2022年上海15區(qū)中考數(shù)學(xué)一?？键c(diǎn)分類匯編專題09-幾何證明(解答題23題)-帶詳解

2022年上海市15區(qū)中考數(shù)學(xué)一模考點(diǎn)分類匯編專題09幾何證明一．解答題（共15小題）1．（普陀區(qū)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，BD＝DC，BD?BC＝BE?AC．（1）求證：∠ABE＝∠DEB；（2）延長BA、ED交于點(diǎn)F，求證：．2．（崇明區(qū)）已知：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，E為邊AC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE交CD于點(diǎn)F，并滿足BC2＝CD?BE．求證：（1）△BCE∽△ACB；（2）過點(diǎn)C作CM⊥BE，交BE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)M，求證：BE?CM＝AB?CF．3．（嘉定區(qū)）如圖，已知正方形ABCD和正方形BEFG，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)G在邊AB的延長線上，聯(lián)結(jié)AE，并延長AE交CG于點(diǎn)K．（1）求證：△ABE∽△CKE；（2）如果CG與EF交于點(diǎn)H，求證：BE2＝FH?AB．4．（寶山區(qū)）如圖，已知△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，聯(lián)結(jié)BD交AC邊于點(diǎn)F．（1）如果∠ABD＝∠CAD，求證：BF2＝DF?DB；（2）如果AF＝2FC，S四邊形ABCD＝18，求S△DCE的值．5．（楊浦區(qū)）已知，如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，AE∥CD，DE∥AB，過點(diǎn)C作CF∥AD，交線段AE于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；（2）如果射線BF經(jīng)過點(diǎn)D，求證：BE2＝EC?BC．6．（松江區(qū)）已知：如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，AC＝AB，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E．（1）如果∠DEC＝∠BEC，求證：CE2＝ED?CB；（2）如果AD2＝AE?AC，求證：AD＝BC．7．（浦東新區(qū)）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CE，點(diǎn)D在邊BC上．（1）求證：△ABD∽△ACE；（2）若＝，求的值．8．（徐匯區(qū)）如圖，已知△ADE的頂點(diǎn)E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點(diǎn)F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．（1）求證：AE2＝AF?AB；（2）求證：＝．9．（金山區(qū)）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6，E是對角線BD上一點(diǎn)，DE＝4，∠BCE＝∠ABD．（1）求證：△ABD∽△ECB；（2）如果AD：BC＝3：5，求AD的長．10．（靜安區(qū)）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)Q、R分別在邊AD、DC上，BR交線段OC于點(diǎn)P，QP⊥BP，QP交BD于點(diǎn)E．（1）求證：△APQ∽△DBR；（2）當(dāng)∠QED等于60°時(shí)，求的值．11．（虹口區(qū)）如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，對角線AC與BD交于點(diǎn)E．點(diǎn)F是線段EC上一點(diǎn)，且∠BDF＝∠BAC．（1）求證：EB2＝EF?EC；（2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的長．12．（奉賢區(qū)）根據(jù)相似形的定義可以知道，如果一個(gè)四邊形的四個(gè)角與另一個(gè)四邊形的四個(gè)角對應(yīng)相等，且它們各有的四邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)四邊形叫做相似四邊形．對應(yīng)相等的角的頂點(diǎn)叫做這兩個(gè)相似四邊形的對應(yīng)頂點(diǎn)，以對應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是這兩個(gè)相似四邊形的對應(yīng)邊，對應(yīng)邊的比叫做這兩個(gè)相似多邊形的相似比．（我們研究的四邊形都是指凸四邊形）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下兩個(gè)命題，請判斷它們是真命題還是假命題（直接在橫線上填寫“真”或“假”）①梯形的中位線將原梯形分成的兩個(gè)小的梯形相似；命題；②有一個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個(gè)菱形相似；命題．（2）已知：如圖1，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，以BC為直角邊作等腰直角三角形BCD，再以BD為直角邊作等腰直角三角形BDE求證：四邊形ABDC與四邊形CBED相似．（3）已知：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，BE、CD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AF的延長線上，聯(lián)結(jié)BG、CG．