江蘇省鎮(zhèn)江市2021年中考第一次（5月）模擬數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

江蘇省鎮(zhèn)江市2021年中考第一次（5月）模擬

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答

題卡指定位置。

2.答題時，選擇題答案，用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題答案，用

0.5毫米黑色墨水簽字筆，直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答案答在試題卷上無效。

3.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計24分.）

1.2的相反數(shù)是.

2.若分式一2一有意義，則x的取值范圍是.

%+3

3.4月24日是中國航天日.1970年的這一天，我國自行設(shè)計、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號''成

功發(fā)射，標(biāo)志著中國從此進入了太空時代，它的運行軌道距地球最近點439000米，將439000用科學(xué)記數(shù)法

表示為.

4.如圖，飛鏢游戲板（5x5方格）中每一塊小正方形除標(biāo)注的數(shù)字外都相同，假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方

形是等可能的（擊中小正方形的邊界線或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，擊中標(biāo)有數(shù)

字“1”的小正方形的概率等于.

12323

22123

13312

13122

23231

5.分解因式：2J?+4X=.

6.一組數(shù)據(jù)2,3,1,6,3的平均數(shù)為.

7.如圖，△ABC中，NA=45°,N3=30。，直尺的一邊與BC平行，則Nl=

A

8.已知一次函數(shù)y=gx+2,當(dāng)—3Mx=3時，y最小值等于.

9.若關(guān)于x的一元二次方程犬2+2》_〃?=0有兩個不相等的實數(shù)根，則，〃的取值范圍是—

10.如圖，等腰△ABC中，AB=AC,8平分N4CB,若5.8：5/°=3：2,則cosNACB=_

11.公元前240年前后，在希臘的亞歷山大城圖書館當(dāng)館長的埃拉托色尼（1加小卅e〃es）通過測得有關(guān)數(shù)據(jù),

求得了地球圓周的長度.他是如何測量的呢？如圖所示，由于太陽距離地球很遠，從太陽射來的光線可以

看作平行線，在同一時刻，光線與A城和地心的連線。。所夾的銳角記為N1,光線與B城和地心的連線。。

重合，通過測量A,8兩城間的距離（即AB）和N1的度數(shù)，利用圓的有關(guān)知識，地球圓周的長度就可以

大致算出來了.已知A6°768km，若7.2°,則地球的周長約為km.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A。,—2）,點3（2,1）,點P在一次函數(shù)y=gx+6的圖像上，若滿足

ZPAB=45°的點P只有I個，則b的取值范圍是

二、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共計18分.在每小題所給出的四個選項中,

恰有一項符合題目要求.）

13.|-5|值等于（）

A.5B.-5

14.下面計算正確的是（）

A.3a+2b=5abB.5a2b-2ha2=3a2b

C.一（6x+2y）=-6x+2yD.(-2a)2=-4a2

15.如圖所示，該幾何體的俯視圖是（）

D.

16.如圖，O。中所對的圓周NACB=67°,點P在劣弧AB上，NAQP=42°,則NBOP的度數(shù)為（）

C.92°D.109°

17.將二次函數(shù)y=—公+2尤+3（0WxW4）位于x軸下方的圖像沿x軸向上翻折，與原二次函數(shù)位于x軸

上方的部分組成一個新圖像，這個新圖像對應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值之差為（）

A.1B.3C.4D.5

18.我們知道，AABC的重心就是三條中線AD、BE、CF的交點G,如圖1,其中02=0目=￡￡=」.如

ADBECF3

圖2,R/AABC中，NC=90°,AC=4,BC=8,將RhABC繞其重心G旋轉(zhuǎn)，A、B、C的對應(yīng)點分別

是4、4、c,,與CA的最大值最接近的是()

（參考數(shù)據(jù)：V2*1.41,73?1.73,75?2.24）

圖1

A5.5B.6.5

三、解答題(本大題共有10小題，共計78分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟.)

(1Y1/—

19.(1)計算：-+tan45o-V9(2)化簡：-----------.

(2J；(x—1x+\)x-

2x+2<x

20.（1）解方程：——+1=——；（2）解不等式組：\1

x—2x—2x+5〉—x—1

2

21.0是8c的邊上的一點，E是6C邊的中點，過點C作AB的平行線，交DE的延長線于點F,

連接C。、BF.

