數(shù)列的通項(xiàng)公式：___________．（1）是無(wú)窮等差數(shù)列；（2）數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；（3）數(shù)列的最小項(xiàng)有且僅有第5項(xiàng)．【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)數(shù)列需要滿(mǎn)足的條件，可寫(xiě)出答案.【詳解】由題意可得，滿(mǎn)足（1）是無(wú)窮等差數(shù)列；（2）數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；（3）數(shù)列的最小項(xiàng)有且僅有第5項(xiàng)，故答案為：（答案不唯一）19．（2023秋·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿(mǎn)足，且的取值范圍是___________.【答案】【分析】構(gòu)造等比數(shù)列，再由遞增數(shù)列可得，從而可得的取值范圍.【詳解】由，得，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以也是遞增數(shù)列，所以是公比為的等比數(shù)列，且，即．故答案為：20．（2023春·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？计谀┤?，且數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列或嚴(yán)格遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列遞增和遞減的定義求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列或嚴(yán)格遞減數(shù)列，所以.若數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列，則，即，即恒成立，故；若數(shù)列是嚴(yán)格遞減數(shù)列，則，即，即恒成立，由，故；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：考點(diǎn)五數(shù)列的周期性21．（2023春·陜西西安·高二期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則___________．【答案】【分析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式，確定數(shù)列的前幾項(xiàng)，由此確定數(shù)列的周期，再求.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所以?shù)列是周期為3的數(shù)列，.故答案為：22．（2023春·安徽六安·高二?？计谀┰跀?shù)列中，，且，則_______.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列為周期數(shù)列，然后求出即可【詳解】根據(jù)題意可得：，，，故數(shù)列為周期數(shù)列可得：故答案為：23．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則_____________．【答案】【分析】找到數(shù)列的規(guī)律，由此求得.【詳解】依題意，，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故答案為：24．（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，，，，則_________．【答案】2【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列為周期數(shù)列，然后求出即可.【詳解】由，可得，從而可得：，，，故數(shù)列是周期為3的數(shù)列，可得：故答案為：25．（2023春·天津·高二靜海一中校聯(lián)考期末）數(shù)列中，，則______【答案】1【分析】根據(jù)可得，則，所以可得數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，再由計(jì)算出的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，因?yàn)椋?，所以，所以，所以所以，故答案為?考點(diǎn)六等差數(shù)列基本量的計(jì)算26．（2023春·江蘇連云港·高二校考期末）在等差數(shù)列中，，，則___________【答案】11【分析】由已知條件列方程組求解基本量，再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】由，，又為等差數(shù)列，得，，解得，則．故答案為：11.27．（2023春·黑龍江綏化·高二?？计谀┮阎獢?shù)列{an}中，a3＝2，a1＝1，且數(shù)列是等差數(shù)列，則a11＝____．【答案】﹣4【分析】根據(jù)等差數(shù)列首項(xiàng)和第3項(xiàng)的值得到公差，進(jìn)而得到第11項(xiàng)，從而求解a11的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列{an}中，a3＝2，a1＝1，且數(shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差d，所以（11﹣1）×（），則a11＝﹣4．故答案為：﹣4．28．（2023春·河南·高二沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則______．【答案】－1【分析】由已知及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，列方程求基本量即可.【詳解】若公差為，則，可得.故答案為：.29．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學(xué)期末）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則的公差______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件列方程，由此求得公差.【詳解】依題意得，解得.故答案為：30．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谀┪覈?guó)古代《九章算術(shù)》一書(shū)中記載關(guān)于“竹九”問(wèn)題：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，問(wèn)五、六兩節(jié)欲均容各多少？意思是下三節(jié)容量和為4升，上四節(jié)容量和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻，問(wèn)第五、六兩節(jié)容量分別是多少？在這個(gè)問(wèn)題中，九節(jié)總?cè)萘渴莀_________.【答案】【分析】設(shè)由下到上九節(jié)容量分別記為，則成等差數(shù)列，設(shè)公差為，根據(jù)題意列方程解出基本量，即可利用公式求和.【詳解】設(shè)由下到上九節(jié)容量分別記為，則成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，，即，，解得，，故.故答案為：.考點(diǎn)七等差數(shù)列的判定與證明31．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列滿(mǎn)足，且.(1)證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)令為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）構(gòu)造得解決即可；（2）由（1）得，錯(cuò)位相減解決即可.【詳解】（1）由，得，又，是首項(xiàng)為5，公差為3的等差數(shù)列.，故.（2）由（1）知，所以①②，①-②得：，.32．（2023春·安徽六安·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿(mǎn)足：．(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列定義證明，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由題意可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可.