巧解外接球問(wèn)題

巧解外接球問(wèn)題摘要：外接球有關(guān)計(jì)算問(wèn)題在近年高考試題中屢見(jiàn)不鮮，本文就長(zhǎng)方體、正方體及棱錐的外接球有關(guān)問(wèn)題，給出了特殊解法。關(guān)鍵詞：巧解外接球問(wèn)題《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了根本要求：“在立體幾何初步局部，學(xué)生將先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形；再以長(zhǎng)方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；……。〞由此可見(jiàn)，長(zhǎng)方體模型是學(xué)習(xí)立體幾何的根底，掌握長(zhǎng)方體模型，對(duì)于學(xué)生理解立體幾何的有關(guān)問(wèn)題起著非常重要的作用。有關(guān)外接球的立體幾何問(wèn)題是近年各省高考試題的難點(diǎn)之一，這與學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力有關(guān)，本文通過(guò)近年來(lái)局部高考試題中外接球的問(wèn)題談幾種解法。一、直接法1、求正方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例1假設(shè)棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，那么該球的外表積為.解析：要求球的外表積，只要知道球的半徑即可.因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，再計(jì)算半徑.故外表積為.例2一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，假設(shè)該正方體的外表積為，那么該球的體積為.解析：要求球的體積，還是先得求出球的半徑，而球的直徑正好是正方體的體對(duì)角線，因此，由正方體外表積可求出棱長(zhǎng)，從而求出正方體的體對(duì)角線是所以球的半徑為.故該球的體積為.2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題例3一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為，那么此球的外表積為.解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L(zhǎng)方體內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑。長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為，故球的外表積為.例4、〔2006年全國(guó)卷I〕各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，那么這個(gè)球的外表積為〔〕.A.B.C.D.解析：正四棱柱也是長(zhǎng)方體。由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為2，因此，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4，于是等同于例3，應(yīng)選C.二、構(gòu)造法1、構(gòu)造正方體例5假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，那么其外接球的外表積是.解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長(zhǎng)方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體，且側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖1，那么，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，故所求外表積是.(如圖1)圖2圖2圖1圖1例6一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，那么此球的外表積為〔〕A.B.C.D.解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形，再計(jì)算球的半徑.在此，由于所有棱長(zhǎng)都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱長(zhǎng)相等的四面體，如圖2，四面體滿足條件，即，由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為1，體對(duì)角線為，從而外接球的直徑也為，所以此球的外表積便可求得，應(yīng)選A.(如圖2)例7在等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，將與分布沿、向上折起，使重合于點(diǎn)，那么三棱錐的外接球的體積為〔〕.A.B.C.D.解圖3析：〔如圖3〕因?yàn)?，，所以圖3，即三棱錐為正四面體，至此，這與例6就完全相同了，應(yīng)選C.例8球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，，，，那么球的體積等于.圖4解析：此題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑，由于，，聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長(zhǎng)方體，又因?yàn)椋敲创碎L(zhǎng)方體為正方體，所以長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的體積等于.〔如圖4〕圖42、構(gòu)造長(zhǎng)方體例9點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，，，假設(shè)，那么B、C兩點(diǎn)間的球面距離是.圖5解析：首先可聯(lián)想到例8，構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是為球的直徑，O為球心，為半徑，要求B、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C兩點(diǎn)間的球面距離是.〔如圖5〕圖5參考文獻(xiàn)：