2021年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（4月份）（附答案詳解）

2021年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（4月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設(shè)集合4=｛0,1｝，B=(x|x2-x>0),則4U《RB)=()

A.[0,1）B.（0,1]C.（-a）,l]D.[0,1]

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=i（l-2i）,則z-W=（）

A.5B.V5C.V3D.3

3.設(shè)｛%1｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則“q<0”是“對任意正整數(shù)小

a2n-l>a2n"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.為貫徹落實健康第一的指導(dǎo)思想,切實加強(qiáng)學(xué)校體育工作，促進(jìn)學(xué)生積極參加體育

鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，提高體質(zhì)健康水平.某市抽調(diào)三所中學(xué)進(jìn)行中學(xué)生體

育達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)簡稱為A校、B校、C?，F(xiàn)對本次測試進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到測試成

績排在前200名學(xué)生層次分布的餅狀圖、A校前200名學(xué)生的分布條形圖，則下列

（約17人）

（約21人）

（妁25人）

（妁29人）

A.測試成績前200名學(xué)生中B校人數(shù)超過C校人數(shù)的1.5倍

B.測試成績前100名學(xué)生中A校人數(shù)超過一半以上

C.測試成績在51?100名學(xué)生中A校人數(shù)多于C校人數(shù)

D.測試成績在101?150名學(xué)生中B校人數(shù)最多29人

5.設(shè)a=2Zn2,b=log4e,c=Ege（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列關(guān)系正確的是（）

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<b<c

6.在棱長為1的正方體4BCD-4B1CD1中,E為棱C。

的中點，過8,E,歷的截面與棱為當(dāng)交于F,則截

面BEDiF分別在平面AiBiGDi和平面力BB14上的

正投影的面積之和（）

A.有最小值1

B.有最大值2

C.為定值2

D.為定值1

7.設(shè)向量優(yōu)石滿足五J.B，|a|=2|K|)若^=五一石，貝Ucos(石，c>=()

A.延B.在C.-更D.-在

5555

8.設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線y=2與拋物線C：x2=2py(p>0)交于A,8兩點，若。41

0B,則C的焦點坐標(biāo)為()

A.(0,i)B.(0,|)C.(0,1)D.(0,2)

9.已知函數(shù)f(x)=2V3cos2%+2sinxcosx9則有下列結(jié)論：

①/(%)的最小正周期為兀；

②f(%)的圖象關(guān)于點(一，0)對稱；

③/'(X)在歲爭單調(diào)遞增；

④把y=2cos2x的圖象上的所有點向右平移巳個單位長度，再向上平移百個單位,

可得到y(tǒng)=/(x)的圖象.

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①④B.②④C.①③D.①③④

10.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為R,/(%+》為偶函數(shù)，當(dāng)0<xw|時，/(x)=|x-；b

則/(2020)+2/(2021)=()

A.；B.C.；D.-y

4444

11.已知函數(shù)/。)=瞋/-2為+1有且僅有兩個零點，則實數(shù)a=()

A32R322727

A-石B-一萬rC-豆Dn-一￡

12.設(shè)雙曲線C：箕一捺=1缶>03>0)的離心率為￥，A,8是雙曲線C上關(guān)于原

點對稱的兩個點，M是雙曲線C上異于A,B的動點，直線AM,MB斜率分別均，

k2,若自66,2],則心的取值范圍為()

A.[-24,-4]B.[一右一勺C.[4,24]D.[^,1]

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

第2頁，共22頁

（2x+y>2

13.若x,y滿足約束條件y-2W0,則2=》+丫的最小值為____

（2x-y<2

14.古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說過：“美的線型和其他一切美的形體都必須有對稱形

式”.在中華傳統(tǒng)文化里，建筑、器物、書法、詩歌、對聯(lián)、繪畫幾乎無不講究對

稱之美.如清代詩人黃柏權(quán)的磔壺回文詩/（如圖）以連環(huán)詩的形式展現(xiàn)，20個字

繞著茶壺成一圓環(huán)，不論順著讀還是逆著讀，皆成佳作.數(shù)學(xué)與生活也有許多奇妙

的聯(lián)系，如2020年02月02日（20200202）被稱為世界完全對稱日（公歷紀(jì)年日期中

數(shù)字左右完全對稱的日期）.數(shù)學(xué)上把20200202這樣的對稱數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回

文數(shù)共有9個（11,22,...,99）,則在三位數(shù)的回文數(shù)中，出現(xiàn)偶數(shù)的概率為.