（1）因?yàn)?，所以是首?xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，所以．（2）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所，故．，①，②①-②得，所以．33．（2023秋·河北·高二河北省文安縣第一中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)為3，且．(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】(1)對(duì)條件進(jìn)行代數(shù)變換，即可證明是等差數(shù)列；(2)對(duì)裂項(xiàng)求和即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差等于1的等差數(shù)列，∴，即；（2），則；綜上，，.34．（2023秋·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，．(1)證明是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可.（2）由（1）得的通項(xiàng)，進(jìn)而得到通項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.(1)證明：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.(2)由（1）得，所以.，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．考點(diǎn)八等差數(shù)列的性質(zhì)（一）與項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)35．（2023春·陜西渭南·高二期末）在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．14 B．15 C．16 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，若則，即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由題意可知，在等差數(shù)列中，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，若則；所以故選：C.36．（2023春·西藏拉薩·高二拉薩中學(xué)期末）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則的值為（

）A．－3 B．3 C．－12 D．12【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若則可得.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，解得，∵，∴．故選：B37．（2023秋·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與誘導(dǎo)公式求解即可【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，可知.所以，有.所以.故選：B.與和有關(guān)的性質(zhì)38．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二中?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，成等差數(shù)列，，即，解得：.故選：C.39．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解即可【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，成等差數(shù)列，設(shè)，則，即成等差數(shù)列，故，解得，故即，故，，故故選：D40．（2023春·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用求解.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B41．（2023春·海南·高二海南華僑中學(xué)?？计谀┰O(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)將式子化為，再化為，進(jìn)而得到，最后根據(jù)條件求得答案.【詳解】由題意，.故選：C.單調(diào)性與最值42．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）若等差數(shù)列{}滿(mǎn)足，則當(dāng){}的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n＝（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，由此易得結(jié)論．【詳解】解：等差數(shù)列滿(mǎn)足，，，，則，等差數(shù)列的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，當(dāng)?shù)那绊?xiàng)和最大時(shí)的值為8.故選：B.43．（2023春·湖北荊州·高二荊州中學(xué)期末）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和性質(zhì)可得：，且，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，由可得：，所以，由可得：，所以，則有，所以等差數(shù)列的前項(xiàng)為負(fù)值，從第項(xiàng)開(kāi)始為正值，所以的最小值為，故選：.44．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值【答案】C【分析】由可判斷B；由，分析可判斷A；由可判斷C；由，可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項(xiàng)：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A正確；而C選項(xiàng)，，即，可得，又由且，則，必有，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.∵，，∴與均為的最大值，故D正確；故選：C45．（2023秋·福建廈門(mén)·高二廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，，若數(shù)列滿(mǎn)足，則m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．20【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，求出異號(hào)的相鄰兩項(xiàng)即可作答.【詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，有，，有，顯然數(shù)列是遞減的，且，因，所以.故選：B46．（2023秋·山東德州·高二校考期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則此數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)為（

）．A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．無(wú)法確定【答案】C【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，且，從而可求得答案【詳解】因?yàn)椋?，由等差?shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以該數(shù)列的公差，所以絕對(duì)值最小的項(xiàng)在0附近的項(xiàng)中取得，因?yàn)?，所以，所以絕對(duì)值最小的項(xiàng)為，故選：C考點(diǎn)九等比數(shù)列基本量的計(jì)算47．（2023春·浙江杭州·高二校考期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】先根據(jù)與的關(guān)系得到，設(shè)出公比，列出方程組，求出公比.【詳解】因?yàn)?，所以設(shè)公比為q，可得：，兩式相除得：故選：A48．（2023秋·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．64 B．42 C．32 D．22【答案】D【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，依題意得到方程組，解得、，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為，依題意可得，解得，所以.故選：D49．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┰O(shè)為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的值為（

