Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化

Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化作者：徐朱城 指導(dǎo)老師：宛金龍摘要 本文以 -矩陣的性質(zhì)為基礎(chǔ),對(duì)角化問(wèn)題為主線，推導(dǎo)出線性代數(shù)中最深刻的結(jié)論——Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理.然后,應(yīng)用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型定理去解決Hamilton-Cayley定理分解,線性微分方程組求解的問(wèn)題 .關(guān)鍵詞 矩陣對(duì)角化 -矩陣 Smith標(biāo)準(zhǔn)型 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 Hamilton-Cayley定理引言n階矩陣A與對(duì)角陣相似的充要條件是 A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 .那么當(dāng)只有m n)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量時(shí) ,A與對(duì)角陣是不相似的 .對(duì)這種情況,我們“退而求其次”,尋找“幾乎對(duì)角的”矩陣來(lái)與 A相似.這就引出了矩陣在相似下的各種標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題 .Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是最接近對(duì)角的矩陣并且其有關(guān)的理論包含先前有關(guān)與對(duì)角陣相似的理論作為特例.此外,Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型的廣泛應(yīng)用涉及到Hamilton-Cayley 定理的證明,矩陣分解,線性微分方程組的求解等等 .矩陣由于Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的求解與特征多項(xiàng)式有關(guān),而從函數(shù)的角度看,特征多項(xiàng)式實(shí)際上是特殊的函數(shù)矩陣（元素是函數(shù)的矩陣）,這就引出對(duì)-矩陣的研究.-矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)型定義1稱矩陣

A( ) (fij( ))為 -矩陣,其中元素fij

()(i

1,2,

1,2, 為數(shù)域F上關(guān)于 的多項(xiàng)式.定義2 稱n階 -矩陣

A( 是可逆的,如果有A B B A In并稱B( )為A( 陣.反之亦然.定理1[1]

矩陣A(

可逆的充要條件是其行列式為非零的常數(shù) ,即det(A( )) c 0.設(shè)A

=d是一個(gè)非零的數(shù)

表示A( )的伴

也是一個(gè) -矩陣,且有A d1A* d1A* A I,

A( 是可逆的.(2)必要性

A( ),則A B I兩邊取行列式有

A B I 1由于A 與B 都是多項(xiàng)式,而它們的乘積為 式,即都是非零常數(shù).證畢.例題1判斷 -矩陣.解雖然

2+1 2 1A = 112+1 2 1A = 1 = 2 01A( )是滿秩的,但A 不是非零常數(shù),因而

A(

是不可逆的.注意 與數(shù)字矩陣不同的是滿秩矩陣未必是可逆的 .這么定義可逆是有必逆的本質(zhì)就是要保證變換的矩陣可以通過(guò)非零常數(shù)的倒數(shù)逆回去 .定義3

A( )經(jīng)過(guò)有限次的初等變換化成矩陣 B( )，則稱矩陣A( )等價(jià),記為AB定理2矩陣A()B()P、Q,使得BPAQ證明因?yàn)锳B所以)可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成B( ,即存在初等矩陣), )與初等矩陣

Q1( ),Q2( ), ( )使得B()

P1( )P2( )

)Q1( )Q2( )

)令P( )

Ps( ),Q( )

Q1()Q2()

)就是所要求的 它們都是初等矩陣的乘積 ,從而使可逆的.證畢.引理1設(shè) -矩陣A( )=

)a21(

a12( a22(

)a2n( )am1( )

am2(

amn( )

) ,

aij()

a11,則一定可

A(

等價(jià)的矩陣,它的左上角元素不為零 ,比

.定理3任意m n階的

A( 都必定可以通過(guò)初等變換找到一個(gè)與之等價(jià)的Smith標(biāo)準(zhǔn)型.d1( )

d2( )D dr( )00這里rank(A( )) r.

d1(),d2(), ,dr()

是首一（首項(xiàng)系數(shù)為 且di()|di1( )(i 1,2, ,r 1)