15.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sin（2A+與=：,b+c=4,則

62

a的最小值為.

16.如圖是一個由正方體截得八面體的平面展開圖，它由六個等腰直角三角形和兩個正

三角形構(gòu)成，若正三角形的邊長為或，則這個八面體中有下列結(jié)論：

①平面4BC〃平面4B1G；

②多面體4BC-是三棱柱；

③直線AB與直線A/1所成的角為60。：

④棱BB］所在直線與平面ABC所成的角為三

以上結(jié)論正確的是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知公差不為零的等差數(shù)列｛aj的前”項和為5,且57=77,a*是國和。61的等比

中項.

(1)求數(shù)列｛斯｝通項公式；

(2)設(shè)匕=壬一，求數(shù)列｛%｝的前〃項和

anan+i

18.如圖，在四棱錐P—/4BCD中，底面ABC。為等腰梯形，AD//BC,Z.ADC=60°,

且P4=4B=PB=BC=2,E為PA的中點.

(1)證明：8E〃平面PCD；

(2)求三棱錐P-BCD體積的最大值.

第4頁，共22頁

19.某校的學(xué)習(xí)方法研究小組，設(shè)計了關(guān)于學(xué)習(xí)能力的問卷調(diào)查表，小組從高二年級學(xué)

生中按性別(女生占55%)分層抽取“名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并把學(xué)生的學(xué)習(xí)能力由低到

高按1,2,3,4,5五個基數(shù)進(jìn)行賦分，形成如下條形圖己知基數(shù)為2的學(xué)生人數(shù)

占總調(diào)查人數(shù)的崇

(1)求w與a的值：

(2)若將某同學(xué)得分所在的基數(shù)G作為學(xué)習(xí)能力指標(biāo)(基數(shù)%=5表示學(xué)習(xí)能力高，

其他均為學(xué)習(xí)能力不高)在學(xué)習(xí)能力基數(shù)為5的學(xué)生中，男生與女生的比例為3：7,

以本次抽取的“名同學(xué)為研究對象，完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的

把握認(rèn)為學(xué)習(xí)能力基數(shù)的高低與性別有關(guān).

男生女生合計

學(xué)習(xí)能力基數(shù)高

學(xué)習(xí)能力基數(shù)不高

合計

(3)為了提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)能力，該學(xué)習(xí)方法研究小組建議學(xué)校開設(shè)學(xué)習(xí)方法系列

課程.經(jīng)過課程學(xué)習(xí)之后，每位同學(xué)的學(xué)習(xí)能力T與學(xué)習(xí)能力基數(shù)片以及參加學(xué)習(xí)方

法課程的次數(shù)k滿足函數(shù)關(guān)系式T=%+(1+t0)(l+e^),如果學(xué)生A的學(xué)習(xí)能力

基數(shù)為4,學(xué)生B的學(xué)習(xí)能力基數(shù)為2,則在4不參加學(xué)習(xí)方法課程的情況下，B

至少需要參加多少次學(xué)習(xí)方法課程，其學(xué)習(xí)能力才能超過A?

2

參考數(shù)據(jù)及參考公式：仇3?1.099,K=,“、叱產(chǎn),"z其中n=Q+b+c+

d.

Pg

0.150.100.050.01

2kq)

k。2.0722.7063.8416.635

人數(shù)

20.已知橢圓T,捺+3=l(a>b>0)的離心率為多并且經(jīng)過點P(l3,A為橢圓

T的右頂點，直線/的方程為x=-2a,M,N為直線/上任意兩點，yM,丫汽分別為

點M,N的縱坐標(biāo)，且滿足丫"4'=一9，連接AM,AN分別交橢圓T于C,。兩

點.

(1)求橢圓T的方程；

(2)求證：直線C。過定點.

21.已知函數(shù)/'(x)=e*+mx+n(zn,n6R).

(1)當(dāng)n=0時，方程f(x)=0有兩個根，求加的取值范圍;

(2)若不等式/(x)20恒成立，證明：^>lnx-x.

第6頁，共22頁

22.如圖是以等邊三角形0A3的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作

一段弧，三段弧圍城的曲邊三角形，記為勒洛△。48（勒洛三角形是德國機(jī)械工程

專家，機(jī)構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)的，故命名為勒洛三角形）.在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，以坐標(biāo)原點。為極點，以x為軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,（規(guī)定:極徑p>0,

極角。€[—兀,捫），己點4（2,一弓），B（2,》

（1）求檢和令的極坐標(biāo)方程；

（2）已知點”（夜,一工），。是?上的動點，求|MQ|的取值范圍.

