2023年寧夏中衛(wèi)市高考數(shù)學一模試卷（文科）及答案解析

2023年寧夏中衛(wèi)市高考數(shù)學一模試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設(shè)全集U=口,2,3,5,8},集合M滿足QM={L8},則（）

A.1eMB.2cMC.3eMD.5gM

2.已知復數(shù)z=#a則z的虛部為（）

（I）

A.-1B.-jC.1D.1

3.已知雙曲線C：會卷=i的左右焦點為&,尸2，點P在雙曲線C的右支上，則仍初-

|PF1|=（）

A.—8B.8C.10D.2713

4.某保險公司為客戶定制了4B,C,D,E共5個險種，并對5個險種參?？蛻暨M行抽樣調(diào)

用該樣本估計總體，以下四個說法錯誤的是（）

A.57周歲以上參保人數(shù)最少B.18?30周歲人群參?？傎M用最少

C.C險種更受參保人青睞D.31周歲以上的人群約占參保人群80%

5.如圖1.規(guī)定1個正方形對應(yīng)1個三角形和1個正方形，1個三角形對應(yīng)1個正方形.已知圖2中,

第1行有1個正方形和1個三角形，按上述規(guī)定得到第2行，共有2個正方形和1個三角形，按此

規(guī)定繼續(xù)可得到第3行，第4行，第5行，則在圖2中第5行正方形的個數(shù)為（）

圖1圖2

A.5B.8C.13D.16

%+y—2N0,

6.若x,y滿足約束條件2%-丫―440,則2=x-丫的最小值是()

y<4,

A.—6B.—4C.0D.2

7.設(shè)x6R,向量,=(1,2),b=(%,1).c=(4,x).則“21bn是ub//cn的()

A.充分不必要文件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.將函數(shù)/(x)=sin(2x一朗+cos2x-siMx的圖象向右平移儀0<<p<今個單位長度后得

到函數(shù)g(x)的圖象.若％是函數(shù)g(x)的一個極值點，則9的值為()

cA.-6DB--4jC-3D—12

9.函數(shù)y=(x—2)21n|x|的圖像是()

10.我國古代數(shù)學家僧一行應(yīng)用“九服辱影算法”在法衍歷》中建立了辱影長1與太陽天

頂距。(0。S。S180。)的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學知

識可知，辱影長度I等于表高八與太陽天頂距。正切值的乘積，R”=htan0.對同一“表高”兩

次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為a,口，且ta￡a-S)=%若第二次的“唇影長”

與“表高”相等，則第一次的“辱影長”是“表高”的()

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

11.在棱長為1的正方體力8。。一4/1的。1中，M,N分別為BDi，

當Q的中點，點P在正方體的表面上運動,且滿足MP〃平面CNDi,

則下列說法正確的是()

A.點P可以是棱BBi的中點

B.線段MP的最大值為?

C.點P的軌跡是正方形

D.點P軌跡的長度為2+G

12.已知關(guān)于x的不等式X襁T+IW弛產(chǎn)在（l,e3）上恒成立，則正數(shù)m的最大值為（）

A.；B.0C.eD.1

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.己知函數(shù)f（無）=；；，則/（/（D）=_.

14.對于二維碼，人們并不陌生，幾年前，在門票、報紙等印刷品上，

這種黑白相間的小方塊就已經(jīng)出現(xiàn)了.二維碼背后的趨勢是整個世界的

互聯(lián)網(wǎng)化，這一趨勢要求信息以更為簡單有效的方式從線下流向線

上.如圖是一個邊長為4的“祝你考試成功”正方形二維碼，為了測算

圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑

色部分的有250個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為.

15.已知A,B,C三點都在表面積為100兀的球。的表面上，若AB=4，？，44cB=60。，則

球心。到平面ABC的距離等于.

16.已知橢圓C：冬+，=l（a>b>0）的左，右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,以坐標原點。為圓心,

線段尸1尸2為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點A若M&lW2MBI，則橢圓C的離心率的取

值范圍為.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

已知數(shù)列｛廝｝的前n項和為又，Sn=2an-l.