求 -矩陣

A(

1 21+ 2 2 2Smith.解1 21 2100A()00001 2

0 0

0 0 2即為所求的Smith標(biāo)準(zhǔn)型.2 -矩陣的性質(zhì)定義4

A(

Smith標(biāo)準(zhǔn)型中的非零對(duì)角元1(),2(), dr()稱為A(

的不變因子.定義5

A(

的所有非零k階子式的首一（最高次項(xiàng)系數(shù)為 1）最大公因式Dk

A(

k階行列式因子.定理4等價(jià)矩陣具有相同的秩和相同的各級(jí)行列式因子 .證明 設(shè)

A( )經(jīng)過(guò)一次行初等變換化為了 B( )，f( )分別是A( )的k階行列式因子.需要證明f( )=g( 種情況討論：)

i,j

B( )的某)的某個(gè)階子式反號(hào),所以,f( )的k階子式的從而f( )|g( ).

A(

B( )的每個(gè)k階子式或者等于 A( )的某個(gè)k階子式,或者等于A( )的某個(gè)k階子式的c倍.所以,f( )的k階子式的公因式,從而f(

g( ).

A(

ij()

B( )中那些包含i行與j行的階子式和那些不包含i行的k階子式都等于 A( )中對(duì)應(yīng)的k階子式；B( )中那些包子式與另一個(gè)k階子式的 ( )的兩個(gè)k階子式的線性以,f( 階子式公因式,從而f( )|g( ).對(duì)于列變換 ,可以一樣地討論 )經(jīng)過(guò)一系列的初等變換變成B( )那么f( )|g( ).又由于初等變換的可逆性 )經(jīng)過(guò)一系列的初等變換可以變成A( )|f( ).)所有的階子式為零時(shí) )所有的k階子式也就等于零；反之亦然.故A( )又相同的各階行列式因子 ,從而有相同的秩.證畢.既然初等變換不改變行列式因子 ,所以,每個(gè) -矩陣與它的標(biāo)準(zhǔn)型有完全相同的行列式因子.而求標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣是較為簡(jiǎn)單的 -矩陣的行列式因子時(shí),只要求出它的標(biāo)準(zhǔn)型的行列式因子即可 .現(xiàn)在來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的行列式因子 .設(shè)標(biāo)準(zhǔn)型為d1( )d2( )dr( )00其中di( )(i 1, ,r)是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式,且di( )|di

1(

1,

其他的元素都是在這種形式的矩陣中如果有一個(gè)k階子式包含的行與列的標(biāo)號(hào)不完全相同 ,那么這個(gè)k階子式一定0.,為了計(jì)算k階行列式因子,只要看由

i1,i2, ,ik有行與

i1,i2, ,ik列(1 i1<i2

< <ik

r)組成的k階子式就可以了,而這個(gè)k階子式等于i d( )d(i 1 2,這種k階子式的最大公因式就是d1( )d2( )

dik( ).dk( ).定理5矩陣A( 標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的,并且d( ) D( ),d(

Dk( )(k

2,3, ,r).1 1

Dk1( )證明

A(

的標(biāo)準(zhǔn)是d1( )d2( )dr( ) .00d1( )d2( )由于A( )與

dr( ) 等價(jià)，則它們有相同00的秩與相同的行列式因子 A( )的秩就是標(biāo)準(zhǔn)型的主對(duì)角線上非零元素的個(gè)數(shù)r.A( )的k階子式因子就是Dk()

d1( )d2(

dk( )

1,2, ,r)于是d( )=D( ),d(

D2( ), ,d(

Dr( ).1 1

rD1( )

Dr1( )這說(shuō)明A( )的標(biāo)準(zhǔn)型的主對(duì)角線上的非零元素是被 A( 一決定的,所以A( )得標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的 定理6

A( )等價(jià)的充要條件是它們有相同的行列式因子（或相同的不變因子） .證明：上一個(gè)定理的證明給出了 -矩陣的行列式因子與不變因子之間的個(gè)關(guān)系式說(shuō)明行列式因子與不變因子是相互確定的 .因此,說(shuō)兩個(gè)矩陣有相同的各階行列式因子 ,就等于說(shuō)它們有相同的各級(jí)不變因子 .必要性已由定理1.2.1.然.事實(shí)上，若

A(

A( )