(1)求證：DE=EF；

(2)已知BC=8,。尸=6,當(dāng)DB=時，四邊形CDB產(chǎn)是菱形.

22.隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動支付已成為一種常見的支付方式.在一次購物中，馬老師和趙老師都隨

機從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付.求兩位老師恰好一人用“微

信”支付，一人用“銀行卡”支付的概率.

23.如圖1,點C在線段ABE圖中共有3條線段AB、AC,和BC,若其中有一條線段的長度是另一

條線段長度的兩倍，則稱點C是線段AB的“二倍點”.

如圖2,一次函數(shù)y=ox+2a(a>0)與x軸交于點A,與y軸交于點8,與反比例函數(shù)y=3的圖像位于

第一象限的部分相交于點C.

(1)求點A的坐標(biāo);

(2)若點B是線段AC的“二倍點”，貝ij〃=.(直接寫出結(jié)果)

24.為增強同學(xué)們科學(xué)防疫意識，學(xué)校開展了以“科學(xué)防疫，健康快樂”為主題的安全知識競賽，從全校

學(xué)生中隨機抽取了男、女同學(xué)各40名，并將數(shù)據(jù)進行整理分析，得到如下信息：

信息一：女生成績扇形統(tǒng)計圖和男生成績頻數(shù)分布直方圖如圖

(數(shù)據(jù)分組為A組：x<70,8組：70Vx<80,C組：80Mx<90,。組：90<x<100)

女生成績扇形統(tǒng)計圖男生成績頻數(shù)分布直方圖

A

信息二:女生C組中全部15名學(xué)生的成績?yōu)椋?6,87,81,83,88,84,85,87,86,89,82,88,89,

85,89；

信息三：男、女生兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：(單位：分)

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)滿分率

女生90bC25%

男生90889815%

請根據(jù)上述信息解決問題:

（1）扇形統(tǒng)計圖中A組學(xué)生有人,表格中的中位數(shù)6=,眾數(shù)。=

（2）若成績在90分（包含90分）以上為優(yōu)秀，請估計該校1600名學(xué)生此次知識競賽中優(yōu)秀的人數(shù).

25.如圖，公園里有一棵大樹（AB）與一棵小樹（CD）,受測量工具、地理環(huán)境及安全等因素影響不能

直接測量它們的高度之差，小明與小麗手中有一副含30。角的直角三角尺和一根皮尺，小明首先在與樹根B、

。成一條直線的點E處用三角尺測得小樹8頂部C的仰角為30。，然后他向后移動調(diào)整，在M處用三角

尺測得大樹AB頂部A的仰角也是30。，點M仍然與8、。在一條直線上,然后他倆用皮尺測得8D=4.5米,

EM=1.5米，求兩棵樹的高度之差.

26.閱讀材料:

《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維

到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法.

11

例如：已知移=1,求二十二傀

孫?1-

解：原式==1.

xy+x1+yy+11+yy+1

問題解決:

(1)已知xy=l.

1

①代數(shù)式立了+47的值為

1I

②求證:=1

(2)若x滿足(2021)2+(2020-x)2=4043,求(20217)(2020-x)的值.

27.如圖1,AABC中，AB=5,AC=BC=1＞半徑為r的O。經(jīng)過點A且與3c相切，切點M在

線段上（包含點M與點3、C重合的情況）.

A

A

圖I圖2

(1)半徑/?的最小值等于

（2）設(shè)的W=x,求半徑，?關(guān)于x的函數(shù)表達式；

（3）當(dāng)眄=1時，請在圖2中作出點M及滿足條件的。。.

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）

1,

28.如圖1,二次函數(shù)y=—（x—2）2的圖像記為G，與軸交于點人其頂點為B,二次函數(shù)

-4

y=；（X—〃）2一；%+1（/7>2）的圖像記為孰，其頂點為。圖像G、C2相交于點P,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為

（1）求證：點。在直線AB上;

（2）求機和/Z的數(shù)量關(guān)系；

（3）平行于x軸的直線4經(jīng)過點尸，與圖像G交于另一點區(qū)與圖像交于另一點F,若無=2,求〃

的值;

（4）如圖2,過點尸作平行于A3的直線4,與圖像G交于另一點Q，連接。Q.當(dāng)。。LAB時,

h=.（直接寫出結(jié)果）

參考答案

一、填空題（本大題共有12小題，每小題2分，共計24分.）

1.2的相反數(shù)是^_____

【答案】-2.