如果四邊形ADFE與四邊形ABGC相似，且點(diǎn)A、D、F、E分別對應(yīng)A、B、G、C．求證：AF?BF＝AG?EF．13．（青浦區(qū)）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)E，∠ABD＝∠CBD，DC2＝DE?DB．（1）求證：△AEB∽△DEC；（2）求證：BC?AD＝CE?BD．14．（徐匯區(qū)）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射線CD交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，且∠AEC＝∠ABC，聯(lián)結(jié)BE．（1）求證：△ACD∽△EBD；（2）如果CD平分∠ACB，求證：AB2＝2ED?EC．15．（黃浦區(qū)）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點(diǎn)D作DF∥CB，分別交AC、AB點(diǎn)E、F，且滿足AB?AF＝DF?BC．（1）求證：∠AEF＝∠DAF；（2）求證：＝．

2022年上海市15區(qū)中考數(shù)學(xué)一?？键c(diǎn)分類匯編專題09幾何證明一．解答題（共15小題）1．（普陀區(qū)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，BD＝DC，BD?BC＝BE?AC．（1）求證：∠ABE＝∠DEB；（2）延長BA、ED交于點(diǎn)F，求證：．【分析】（1）由BD?BC＝BE?AC得出＝，BD＝DC得出∠DBC＝∠C，從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知證明△FAD∽△FDB即可．【解答】證明：（1）∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠C，∵BD?BC＝BE?AC，∴＝，∴△ABC∽△DEB，∴∠ABC＝∠DEB，即∠ABE＝∠DEB；（2）如圖所示：∵△ABC∽△DEB，∴∠CAB＝∠BDE，∴∠FAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△FAD∽△FDB，∴＝，∵∠ABE＝∠DEB，∴FB＝FE，又∵BD＝DC，∴＝．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是找到相似的三角形．2．（崇明區(qū)）已知：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，E為邊AC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE交CD于點(diǎn)F，并滿足BC2＝CD?BE．求證：（1）△BCE∽△ACB；（2）過點(diǎn)C作CM⊥BE，交BE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)M，求證：BE?CM＝AB?CF．【分析】（1）通過證明△BCD∽△EBC，可得∠CEB＝∠CBD，可得結(jié)論；（2）通過證明△BCE∽△ACB，△ACB∽△CDB，△CDM∽△BDF，可得，，，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BC2＝CD?BE，∴，設(shè)＝k，則BC＝k?CD，BE＝k?BC，∴CE＝＝×BC，BD＝＝×CD，∴＝，又∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴△BCD∽△EBC，∴∠CEB＝∠CBD，又∵∠ACB＝∠BCE＝90°，∴△BCE∽△ACB；（2）如圖，∵△BCE∽△ACB，∴，∵∠CEB＝∠CBA，∴∠A＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°＝∠DCB+∠CBD，∴∠A＝∠DCB，∴∠DCB＝∠EBC，∴CF＝BF，∵∠A＝∠DCB，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴，∵CM⊥BE，∴∠ABE+∠CMD＝90°＝∠CMD+∠MCD，∴∠MCD＝∠ABE，又∵∠CDB＝∠CDM＝90°，∴△CDM∽△BDF，∴，∴，∴BE?CM＝AB?CF．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（嘉定區(qū)）如圖，已知正方形ABCD和正方形BEFG，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)G在邊AB的延長線上，聯(lián)結(jié)AE，并延長AE交CG于點(diǎn)K．（1）求證：△ABE∽△CKE；（2）如果CG與EF交于點(diǎn)H，求證：BE2＝FH?AB．【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△CBG，可得∠BAE＝∠ECK，可得結(jié)論；（2）通過證明△ABE∽△GFH，可得，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵四邊形BEFG是正方形，∴FG＝BG＝BE，∠CBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG＝90°，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠ECK，又∵∠AEB＝∠CEK，∴△ABE∽△CKE；（2）由題意，得∠CEF＝∠F＝∠ABE＝90°，∴FG∥BC，∴∠ECK＝∠FGH，∵∠BAE＝∠ECK，∴∠BAE＝∠FGH，∴△ABE∽△GFH，∴，∵FG＝BE，∴，∴BE2＝FH?AB．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（寶山區(qū)）如圖，已知△ABC和△DCE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，聯(lián)結(jié)BD交AC邊于點(diǎn)F．