A(

)等價(jià).證畢.定義6

A(

的所有非常數(shù)不變因子的首項(xiàng)系數(shù)為 1的不可約因式

A( 的初等因子.定理7矩陣

A( )等價(jià)的充要條件是它們有相同的初等因子 .例題3求矩陣B的初等因子,其中a bb a 1a bB=b a 1a bb a解:a bb aI B=由于有兩個(gè)5階子式

1a bb a 1a bb aa b bb a 1a bb

[( a)21

a 1, a ba 1

b3 0a a b,所以從而

D5( )=1D1( )= =D4( )=1而又B的不變因子為

D6( )= I B

[( a)2

b2]3d(

d()

D(

( a b)3( a b)3,1 5 6 6B的初等因子為( a b)3,( a b)3.Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化在掌握了 -矩陣的基本概念:行列式因子、不變因子、初等因子基礎(chǔ)上我們將進(jìn)入Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化理論的核心 .1 對(duì)角化的定義及判定定理定義7 如果方陣A相似于對(duì)角陣,即存在可逆矩陣P和對(duì)角陣D,使得A

1則稱A.[3]8

(對(duì)角化定理) n階矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是 A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 .事實(shí)上,A

,D為對(duì)角陣的充分必要條件是 P的列向量是 A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 .此時(shí),D的對(duì)角線上的元素分別是 特征向量的特征值 .換句話說(shuō),A可對(duì)角化的充分必要條件是有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量形成n的基,我們稱這樣的向量為特征向量基 .證 首先看到,若P是列為1,

, ,n的任一n階矩陣D是對(duì)角線元素為1,

2 ,n的對(duì)角陣,那么AP A 1,

2,

A 1

2, A,n

（1）而1APD P

211,

22, , n n

（2）n現(xiàn)在假設(shè)由（1）和（2）得

A ,用P右乘等式兩邊 ,則有AP PD.此時(shí)A1,A

2,

11,

2 2, ,n n

（3）,有A1=

11,A2=

2, ,An=n n

（4）因?yàn)镻可逆,故P的列 1,

2, ,n必定線性無(wú)關(guān).同樣,因?yàn)檫@些 1,

2, ,n表示

2, ,n是特征值, 1,

2 , n是相應(yīng)的特征向量.這就證明了定理中第一,第二和隨后的第三個(gè)命題的必要性 .最后，給定任意n個(gè)特征向量 1,

2, ,n，用它們作為矩陣P,并用相應(yīng)的特征值來(lái)構(gòu)造矩陣 PD成立而不需要特征向量有任何條件 .若特征向量是線性無(wú)關(guān)的，則 P是可逆的,由AP PD可推出A 例題4,將下面的矩陣A對(duì)角化：2 4 3A解由A的特征多項(xiàng)式：

4 6 33 3 10 det(A

3 2 4 ( 1)( 2)2得特征值是 1和 對(duì)于 1的特征向量：11 11對(duì)于 2的特征向量：12 10沒(méi)有有其他特征向量了 ,A的每個(gè)特征向量都是 1或2的倍數(shù),因此不能利用A的特征向量構(gòu)造出 3的基.由定理3.1.1,A不能對(duì)角化.2 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與對(duì)角化的關(guān)系定義8形如1Jn(1)1J

Jn(2)

+nk=n）2kJn(k)2k的塊對(duì)角陣為Jordan,并稱方陣i 1iiJn(i)ii

1

1,2, ,k)ni階Jordan塊.n注意 當(dāng)J(ni

i ninii都是一階Jordan,即Jn(1) 1,Jn(2) 2, ,Jn(k) k ,1 2 k有J為對(duì)角陣,由此看出對(duì)角陣其實(shí)只是 Jordan陣的特例.性質(zhì)1 矩陣J可對(duì)角化,當(dāng)且僅當(dāng)k n.性質(zhì)2Jordan塊的個(gè)數(shù)k（相同的子塊計(jì)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)）是 J的.線性無(wú)關(guān)特征值向量的個(gè)數(shù) .定理9 兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價(jià) .定義9 稱n階數(shù)字矩陣A的特征矩陣 E A的行列式因子、不變因子和初等因子為矩陣 A的行列式因子、不變因子和初等因子 .定理10兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的行列式因子 變因子）.定理11復(fù)數(shù)域上兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的初等因子.注意

ma m階Jordan塊a 1a1amm存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此可利用特征矩陣的初等因子求矩陣的 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,即有如下定理：標(biāo)準(zhǔn)型定理)復(fù)數(shù)域上任何一個(gè)數(shù)字方陣 A都與一個(gè)Jordan型矩陣相似,這個(gè)Jordan型矩陣除去其中Jordan塊排序外是被 確定的,稱它為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型.證明:n階復(fù)矩陣A的初等因子為12)s( )m1,( )2, ,( ms12)s其中1,