（1）求｛即｝的通項公式；

（2）若%=2n+1.求數(shù)列｛即b｝的前n項和；

18.（本小題12.0分）

為深入貫徹黨的教總方針，全面落實仲共中央國務(wù)院關(guān)于全面加強新時代大中小學勞動教

育的意見》，某校從2022年起積極推進勞動課程改革，先后開發(fā)開設(shè)了具有地方特色的家政、

烹飪、手工、園藝、非物質(zhì)文化遺產(chǎn)等勞動實踐類校本課程.為調(diào)研學生對新開設(shè)勞動課程的

滿意度并不斷改進勞動教育，該校從2022年1月到10月每兩個月從全校3000名學生中隨機抽

取150名學生進行問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

月份X246810

滿意人數(shù)y8095100105120

(1)由表中看出，可用線性回歸模型擬合滿意人數(shù)y與月份x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直

線方程y=bx+a，并預測12月份該校全體學生中對勞動課程的滿意人數(shù);

(2)10月份時，該校為進一步深化勞動教育改革，了解不同性別的學生對勞動課程是否滿意,

經(jīng)調(diào)研得如統(tǒng)計表:

滿意不滿意合計

男生651075

女生552075

合計12030150

請根據(jù)上表判斷是否有95%的把握認為該校的學生性別與對勞動課程是否滿意有關(guān)？參考公

一玨二1城一根2一型心?)2'a=y-bx-

P(K2>fc0)0.100.050.0250.0100.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

2

2=n(ad-bc)其中九二a+b+c+d.

一(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)'

19.(本d、題12.0分)

如圖，四棱臺4BC0—EFGH中，底面4BCD是菱形，點M,N分別為棱BC,CD的中點，乙EAB=

90°,CG1MN,AE=EF=lfAB=2.

(1)證明：4EJL平面ABC。；

(2)當MN=/乏時，求多面體/BMN—EFGH的體積.

20.(本小題12.0分)

已知拋物線C：己=2px(p>0)經(jīng)過點(1,2).

(1)求拋物線C的方程：

(2)動直線I與拋物線C交于不同的兩點4B,P是拋物線上異于4B的一點，記P4P8的斜

率分別為七，k2,%為非零的常數(shù).

從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：

①P點坐標為(E24)；②自+七=余③直線4B經(jīng)過點(一雞0).

21.(本小題12.0分)

己知aeR,函數(shù)/(%)=Inx+a(l-x),g(x)=ex.

(1)討論/(?的單調(diào)性;

(2)過原點分別作曲線y=/Q)和y=g(x)的切線。和團試問：是否存在a>0,使得切線人和

%的斜率互為倒數(shù)？請說明理由.

22.(本小題10.0分)

在極坐標系中，圓C的極坐標方程為p=2，4in(。+》直線I的極坐標方程為PS譏(。+》=

4.以極點為坐標原點，以極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系尤0”

(1)求圓C及直線，的直角坐標方程；

(2)若射線0=a(p>0)分別與圓C和直線/交于P,Q兩點，其中ae(0,9,求黑｛的最大值.

23.(本小題12.0分)

已知a>0,b>0,函數(shù)7?Q)=|2x+a|+|2x—加+1的最小值為3.

+uzog3+->4-a

2-

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：={1,2,358},CuM={1,8},

M={2,3,5},???3GM.

故選：C.

根據(jù)條件求出集合M,再判斷1,2,3,5是否是M中的元素.

本題考查了補集的定義及運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：2=丹=母=竺=—；+),即z的虛部為

(1—i)—Nl—2t/NL

故選：C.

由復數(shù)的運算結(jié)合定義求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：由盤一［=1，得。2=16,得a=4,

169

???雙曲線C：卷一9=1的左右焦點為F1，尸2，點P在雙曲線C的右支上，

???伊尸2|-IPF1I=-2a=-8.

故選：A.

由雙曲線性質(zhì)可得|PF2|—|PF/=—2a,可求解.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：4選項，57周歲以上參保人數(shù)所占比例是10%,是最少的，A選項正確；

B選項，“18?30周歲人群參保平均費用”比“57周歲以上人群參保平均費用”的一半還多,

而18?30周歲人群參保人數(shù)所占比例是57周歲以上參保人數(shù)所占比例的兩倍，

所以57周歲以上參保人群參?？傎M用最少，B選項錯誤；

C選項，c險種參保比例0.358,是最多的，所以C選項正確；

。選項，31周歲以上的人群約占參保人群30%+40%+10%=80%,D選項正確.

故選：B.

根據(jù)扇形圖、散點圖、頻率圖對選項進行分析，從而確定正確答案.

