+重慶市巴南區(qū)2023-2024學年八年級上學期期末數(shù)學試卷

2023-2024學年重慶市巴南區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的．1．（4分）下列式子是分式的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列四個漢字圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）一木工師傅準備用三根木條做一個三角形形狀的模具，現(xiàn)在已有兩根長度分別為20cm、50cm的木條，選擇下列長度的木條能做成三角形模具的是（）A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm4．（4分）如圖，OB＝OD，∠DOB＝∠COA，添加下面條件不能判斷△OAB≌△OCD的是（）A．AB＝CD B．OA＝OC C．∠A＝∠C D．∠B＝∠D5．（4分）下列運算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)3?a5＝a15 B．a(chǎn)8÷a2＝a6（a≠0） C．a(chǎn)3+a3＝a6 D．（a3）5＝a86．（4分）如圖，《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學重要著作之一，為元代數(shù)學家朱世杰所著，該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽，每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？（椽，裝于屋頂以支持屋頂材料的木桿）設這批椽有x株，則符合題意的方程是（）A． B． C． D．7．（4分）下列說法中正確的是（）A．有兩組對應邊分別相等和一組對應角相等的兩個三角形全等 B．如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等 C．等腰三角形一定是銳角三角形 D．三角形三邊的垂直平分線的交點一定在三角形內(nèi)部8．（4分）若x2+（m﹣2）x+16是一個完全平方式，則m的值是（）A．10 B．﹣10 C．﹣6或10 D．10或﹣109．（4分）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC上兩點，將△ABC沿DE折疊，使點A落在點F處，若∠A＝α，∠FDB＝β，則∠FEC的度數(shù)是（）A．α+β B．α+2β C．2α+β D．10．（4分）在對多項式進行因式分解中，有一些多項式用提公因式法和公式分解法無法直接分解的．將一個多項式進行重新分組后，可用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解的方法叫做分組因式分解法．例如：ax+ay+bx+by＝a（x+y）+b（x+y）＝（a+b）（x+y）．下列說法：①因式分解：x2﹣2xy+y2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；②若a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2+bc＝b2+ac，則△ABC為等腰三角形；③若a，b，c為實數(shù)且滿足a2+2b2+c2+28＝4a+8b+8c，則以a，b，c作為三邊能構(gòu)成三角形．其中正確的個數(shù)有（）A．0 B．1 C．2 D．3二.填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上.11．（4分）肥皂泡表面厚度大約是0.00071毫米，將這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為毫米．12．（4分）如果分式有意義，那么x的取值范圍是．13．（4分）一個正多邊形的一個外角等于45°，則這個正多邊形的邊數(shù)是．14．（4分）若點A（a﹣1，﹣2）與點B（﹣1，b+1）關于y軸對稱，則a+b的值為．15．（4分）“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”是我國著名數(shù)學家華羅庚一首詩中的兩句，它表達了“數(shù)形結(jié)合”的思想．數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化．中學數(shù)學研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合．在數(shù)學學習中，我們常把數(shù)或表示數(shù)的字母與圖形結(jié)合起來，如圖是由四個長為a，寬為b的長方形（a＞b＞0）拼擺而成的圖形，外面是一個大正方形ABCD，中間是一個小正方形EFGH，若正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為9，則ab的值為．16．（4分）如圖，在△ABC中，點D為AB上一動點，連接CD，點E為線段CD上一點，點F，點G分別為邊CA，邊CB上的動點，若∠ACB＝30°，CE＝6，則△EFG的周長的最小值為．17．（4分）若a使得關于x的不等式組有且僅有三個整數(shù)解，且使關于x的分式方程的解為正數(shù)，求所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為．18．（4分）若一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不相等的四位正整數(shù)，千位數(shù)字比十位數(shù)字大2，百位數(shù)字比個位數(shù)字大3，則稱這個四位正整數(shù)為“恭州數(shù)”．