【解析】

【詳解】解：2的相反數(shù)是-2.

故答案為-2.

2.若分式一2一有意義，則x的取值范圍是.

%+3

【答案】xw—3

【解析】

【分析】根據(jù)分式分母不等于零列出不等式，解不等式即可.

【詳解】解：由題意得，x+3￥0,

解得，燈-3,

故答案為：洋-3.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分母不等于0進行解題.

3.4月24日是中國航天日.1970年的這一天，我國自行設(shè)計、制造的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”成

功發(fā)射，標(biāo)志著中國從此進入了太空時代，它的運行軌道距地球最近點439000米，將439000用科學(xué)記數(shù)法

表示為.

【答案】4.39xlO5

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"（lK|4<10）,〃為整數(shù)，確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，

小數(shù)點移動了多少位，?的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】按照科學(xué)記數(shù)法的表示方式，439000可以表示為：4.39x105,

故答案為：4.39xlO5.

【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1W同<10,

〃為整數(shù)，準(zhǔn)確確定。的值以及w的值是解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖，飛鏢游戲板（5x5方格）中每一塊小正方形除標(biāo)注的數(shù)字外都相同，假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方

形是等可能的（擊中小正方形的邊界線或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，擊中標(biāo)有數(shù)

字“1”的小正方形的概率等于一

12323

22123

13312

13122

23231

7

【答案】—

25

【解析】

【分析】讓數(shù)字“1”的小正方形的個數(shù)除以所有小正方形的總數(shù)即可.

【詳解】解：擲一次擊中數(shù)字“1”的小正方形的個數(shù)有7個，小正方形的個數(shù)有共25個,

7

...擲一次擊中數(shù)字“1”的小正方形的概率是：會

7

故答案為：—.

25

【點睛】本題考查了概率求法；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5.分解因式：2x?+4x=.

【答案】2x(x+2)

【解析】

【分析】提公因式法分解因式即可.

【詳解】2/+4x=2x(x+2).

故答案為：2x(x+2).

【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，找到公因式是解題的關(guān)鍵.

6.一組數(shù)據(jù)2,3,1,6,3的平均數(shù)為一.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)的公式計算即可.

【詳解】數(shù)據(jù)2,3,1,6,3的平均數(shù)為2+3+；+6+3=3.

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，本題屬于基礎(chǔ)題，解題的時候應(yīng)避免計算錯誤.

7.如圖，8c中，NA=45°,NB=30°,直尺的一邊與8C平行，則Nl=__

【答案】75°

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，同位角相等，再利用三角形外角的性質(zhì)即可求得.

【詳解】如圖，?.?直尺的一邊與平行

???Z2=ZB

ZA=45°,ZB=30°

Z1=Z2+ZA=450+30°=75°

故答案為：75°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟悉平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.已知一次函數(shù)y=|x+2,當(dāng)—3MxV3時，y的最小值等于——.

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得答案.

【詳解】???一次函數(shù)y=|x+2中，|>0,

隨x的增大而增大，

,/-3<x<3,

.?.當(dāng)戶一3時，y有最小值，最小值為gx(—3)+2=-3,

故答案為：-3

【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，對于一次函數(shù)產(chǎn)區(qū)+6(AWO),當(dāng)人>0時，圖象過一、三象限，y隨X

的增大而增大；當(dāng)&<0時，圖象過二、四象限，y隨X的增大而減??；熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

9,若關(guān)于x的一元二次方程f+2x一根=0有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是一

【答案】m>-l

【解析】

【分析】先根據(jù)根的情況得出不等式，再解不等式即可

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程f+2x—帆=0有兩個不相等的實數(shù)根

△=〃-4ac>0

4+4m>0

m>—\

故答案為：m>-\

【點睛】本題考查利用根判別式判斷一元二次方程根的情況，正確解不等式是關(guān)鍵

10.如圖，等腰△ABC中，AB=AC,CZ)平分NACB,若S”。：S-。=3:2,則cosZACB=_

【答案】!