）A．64 B．63 C．127 D．128【答案】B【分析】設(shè)正項(xiàng)遞增等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求得，，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)正項(xiàng)遞增等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，可得，解得或（舍去），又由，解得，所?故選：B.50．（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谀┮阎?xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用等比數(shù)列的性質(zhì)解得，在結(jié)合，即可解得與，最后代前項(xiàng)和公式即可求解【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為而，則，所以，所以，解得故選：C51．（2023秋·廣東江門(mén)·高二統(tǒng)考期末）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B．16 C．32 D．【答案】D【分析】由，可得，又因?yàn)?，代入求解即?【詳解】解：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，，所以，所以，所以.故選：D.考點(diǎn)十等比數(shù)列的判定與證明52．（2023春·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿(mǎn)足.(1)當(dāng)時(shí)，數(shù)列是否是等比數(shù)列？給出你的結(jié)論并加以證明；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)是，證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由與的關(guān)系得遞推關(guān)系，即可進(jìn)一步變形得.（2）由定義法求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出時(shí)的通項(xiàng)公式，判斷是否符合即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，故數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列.（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）得，當(dāng)時(shí)，，令，與不符.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.53．（2023春·廣東江門(mén)·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由遞推式變形得，從而利用等比數(shù)列的定義即可得證；（2）由（1）求得，再利用分組求和法與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足，所以，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，則，所以.54．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┮阎獢?shù)列滿(mǎn)足，且．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由化簡(jiǎn)變形可得，從而可證得結(jié)論，（2）由（1）可得，代入，變形后，利用分組求和法可求得結(jié)果(1)證明：由得，因?yàn)椋?，所以為常?shù)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列(2)由（1）得所以，所以，所以55．（2023春·湖北荊州·高二荊州中學(xué)期末）在數(shù)列中，.(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為.【分析】（1）由條件證明對(duì)于任意的，為常數(shù)即可.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由分組求和法求和.【詳解】（1）由已知又，，所以，因?yàn)?，所以，又所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列．（2）由（1），可知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以，，，，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.考點(diǎn)十一等比數(shù)列的性質(zhì)與項(xiàng)或和有關(guān)的性質(zhì)56．（2023春·陜西渭南·高二期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．7 B．9 C．81 D．3【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，又，所以，所以.故選：D57．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高二統(tǒng)考期末）設(shè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則公比（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算得到，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求出：，，則，從而求出公比【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，則，又單調(diào)遞增，所以，解得：，，則，因?yàn)椋裕蔬x：A58．（2023秋·福建廈門(mén)·高二廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┰谡?xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定的等式，利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】在等比數(shù)列中，，于是得，而，所以.故選：C59．（2023春·天津南開(kāi)·高二南開(kāi)中學(xué)校考期末）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的的值是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.60．（2023秋·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】解：由題可知，公比不為1，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，解得：，所以，所以，故選：A.61．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第十一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，，，，成等比數(shù)列求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.（二）等比數(shù)列中的最值(范圍)問(wèn)題62．（2023春·山東濰坊·高二濰坊一中期末）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且數(shù)列的前n項(xiàng)乘積，n的最大值為（