本題主要考查了統(tǒng)計圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：設(shè)冊為第九行中正方形的個數(shù)，匕為第n行中三角形的個數(shù)，

由于每個正方形產(chǎn)生下一行的1個三角形和1個正方形，每個三角形產(chǎn)生下一行的1個正方形，

則有即+i=an+%,bn+i=an,

n

整理得即+i=即+an-i(.22),且刖=1,a2=2,

則=3,=5,=。4+。3=8.

所以第5行的正方形的個數(shù)為8.

故選：B.

設(shè)如為第n行中正方形的個數(shù)，源為第n行中三角形的個數(shù)，再推斷與下一行的關(guān)系，從而得到第

5行正方形的個數(shù).

本題考查歸納推理思想，數(shù)列的遞推關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：作出x，y滿足的可行域如下所示，

z—X—y可化為y=x—z

當直線y=x-z經(jīng)過點4H寸，有Z=-2-z,所以z=-6,即z的最小值為一6.

故選：A.

根據(jù)不等式組作出可行域，把目標函數(shù)z=x-y轉(zhuǎn)化為y=x-z,再結(jié)合其幾何意義，得解.

本題考查線性規(guī)劃，熟練掌握目標函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理能力和運算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：因為五_LBOX+2=0，即x=—2,

因為3〃不=/=4，即％=±2,

所以“JL聲'是ub//cn的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)可得x的值，再根據(jù)孫"也可得到x的值，即可得到命題關(guān)系.

本題主要考查了平行向量的坐標關(guān)系，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：由/(x)=sin(2x-3)+cos?%-siMx,化簡得fQ)=SE(2X+)

所以g(x)=sin(2x+^-2(p).

又x=g是函數(shù)g(x)的一個極值點，

所以當工=與時，函數(shù)g(x)取得最值，

所以2x"—2卬="+其k6Z),

解得a=-k?＞式k€Z).

因為0＜租＜今

所以W=也

故選：A.

利用二倍角公式和兩角差的公式得到/Q)=sin3+S)，利用平移變換得到=sin(2x+J-

2哈,再根據(jù)》=稱是函數(shù)g(x)的一個極值點，即當x=狎，函數(shù)g(x)取得最值求解.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：函數(shù)圖像過點(1,0),(2,0),排除4。；

當x21時，yNO,排除C.

故選：B.

根據(jù)函數(shù)的零點和區(qū)間內(nèi)的值域，利用排除法選擇圖像.

本題主要考查函數(shù)圖像的判斷，考查排除法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：依題意，tan￡=l,則tana=tan[(a-￡)+￡]=；':股]；；；-=3=2,

所以第一次的“辱影長”是“表高”的2倍.

故選：B.

根據(jù)給定條件，可得tan/?=1,再利用和角的正切公式計算作答.

本題主要考查了兩角和與差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】B

【解析】解：如圖，取棱BC的中點E,連接。E,BEME,

因為M,N分別為BQ,BiG的中點，

所以在ABCDi中，ME〃CD「由于MEC平面CND「CD】u平面CND1,

所以ME〃平面CND],

因為B】N〃CE,B、N=CE,所以，四邊形CNB】E為平行四邊形,

所以CN〃B]E,因為CNu平面CNDi，8花＜4平面CND1，

所以B]E〃平面CNDi，

因為B】EnME=E,BiE,MEu平面當EM,

所以平面/EM〃平面CNDi，

由于M為體對角線BDi的中點，

所以，連接并延長，直線必過D點，

故取人"中點F,連接BiF,FD,DE,

所以由正方體的性質(zhì)易知FDJ/CE,FDi=CE,

所以四邊形CDiFE是平行四邊形，EF"CD[,EF=CD、,

因為ME〃CD「ME=：CDi，

所以E,F,M共線，即Fe平面

所以四邊形/ED尸為點P的軌跡，故A選項錯誤；

由正方體的棱長為1,所以四邊形/ED尸的棱長均為浮，且對角線為EF=，2BID=C，

所以四邊形/EDF為菱形，周長為2，萬，故C。選項錯誤，

由菱形的性質(zhì)知，線段MP的最大值為2當0=號，故B選項正確.

故選：B.