3

【解析】

AC3

［分析］過點D作DEVAC,OFLBC,過點A作AM_LBC,可得DF=DE,由S：S^BCD=3：2,得力；=彳,

AACDBC2

結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解：過點。作。E_LAC,DF1BC,過點A作AM_L8C,

???平分NAC3,

JDF=DE,

-ACDE3

?'S.AC。?S.BCD=3:2,即：y=—?

-BCDF2

2

.AC3

??~~,

BC2

VAB^AC,AM±BC,

：.CM=—BC,

2

1BC

：.cosZACB=CM21,

~AC~AC~3

故答案是：

3

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握角平分線

的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.公元前240年前后，在希臘的亞歷山大城圖書館當(dāng)館長的埃拉托色尼（Ermos標(biāo)〃es）通過測得有關(guān)數(shù)據(jù),

求得了地球圓周的長度.他是如何測量的呢？如圖所示，由于太陽距離地球很遠，從太陽射來的光線可以

看作平行線，在同一時亥ij,光線與A城和地心的連線OP所夾的銳角記為N1，光線與B城和地心的連線OQ

重合，通過測量A,8兩城間的距離（即AB）和N1的度數(shù)，利用圓的有關(guān)知識，地球圓周的長度就可以

大致算出來了.已知ABa768km，若Nl=7.2。，則地球的周長約為km.

【分析】設(shè)地球的半徑為，根據(jù)平行線的性質(zhì)和弧長公式可得出廠=幽幽，再根據(jù)圓的周長的公式

7.2萬

即可得出答案.

【詳解】解：如圖所示：設(shè)地球的半徑為r

ACIIOQ

.?.N1=NPOQ=7.2°

根據(jù)弧長公式可得：768=工包

180

:.r--7--6-8--x-1--8-0-

7.2乃

二地球的周長約為2仃=2%x768x180=3840()小

7.2〃

故答案為：38400.

【點睛】本題考查了圓的弧長公式、平行線的性質(zhì)，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(l,-2),點3(2,1),點P在一次函數(shù)y=的圖像上，若滿足

NPAB=45°的點尸只有1個，則b的取值范圍是

【答案】b>--

2

【解析】

【分析】連接A3,證明AAOB是等腰直角三角形，則P點在線段AC上，根據(jù)題意，只有1個點P,則P

不與AC重合，利用卜='“+6由》=工％平移得到b的取值范圍.

22

詳解】A（l,—2）,5（2,1）

AB=7（2-1）2+（1+2）2=VlO

AO=J『+（_2）2=6

AB2=AO2+BO2,A。=3。

...AAOB是等腰直角三角形

:.ZOAB=ZOBA=45°

QOB//AC

：.ZCAB=45°

滿足ZPAB=45°的點P在射線AC和射線AO上上

把A（l,-2）代入y=gx+6

解得：b=-,

2

???滿足NPAB=45°的點P只有1個

故答案為：b>—

2

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，兩點距離公式，一次函數(shù)圖像的平移，通過

數(shù)形結(jié)合找到點尸是解題的關(guān)鍵.

二、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共計18分.在每小題所給出的四個選項中,

恰有一項符合題目要求.）

13.卜5|的值等于（）

11

A.5B.—5C.—D.—

55

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)一個負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)解答.

【詳解】|-5|=5,

故選A.

【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，熟知絕對值的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

14.下面計算正確的是（）

A.3a+2b-5abB.5a2b-Iha1=3a1b

C.一（6x+2y）=-6x+2yD.（-2a）2=-ACT

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項、去括號、積的乘方法則逐項判斷即可得.

【詳解】A、3a與26不是同類項，不可合并，此項錯誤，不符題意；

B、5/0—2切2=3/6此項正確，符合題意；

C、-（6x+2y）=-6x-2》,此項錯誤，不符題意；

D、（―24）2=4。2,此項錯誤，不符題意；

故選:B.

【點睛】本題考查了合并同類項、去括號、積的乘方，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵.

15.如圖所示，該幾何體的俯視圖是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖的定義判斷即可.

【詳解】俯視圖即從上往下看的視圖，因此題中的幾何體從上往下看是左右對稱的兩個矩形.

故選B.

【點睛】本題考查俯視圖的定義,關(guān)鍵在于牢記定義.