）A．10 B．11 C．20 D．21【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可推出：，，可得結(jié)論.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，，，，所以使的n的最大值為20.故選：C63．（2023春·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期末）公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿(mǎn)足，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．C．的最大值為D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷選項(xiàng)D，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷，，由此判斷出選項(xiàng)A,B,C.．【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿(mǎn)足條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件矛盾，所以不符合題意，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，，所以，，，則，，數(shù)列前2021項(xiàng)都大于1，從第2022項(xiàng)開(kāi)始都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項(xiàng)A正確．由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故選項(xiàng)B不正確；而，由以上分析可知其無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；故選：A考點(diǎn)十二數(shù)列求和及應(yīng)用分組(并項(xiàng))法求和64．（2023春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)期末）在等差數(shù)列中，，前12項(xiàng)的和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列為以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列前8項(xiàng)的和.【答案】(1)；(2)3332.【分析】（1）根據(jù)已知求出，即得解；（2）求出，再利用分組求和求解.【詳解】（1）解：設(shè)公差為，因?yàn)?，?2項(xiàng)的和，所以，解得，所以.（2）解：由題意得，所以，所以數(shù)列前8項(xiàng)的和為=.65．（2023春·西藏拉薩·高二拉薩中學(xué)期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，根據(jù)已知條件列出方程組求解出，，代入通項(xiàng)公式即可求解；(2)根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用分組求和法即可求解.【詳解】（1）設(shè)公差為d，由得，解得故；（2）因?yàn)?，由?）可得：，故．66．（2023春·北京·高二北京八十中期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，再?gòu)臈l件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.條件①：；條件②：；條件③：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①②，則，解出，則可求得；若選②③，則解出，則可求得；若選①③，則，解出，則可求得；（2）由（1）得，，從而可求出公比和，則可得，然后利用分組求和法可求得.【詳解】（1）選①②，由已知，，得，解得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選②③，由已知，，得，解得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選①③，由已知，，得，解得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，∴，，∴等比數(shù)列的公比，故，∴等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴數(shù)列的前項(xiàng)和.倒序相加法求和67．（2023春·江西九江·高二統(tǒng)考期末）德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱(chēng)，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱(chēng)之為高斯算法．已知數(shù)列，則（

）A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C【分析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C．68．（2023春·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知函數(shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則__________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件計(jì)算當(dāng)時(shí)，的值，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則，，同理，令，又，則有，，所以.故答案為：69．（2023春·黑龍江雙鴨山·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，若，則S＝________.【答案】1007【分析】可證f（x）+f（1﹣x）＝1，由倒序相加法可得所求為1007對(duì)的組合，即1007個(gè)1，可得答案．【詳解】解：∵函數(shù)f（x），∴f（x）+f（1﹣x）1故可得S＝f（）+f（）…+f（）＝1007×1＝1007,故答案為：1007裂項(xiàng)相消法70．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)與的關(guān)系得到，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列.（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）∵，，∴，∴，又∵，∴是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，∴.∴，∴.71．（2023春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，求出，再利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將（1）中的代入化簡(jiǎn)得出數(shù)列通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和為，再求出，最后利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，①，當(dāng)時(shí)，②，①減②得：，當(dāng)時(shí)，成立，所以．（2）由（1）知，，所以，所以，所以72．（2023秋·貴州六盤(pán)水·高二統(tǒng)考期末）在①；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.問(wèn)題：已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①由與的關(guān)系求解即可；選②③由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求解即可【詳解】（1）若選①：在等差數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，也符合，∴；若選②：在等差數(shù)列中，，，解得；若選③：在等差數(shù)列中，，解得；（2）由（1）得，所以73．（2023春·浙江·高二期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）依題意可得，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，再分為偶數(shù)和奇數(shù)兩類(lèi)情況并結(jié)合裂項(xiàng)求和法討論即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，故?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則．（2）解：由（1）知，所以．