（1）如果∠ABD＝∠CAD，求證：BF2＝DF?DB；（2）如果AF＝2FC，S四邊形ABCD＝18，求S△DCE的值．【分析】（1）證明△ABF≌△CAD（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可得出BF＝AD，證明△ADF∽△BDA，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）證明△DCF∽△BAF，由相似三角形的性質(zhì)得出＝，設(shè)S△DCF＝x，則S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，由四邊形ABCD的面積可得出x+2x+2x+4x＝18，求出x＝2，求出三角形ABC的面積，證明△ABC∽△DCE，由相似三角形的性質(zhì)得出＝，則可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，又∵∠ABD＝∠CAD，∴△ABF≌△CAD（ASA），∴BF＝AD，∵∠ADF＝∠BDA，∠ABD＝∠CAD，∴△ADF∽△BDA，∴，∴AD2＝DF?BD，∴BF2＝DF?BD；（2）解：∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴AB∥CD，∴△DCF∽△BAF，∴＝，∴，，，設(shè)S△DCF＝x，則S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，∵S四邊形ABCD＝18，∴x+2x+2x+4x＝18，解得x＝2，∴S△ABF＝8，S△BCF＝4，∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝8+4＝12，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴△ABC∽△DCE，∴＝，∴S△DCE＝＝×12＝3．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△DCF∽△BAF是解題的關(guān)鍵．5．（楊浦區(qū)）已知，如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，AE∥CD，DE∥AB，過點(diǎn)C作CF∥AD，交線段AE于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；（2）如果射線BF經(jīng)過點(diǎn)D，求證：BE2＝EC?BC．【分析】（1）先證AB＝AE，DE＝DC，再證四邊形ADCF是平行四邊形，得出AF＝CD，進(jìn)而得出AF＝DE，再由平行線性質(zhì)得∠AED＝∠BAF，進(jìn)而證得結(jié)論；（2）通過證明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得，即可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC，∵CF∥AD，AE∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）如圖，連接FD，∵射線BF經(jīng)過點(diǎn)D，∴點(diǎn)B，點(diǎn)F，點(diǎn)D三點(diǎn)共線，∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD，∴，，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，∴，∵CD＝AF，∴，∴BE2＝EC?BC．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（松江區(qū)）已知：如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，AC＝AB，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E．（1）如果∠DEC＝∠BEC，求證：CE2＝ED?CB；（2）如果AD2＝AE?AC，求證：AD＝BC．【分析】（1）通過證明△DEC∽△CEB，可得，可得結(jié)論；（2）通過證明△BCE∽△ACB，可得，由相似三角形的性質(zhì)可得，可得，通過證明△ADE∽△ACD，可得＝，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC，∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CAB，∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵∠DEC＝∠BEC，∴∠DEC＝∠BCE＝∠BEC＝∠ABC，∴∠BAC＝∠CBE＝∠DCE，BE＝BC，∴△DEC∽△CEB，∴，∴CE2＝DE?BE＝DE?CB；（2）∵∠BAC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE，∴△BCE∽△ACB，∴，∵△DEC∽△CEB，∴，∠CDE＝∠BCE＝∠CED＝∠BEC，∴，CD＝CE，∵AD2＝AE?AC，∴，又∵∠DAE＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，∴，∴AD＝BC．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．7．（浦東新區(qū)）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CE，點(diǎn)D在邊BC上．（1）求證：△ABD∽△ACE；（2）若＝，求的值．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△BAC∽△DAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得∠BAD＝∠CAE，根據(jù)相似三角形的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE；（2）解：∵△ABD∽△ACE，∴，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴＝，∴＝?