高斯小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)下冊(cè)含答案第19講-行程問題中的變速

第十九講 行程問題中的變速

行程問題是小學(xué)應(yīng)用題中很重要的一部分，從同學(xué)們剛剛接觸行程問題開始，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多類型的行程問題，例如：火車問題、流水行船問題、環(huán)形路線問題等．幾年的積累，相信同學(xué)們已經(jīng)對(duì)行程問題已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)．但我們僅僅見識(shí)到了行程問題中的冰山一角，我們以后還會(huì)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理的過程中，更深入的了解行程問題的本質(zhì)．行程問題來源于生活．在現(xiàn)實(shí)的生活中，不可能以同樣的速度一直朝同一個(gè)方向走，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)變向和變速的情況．我們將利用兩次課的時(shí)間來深入的研究一下這類問題．首先我們來介紹一個(gè)概念——平均速度．平均速度是一種特殊的速度，它衡量的是一段時(shí)間內(nèi)物體在所有路程上運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度，體現(xiàn)在公式中：．關(guān)于平均速度，尤其值得大家注意的是平均速度不是速度的平均．比如：在一段長(zhǎng)為480米的跑道上，前一半路程速度為每秒4米，后一半路程速度為每秒6米，那么平均速度就為：，而速度的平均為：，這兩個(gè)值是不等的．郵遞員早晨7點(diǎn)出發(fā)送一份郵件到對(duì)面的村里，從郵局開始先走12千米的上坡路，再走6千米的下坡路．上坡的速度是3千米/時(shí)，下坡的速度是6千米郵遞員去村里的平均速度是多少？郵遞員返回時(shí)的平均速度是多少？郵遞員往返的平均速度是多少？「分析」一定嚴(yán)格按照平均速度的公式解題．

練習(xí)1、阿瓜要去小高家玩．一共要走1200米，前400米阿瓜的速度是5米/秒，后面800米的速度是2.5米/秒．那么他全程的平均速度是多少？

A602030如圖所示，一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊爬行，在三條邊上它每分鐘分別爬行60厘米、20厘米、30厘米．螞蟻由A點(diǎn)開始，如果順時(shí)針爬行一周，平均速度是多少？如果順時(shí)針爬行了一周半，平均速度又是多少？

「分析」對(duì)于等邊三角形的邊長(zhǎng)，不妨采用設(shè)數(shù)法．

練習(xí)2、A602030在很多行程問題中，我們并不能一下子弄清楚整個(gè)過程，特別是在運(yùn)動(dòng)過程中有變向和變速的時(shí)候，那就需要分段來考慮整個(gè)過程．下面就來看一個(gè)這樣的問題．AB男、女兩名田徑運(yùn)動(dòng)員在長(zhǎng)120米的斜坡上練習(xí)跑步（如圖所示，坡頂為A，坡底為B）．兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，在A、B之間不停地往返奔跑．已知男運(yùn)動(dòng)員上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女運(yùn)動(dòng)員上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．請(qǐng)問：兩人第一次迎面相遇的地點(diǎn)離A點(diǎn)多少米？第二次迎面相遇的地點(diǎn)離A點(diǎn)多少米？

「分析」本題可采用分段計(jì)算，一些速度發(fā)生變化或方向發(fā)生變化的位置可作為分段計(jì)算的線索．

練習(xí)3、在30世紀(jì)的某一天，卡莉婭和墨莫兩人在地球和火星間進(jìn)行往返旅行．如果卡莉婭從地球飛向火星的速度是300萬公里/天，而從火星返回地球的速度是400萬公里/天；墨莫從地球飛向火星的速度是200萬公里/天，而從火星返回的速度是300AB 通過例題3，我們對(duì)于變速和變向問題有了基本的解題思路，那就是分段考慮．分段考慮就是把一個(gè)大的問題進(jìn)行分割，化整為零，各個(gè)擊破．將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，不僅在行程問題中，在很多其他的問題中都有應(yīng)用，特別是對(duì)于一些過程復(fù)雜的問題具有很好的效果．在一條南北走向的公路上有A、B兩鎮(zhèn)，A鎮(zhèn)在B鎮(zhèn)北面4.8千米處．甲、乙兩人分別同時(shí)從A鎮(zhèn)、B鎮(zhèn)出發(fā)向南行走，甲的速度是每小時(shí)9千米，乙的速度是每小時(shí)6千米．甲在運(yùn)動(dòng)過程中始終不改變方向，而乙向南走3分鐘后，便轉(zhuǎn)身往回走2分鐘，接著按照先向南走3分鐘，再向北走2分鐘的方式循環(huán)運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問：兩人相遇的地點(diǎn)距B鎮(zhèn)多少千米？