例如：對于四位正整數(shù)6542，∵6，5，4，2互不相等且千位6比十位4大2，百位5比個位2大3，∴6542是“恭州數(shù)”．請直接寫出最大的“恭州數(shù)”為．若一個正整數(shù)是另外一個正整數(shù)的平方，則稱這個正整數(shù)為完全平方數(shù)，例如：9＝32，則9為完全平方數(shù)．若四位正整數(shù)m是“恭州數(shù)”，記，當f（m）是一個完全平方數(shù)時，則滿足條件的“恭州數(shù)”m的最小值為．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題都必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括作輔助線）.19．（8分）計算：（1）（2a）3?（b3）2+（ab2）2；（2）（x+2y）（x﹣4y）﹣（x﹣y）2．20．（10分）在學習了角平分線的性質(zhì)后，小明想要去探究直角梯形的兩底邊與兩非直角頂點所連腰的數(shù)量關系，于是他對其中一種特殊情況進行了探究：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD交BC于點E，連接DE，當DE平分∠ADC時，探究AB、CD與AD之間的數(shù)量關系．他的思路是：首先過點E作AD的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作AD的垂線，垂足為點F．（只保留作圖痕跡）∵∠B＝90°，∴EB⊥AB，∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，∴（角平分線的性質(zhì)），在Rt△ABE和Rt△AFE中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）．∴，同理可得：DC＝DF，∴AB+CD＝，即AB+CD＝AD．21．（10分）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，點E是邊BC延長線上一點，BD＝EC，點F為△ABC外一點，連接DF，EF，∠A＝∠F，AC∥DF，（1）求證：△ABC≌△FED；（2）若點D是BC中點，且BE＝12，BA＝4，AC＝5，求△DEF的周長．22．（10分）計算：（1）；（2）．23．（10分）A、B兩地相距240千米．（1）甲以60千米/小時的速度從A地前往B地，乙以80千米/小時的速度從B地前往A地．若甲先出發(fā)小時，乙再出發(fā)，求乙出發(fā)后多少小時后甲乙相遇？（2）“要致富，先修路”，當?shù)卣疄榻鉀Q交通問題，決定在A、B兩地間新修一高速公路．經(jīng)調(diào)研可知，高速公路修成后，從A地前往B地的平均速度可提高25%，時間可比原來縮短小時，求原來從A地前往B地的平均速度是多少？24．（10分）一漁船從A地出海打魚，B島位于A地北偏東45°方向，由于B島周圍4海里有暗礁，漁船沿北偏東60°方向航行10海里到達C處，此時測得B島位于C處的北偏東30°方向．請問：（1）C地與B島距離是多少海里？（2）如果漁船繼續(xù)沿此航線航行，請問有沒有觸礁的危險？請說明理由．25．（10分）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D為△ABC內(nèi)一點，點E為△ABC外一點，連接AD，AE，CD，DE，BE，AE＝AD，∠DAE＝∠CAB．（1）求證：∠ABE＝∠ACD；（2）如圖2，連接BD，∠BDC＝96°，AB＝BC，若△BDE是以∠BDE為頂角的等腰三角形，求∠CDA的度數(shù)．26．（10分）在△ABC中，點D、點E分別為邊BC、AB上的點，（1）如圖1，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線經(jīng)過點E與BC延長線交于F點，連接AF，若∠B＝30°，求∠CAF的大?。唬?）如圖2，D為邊BC中點，連接ED，CE，過點B作AC的平行線BF交ED延長線于點F．若∠EDB＝∠ACE+∠ACB，求證：EF＝CE+2DE．

2023-2024學年重慶市巴南區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的．1．（4分）下列式子是分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：，，分母中不含有未知數(shù)，不是分式；分母中含有未知數(shù)，是分式．故選：D．2．（4分）下列四個漢字圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，故此選項正確；D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選：C．3．（4分）一木工師傅準備用三根木條做一個三角形形狀的模具，現(xiàn)在已有兩根長度分別為20cm、50cm的木條，選擇下列長度的木條能做成三角形模具的是（）A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm【解答】解：設木條的長度為xcm，則50﹣20＜x＜50+20，即30＜x＜70．故選：D．4．（4分）如圖，OB＝OD，∠DOB＝∠COA，添加下面條件不能判斷△OAB≌△OCD的是（）A．AB＝CD B．OA＝OC C．∠A＝∠C D．