16.如圖，中所對的圓周NACB=67°,點P在劣弧A8上，△4。。=42°,則N80P的度數(shù)為（）

r

A.25°B.90°C.92°D.109°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理可得NAO3=2NACB=134°,再根據(jù)角的和差即可得出答案.

【詳解】解：中所對的圓周NACB=67°,

ZAOB=2ZACB=134°

???點P在劣弧AB上，ZAOP=42°,

ZBOP=ZAOB-ZAOP=134°-42°=92°

故選C.

【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

17.將二次函數(shù)y=-x2+2x+3（0WxW4）位于x軸下方的圖像沿x軸向上翻折，與原二次函數(shù)位于x軸

上方的部分組成一個新圖像，這個新圖像對應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值之差為（）

A.1B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意作出圖形，最大值為新函數(shù)x=4時的函數(shù)值，最小值為0.

【詳解】如圖，根據(jù)題意：

y=—V+2x+3（0WxW4）位于x軸下方的圖像沿x軸向上翻折后的圖像為:

y=/—2x—3(3Kx44)的圖像

則新函數(shù)的最大值為x=4時的函數(shù)值

2

y=4-2x4-3=5

最小值為0.

，函數(shù)最大值與最小值之差為：5-0=5

故選D

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對稱，注意函數(shù)圖像的取值范圍，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

18.我們知道，AABC的重心就是三條中線AD、BE、CF的交點G,如圖1,其中必=三=空=’.如

ADBECF3

圖2,R/AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=8,將HhABC繞其重心G旋轉(zhuǎn)，A、B、C的對應(yīng)點分別

是4、用、C，與C4的最大值最接近的是（）

（參考數(shù)據(jù)：收"41,6*1.73,右a2.24）

%

A

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)重心的定義求出CQ,再根據(jù)勾股定理求出A。、AB,再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出

CF,確定出C4的最大值，代入求解即可；

【詳解】由題可知點。為BC的中點，

/.CD=-BC=4,

AD=VAC2+CD2=4V2-AB=yjAC2+BC2=4>/5>

?.?點F為AB的中點,

CF=-AB=2y/5,

2

由題意可得：4G==CG=-CF^-45,

3333

?.?點A在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上運動，

???CA的最大值為CG+AG,

即§0+d6B§xL41+&x2.24a6.5；

3333

故答案選8.

【點睛】本題主要考查了三角形重心的應(yīng)用，結(jié)合勾股定理、直角三角形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共有10小題，共計78分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟.)

19.(1)計算：仕］+tan45°—次；(2)化簡：(一一

x-\x+1x-1

【答案】(1)0,(2)2

【解析】

【分析】(1)先計算出負指數(shù)慕的運算，特殊三角函數(shù)值，算術(shù)平方根，再進行有理數(shù)的計算即可;

(2)根據(jù)分式的化簡的基本要求，化簡即可

【詳解】(1)[g+tan450-V9

=2+1-3

二0

(xxAx

⑵

x(x+l)-x(x-l)x2-1

=--------------X-----

(x-l)(x+l)X

_X7,7+x一廠9+X

X

_2x

x

=2

【點睛】本題考查了負指數(shù)累的運算，特殊三角函數(shù)值，算術(shù)平方根，有理數(shù)的計算，分式的化簡，熟練

負指數(shù)塞，特殊三角函數(shù)值，算術(shù)平方根，因式分解是解題的關(guān)鍵.

2x+2<x

Y8

20.(1)解方程：——+1=----；(2)解不等式組：\1

—2—2x+5>——1

xxI2x

【答案】(1)x=5；(2)-4<x<-2

【解析】

【分析】(1)先去分母，再解一元一次方程即可，最后檢驗

(2)分別解兩個不等式，再求解集

J-o

【詳解】(1)——+1=——

x-2x—2

分式的兩邊同時乘以最簡公分母(x-2),

得：x+x—2=8

x=5

檢驗：當(dāng)x=5時，》一2=5—2=300

x=5是原方程的解.

(2)解不等式：2x+2Wx

得：x<-2

解不等式：x+5>--x-l

2

得：x>-4-

，原不等式組的解集為：-4<x<-2

【點睛】本題考查了解可化為一元一次方程的分式方程，解一元一次不等式組，注意分式方程要檢驗，去

分母是解題的關(guān)鍵.