「分析」注意分析兩人路程差的變化規(guī)律．

練習(xí)4、在東西方向上的A、B（A地在B的西面）兩地相距6千米．甲乙分別同時(shí)從A、B兩地出發(fā)向東走，甲的速度是每小時(shí)12千米，乙的速度是每小時(shí)6千米．甲在運(yùn)動(dòng)的過程中始終不改變方向，而乙向東走了2分鐘后，便轉(zhuǎn)身往回走1分鐘，再轉(zhuǎn)向東走2分鐘，再轉(zhuǎn)身走1分鐘，……，那么甲、乙兩人相遇的地點(diǎn)距B龜兔賽跑，全程1.04千米．兔子每小時(shí)跑4千米，烏龜每小時(shí)爬0.6千米．烏龜不停地爬，但兔子卻邊跑邊玩，兔子先跑了1分鐘然后玩15分鐘，又跑2分鐘然后玩15分鐘，再跑3分鐘然后玩15分鐘，……．請(qǐng)問：先到達(dá)終點(diǎn)的比后到達(dá)終點(diǎn)的快多少分鐘？

「分析」AB如圖所示，正方形邊長(zhǎng)是1200米，甲、乙兩人于8:00同時(shí)從A，B沿圖中所示的方向出發(fā)，甲每分鐘走120米，乙每分鐘走100米，且兩人每到達(dá)一個(gè)頂點(diǎn)都需要休息1分鐘．求甲從出發(fā)到第一次看見乙所用的時(shí)間．

「分析」注意甲與乙的路程差是一個(gè)邊長(zhǎng)，且恰好到達(dá)拐角處時(shí)甲即可看見乙．AB

田徑比賽——障礙跑障礙跑作為田徑項(xiàng)目，始于英國(guó)．它和越野跑可算是一對(duì)“孿生兄弟”．越野跑是從兒童游戲脫胎而來的．有人設(shè)想把越野跑搬到運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上來．于是，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上出現(xiàn)了籬笆、柵欄、水坑等人工障礙物．1837年，在英國(guó)樂格比高等學(xué)校里，首創(chuàng)了一種叫做“障礙跑”的比賽項(xiàng)目．從此，這項(xiàng)活動(dòng)在英國(guó)普遍開展起來．隨后又相繼傳到其他國(guó)家，這才逐漸被人們所接受．19世紀(jì)，障礙跑在英國(guó)興起．最初在野外進(jìn)行，跨越的障礙是樹枝、河溝，各障礙間的距離也長(zhǎng)短不一，19世紀(jì)中葉開始在跑道上進(jìn)行．有研究報(bào)告指出：19世紀(jì)時(shí)障礙跑的距離不統(tǒng)一，具有很大的隨意性，短的440碼，長(zhǎng)的可達(dá)3英里．1900年第2屆奧運(yùn)會(huì)首次設(shè)立障礙跑，分2500米和4000米兩個(gè)項(xiàng)目．從1904年第3屆奧運(yùn)會(huì)起將障礙跑的距離確定為3000米，并沿用至今．全程必須跨越35次障礙，其中包括7次水池．障礙架高91.1~91.7厘米，寬3.96米，重80~100公斤．400米的跑道可擺放5個(gè)障礙架，各障礙架的間距為80米．運(yùn)動(dòng)員可跨越障礙架，也可踏上障礙架再跳下，或用手撐越．國(guó)際田聯(lián)直到1954年才開始承認(rèn)其世界紀(jì)錄．

作業(yè)A603040如圖所示，一個(gè)蝸牛從A點(diǎn)出發(fā)沿著一個(gè)三角形的三邊爬行，速度如圖所示（單位：厘米/分），那么這個(gè)蝸牛順時(shí)針爬行一周的平均速度是多少厘米/分？順時(shí)針爬行一周半的平均速度是多少厘米A603040