＝＝3，∵△ADF∽△ECF，∴＝＝3．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（徐匯區(qū)）如圖，已知△ADE的頂點(diǎn)E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點(diǎn)F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．（1）求證：AE2＝AF?AB；（2）求證：＝．【分析】（1）利用兩個(gè)角相等證明△BAE∽△EAF，得，即可證明結(jié)論；（2）首先證明△DAE∽△CAB，得，∠D＝∠C，再證明△DAF∽△CAE，得，等量代換即可．【解答】證明：（1）∵∠FEA＝∠B，∠BAE＝∠EAF，∴△BAE∽△EAF，∴，∴AE2＝AF?AB，（2）∵∠DAF＝∠CAE，∠FAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠CAF，∵∠FEA＝∠B，∴△DAE∽△CAB，∴，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△DAF∽△CAE，∴，∴，∴．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（金山區(qū)）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6，E是對角線BD上一點(diǎn)，DE＝4，∠BCE＝∠ABD．（1）求證：△ABD∽△ECB；（2）如果AD：BC＝3：5，求AD的長．【分析】（1）先由AD∥BC得到∠ADB＝∠EBC，然后由∠ABD＝∠ECB得證△ABD∽△ECB；（2）先由AB＝DC得到∠ABC＝∠BCD，再由∠∠ABD＝∠BCE得到∠DBC＝∠DCE，從而得到△DBC∽△DCE，然后利用相似三角形的性質(zhì)求得BD的長，進(jìn)而得到BE的長，再由△ABD∽△ECB得到AD的長．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，又∵∠BCE＝∠ABD，∴△ABD∽△ECB．（2）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6，∴∠ABC＝∠BCD，又∵∠BCE＝∠ABD，∴∠DBC＝∠DCE∵∠BDC＝∠CDE，∴△BDC∽△CDE，∴，∵DC＝6，DE＝4，∴BD＝9，∴BE＝5，∵△ABD∽△ECB，∴，由AD：BC＝3：5，設(shè)AD＝3x，BC＝5x，∴，解得：x＝或x＝﹣（舍），∴AD＝．【點(diǎn)評】本題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等量代換得證∠DBC＝∠DCE．10．（靜安區(qū)）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)Q、R分別在邊AD、DC上，BR交線段OC于點(diǎn)P，QP⊥BP，QP交BD于點(diǎn)E．（1）求證：△APQ∽△DBR；（2）當(dāng)∠QED等于60°時(shí)，求的值．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)可得∠QAP＝∠BDR＝45°，AC⊥BD，根據(jù)已知QP⊥BP，利用同角的余角相等可得∠APQ＝∠DBR，即可解答；（2）由（1）可得△APQ∽△DBR，從而可得＝，根據(jù)已知可得∠BEP＝60°，設(shè)OE為a，然后在Rt△OEP中，表示出OP＝a，EP＝2a，從而在Rt△BEP中求出BE＝4a，進(jìn)而求出OB，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠QAP＝∠BDR＝45°，∴∠BOC＝∠DOC＝90°，OA＝OB，∴∠OBP+∠OPB＝90°，∵QP⊥BP，∴∠QPB＝90°，∴∠OPB+∠QPA＝90°，∴∠APQ＝∠DBR，∴△APQ∽△DBR；（2）解：由（1）可得△APQ∽△DBR，∴＝，∵∠QED＝60°，∴∠BEP＝∠QED＝60°，∴∠OPE＝90°﹣∠BEP＝30°，∴PE＝2OE，OP＝OE，設(shè)OE為a，則EP＝2a，OP＝a，在Rt△BEP中，BE＝＝＝4a，∴OB＝BE﹣OE＝4a﹣a＝3a，∴BD＝2OB＝6a，∵OA＝3a，OP＝a，∴AP＝OA+OP＝3a+a，∴＝＝，∴＝．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．11．（虹口區(qū)）如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，對角線AC與BD交于點(diǎn)E．點(diǎn)F是線段EC上一點(diǎn)，且∠BDF＝∠BAC．（1）求證：EB2＝EF?EC；（2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的長．【分析】（1）先由AD∥BC得到△EAD∽△ECB，從而得到，然后由∠BDF＝∠BAC、∠AEB＝∠DEF得證△EAB∽△EDF，進(jìn)而得到，最后得到結(jié)果；（2）先利用條件得到AC、AB的長，然后利用BC＝2AD得到AD、BD的長，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得到EB、EC的長，進(jìn)而得到EF的長和FC的長．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB，∴，即，∵∠BDF＝∠BAC，∠AEB＝∠DEF，∴△EAB∽△EDF，∴，∴，∴EB2＝EF?EC．（2）解：∵BC＝6，sin∠BAC＝＝，BC＝2AD∴AC＝9，AD＝3，∵∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠BAD＝90°，∴AB＝＝＝3，∴BD＝＝＝3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC＝AC＝×9＝6，EB＝BD＝×3＝2，∵EB2＝EF?EC，即（2）2＝6EF，∴EF＝4，∴FC＝EC﹣EF＝6﹣4＝2．