取棱BC的中點E,連接DE,BiE,ME,進而證明平面/EM平面CND「再結(jié)合題意可知直線

必過。點，進而取中點F,連接/凡FD,DE,證明F6平面&EM即可得四邊形8把。?為點P

的軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系依次判斷各選項即可.

本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面平行的判定定理，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：+1<弛葉絲變形為+x<mLnx+靖，

X

mxx

即％m—lnx<e—lne9

37nx

其中m>0,xE(l,e)f故%>1,e>1,

令f(t)=t-lnt(t>1),則有/(%m)</(〃)，

因為/'(t)=1-1=^>。在t>1上恒成立，故f(t)="伉￡在「>1上單調(diào)遞增，

故兩邊取對數(shù)得：minx<%,則如WL

xm

令g(x)=乎，則g'O)=故當％e(l,e)時，g'(_x)>0.

當xG(e,+8)時，g'(x)<0,

故=?在％€(l,e)上單調(diào)遞增，在xG(e,+8)上單調(diào)遞減,g(x)=等在％=e處取得極大值,

也是最大值，5Wrnax=

所以工wL解得：0<mWe,故正數(shù)m的最大值為e.

em

故選：c.

x

將不等式變形得到_lnxm<ex_inex9構(gòu)造/⑴=t-lnt（t>1）,研究其單調(diào)性得到”<e,

取對數(shù)后參變分離得到牛構(gòu)造9。）=野，求導后得到9（X）max=%從而得到求出

0<771<e,得到答案.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查不等式的恒成立問題，考查運算求解能力，屬

于中檔題.

13.【答案】7

【解析】解：函數(shù)/'（X）=｛：：：；'：：；，

則/⑴=3,

/。⑴）=〃3）=7.

故答案為：7.

利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可.

本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】10

【解析】解：設(shè)黑色部分的面積為S,

則由題意可得靠=編，

解得S=10,

故答案為：10.

由幾何概型中的面積型概率的求法，設(shè)黑色部分的面積為S,則由題意可得/=編，然后求解

即可.

本題考查了幾何概型中的面積型，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】3

【解析】解：如圖所示，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為。',

4c“

由球。的表面積為100兀得4兀/?2=1007r=R=5,

由球的性質(zhì)可知，AOB。'構(gòu)成直角三角形,

故球心。到平面4BC的距離00,=VR2-BO'2=V52-42=3.

故答案為：3.

設(shè)448c的外接圓的圓心為O',由正弦定理求得球。半徑，結(jié)合球的性質(zhì)可求得球心。到平面4BC

的距離00'.

本題考查球的截面問題，正弦定理的應(yīng)用，屬中檔題.

16.【答案】(0,9

【解析】解：設(shè)\AF2\=n,

因為MF/42|4尸2|,4點在第一象限，

所以zn<2n,m>n,

(m2+n2=(2c)2,①

根據(jù)題意可得，m+71=2a,②

(m<2n,③

22

②2—①2得，2nm=4Q2—4c=4h,

所以m4-n=2b2,④

由②④得，6，九為方程％之一2a%+2廬=0的兩個根，

所以_-I"—nJ_c2*7112'n—1'—cA/~c2'

7/12z

m=-------------------=Q+VQ2—2b2n=--------------------=Q—Va—2b

代入③，得a+Va2-2b2<2(a-Va2-2b2)

化簡得3Ja?—2/)2<Q,

所以3j屋_2(Q2_12)<Q,

所以18c2<10a2,

所哨若

QZ9

所以0<eW?，

所以離心率的取值范圍為(0,?].

故答案為：(0,y].

m2+n2=(2c)2,①

設(shè)MF/=m,|AF2|=n,根據(jù)題意可得，m+n=2a,②，即可得出答案.

<2n,③

本題考查橢圓的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)%=2冊一1.

n>2時，=Sn-Syt-i=2an-1-(2an_1-1).化為：an=2an_1.

n=1時，a1=S[=2al-1,解得%—1.

二數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，公比為2.

n-1

?1,an=2.

(2)dn=2n+1.

n-1

???anbn=(2n+1)-2.

二數(shù)列｛時篇｝的前ri項和〃=3+5x2+7x22+-...+(2n+1)-2f

???2”=3x2+5x22+…...+(2n-1)-2n-1+(2n+1)-2n,

n

相減可得：一〃=3+2(2+22+…...+2“T)-(2n+1)-2=3+2x2(2；；D_(2n+1).2%

解得7；=l+(2n-l)-2n.