23.設(shè)冗，y,zGR,%4-y+z=0,xyz=1.

(1)證明：xy+yz+zxVO；

(2)用z}表示x,y,z中的最小數(shù)，證明：min[x,y,z}<

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：B=[x\x2-%>0}=(x\x>1或％<0},

則CRB={x[0<x<1},

則AU(CRB)={x|0<%<1]=[0,1],

故選：D.

求出集合B的等價條件，利用補集并集的定義進(jìn)行計算即可.

本題主要考查集合的基本運算，求出集合的等價條件是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因為復(fù)數(shù)z=i(l-21)=2+1,

所以z=2—i，

故z?z=(2+i)(2—i)=5.

故選：A.

先求出復(fù)數(shù)z,從而得到共粗復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的乘法運算求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的運算，共軌復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的乘法運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：^271-1>a2n'?1^271-2>diQ2n-1>?1?72,,_2(1-Q)>0.

：%>0,q2n~2>0,A1—Q>0,??q<1,

,■(-oo,0)是(-ool),

???q<0為q<1的充分不必要條件，

即q<0是對任意的正整數(shù)〃，a2n_r>a2n的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和公式是解決本題的關(guān)

鍵.

4.【答案】C

【解析】解：對于A,由測試成績排在前200名學(xué)生層次分布的餅狀圖得到：

測試成績前200名學(xué)生中8校人數(shù)約有68人，C校人數(shù)約有40人，

???測試成績前200名學(xué)生中8校人數(shù)超過C校人數(shù)的1.5倍，故A正確；

對于B,測試成績前100名學(xué)生中A校人數(shù)為：25+29=54,

???測試成績前100名學(xué)生中A校人數(shù)超過一半以上，故8正確；

對于C,測試成績在51?100名學(xué)生中A校人數(shù)不一定多于C校人數(shù)，故C錯誤；

對于力，101至IJ150名一共5()個人，A校在101到150名已經(jīng)21個人了，

剩下的29個人來自B校或C校，所以B校最多29人，故。正確.

故選：C.

對于A,測試成績前200名學(xué)生中B校人數(shù)約有68人，C校人數(shù)約有40人，從而測試

成績前200名學(xué)生中B校人數(shù)超過C校人數(shù)的1.5倍；對于B,測試成績前1()0名學(xué)生

中A校人數(shù)為54；對于C,測試成績在51?100名學(xué)生中A校人數(shù)不一定多于C校人

數(shù)；對于。，測試成績在101?150名學(xué)生中B校人數(shù)最多有可能為29人.

本題考查命題真假的判斷，考查餅狀圖、條形統(tǒng)計圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、

數(shù)據(jù)分析能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：b=翳,c=Ige,且0</ge<l,0<lg4<l,

:.b>c,且b<1,a=ln4>1,

--c<b<a.

故選：C.

可得出b=氏，根據(jù)0<04<1,Zge>0即可得出b>c,并可得出b<1,a>L這

樣即可得出a,b,c的大小關(guān)系.

本題考查了對數(shù)的換底公式，不等式的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的運算性質(zhì)，考

查了計算能力，屬于中檔題.

6.【答案】D

第10頁，共22頁

【解析】解：BF與。1E分別為截面與兩個平行平面的交線,

由面面平行的性質(zhì)定理可得,BF“D[E,同理可得D/〃BE,

所以四邊形為平行四邊形，

所以Z\F=BE,

又RtAA1D1F^Rt△CBE,

所以4iF=CE=點即尸為&Bi的中點，

截面在aB1GD1，4BB14上的投影如圖所示，

則s平行四邊形=S^B1c15-SAAD/-SABIGE=1-W>

1-1131

-xl--x-xl=-,

2222

同理可得，S平行四邊形AjEBF=才

故截面分別在平面&B1C1D1和平面上的正投影的面積之和為定值1.

故選：D.

利用面面平行的性質(zhì)定理得到BF〃L?iE,D^Ff/BE,從而可得。/=BE,推出尸為力

的中點，然后分別求解兩個平行四邊形的面積，即可得到答案.