小山羊去山上吃草，前一半路程速度為每秒4米，后一半路程開始跑步，速度為每秒6米．那么整段路程的平均速度是多少米/秒？山谷和森林相距2000米，小老虎從森林出發(fā)去山谷，速度為5米/秒．它每走120米都會(huì)休息10秒鐘，那么走完全程一共需要多少秒？ABC如圖，B地是AC兩地的中點(diǎn)，AC之間的距離是12千米．人在AB上的速度是3千米/時(shí)，在BC上的速度是2千米/時(shí)．現(xiàn)在甲、乙二人分別從A、C兩地同時(shí)出發(fā)，幾時(shí)幾分后兩人相遇ABC在一條河的相距24千米的兩個(gè)碼頭A、B之間，客船和貨船同時(shí)從上游的A碼頭出發(fā)，在A、B之間不停的往返運(yùn)動(dòng)．已知，水速是每小時(shí)2千米，客船的速度是每小時(shí)6千米，貨船的速度是每小時(shí)4千米，那么兩船第一次迎面相遇的地點(diǎn)距離A碼頭多少千米？第二次迎面相遇的地點(diǎn)距離A碼頭多少千米？第十九講行程問題中的變速例題：答案：（1）3.6千米/時(shí)；（2）4.5千米/時(shí)；（3）4千米/時(shí)詳解：（1）去的時(shí)候，上坡路走了小時(shí)，下坡路走了小時(shí)．根據(jù)平均速度的定義，平均速度為千米/時(shí)．（2）返回的時(shí)候，上坡路走了小時(shí)，下坡路走了小時(shí)．根據(jù)平均速度的定義，平均速度為千米/時(shí)．（3）往返的平均速度為千米/時(shí)．

答案：30厘米/分；厘米/分

詳解：設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為60厘米，則平均速度為厘米/分．如果順時(shí)針爬行了一周半，平均速度為厘米/分．

AB男女第1次相遇第2次相遇答案：96米；米

詳解：如圖所示，男運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)候用了24秒，這時(shí)女運(yùn)動(dòng)員走了72米距離B點(diǎn)48米．然后兩人做一個(gè)相遇運(yùn)動(dòng)，會(huì)在秒后相遇，這時(shí)兩人距離A點(diǎn)是96米．男運(yùn)動(dòng)員跑到A點(diǎn)，又用了32秒，而女運(yùn)動(dòng)員跑到B點(diǎn)需要8秒，可知當(dāng)男運(yùn)動(dòng)員走到A點(diǎn)的時(shí)候，女運(yùn)動(dòng)員又向上走了24秒，走了48米，距離A點(diǎn)還有72米．然后兩人又做一個(gè)相遇運(yùn)動(dòng)，會(huì)在AB男女第1次相遇第2次相遇答案：0.96千米

詳解：如圖所示，甲每分鐘可以走150米，乙每分鐘可以走100米．每過5分鐘，甲都向南走750米，乙只向南走100米，那么每5分鐘，兩人的距離都拉近650米，，所以在分鐘以后，兩人相距250米．此時(shí)，甲繼續(xù)向南，乙向南走3分鐘，這3分鐘兩人的距離拉近了米，這時(shí)兩人相距100米．甲繼續(xù)向南，而乙則返回往北走，兩人在分鐘后相遇，那么甲總共走了分鐘，共走了米，所以相遇地點(diǎn)距離B地米，即0.96千米．答案：420種

詳解：首先可以計(jì)算出烏龜用時(shí)小時(shí)，合104分鐘．兔子跑的時(shí)間為小時(shí)，合15.6分鐘．，可知兔子休息了5次，休息了分鐘，共用時(shí)分鐘，兔子比烏龜先到達(dá)分鐘．答案：65分鐘詳解：甲若追上乙至少要多走一個(gè)邊長(zhǎng)，至少用時(shí)分鐘．甲每走分鐘，休息一分鐘，60分鐘內(nèi)至少休息5次，共用時(shí)65分鐘．乙每走分鐘，休息一分鐘，60分鐘內(nèi)至少休息4次，共用時(shí)64分鐘，第65分鐘恰好也在休息，因此甲恰好可以看見乙．

練習(xí)：答案：3米/秒

簡(jiǎn)答：米/秒．

答案：厘米/分

簡(jiǎn)答：仍設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為60厘米，逆時(shí)針爬行兩周用時(shí)12分鐘，逆時(shí)針爬行半周用時(shí)分鐘，平均速度為厘米/分．

答案：2250萬公里

簡(jiǎn)答：做法同例3，分段計(jì)算．

答案：1200米簡(jiǎn)答：做法同例4，以3分鐘為周期．