【點(diǎn)評】本題考查了直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知“8”字模型相似三角形的判定與性質(zhì)．12．（奉賢區(qū)）根據(jù)相似形的定義可以知道，如果一個(gè)四邊形的四個(gè)角與另一個(gè)四邊形的四個(gè)角對應(yīng)相等，且它們各有的四邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)四邊形叫做相似四邊形．對應(yīng)相等的角的頂點(diǎn)叫做這兩個(gè)相似四邊形的對應(yīng)頂點(diǎn)，以對應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是這兩個(gè)相似四邊形的對應(yīng)邊，對應(yīng)邊的比叫做這兩個(gè)相似多邊形的相似比．（我們研究的四邊形都是指凸四邊形）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下兩個(gè)命題，請判斷它們是真命題還是假命題（直接在橫線上填寫“真”或“假”）①梯形的中位線將原梯形分成的兩個(gè)小的梯形相似；假命題；②有一個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個(gè)菱形相似；真命題．（2）已知：如圖1，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，以BC為直角邊作等腰直角三角形BCD，再以BD為直角邊作等腰直角三角形BDE求證：四邊形ABDC與四邊形CBED相似．（3）已知：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，BE、CD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AF的延長線上，聯(lián)結(jié)BG、CG．如果四邊形ADFE與四邊形ABGC相似，且點(diǎn)A、D、F、E分別對應(yīng)A、B、G、C．求證：AF?BF＝AG?EF．【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的定義，分別從對應(yīng)邊和對應(yīng)角兩個(gè)方面判斷即可；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可知，兩個(gè)四邊形符合相似四邊形的定義；（3）根據(jù)相似四邊形對應(yīng)角相等得，∠ADF＝∠ABG，∠AEF＝∠ACG，則CD∥BG，BE∥CG，從而證明四邊形BGCF是平行四邊形，有BF＝CG，再證明△EAF∽△CAG，則，等量代換即可證明結(jié)論．【解答】（1）解：①梯形的中位線將原梯形分成的兩個(gè)小的梯形滿足四個(gè)角對應(yīng)線段，但邊不是對應(yīng)成比例，所以原命題是假命題；②有一個(gè)內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個(gè)菱形滿足四個(gè)角線段，對應(yīng)邊成比例，所以是真命題，故答案為：假，真；（2）證明：由題意知，∠A＝∠CBE＝90°，∠ACD＝∠CDE＝135°，∠ABD＝∠BCD＝90°．∠CDB＝∠E＝45°，∴四邊形ABDC與四邊形CBED的四個(gè)角對應(yīng)相等，設(shè)AB＝AC＝x，則CD＝x，BD＝DE＝2x，BE＝2x，∴，∴四邊形ABDC與四邊形CBED的四邊對應(yīng)成比例，∴四邊形ABDC與四邊形CBED相似；（3）證明：∵四邊形ADFE與四邊形ABGC相似，且點(diǎn)A、D、F、E分別對應(yīng)A、B、G、C．∴∠ADF＝∠ABG，∠AEF＝∠ACG，∴CD∥BG，BE∥CG，∴四邊形BGCF是平行四邊形，∴BF＝CG，∵∠AEF＝∠ACG，∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG，∴，∴，∴AF?BF＝AG?EF．【點(diǎn)評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似四邊形的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，讀懂定義，緊扣定義中從邊和角兩個(gè)方面進(jìn)行考慮是解題的關(guān)鍵．13．（青浦區(qū)）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)E，∠ABD＝∠CBD，DC2＝DE?DB．（1）求證：△AEB∽△DEC；（2）求證：BC?AD＝CE?BD．【分析】（1）根據(jù)已知條件先證明△DCE∽△DBC，可得∠DCE＝∠DBC，進(jìn)而可以證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論證明△AED∽△BEC，可得∠ADE＝∠BCE，再證明△BDA∽△BCE，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵DC2＝DE?DB，∴，∵∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴∠DCE＝∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠DCE＝∠ABD，∵∠AEB＝∠DEC，∴△AEB∽△DEC；（2）∵△AEB∽△DEC，∴，∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴∠ADE＝∠BCE，∵∠ABD＝∠DBC，∴△BDA∽△BCE，∴，∴BC?AD＝CE?BD．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△BDA∽△BCE．14．（徐匯區(qū)）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射