21.。是AABC的邊48上的一點，E是3C邊的中點，過點C作AB的平行線，交OE的延長線于點凡

連接CO、BF.

(1)求證：DE=EF；

(2)已知8C=8,O尸=6,當(dāng)DB=時，四邊形CDBE是菱形.

【答案】(1)證明過程見解析；(2)5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件證明△3DE三△CFE即可；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到對角線互相垂直，在根據(jù)勾股定理計算即可；

【詳解】(1)???E是8c邊的中點，

BE=CE，

又??“〃/記,

ABDE=ZCFE,

在ABDE和△%￡中,

NBDE=NCFE

<ABED=ZCEF

BE=CE

：.ABDE=^CFE(AAS),

；?DE=EF；

(2)VBC=8,。尸=6,且￡>E=￡F,BE=CE,

DE=3,BE=4,

當(dāng)四邊形C￡>BE是菱形時，BCA.EF,

BD=M+42=5；

故答案是5.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

22.隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動支付已成為一種常見的支付方式.在一次購物中，馬老師和趙老師都隨

機從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付.求兩位老師恰好一人用“微

信”支付，一人用“銀行卡”支付的概率.

2

【答案】

【解析】

【分析】畫出樹狀圖，得出所有等可能情況數(shù)及兩位老師恰好一人用“微信”支付，一人用“銀行卡”支

付的情況數(shù)，利用概率公式即可得答案.

【詳解】用A、B、C分別表示“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式，畫樹狀圖如下:

開始

馬老師

趙老師ABABC

由樹狀圖可知：共有9種等可能情況,其中兩位老師恰好一人用“微信”支付，一人用“銀行卡”支付的

情況有2種,

2

兩位老師恰好一人用“微信”支付,一人用“銀行卡”支付的概率為?.

【點睛】本題考查簡單的概率計算，正確畫出樹狀圖，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵.

23.如圖1,點C在線段AB上，圖中共有3條線段AB、AC,和BC,若其中有一條線段的長度是另一

條線段長度的兩倍，則稱點C是線段A3的“二倍點”.

4

如圖2,一次函數(shù)y=依+2〃(〃>0)與x軸交于點A,與y軸交于點3,與反比例函數(shù))，=二的圖像位于

第一象限的部分相交于點C.

(1)求點A的坐標(biāo)；

(2)若點B是線段AC的“二倍點”，則。=.(直接寫出結(jié)果)

141

【答案】(1)A(-2,0)；(2)一或一或一.

236

【解析】

【分析】(1)把)=0代入一次函數(shù)的解析式求得x的值，即可得點A的坐標(biāo);

(2)分AB=2BC、8c=2AB、點B為AC的中點三種情況求a的值即可.

【詳解】⑴???一次函數(shù)的解析式為+2a(。＞0),

當(dāng)尸0時，av+2a=0,

.*.x=-2,

???A(-2,0)；

(2)???點8是線段AC的“二倍點”，

???AB=2BC或BC=2AB或點8為AC的中點；

過點C作CM_Lx軸于點M,

.OA_AB

,9~OM~~BC

?.,A(-2,0),

：.OA=2；

①當(dāng)點3為AC的中點時，可得=

0M1

.?.0M=2,

工點。橫坐標(biāo)為2,

4

把x=2代入y=一得產(chǎn)2,

x

：.C(2,2),

把C(2,2)代入y=以+2〃(〃>0)得,

2=2a+2a，

1

??Q=一;

2

22

②當(dāng)A8=2BC時，可得——=-,

OM1

???OM=\,

?,?點。橫坐標(biāo)為1,

4

把x=2代入y=一得y=4,

x

：.C(1,4),

把C(l,4)代入y=ox+2a(a>0)得,

4=Q+2。，

4

??ci——；

3

21

③當(dāng)BC=2A8時，，可得——二一，

0M2

J0M=4,

???點。橫坐標(biāo)為4,

4

把x=4代入y=—得尸1,

x

：.C(4,1),

把C(4,1)代入丁=依+2〃(。>0)得,

1=4。+2。，

1

??Q=一;

6

綜上，點2是線段AC的“二倍點”時，。的值為=1或一4或二1.