本題考查了平行投影及平行投影的應(yīng)用，面面平行的性質(zhì)定理的運用，考查了空間想象

能力與邏輯推理能力，屬于中檔題，

7.【答案】D

【解析】解：丫向量為，石滿足五1b，|五|=2|b|，

設(shè)同=2\b\=2x>

則1?c=K?(a—K)=-ft2=-x2>|c|=J(a—b)22

—2五?b+b=V5xf

7*T、E?-x2x/5

?，T

??cosVbc>=|a-|*|c-|=—x-V=5x-=--5—,

故選：D.

設(shè)121=2|b|=2%，求出b.不=另.@=—方?=—%2，\c\=J(a—b)2=

Ja2-2a.b+b2=^再代入夾角公式即可?

本題主要考查平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬于中檔題目.

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線y=2與拋物線C：%2=2「丫。>0)交于4,B兩

點，若0A10B,

不妨A在第一象限，則點A在直線y=x上，故A(2,2),代入拋物線方程可得4=2x2p,

解得p=1,

所以拋物線的焦點坐標(biāo)(0,》

故選：B.

利用已知條件求出A的坐標(biāo)，代入拋物線方程，然后求解焦點坐標(biāo)即可.

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【解析】解：函數(shù)f(x)=2>/3COS2X+2sinxcosx=sin2x+y/3cos2x+g=2sin(2x+

7)+遍，

對于①，/'(x)的最小正周期為：券=71,故①正確；

對于②，/(x)的圖象關(guān)于點(一?百)對稱，故②錯誤；

③，由于xe碎，爭，所以2x+音序尊故函數(shù)/⑸在該區(qū)間上先減后增，故③錯

誤；

④把y=2cos2x的圖象上的所有點向右平移2個單位長度，得到y(tǒng)=2cos(2x-3)=

2s譏(2x+J),再向上平移遮個單位，可得到y(tǒng)=f(x)的圖象，故④正確；

故選：A.

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的平移

變換，進(jìn)一步判斷①②③④的結(jié)論.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)

的圖象的平移變換，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

第12頁，共22頁

【解析1解：根據(jù)題意，f(x+》為偶函數(shù)，則函數(shù)〃X)的圖象關(guān)于直線％=：對稱，則

有/(一為=八|+%)，

又由/(X)為奇函數(shù)，貝IJ/'(一X)=-/(x),

則有，?+%)=—/'(%),

變形可得/(X+3)=-/(|+x)=/(x),即函數(shù)/■(￡)是周期為3的周期函數(shù)，

則/(2020)=/(1+3x673)=/⑴,"2021)=/(-I+674x3)=/(-I)=-/(I),

當(dāng)0<xw|時，/(x)=|x-2|,WJ/(l)=|l-;|=p

則/(2020)+2/(2021)=/(I)-2/(1)=-/(I)=-％

故選:B.

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)/'(X)是周期為3的周期函數(shù)，則有/(2020)=/(I),/(2021)=

-/(I),由函數(shù)的解析式計算可得答案.

本題考查抽象函數(shù)的求值，涉及函數(shù)的奇偶性、周期性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】C

【解析】解：當(dāng)a=0時，f(x)=]無零點，不合題意，.

令/'(x)=0,則a(/-2%)+：=0,二%3-2x2=-：,

即y=爐_2/的圖象與直線y=有兩個不同的交點，

yf=3x2—4%=x(3x—4),

f

當(dāng)％<0或%時，y>0f函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)o<x<：時，y<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

二當(dāng)x=0時，函數(shù)有極大值為y=0,

當(dāng)x=g時,函數(shù)有極小值為y=|—.=—[,

則函數(shù)y=x3-2M的圖象大致如下,

???y=X3-2%2的圖象與直線y=有兩個不同的交點,

-5=一號或一合。(舍去)…a=系

故選：C.

令/(x)=0,可得/―2/=—可得函數(shù)y=/—2/的圖象與直線y=-：有兩個

不同的交點.求出函數(shù)、=/一2/單調(diào)區(qū)間、極值，畫出大致圖象，即可得到所求a

的值.

本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題解法，注意運用函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想方法,

考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查運算能力，屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：由題意可得e=￡=越

a4

即有b=Vc2—a2=—a2=乎a,

設(shè)M(s,t),A(mrn),則n),

貝哈-…$2

兩式相減可得亨=等

azb2

即有鑼=與=工,

s2-m2a28

力也=三?黑=號號

因為心￡E,2],

則心的取值范圍是以。

loo

故選：D.