, ,s可能有相同的指數(shù)

ms也可能有相同的 初等(

m)ii對(duì)應(yīng)于一個(gè)Jordan塊,)ii 1iJ ( ) iii

1

1,2, 這些Jordan塊構(gòu)成一個(gè)Jordan,J1J2

i niniJ易知, J的初等因子就是(

1)1,(1

Js2)m2, ,(2

)ms.s.由于J與A有相同的初等因子,所以它們相似.s假設(shè)有另一個(gè) 么與A有相同的初等因子，因此，K與J除了其中Jordan塊排序外是相同的，唯一性得證 .證畢.例題5在例2.2.1中求出的B( 標(biāo)準(zhǔn)型.求出例3.1.1Jordan.解由于B( )的初等因子為:BJordan標(biāo)準(zhǔn)型為a b由

3 3a b , a b1a b 1a a b 1a b 1a I A

2 4 3 14 6 3 13 3 1 ( 1)( 2)212 1 .2Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的性質(zhì)及應(yīng)用Jordan標(biāo)準(zhǔn)化的應(yīng)用是廣泛的 ,下面將利用其給出 Hamilton Cayley定理的證明,并說(shuō)明其在矩陣分解及在求解線性微分方程組中的應(yīng)用 .1 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型在證明Hamilton Cayley定理中的應(yīng)用定理

Cayley定理）A是復(fù)數(shù)域C上任意n階方陣,A的特征多項(xiàng)式為 ()| I 0,其中I為n階單位矩陣.階復(fù)方陣可以寫成

1AP J,其中J是AJordan12J ,2n其中 ,

2, ,nA的特征值,故()|

I

-1)(

-2)

-n).從而

11I)(A-1

2I)

1A-nI)1=(PJP1-

1I)(

PJP1-

2I) (PJP-

P(J-

1I)(J-

2I)

nI)P0=P 2 1

1 2 1 n0 2 n 1Pn 1 n 2 00 0 0 1 n0 0 0 2 =P

P1= =00利用Hamilton Cayley定理可以簡(jiǎn)化矩陣計(jì)算 .其實(shí),該定理?yè)Q成線性變換語(yǔ)言為：定理14[5]（關(guān)于線性變換的 Hamilton Cayley定理） 設(shè)V為n維復(fù)

:V V為給定的線性變換 ,設(shè)1，2，

mT.fT( ) ( 1) ( m)的特征多項(xiàng)式.g(T表示將

fT()中的 用T代替, k用 kI代替之后所得到的常系數(shù)變換,即(T

1I）(T

mI,g(T,g(T將V中每一個(gè)向量都映為零向量：g(T)(x) 0, x V.注意 每個(gè)特征值 k都滿足多項(xiàng)式方程

fT() Cayley定理則是說(shuō)T滿足方程

0.2 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型在矩陣分解中的應(yīng)用定理15 復(fù)數(shù)域C上任意n階方陣,都等于兩個(gè)對(duì)稱矩陣的乘積 ,并且其中之一是的非退化的.證明：設(shè)AJordan標(biāo)準(zhǔn)型為J1J2J則存在P,使

JSPAP1 J令11Qi ,1QiJi.令Q1Q2Q ,QS則有Q' Q1

Q,J QJ'Q.故A P1JP

1QJ'QP

1)''P'P

(P1Q(P

1)')(A'P'P)令B P1Q(P

1)',C 'P'P,則A BC,B對(duì)稱且非退化C為對(duì)角陣,這是因?yàn)镃' P' 'PA P' '

1P P' '

1P P'Q'JPP'

JQQP P'J'QP P'J'(P')

1

P '

P C.定理16[6] 設(shè)A是數(shù)域P上的n階方陣,能分解成P上一次因子之積 A M 陣,N相似于對(duì)角陣,且MN NM.