∠B＝∠D【解答】解：∵∠DOB＝∠COA，∴∠DOB+∠BOC＝∠COA+∠BOC，∴∠DOC＝∠AOB，A、∵AB＝CD，OD＝OB，∠DOC＝∠AOB，∴△OAB和△OCD不一定全等，故A符合題意；B、∵OD＝OB，∠DOC＝∠AOB，OA＝OC，∴△OAB≌△OCD（SAS），故B不符合題意；C、∵∠DOC＝∠AOB，∠A＝∠C，OD＝OB，∴△OAB≌△OCD（AAS），故C不符合題意；D、∵∠DOC＝∠AOB，OD＝OB，∠B＝∠D，∴△OAB≌△OCD（ASA），故D不符合題意；故選：A．5．（4分）下列運算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)3?a5＝a15 B．a(chǎn)8÷a2＝a6（a≠0） C．a(chǎn)3+a3＝a6 D．（a3）5＝a8【解答】解：A．a(chǎn)3?a5＝a8，故此選項不合題意；B．a(chǎn)8÷a2＝a6，故此選項符合題意；C．a(chǎn)3+a3＝2a3，故此選項不合題意；D．（a3）5＝a8，故此選項不合題意；故選：B．6．（4分）如圖，《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學重要著作之一，為元代數(shù)學家朱世杰所著，該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽，每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？（椽，裝于屋頂以支持屋頂材料的木桿）設這批椽有x株，則符合題意的方程是（）A． B． C． D．【解答】解：∵這批椽的價錢為6210文，這批椽有x株，∴一株椽的價錢為文，又∵每株椽的運費是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，∴3（x﹣1）＝．故選：D．7．（4分）下列說法中正確的是（）A．有兩組對應邊分別相等和一組對應角相等的兩個三角形全等 B．如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等 C．等腰三角形一定是銳角三角形 D．三角形三邊的垂直平分線的交點一定在三角形內(nèi)部【解答】解：A、有兩組對應邊分別相等和一組對應角相等的兩個三角形不一定全等，說法錯誤；B、如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，說法正確；C、等腰三角形不一定是銳角三角形，如等腰直角三角形，說法錯誤；D、三角形三邊的垂直平分線的交點不一定在三角形內(nèi)部，如鈍角三角形，說法錯誤；故選：B．8．（4分）若x2+（m﹣2）x+16是一個完全平方式，則m的值是（）A．10 B．﹣10 C．﹣6或10 D．10或﹣10【解答】解：∵x2+（m﹣2）x+16是一個完全平方式，∴x2+（m﹣2）x+16＝（x+4）2或x2+（m﹣2）x+16＝（x﹣4）2，∴m﹣2＝±8，∴m＝10或﹣6．故選：C．9．（4分）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC上兩點，將△ABC沿DE折疊，使點A落在點F處，若∠A＝α，∠FDB＝β，則∠FEC的度數(shù)是（）A．α+β B．α+2β C．2α+β D．【解答】解：由折疊可得：∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，∵∠FDB＝β，∴∠ADF＝180°﹣∠EDB＝180°﹣β，∴∠ADE＝（360°﹣∠ADF）＝90°+，∵∠A＝α，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝90°﹣﹣α，∴∠AEF＝∠AED+∠DEF＝2∠AED＝180°﹣2α﹣β，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝2α+β．故選：C．10．（4分）在對多項式進行因式分解中，有一些多項式用提公因式法和公式分解法無法直接分解的．將一個多項式進行重新分組后，可用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解的方法叫做分組因式分解法．例如：ax+ay+bx+by＝a（x+y）+b（x+y）＝（a+b）（x+y）．下列說法：①因式分解：x2﹣2xy+y2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；②若a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2+bc＝b2+ac，則△ABC為等腰三角形；③若a，b，c為實數(shù)且滿足a2+2b2+c2+28＝4a+8b+8c，則以a，b，c作為三邊能構(gòu)成三角形．其中正確的個數(shù)有（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①x2﹣2xy+y2﹣1＝（x2﹣2xy+y2）﹣1＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；故符合題意；②∵a2+bc＝b2+ac，∴a2+bc﹣b2﹣ac＝0，∴（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）c＝（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c＞0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形；故符合題意；③∵a2+2b2+c2+28＝4a+8b+8c，∴（a2﹣4a+4）+2（b2﹣4b+4）+（c2﹣8c+16）＝0，∴（a﹣2）2+2（b﹣2）2+（c﹣4）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝2，c＝4，∵a+b＝2+2＝4＝c，∴以a，b，c作為三邊不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；故選：C．