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)槭菃握{(diào)遞減的，所以．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又是單調(diào)遞增的，因?yàn)?，所以．要使存在，使，只需，即，故的取值范圍是?4．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·高二遼陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，______，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的，，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．①；②；③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：根據(jù)與的關(guān)系即可求解；選②：根據(jù)已知有時(shí)，，兩式相減即可求解；選③：根據(jù)已知有時(shí)，，兩式相除即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消求和法求出，則原問(wèn)題等價(jià)于，令，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列的最大值即可得答案.（1）解：選①：當(dāng)時(shí)，，，，時(shí)，，兩式相減得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，；選②：，時(shí)，，兩式相減得，即，又當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足上式，；選③：，時(shí)，，兩式相除得，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，；（2）解：∵∴，∵對(duì)任意的，即對(duì)任意的都成立，∴對(duì)任意的都成立，，令，則，∵，，即，數(shù)列是遞減數(shù)列，，，，∴的取值范圍是.錯(cuò)位相減法求和75．（2023春·陜西西安·高二期末）已知數(shù)列，，數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求，再代入即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，再利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1），，又，．（2）由（1）知，，，①，②，故①-②得．，.76．（2023春·陜西渭南·高二期末）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解首項(xiàng)和公差，（2）由錯(cuò)位相減法即可求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則解得∴．（2）依題意，知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．由（1）知，∴，，①①×3得，②①-②得，∴．77．（2023春·江蘇連云港·高二期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】(1)，(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求解即可；（2）由錯(cuò)位相減法求解即可【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由，，，可得解得因此，；（2）由（1）知，，①，②①-②得，78．（2023秋·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的遞推公式為.(1)求證：為等比數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)時(shí)，，得到，利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）由（1）知，先分組求和，利用錯(cuò)位相減法求的前，再利用公式法求的前項(xiàng)和，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又，所以所以數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，（2）由（1）得，故，所以，先求的前，，，所以，所以，又的前項(xiàng)和，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：.（五）數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用79．（2023春·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬(wàn)元，到年底資金增長(zhǎng)50%.預(yù)計(jì)以后每年資金增長(zhǎng)率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費(fèi)資金x萬(wàn)元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費(fèi)資金后的剩余資金為萬(wàn)元.(1)用x表示，，并寫(xiě)出與的關(guān)系式；.(2)若企業(yè)希望經(jīng)過(guò)5年后，使企業(yè)剩余資金達(dá)3000萬(wàn)元，試確定每年年底扣除的消費(fèi)資金x的值（精確到萬(wàn)元）.【答案】(1)；(2)x=348【分析】(1)根據(jù)題意直接得，，進(jìn)而歸納出；(2)由(1)可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合即可計(jì)算出d的值.(1)由題意知，，，；(2)由(1)可得，，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元.故該企業(yè)每年年底扣除消費(fèi)資金為348萬(wàn)元時(shí)，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬(wàn)元.80．（2023春·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）“綠水青山就是金山銀山”，中國(guó)一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開(kāi)放、共享的發(fā)展理念，著力促進(jìn)經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車(chē)環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國(guó)的國(guó)情，也代表了世界汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國(guó)新能源汽車(chē)銷(xiāo)量占總銷(xiāo)量將達(dá)20%以上.2021年，某集團(tuán)以20億元收購(gòu)某品牌新能源汽車(chē)制造企業(yè)，并計(jì)劃投資30億元來(lái)發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車(chē)的銷(xiāo)售量為10萬(wàn)輛，每輛車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)為3000元．據(jù)專(zhuān)家預(yù)測(cè)，以后每年銷(xiāo)售量比上一年增加10萬(wàn)輛，每輛車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)比上一年減少10%．(1)若把2021年看作第一年，則第n年的銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少億元？(2)到2027年年底，該集團(tuán)能否通過(guò)該品牌汽車(chē)實(shí)現(xiàn)盈利？