236

141

故答案為："或一或一.

【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，解決第（2）題時要注意分情況討論，不要漏解.

24.為增強同學(xué)們的科學(xué)防疫意識，學(xué)校開展了以“科學(xué)防疫，健康快樂”為主題的安全知識競賽，從全校

學(xué)生中隨機抽取了男、女同學(xué)各40名，并將數(shù)據(jù)進行整理分析，得到如下信息：

信息一：女生成績扇形統(tǒng)計圖和男生成績頻數(shù)分布直方圖如圖

（數(shù)據(jù)分組為A組：X<70,B組：70Mx<80,C組：80Mx<90,。組：90<x<100）

女生成績扇形統(tǒng)計圖男生成績頻數(shù)分布直方圖

A

{H息二:女生C組中全部15名學(xué)生的成績?yōu)椋?6,87,81,83,88,84,85,87,86,89,82,88,89,

85,89；

信息三：男、女生兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：（單位：分）

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)滿分率

女生90hC25%

男生90889815%

請根據(jù)上述信息解決問題:

（1）扇形統(tǒng)計圖中A組學(xué)生有人，表格中的中位數(shù)6=,眾數(shù)c=

（2）若成績在90分（包含90分）以上為優(yōu)秀，請估計該校1600名學(xué)生此次知識競賽中優(yōu)秀的人數(shù).

【答案】（1）1,88,100；（2）估計該校1600名學(xué)生此次知識競賽中優(yōu)秀的人數(shù)為580人.

【解析】

【分析】（1）先利用抽取的總?cè)藬?shù)乘以民。組所占百分比，求出它們的人數(shù)，再利用抽取的總?cè)藬?shù)減去

民c,。組的人數(shù)即可得A組人數(shù)，然后根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可得；

（2）利用1600乘以男、女生成績在90分（包含90分）以上的人數(shù)所占百分比即可得.

【詳解】解：（1）女生8組人數(shù)為40x20%=8（人），

女生。人數(shù)為40x40%=16（人），

則扇形統(tǒng)計圖中A組人數(shù)為40—8—16—15=1（人），

?.?女生組的人數(shù)分別為1人，8人，15人，16人，總?cè)藬?shù)為40人，

二將這40人的成績按從小到大進行排序后，第20個數(shù)和第21個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，且中位數(shù)位于。組,

將女生C組中全部15名學(xué)生的成績按從小到大進行排序為

81,82,83,84,85,85,86,86,87,87,88,88,89,89,89,

則中位數(shù)6=------=88,

2

女生的成績滿分的人數(shù)為25%x4（）=l（）（人），

?.?女生C組成績的眾數(shù)是89,出現(xiàn)的次數(shù)是3次，。的人數(shù)為16人，且10>8>1,

二眾數(shù)c=100,

故答案為：1,88,100；

16+13

(2)1600xx100%=580(人),

40+40

答：估計該校1600名學(xué)生此次知識競賽中優(yōu)秀的人數(shù)為580人.

【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖、頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)和眾數(shù)等知識點，熟練掌握統(tǒng)計調(diào)查的相關(guān)知

識是解題關(guān)鍵.

25.如圖，公園里有一棵大樹（AB）與一棵小樹（CO）,受測量工具、地理環(huán)境及安全等因素影響不能

直接測量它們的高度之差，小明與小麗手中有一副含30。角的直角三角尺和一根皮尺，小明首先在與樹根3、

。成一條直線的點E處用三角尺測得小樹頂部C的仰角為30。，然后他向后移動調(diào)整，在M處用三角

尺測得大樹A8頂部A的仰角也是30。，點M仍然與8、。在一條直線上，然后他倆用皮尺測得3。=4.5米,

EM=1.5米，求兩棵樹的高度之差.

A

【答案】兩棵樹的高度之差為2Gm.

【解析】

【分析】延長NF交AB于點G,交CD于點H,由題意可得，四邊形BG”。、四邊形?！笔珽、四邊形FNME

是矩形，GH=BD=45,HF=DE,FN=EM=L5,BG=HD,在RtZ\ANG中，求得46=26+4"尸；在

3

RtaCFH中求得；由此即可求得兩棵樹的高度之差.