二.填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上.11．（4分）肥皂泡表面厚度大約是0.00071毫米，將這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為7.1×10﹣4毫米．【解答】解：0.0007＝7×10﹣4．故答案為：7.1×10﹣4，12．（4分）如果分式有意義，那么x的取值范圍是x≠1．【解答】解：由題意，得x﹣1≠0，解得x≠1，故答案為：x≠1．13．（4分）一個正多邊形的一個外角等于45°，則這個正多邊形的邊數(shù)是8．【解答】解：360÷45＝8（條），故答案為：8．14．（4分）若點A（a﹣1，﹣2）與點B（﹣1，b+1）關于y軸對稱，則a+b的值為﹣1．【解答】解：∵點A（a﹣1，﹣2）與點B（﹣1，b+1）關于y軸對稱，∴a﹣1＝1，b+1＝﹣2，解得：a＝2，b＝﹣3，則a+b＝﹣1．故答案為：﹣1．15．（4分）“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”是我國著名數(shù)學家華羅庚一首詩中的兩句，它表達了“數(shù)形結(jié)合”的思想．數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化．中學數(shù)學研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合．在數(shù)學學習中，我們常把數(shù)或表示數(shù)的字母與圖形結(jié)合起來，如圖是由四個長為a，寬為b的長方形（a＞b＞0）拼擺而成的圖形，外面是一個大正方形ABCD，中間是一個小正方形EFGH，若正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為9，則ab的值為4．【解答】解：由圖形可知：4個小長方形法面積或+正方形EFGH的面積＝正方形ABCD的面積，∴4ab+9＝25，∴4ab＝16，∴ab＝4．故答案為：4．16．（4分）如圖，在△ABC中，點D為AB上一動點，連接CD，點E為線段CD上一點，點F，點G分別為邊CA，邊CB上的動點，若∠ACB＝30°，CE＝6，則△EFG的周長的最小值為6．【解答】解：作點E關于直線AC的對稱點M，點E關于直線BC的對稱點N，連接MN交AC于F，交BC于G，則此時，△EFG的周長最小，且△EFG的周長的最小值＝MN，連接CM，CN，∵點E關于直線AC的對稱點M，點E關于直線BC的對稱點N，∴CM＝CE＝CN＝6，∠MCF＝∠ECF，∠NCG＝∠ECG，∴∠MCF+∠NCG＝∠ECF+∠ECG＝30°，∴∠MON＝60°，∴△CMN是等邊三角形，∴MN＝CM＝6，∴△EFG的周長的最小值為6，故答案為：6．17．（4分）若a使得關于x的不等式組有且僅有三個整數(shù)解，且使關于x的分式方程的解為正數(shù)，求所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為﹣3．【解答】解：由不等式6x﹣a＞2（x﹣1），解得：，由不等式，解得：x≤2，∴原不等式組的解集為：，又∵該不等式組有且僅有三個整數(shù)解，∴x＝2，1，0，∴﹣1≤＜0，∴﹣2≤a＜2，對于，去分母，方程兩邊同時乘以（1﹣x），得：2a+1﹣3x＝4（1﹣x），解得：x＝3﹣2a，∵該方程的解為正數(shù)，∴3﹣2a＞0，解得：a＜，對于x＝3﹣2a，當x＝1時，a＝1，∵x＝1是該方程的增根，故a≠1，∴a＜且a≠1，又∵﹣2≤a＜2，∴﹣2≤a＜且a≠1，∴滿足條件的整數(shù)a為﹣2，﹣1，0，∵（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣3．∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為﹣3．故答案為：﹣3．18．（4分）若一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不相等的四位正整數(shù)，千位數(shù)字比十位數(shù)字大2，百位數(shù)字比個位數(shù)字大3，則稱這個四位正整數(shù)為“恭州數(shù)”．例如：對于四位正整數(shù)6542，∵6，5，4，2互不相等且千位6比十位4大2，百位5比個位2大3，∴6542是“恭州數(shù)”．請直接寫出最大的“恭州數(shù)”為9875．若一個正整數(shù)是另外一個正整數(shù)的平方，則稱這個正整數(shù)為完全平方數(shù)，例如：9＝32，則9為完全平方數(shù)．若四位正整數(shù)m是“恭州數(shù)”，記，當f（m）是一個完全平方數(shù)時，則滿足條件的“恭州數(shù)”m的最小值為3714．【解答】解：最大的“恭州數(shù)”為9875．