【解析】(l)Sn=2an—l.Ti22時，an=Sn-Sn_ltn=l時，a1=S[=2a1—1,解得的.利用

等比數(shù)列的通項公式即可得出.

11

(2)%=2n+l.anbn=(2n+1)-2T.利用錯位相減法即可得出.

本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計

算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解:(1)由題意可得呈=6,y=(80+95+100+105+120)+5=100，

則于=式々-x)(yt-y)=(2-6)X(80-100)+(4-6)x(95-100)+(6-6)x(100-

100)+(8-6)x(105-100)+(10-6)x(120-100)=180,2復式項-x)2=(2-6)2+(4-

6)2+(6-6)2+(8-6)2+(10-6)2=40,

可做=臂學=喘=凱=1。。-亞6=73.

故y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1x+73,

令x=12,得了=127，

據(jù)此預測12月份該校全體學生中對勞動課程的滿意人數(shù)為3000x益=2540人；

(2)提出假設(shè)%:該校的學生性別與對勞動課程是否滿意無關(guān)，

同42_n(ad—bc)_150(65x20-55x10)_25?力17

、K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=-120x30x75x75-=T4，1/，

因為P(K2>3.841)=0.05,而4.17>3,841,

故有95%的把握認為該校的學生性別與對勞動課程是否滿意有關(guān).

【解析】(1)根據(jù)線性回歸方程公式求出b、a，進而求出回歸直線方程、=6丫+<2,預測出結(jié)果;

(2)根據(jù)公式求出K2，4.17,判斷出有95%的把握認為該校的學生性別與對勞動課程是否滿意有

關(guān).

本題主要考查了線性回歸方程的求解，考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：因為底面4BCC是菱形，所以四邊形4BCD

的對角線AC1BD.

因為M,N是BC,AD中點，所以MN〃BD,故ACLMN.

又因為CGJ.MN,且多面體4BCD-EFG”是四棱臺，所以力,

C,G,E共面，

又"nCG=C,AC,CGu平面ACGE,

所以MNJ?平面4CGE,又因為AEu平面4CGE,所以AE1MN.

又因為多面體4BCD-EFG”是四棱臺，所以四邊形4EFB是梯形.

取點K為線段AB的中點，連接尸K.

因為4K〃EF,AK=EF,所以四邊形力KFE是平行四邊形，故AS//KF.

在AFKB中，BF2=BK2+FK2,故尸KIAB,^AELAB,

因為MN與ZB是相交直線，MN,4Bu平面2BCD,

所以AE_L平面ABC。；

(2)解：當MN=，7時，BD=2MN=2，7,貝IBM=AB?+人。2,所以4口人。=90。，

故ABIZD,菱形ABCD是邊長為2的正方形.

由(1)知，4EJ?平面A8CC,所以四棱臺ABCD—EFGH的高為1,

17

^ABCD-EFCH=§，1，(1+2+4)=§.

又因為%_MNC=”?(”?1)=MH-ADN=11(1-21)=1,

所以多面體ABMN-EFGH的體積為(-1-1=^..

3636

【解析】(1)由AC1BD,MN//BD,得AC1MN,又CG1MN,所以MNl^ACGE,從而AE1MN.

取點K為線段4B的中點，可得4E〃KF,由=BK2+FK2得FK148,即4EJ.4B,證得4E1

面力BCD；

(2)利用勾股定理可得ZB14D,菱形4BCD是邊長為2的正方形，由AE_L面4BCD可知四棱臺

4BC0-EFGH的高為1,求得以BCD-EFCH，匕;-MNC，%.ADN即可得出答案.

本題主要考查面面垂直的判定，多面體體積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意得22=2p,解得p=2,