（實(shí)現(xiàn)盈利即銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)總投資，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)億元(2)該集團(tuán)能通過(guò)該品牌汽車(chē)實(shí)現(xiàn)盈利【分析】（1）由題意可求得第n年的銷(xiāo)售量，第n年每輛車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)，從而可求出第n年的銷(xiāo)售利潤(rùn)，（2）利用錯(cuò)位相減法求出到2027年年底銷(xiāo)售利潤(rùn)總和，再與總投資額比較即可(1)設(shè)第n年的銷(xiāo)售量為萬(wàn)輛，則該汽車(chē)的年銷(xiāo)售量構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為10的等差數(shù)列，所以，設(shè)第n年每輛車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，則每輛汽車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)構(gòu)成首項(xiàng)為3000，公比為0.9的等比數(shù)列，所以，記第n年的銷(xiāo)售利潤(rùn)為，則萬(wàn)元；即第n年的銷(xiāo)售利潤(rùn)為億元(2)到2027年年底，設(shè)銷(xiāo)售利潤(rùn)總和為S億元，則①，②，①﹣②得億元，而總投資為億元，因?yàn)椋瑒t到2027年年底，該集團(tuán)能通過(guò)該品牌汽車(chē)實(shí)現(xiàn)盈利．81．（2023春·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？计谀┠彻九e辦捐步公益活動(dòng)，參與者通過(guò)捐贈(zèng)每天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈(zèng)給留守兒童．此活動(dòng)不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn)，還為公司獲得了相應(yīng)的廣告效益，據(jù)測(cè)算，首日參與活動(dòng)人數(shù)為5000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%，30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平，假設(shè)此項(xiàng)活動(dòng)的啟動(dòng)資金為20萬(wàn)元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元）．(1)求活動(dòng)開(kāi)始后第5天的捐步人數(shù)，及前5天公司的捐步總收益；(2)活動(dòng)開(kāi)始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余？【答案】(1)8745，1686元(2)37天【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果；（2）對(duì)活動(dòng)天數(shù)進(jìn)行討論，列出不等式求出的范圍即可.(1)設(shè)第天的捐步人數(shù)為，則且，∴第5天的捐步人數(shù)為．由題意可知前5天的捐步人數(shù)成等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為5000，公比為1.15，∴前5天的捐步總收益為元.(2)設(shè)活動(dòng)第天后公司捐步總收益可以回收并有盈余，若，則，解得（舍）．若，則，解得∴活動(dòng)開(kāi)始后第37天公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余.考點(diǎn)十三數(shù)列綜合問(wèn)題82．（2023秋·上海徐匯·高二上海市西南位育中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意都有成立，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)已知，且有對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義可求，進(jìn)而即得；（2）由題可得，進(jìn)而可得，然后結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意都有成立，且，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以；（2）由題可知，所以，又對(duì)任意恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍.83．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列公比小于0，其前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得一等式，利用與的關(guān)系化為項(xiàng)的關(guān)系式從而求得公比，得通項(xiàng)公式；（2）由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，分奇偶討論得出的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍，從而得的范圍．(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，，成等差數(shù)列，可得：，整理：，所以，即為，解得，由等比數(shù)列不是遞減數(shù)列，可得，即.(2)由（1）得，設(shè)，，設(shè)，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，隨n的增大而減小，所以..當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，隨n的增大而增大，所以..故，實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意恒成立，則a的取值范圍為.84．（2023秋·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，，都有，求正整數(shù)k的最小值．【答案】(1)(2)(3)9【分析】（1）由等差數(shù)列的基本量法求得和，則得通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出后，用分組求和法求得；（3）求出后用錯(cuò)位相減法求得，化簡(jiǎn)不等式為，引入函數(shù)，用作差法確定的單調(diào)性（需要對(duì)差再作差確定單調(diào)性、正負(fù)），得的正負(fù)后可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)公差為，則，解得，所以；（2）由題意，所以，；（3）由（1），，，相減得，，由，得，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，，，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，，，，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以滿(mǎn)足的的最小值是9，即的最大值是9．【【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，再根據(jù)對(duì)數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，又，所以，所以.故選：A2．（2023春·湖北荊州·高二荊州中學(xué)期末）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則為（

）A． B．C． D．28或-21【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，列出的表達(dá)式，兩式相除可推出，解出，再根據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)公比為.當(dāng)時(shí)，，，則應(yīng)有，該方程組無(wú)解，所以.由已知可得，，兩式相除可得，，整理可得，解得或（舍去），所以.所以.故選：A.3．（2023春·吉林松原·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和，滿(mǎn)足，則＝（）A．72 B．96 C．108 D．126【答案】B【分析】根據(jù)得到數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式，得到的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，由題意可得，①當(dāng)時(shí)，，②①﹣②得，，即，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故.