設m的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，1≤a≤9的整數(shù)，1≤b≤9的整數(shù)，∵四位正整數(shù)m是“恭州數(shù)”，∴m＝1000（a+2）+100（b+3）+10a+b，∴＝＝10a+b+22，∵f（m）是一個完全平方數(shù)，∴10a+b+22＝x2，x為正整數(shù)，∴1≤a≤9的整數(shù)，1≤b≤9的整數(shù)＝x2﹣22，∵1≤a≤9的整數(shù)，1≤b≤9的整數(shù)，∴1≤a≤9的整數(shù)，1≤b≤9的整數(shù)是一個兩位數(shù)，∴x可能為6，7，8，9，10，當x＝6時，x2﹣22＝14，∴a＝1，b＝4，∴m＝3714；當x＝7時，x2﹣22＝27，∴a＝2，b＝7，不合題意；當x＝8時，x2﹣22＝42，∴a＝4，b＝2，∴m＝6542；當x＝9時，x2﹣22＝59，∴a＝5，b＝9，不合題意；當x＝10時，x2﹣22＝78，∴a＝7，b＝8，不合題意；綜上，滿足條件的“恭州數(shù)”m的最小值為3714．故答案為：9875；3714．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題都必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括作輔助線）.19．（8分）計算：（1）（2a）3?（b3）2+（ab2）2；（2）（x+2y）（x﹣4y）﹣（x﹣y）2．【解答】解：（1）（2a）3?（b3）2+（ab2）2＝8a3b6+a2b4；（2）（x+2y）（x﹣4y）﹣（x﹣y）2．＝x2﹣2xy﹣8y2﹣x2+2xy﹣y2＝﹣9y2．20．（10分）在學習了角平分線的性質(zhì)后，小明想要去探究直角梯形的兩底邊與兩非直角頂點所連腰的數(shù)量關系，于是他對其中一種特殊情況進行了探究：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD交BC于點E，連接DE，當DE平分∠ADC時，探究AB、CD與AD之間的數(shù)量關系．他的思路是：首先過點E作AD的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作AD的垂線，垂足為點F．（只保留作圖痕跡）∵∠B＝90°，∴EB⊥AB，∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，∴①（角平分線的性質(zhì)），在Rt△ABE和Rt△AFE中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）．∴③，同理可得：DC＝DF，∴AB+CD＝④，即AB+CD＝AD．【解答】證明：過點E作AD的垂線，垂足為點F．∵∠B＝90°，∴EB⊥AB，∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，∴EB＝EF①（角平分線的性質(zhì)），在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）．∴AB＝AF③，同理可得：DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FDF④，即AB+CD＝AD．故答案為：①EB＝EF，②AE＝AE③．AB＝AF，④AF+FD．21．（10分）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，點E是邊BC延長線上一點，BD＝EC，點F為△ABC外一點，連接DF，EF，∠A＝∠F，AC∥DF，（1）求證：△ABC≌△FED；（2）若點D是BC中點，且BE＝12，BA＝4，AC＝5，求△DEF的周長．【解答】（1）證明：∵BD＝EC，∴BD+CD＝CD+CE，即BC＝DE，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠FDE，在△ABC與△FED中，，∴△ABC≌△FED（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABC≌△FED，∴BA＝EF＝4，DF＝AC＝5，BC＝DE，∵點D是BC中點，∴BD＝CD，∴BD＝CD＝CE，∵BE＝12，∴CD＝CE＝，∴CE＝8，∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝8+5+4＝17．22．（10分）計算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝＝a+1；（2）＝＝．23．（10分）A、B兩地相距240千米．（1）甲以60千米/小時的速度從A地前往B地，乙以80千米/小時的速度從B地前往A地．若甲先出發(fā)小時，乙再出發(fā)，求乙出發(fā)后多少小時后甲乙相遇？（2）“要致富，先修路”，當?shù)卣疄榻鉀Q交通問題，決定在A、B兩地間新修一高速公路．經(jīng)調(diào)研可知，高速公路修成后，從A地前往B地的平均速度可提高25%，時間可比原來縮短小時，求原來從A地前往B地的平均速度是多少？【解答】解：（1）設乙出發(fā)后x小時后甲乙相遇，根據(jù)題意可得：，解得：x＝，答：乙出發(fā)后小時后甲乙相遇；（2）設原來從A地前往B地的平均速度是ykm/h，根據(jù)題意可得：，解得：x＝80，經(jīng)經(jīng)驗，x＝80是原分式方程的解，答：原來從A地前往B地的平均速度是80km/h．24．（10分）一漁船從A地出海打魚，B島位于A地北偏東45°方向，由于B島周圍4海里有暗礁，漁船沿北偏東60°方向航行10海里到達C處，此時測得B島位于C處的北偏東30°方向．請問：（1）C地與B島距離是多少海里？（2）如果漁船繼續(xù)沿此航線航行，請問有沒有觸礁的危險？請說明理由．【解答】解：（1）在圖中標上必要的字母，如圖，由題意，知：AD∥CE，∵∠DAC＝60°，∴∠ACE＝120°，∵∠BCE＝30°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝120°+30°＝150°，∵∠CBA＝180°﹣∠ACB﹣