故拋物線C的方程為好=4%；

(2)顯然直線I的斜率不為0,

1。若①②成立，證明：③成立，

證明：設(shè)直線1的方程為％=my+3設(shè)4守,為)，8仔,%)，

聯(lián)立『2"土,整理得y2-4my_4t=0,

iy=4久

22=

則A=16m+16t>0,即t<—m,且為4-y24m,y2=-4t,

???P點坐標為(",24),七+七=p

.7,1/,—2入一、1,2A-y2_44_4(2'+及)+4(2"+內(nèi))_4(y1+y2)+16A_2

""1+電=/三+衣=時+訴=丁+%)(2=2)=32+21%+y“+47=A.整理得

%丫2=4入2,,

4A2=-4t,即t=—A2,

直線，的恒過定點(-M,0),即③式成立；

2。若①③成立，證明：②成立，

證明：由題意設(shè)直線，的方程為x=my-A*0,設(shè)4([,yi)，B落y?)，

聯(lián)立『21^一整理得丫？-+4"=0,

2

顯然4>0,且%+y2=4m,y1y2=4A,

,,,_2：_丫]24_y2_44_4(24+丫2)+4(23+%)_4(力+丫2)+164_

2

則12-2_蛀/_送-22+為2A+y2-(22+%)(2入+及)-y1y2+2A(y1+y2)+4A一

44

4(4m)+16A16(m+A)2

而訴前=麗麗=7故②成"；

3。若選②③，證明：①成立，

證明：由題意設(shè)直線1的方程為x=my—",a#o,設(shè)4([,yi),8(乎,丫2)，

聯(lián)立產(chǎn)2=?一￡整理得/-4my+4"=0,

(yN=4%

2

因為4>0,則TH?〉"，且yi+y2=4m,yry2=4A,

2

設(shè)P(第y。)，

c山上%=、「%]及一1二44一4(當+-2)+8為=16m+8yo=2

122

則史％%+先力+即力為+'0%+及)+%4A+4my0+y?笳即16加+

T-TT-T

2

84yo=8A+8my0+2羽，

二yg+4(m—A)y0+42(2—2m)—0,

二仇-24)仇-24+4m)=0對任意實數(shù)m恒成立,即y()-24=0,即兀=24,

.-.P(A2,2A),故①成立.

【解析】(1)由題意得22=2p,求出p,即可得出答案；

(2)顯然直線1的斜率不為0,分類討論1。若①②成立，證明：③成立；2。若①③成立，證明：②成

立；3。若選②③，證明：①成立，聯(lián)立直線1的方程和拋物線C的方程，利用韋達定理，化簡整理，

即可證明結(jié)論.

本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查邏輯推理能力和運算能力，

屬于中檔題.

21.【答案】解：(l)f(x)的定義域是(0,+8),f'(x)=^-a,

當aW0時，/。)>0恒成立，f(x)在(0,+8)遞增,

a>0時，0<x<，時，/'(x)>0,x>,時，f'(x)<0,

/Q)的增區(qū)間是(0,：),減區(qū)間是?,+oo),

綜上：a40時,f(x)在(0,+8)遞增；

a>0時，/(x)的增區(qū)間是(0,；),減區(qū)間是弓,+8).

(2)存在a>0,使得切線，1和，2的斜率互為倒數(shù).

理由如下：/''(*)=g-a,g'(x)=e”,

設(shè)g(x)的切線方程是y=kx,則e*=k,顯然k>0,x=Ink,切點為(Ink,k),

于是斜=鼠解得k=e,所以，2的斜率為e，于是，i的斜率為:,

11p

設(shè)f(x)的切點坐標為Qo，M))，由高一a=2,XO=—,

又鑼4,所以1n島+a(l-品)=；x品,整理得a=ln(ae+l),

設(shè)G(x)=ln(ex4-1)—%,6'(乃=島-1=e-1-ex

ex+1

當0<x<詈時，G'(x)>0,G(x)在(o,亍)上遞增，而G(0)=0,所以G(亍)>0,

x>p時，G'(x)<0,6(乃在(7，+8)上遞減，

又G(e3)=ln(e4+1)-e3<5-8<0,

所以存在x()e(p,e3),使得G(x°)=0，

因此關(guān)于a的方程a=ln(ae+1)有正數(shù)解，

所以存在a>0,使得切線k和，2的斜率互為倒數(shù).

【解析】(1)求出函數(shù)y=/(%)的定義域和導數(shù)f'(x)=：-a，然后分a<0和a>0兩種情況討論，

分析/'(X)在(0,+8)上導數(shù)符號的變化，即可得出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出g(x)=e、過原點的切線方程的斜率，由斜率之間的關(guān)系可得a=

ln(ae+l),再通過構(gòu)造函數(shù)判斷其有解即可.

本題考查帶參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，同時也考查了利用導數(shù)的幾何意義及構(gòu)造函數(shù)解決方程有解

的問題，考查