能分解成P上一次因子之積,說(shuō)明A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型J是一個(gè)n階方陣J1J2JJS令0 i1 0 iJi

Bi Ci1 0 iBi是冪零Jordan塊Ci是對(duì)角陣.Ji的階為

max(r1,r2, ,rn).則AA P1JP P1(B C)P P1BP P1CP其中C1B,CC2.CS令P1BP M,P1CPN則MkP1BkPP10P0,N相似于對(duì)角陣C,且MNP1BPP1CPP1BCPP1CBPP1CPP1BPNM.證明（證法二）由定理 12,存在可逆矩陣 P,使得A P1JP,其中Jm(1)1JJm(ss)Jm(ii)(is)是主對(duì)角線元為imJordan塊.i令001NiJm(ii)iImi1,(i 1, ,s),0mmi iNi是冪零矩陣,因而N1NP1PNs也是冪零矩陣.在令1mI1MP1P,sIms則M相似于對(duì)角矩陣，并且MNNM注意 定理16等價(jià)于如下命題：設(shè) 是數(shù)域P上n維線性空間V的線性變換,則.其中是數(shù)域Pn維線性空間V的線性變換且是冪零變換, 也是數(shù)域Pn維線性空間V的線性變換且可對(duì)角化 .Jordan標(biāo)準(zhǔn)型在求解線性微分方程組中的應(yīng)用例題6解線性微分方程組d 11 2dtd 24 1 32dtd 31 23dt解把微分方程組寫成矩陣形式 dx Ax，dt其中1x

d 1dtd 2

1 1 04 3 02 dt dt3 d dt

1 0 2對(duì)微分方程組實(shí)行一個(gè)非奇異線性變換 X PY，其中0其中010P021，Y111于是得2 .3dy P1dxdt dt

P1AX

1APY

2 0 00 1 1 .0 0 1故d 1 2dtd 2dtd 3dt

12+ 33其一般解為

1 1cet

ctet2 2 3t3 c3e再由X PY求得原微分方程組的一般解為t 1 c2e ct 2cet c(2t

1)et2 2 3

c(t

1)et3 1 2 3其中t1,t2t3是任意常數(shù).注意解線性微分方程組可以用 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)考察.設(shè)P是將A化為Jordan型的相似變換矩陣 ,若我們引進(jìn)新變量 z,令y Pz,則Pdzdt亦即dz dt

APz,1APz.方程組的矩陣經(jīng)過(guò)了一次相似變換 從例題6中可以看到,在解決具體問(wèn)題中不僅要求出 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，而且需要求出變換矩陣 P,關(guān)于矩陣P的求法可參看文獻(xiàn)[6].結(jié)束語(yǔ)們透徹地解決了 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化的問(wèn)題 ,也看到了Jordan標(biāo)準(zhǔn)型在理解矩陣，多項(xiàng)式等方面的強(qiáng)大應(yīng)用 .但遺憾的是在數(shù)值應(yīng)用方面，幾乎沒(méi)有用到 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型——這限制了其在計(jì)算機(jī)方面的應(yīng)用 因?yàn)橐粋€(gè)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型未必是該矩陣的各元素的連續(xù)函數(shù)，這樣，矩陣的各元的一個(gè)小的變化就會(huì)引起 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的各元一個(gè)大的變化 .這樣就不能指望用穩(wěn)定的方法計(jì)算 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型了.盡管有這樣的局限性， Jordan標(biāo)準(zhǔn)型還是值得繼續(xù)研究的，我們也將其更加深刻地認(rèn)識(shí)到：在線性代數(shù)的理論體系下最深刻的概念之一矩陣的 標(biāo)準(zhǔn)型只不過(guò)是包含該矩陣的 GL(n,C)-軌道的某一最簡(jiǎn)單的表示 .這一更深刻的認(rèn)識(shí)涉及到群表示理論 .總之，在探尋 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化的關(guān)系中,我們認(rèn)識(shí)到了認(rèn)識(shí)是無(wú)止境的這一哲學(xué)命題 ,我們也有理由相信還有更加美妙的結(jié)果在等待著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn) .參考文獻(xiàn)北京