3

【詳解】延長NF交AB于點G,交CD于點H,由題意可得，四邊形8GH。、四邊形QHFE、四邊形FNME

是矩形，

A

[\

、、

、、、、

GH、、、、

十一丁一八巾

：.GH=BD=4,5fHF=DE,FN=EM=T.5,BG=HD,ZA7VG=3O°,ZCFW=30°,

在RtZXANG中，ZAGN=90°,NANG=30°,

o

AG=GA^-tanZA?VG=(G//+HF+FN)-tan30=2^(4.5+//F+1.5)=2V3+^WF；

在Rtz^CFH中，NCHF=90°,ZCF//=30",

CH=FH.tan4CFH=FH.由30。=叵HF；

3

；.AB-CD=(AG+BG)-(CH+DH)^AG-CH=273+—HF--HF^273;

33

兩棵樹的高度之差為2Gm.

答：兩棵樹的高度之差為2百m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，做出輔助線，正確構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

26.閱讀材料：

《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維

到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法.

11

例如：已知xy=l,求TT7+TT7的值.

、，xy1

解：原式=)+”+'=2±1=1.

xy+x1+yy+11+yy4-1

問題解決:

(1)已知孫=1.

①代數(shù)式立7+47的值為

②求證：-2021+1,2021=?

1?A.1?y

(2)若x滿足(2021—x)2+(2020—%了=4043,求(2021—x)(2020-x)的值.

【答案】(1)①1；②證明見解析；(2)2021.

【解析】

11

【分析】(1)①把所1代入"；~7+-7,分母提取公因式，約分，再根據(jù)分式加法法則計算即可得答

案；②由町=1可得x2,,2,/O2l=l,同①的方法計算即可得結(jié)論；

(2)設(shè)2021—%=。，2020-x=b,可得。一/?=1,利用完全平方公式求出時的值即可得答案.

【詳解】(1)①，.,斫1,

.]]

*'1+x2+1+y2

孫，孫

一2十,

工y+廠工y+y-

_孫?—

x(y+x)y(x+y)

x+y

=1.

故答案為：1

②?.,人產(chǎn)1,

.../2產(chǎn)=],

11

,---------------------1----------------------

1+X20211+嚴(yán)

產(chǎn)20211

=-----------------------------------------1----------------------

x2021y2021+x2021[+產(chǎn)

32021y2021?

=x2021(y202,+l)+iT7^

嚴(yán)?1

_y202l+l

=1+嚴(yán)

=1.

(2)設(shè)2021—x=a,2020—x=6,

:.a-b=T,

(2021-4+(2020-x)2=4043,

cr+b1=4043，

(a-b)2=a2+h2-lab=4043-2點=1,

解得：ab=2021,

(2021-x)(2020-x)=2021.

【點睛】本題考查利用提取公因式法和完全平方公式因式分解及分式的加法，熟練掌握完全平方公式及分

式的加法法則是解題關(guān)鍵.

27.如圖1,AABC1中，AB=5,AC=30BC=7,半徑為r的。。經(jīng)過點A且與8C相切，切點M在

線段8。上(包含點M與點&C重合的情況).

（1）半徑r最小值等于：

（2）設(shè)&W=x,求半徑r關(guān)于x的函數(shù)表達式；

（3）當(dāng)BM=1時，請在圖2中作出點M及滿足條件的。0.

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）

【答案】（1）—；（2）r——X1—-x-\--（0WxW7）；（3）見解析.

2636

【解析】

【分析】（1）當(dāng)40，8c交BC于點M時，此時半徑/■最小，設(shè)技0=龍，如圖1所示，由勾股定理可得:

AB2-BM2=AM2=AC2-CM2，從而列出5?-/=（3&『一（7-xp,解得x=4,再次利用勾股定

,_____3

理可得：AM='52-42=3,所以求得半徑「=5；

（2）如圖2所示，連接0例,過點A作4），8c交BC于點。，過點。作。尸，AO交A。于點尸，由Q4=r,

可表示出Ob=M￡>=4—x,AF=AD-DF=3-r,在RhAO/中，由勾股定理列式：

OA2=OF2+AF2，即產(chǎn)=（4—xY+（3—r）2,且點M在線段BC上，可知04尤47,整理得：

r=—%2-—x+—（0<x<7）；

636'7

（3）如圖3所示，過點M