地球物理計算方法秋一章插值

地球物理計算方法

地球物理與信息技術(shù)學(xué)院課堂情況反饋復(fù)習(xí)問題（插值問題）數(shù)值方法（拉格朗日插值）誤差分析（余項定理）上節(jié)課講了些什么？拉格朗日插值：問題：方法：復(fù)習(xí)已知函數(shù)y=f(x)在n+1個節(jié)點x0,x1,x2,..xn，上的函數(shù)值y0,y1,y2,..yn，求任意一點x’的函數(shù)值f(x’),構(gòu)造一個n次代數(shù)多項式pn(x)函數(shù)來替代未知（或復(fù)雜）函數(shù)y=f(x),則用pn(x’)為函數(shù)值f(x’),的近似值。設(shè)構(gòu)造pn(x)即是確定n+1個多項式的系數(shù)拉格朗日插值：方法：存在性復(fù)習(xí)當(dāng)n+1個點的橫坐標(biāo)x0,x1,x2,..xn互不相等，則總能夠構(gòu)造唯一的n次多項式函數(shù)pn(x)，使pn(x)也過這n+1個點，即pn(x)存在且唯一。拉格朗日插值：方法：線性插值復(fù)習(xí)插值基函數(shù)：插值系數(shù)：

y0，

y1拉格朗日插值：方法：拋物線插值復(fù)習(xí)拉格朗日插值：方法：n次插值復(fù)習(xí)拉格朗日插值：誤差分析：余項定理復(fù)習(xí)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且n+1階可導(dǎo)，則總存在，使得：其中：第1章插值方法1.5牛頓插值公式拉格朗日插值多項式構(gòu)造簡單，結(jié)構(gòu)緊湊內(nèi)容引入已知:函數(shù)在n+1個點的值(x0,y0),(x1,y1),….(xn,yn),求:當(dāng)x=x’時，y’的值。拉格朗日插值的缺點：無承襲性牛頓插值：具有承襲性的插值公式若計算發(fā)現(xiàn)插值精度不夠，想增加插值節(jié)點，則所有插值基函數(shù)lk(x)都要重新計算。泰勒插值具有承襲性：線性插值的結(jié)果不精確，那么再加上一項，就變成了泰勒拋物插值。其中：插值系數(shù)：把多項式Pn(x)表示為如下一般形式：1.1承襲性的插值公式基函數(shù)：

待定系數(shù)ci確定？辦法：可由個插值條件確定依次遞推可得c3,c4……cn,為給出一般表達(dá)式，引進差商的定義：因變量之差和自變量之差之比叫差商。

一階差商：

二階差商：(一階差商的差商）定義2.差商及其性質(zhì)n階差商：……零階差商：

f[xi,xj,xk]是指f[xi,xj,xk]=f[xj,xk]-f[xi,xj]xk-xi一般的,可定義區(qū)間[xi,xi+1,…,xi+n]上的n階差商為

差商計算可列差商表如下：

差商表xi=1,2,3,4,5時，f(xi)=1,4,7,8,6，求四階差商：-1/3-1/61/24-2ABCD提交單選題2分21(1)差商與函數(shù)值的關(guān)系：函數(shù)f(x)

的n階差商f[x0,x1,…,xn

]可由函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xn)

的線性組合表示為：差商的性質(zhì)：(2)差商與它所含節(jié)點次序無關(guān)．-----------

對稱性

223、差商表示牛頓插值多項式思路：對于n+1個插值節(jié)點及其樣本值，我們可以計算各階差商;根據(jù)差商的概念，把差商與牛頓多項式的插值系數(shù)ci聯(lián)系起來；牛頓插值多項式用差商表示;令：其中：牛頓插值公式余項（截斷誤差）25由插值多項式的唯一性可知：n次牛頓插值多項式與n次拉格朗日插值多項式完全相同，只是表達(dá)形式不同。故，拉格朗日余項定理與牛頓余項定理相同：性質(zhì)3n階差商和n階導(dǎo)數(shù)之間有下列關(guān)系則牛頓插值公式又可以寫為：各插值節(jié)點全部趨近于x0時，有：

泰勒插值是牛頓插值在極限條件下的特例。28牛頓插值公式特點：（1）承襲性：每增加一個節(jié)點，插值多項式只增加一項，即（2）利用差商表，計算多點插值，比拉格朗日插值公式計算方便。29例1：已知函數(shù)f(x)當(dāng)x=-2,-1,0,1時，其對應(yīng)函數(shù)值為f(x)=13,-8,-1,4。求f(0.5)的值。解：根據(jù)已知點，填寫以下差商表：xiyi一階差商二階差商三階差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x30流程圖：（了解）差分形式的插值公式（了解）：

當(dāng)節(jié)點等距時，利用差分的概念，可使Newton插值多項式得到簡化。定義（向前差分）設(shè)有等距節(jié)點xi=x0+ih(i=0,1,…,n),其中h>0是步長。記fi=f(xi)(i=0,1…,n)⊿fi=fi+1-fi稱為f(x)在點xi處的一階向前差分。⊿nfi=⊿n-1fi+1-⊿n-1fi稱為f(x)在點xi處的n階向前差分。規(guī)定fi=⊿0fi

為f(x)在點xi處的零階差分。定義(向后差分)設(shè)節(jié)點xi=x0+ih(i=0,1,…,n),其中h>0

是步長。記fi=f(xi)(i=0,1…,n)▽fi=fi-fi-1

稱為f(x)在點xi處的一階向后差分。▽nfi=▽n-1fi-▽n-1fi-1

稱為f(x)在點xi處的n階向后差分。規(guī)定fi=▽0fi

為f(x)在點xi處的零階差分。定義(中心差分)設(shè)節(jié)點xi=x0+ih(i=0,1,…,n),其中h>0

是步長。記fi+1/2=f(xi+1/2)

(i=0,1…,n)δfi=fi+1/2-fi-1/2

稱為f(x)在點xi處的一階中心差分。δnfi=δn-1fi+1/2-δn-1fi-1/2稱為f(x)在點xi處的n階中心差分。規(guī)定fi=δ0fi

為f(x)在點xi處的零階差分。33差分與差商的關(guān)系34Newton向前插分公式：Newton向后插分公式：以下說法錯誤的是：拉格朗日插值與牛頓插值都是代數(shù)插值方法對于同一插值問題，相同次數(shù)的拉格朗日插值多項式與牛頓插值多項式是相同的對于同一插值問題，相同次數(shù)的拉格朗日插值基函數(shù)與牛頓插值基函數(shù)是相同的對于同一插值問題，相同次數(shù)的拉格朗日插值與牛頓插值的截斷誤差是相同的ABCD提交多選題2分第1章插值方法1.6埃爾米特插值問題已知:函數(shù)y=f(x)在n+1個點的值x0,x1,x2,…xn,上的函數(shù)值y0,y1,….,yn,及其導(dǎo)數(shù)值y’0,y’1,….,y’n。求:當(dāng)x=x’時，y=f(x’)的值。1、pn(x)與f(x)在插值節(jié)點相等（插值的基本條件）2、在節(jié)點上