由雙曲線的離心率公式和a,b,c?的關(guān)系，可得a,b的關(guān)系，再由點差法和直線的斜

率公式，計算可得所求范圍.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線的斜率公式的運用，考查方程思想和運算能力,

第14頁，共22頁

屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

2x-y=2

由圖可知，4（1,0）,

由2=%+丫，得了=—X+Z,

由圖可知，當(dāng)直線y=-x+z過4時，直線在y軸上的截距最小，

z有最小值為1.

故答案為：1.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

14.【答案】g

【解析】解：3位回文數(shù)的特點為，百位和個位數(shù)字相同但不能為零,

第一步，選百位和個位數(shù)字，共有9種選法；

第二步，選中間數(shù)字，有10種選法；

故3位回文數(shù)有9X10=90個，

若三位數(shù)的回文數(shù)是偶數(shù)，則末（首）位可能為2,4,6,8.

如果末（首）位為2,中間一位數(shù)有10種可能，

同理可得，如果末（首）位為4或6或8,中間一位數(shù)均有10種可能，

所以三位數(shù)的回文數(shù)是偶數(shù)，有4x10=40個，

所以在三位數(shù)的回文數(shù)中，出現(xiàn)偶數(shù)的概率為P=^=J.

故答案為：g.

利用回文數(shù)的定義，百位和個位數(shù)字相同但不能為零，第一步，選百位和個位數(shù)字，共

有9種選法；第二步，選中間數(shù)字，有10種選法，利用分步計數(shù)原理即可計算3位回

文數(shù)的個數(shù).再求出其中偶數(shù)的個數(shù)，能求出結(jié)果.

本題考查概率的求法，涉及到古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識等核

心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

【解析】解：???4€（0,兀），二22+，6?，1兀）,

oo6

若sin（24+J=3則24+?=?,解得4=%

oZooo

由余弦定理得cosA=—浸=i,則匕24-c2-a2=be,

2bc2

則/=b2+c2—be=（64-c）2—3bc=16—3bc,

因為beW空生=4,所以16-3兒24,

4

所以a?>4,解得a>2（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時"=”成立），

故〃的最小值是2.

故答案為：2.

結(jié)合A的范圍求出A的值，結(jié)合余弦定理以及基本不等式求出a的范圍，再得到〃的最

小值即可.

本題考查了余弦定理的應(yīng)用以及基本不等式，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

16.【答案】①③

【解析】解：由八面體的平面展開圖，可得該幾何體的直觀圖，如圖1所示：

第16頁，共22頁

補形為正方體，如圖2所示:

在正方體中，因為A1BJ/BC,且為B1C平面ABC,BCu平面ABC,所以〃平面

ABC,

同理GB1〃平面ABC,且4B1nGBi=B1，所以平面4BC〃平面4/傳1，①正確；

根據(jù)棱柱的定義可知，多面體ABC-AiBiCi不是三棱柱，

因為幾何體中有兩個面平行，但其余各面不都是平行四邊形，所以②錯誤；

因為且"84=60。，所以直線AB與直線必&所成的角為NCB4=60。，③

正確；

因為BBJ/41C,所以BBi與平面與平面ABC所成的角為4c與平面4BC所成的角，

因為乙41cA=45。，且平面SA］與平面A8C不垂直，

所以41c與平面ABC所成的角小于人1停4所以④錯誤.

綜上，以上結(jié)論正確的是①③.

故答案為：①③.

根據(jù)平面展開圖可得幾何體的直觀圖，再結(jié)合正方體的性質(zhì)分別判斷各選項即可.

本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，空間中的直線與直線、直線與平面以及平面與平面

的位置關(guān)系，是中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)數(shù)列｛5｝的公差為d,d人0,

S7=77,即為7%+21d=77,即的+3d=11,①

由是由和。61的等比中項，可得出1=。逆61，

即為(%+10d)2=。式的+60d),②

由①②解得%=5,d—2,

所以an=5+2(n-1)=2n+3；

⑵卜=1_1_1______iX

71

IJ-a710n+i-(2n+3)(2n+S)-2(2n+32n+S，'

r；r—I\IQ-?1/11,11I.11,11、

n2、57792n+l2n+32n+32n+5,

=1(11)-I

2I52n+5，5(2n+5)*

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,dHO,運用等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通

項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，進(jìn)而得到所求；

(2)求得以=而泰麗=X六一六)，再由數(shù)列的裂項相消求和，計算可得所求和?

本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查方程思想和

運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】證明：(1)取中點G,連接EG,CG,2.

在AP4O中，;E為PA的中點，二EG〃4O,EG=^AD,-

?.?底面ABC。為等腰梯形，AD//BC,AADC=60°,I

AD=4,可得BC〃EG且BC=EG,則四邊形EGCB為~￥

DV

平行四邊形，

BE//CG,而CGu平面PCD,BE<t平面PCD,

BE〃平面PCD；

解：(2)要使三棱錐P-BCD體積最大，貝ij平面PAB1平面48CC,

此時高的最大值為九=百，

(Vp-ABCD^max=』SABCDX遮=1X&x2x2xsinl20°—1,

即三棱錐P-BCD體積的最大值為1.

【解析】(1)取尸。中點G,連接EG,CG,由三角形中位線定理可得EG〃AD,EG=%D,

再由已知求得A?？傻肂C〃EG且BC=EG,得到四邊形EGCB為平行四邊形，則

BE//CG,再由直線與平面平行的判定可得BE〃平面PCD；

(2)求出平面PAB，平面ABCD時三棱錐P-BCD高的最大值，再由棱錐體積公式求解.

本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體體積最

值的求法，是中檔題.

19.【答案】解：⑴根據(jù)題意知，彳=會解得n=100；

計算a=100-(22+34+16+8)=20；

(2)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下：

第18頁，共22頁

男生女生合計

學(xué)習(xí)能力基數(shù)高61420

學(xué)習(xí)能力基數(shù)不高394180

合計4555100

計算八筆盛蕊*2273<2.7。6,

所以沒有90%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)能力基數(shù)的高低與性別有關(guān).

(3)學(xué)生4的學(xué)習(xí)能力為巳=4+(1+4)x(1+e鬲=14-

學(xué)生B在參加了k次學(xué)習(xí)方法課程后，其學(xué)習(xí)能力為%=2+(1+2)(1+盛),

令2+3(1+崗>14,解得/>3,即卷〉歷3,

所以k>15/n3=15x1.099=16.485,

所以學(xué)生B至少需要參加17次學(xué)習(xí)方法課程，其學(xué)習(xí)能力才能超過A.

【解析】(1)根據(jù)題意列方程求出〃、。的值；

(2)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算K2,對照附表得出結(jié)論.

(3)計算學(xué)生A的學(xué)習(xí)能力以及學(xué)生B在參加了k次學(xué)習(xí)方法課程后的學(xué)習(xí)能力，建立

不等式，從而求得結(jié)果.

本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)據(jù)分析與運算求解能力，是中

檔題.

(.t>2_V3

20.【答案】解：(1)由題意可得1?2,解得口2=4,占2=1,

3—24T--4b2=1±

2

所以橢圓7的方程為土+f=1.

(2)證明:設(shè)M(-4,yM)，2(-4/力，

則直線4M的方程為y-VM=-華(x+4),

O

直線AN的方程為y-YN=-蓼0+4）,

O

y-yM=一管。+4）

聯(lián)立X?2，得（9+yl^x2-+4（y需-9）=0,

-+y=1

所以&.xc=芳鬻，

因為馬=2,

所DIY-2漏-18=6yM

所以Xc—9+謁，yc9+用，

所以C(若蘆，署)，同理可得D(岸，翳)，

因為，YN=-%

所以。(端堇,款)，

所以C,。的兩個點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,

所以直線CD恒過定點(0,0).

【解析】(1)由離心率為當(dāng)，并且經(jīng)過點P(l，￥),列方程組，解得a,b,c,即可得出

答案.

(2)設(shè)M(—4,丫“)，N(-4,yN)，寫出直線AM，AN的方程，聯(lián)立直線A例與橢圓的方程，

結(jié)合韋達(dá)定理可得當(dāng)/c=警等，又修=2,進(jìn)而可得生，yc，即可得出點C坐標(biāo)，

同理可得。點坐標(biāo)，由yM-yN=—9,推出。(二含)，進(jìn)而可得直線co恒過定

點(0,0).

本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔

題.

x

21.【答案】解：(1)當(dāng)n=0時,/(%)=e+mxf

???方程f(%)=0有兩個根，/(%)=ex+m,

當(dāng)租NO時，f(%)>0,函數(shù)f(%)在R上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去.

當(dāng)？n<0時,由/'(%)=0,解得%=ln(—m),

可得：函數(shù)/(%)在(一8,In(-m))上單調(diào)遞減，在(ln(-/n),+8)上單調(diào)遞增.

???=/(ln(—m))=Jn