新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 4.3.2《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》教案 (教師版)

第2課時(shí)簡(jiǎn)單的三角恒等變換考點(diǎn)1三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則2.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法(1)弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪.(2)在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次.(1)化簡(jiǎn)：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan（\f(π,4)－x）sin2（\f(π,4)＋x）)＝________.(2)已知cos(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(10),10)，θ∈(0，eq\f(π,2))，則sin(2θ﹣eq\f(π,3))＝________.(3)已知α為第二象限角，且tanα＋taneq\f(π,12)＝2tanαtaneq\f(π,12)﹣2，則sin(α＋eq\f(5π,6))＝________.(1)eq\f(1,2)cos2x(2)eq\f(4－3\r(3),10)(3)﹣eq\f(3\r(10),10).[(1)原式＝eq\f(\f(1,2)（4cos4x－4cos2x＋1）,2×\f(sin（\f(π,4)－x）,cos（\f(π,4)－x）)·cos2（\f(π,4)－x）)＝eq\f(（2cos2x－1）2,4sin（\f(π,4)－x）cos（\f(π,4)－x）)＝eq\f(cos22x,2sin（\f(π,2)－2x）)＝eq\f(cos22x,2cos2x)＝eq\f(1,2)cos2x.(2)由題意可得，cos2(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋cos（2θ＋\f(π,2)）,2)＝eq\f(1,10)，cos(2θ＋eq\f(π,2))＝﹣sin2θ＝﹣eq\f(4,5)，即sin2θ＝eq\f(4,5).因?yàn)閏os(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(10),10)＞0，θ∈(0，eq\f(π,2))，所以0＜θ＜eq\f(π,4)，2θ∈(0，eq\f(π,2))，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，可得cos2θ＝eq\f(3,5)，由兩角差的正弦公式，可得sin(2θ﹣eq\f(π,3))＝sin2θcoseq\f(π,3)﹣cos2θsineq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)﹣eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4－3\r(3),10).(3)由已知可得tan(α＋eq\f(π,12))＝﹣2，∵α為第二象限角，∴sin(α＋eq\f(π,12))＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α＋eq\f(π,12))＝﹣eq\f(\r(5),5)，則sin(α＋eq\f(5π,6))＝﹣sin(α﹣eq\f(π,6))＝﹣sin[(α＋eq\f(π,12))﹣eq\f(π,4)]＝cos(α＋eq\f(π,12))sineq\f(π,4)﹣sin(α＋eq\f(π,12))coseq\f(π,4)＝﹣eq\f(3\r(10),10).](1)化簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)：函數(shù)種類(lèi)盡可能少、次數(shù)盡可能低、項(xiàng)數(shù)盡可能少、盡量不含根式、盡量不含絕對(duì)值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)冪的作用.考點(diǎn)2三角函數(shù)的求值給角求值[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280°)＝________.eq\r(6).[原式＝(2sin50°＋sin10°·eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°))·eq\r(2)sin80°＝(2sin50°＋2sin10°·eq\f(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cos10°))·eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°﹣10°)]＝2eq\r(2)sin(50°＋10°)＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6).]該類(lèi)問(wèn)題中給出的角一般都不是特殊角，需要通過(guò)三角恒等變換將其變?yōu)樘厥饨?，或者能夠正?fù)相消，或者能夠約分相消，最后得到具體的值.給值求值(1)已知cos(α﹣eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則sin(α＋eq\f(7π,6))＝________.(2)已知cos(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)＜α＜eq\f(7π,4)，則eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)的值為_(kāi)_______.(1)﹣eq\f(4,5)(2)﹣eq\f(28,75).[(1)由cos(α﹣eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，可得eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，即eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(4\r(3),5)，所以eq\r(3)sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4\r(3),5)，即sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，所以sin(α＋eq\f(7π,6))＝﹣sin(α＋eq\f(π,6))＝﹣eq\f(4,5).(2)eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)＝eq\f(2sinαcosα＋2sin2α,1－\f(sinα,cosα))＝eq\f(2sinαcosα（cosα＋sinα）,cosα－sinα)＝sin2αeq\f(1＋tanα,1－tanα)＝sin2α·tan(eq\f(π,4)＋α).由eq\f(17π,12)＜α＜eq\f(7π,4)得eq\f(5π,3)＜α＋eq\f(π,4)＜2π，又cos(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(3,5)，所以sin(eq\f(π,4)＋α)＝﹣eq\f(4,5)，tan(eq\f(π,4)＋α)＝﹣eq\f(4,3).cosα＝cos[(eq\f(π,4)＋α)﹣eq\f(π,4)]＝﹣eq\f(\r(2),10)，sinα＝﹣eq\f(7\r(2),10)，sin2α＝eq\f(7,25).所以eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)＝eq\f(7,25)×(﹣eq\f(4,3))＝﹣eq\f(28,75).](1)給值求值的關(guān)鍵是通過(guò)角的三角函數(shù)的變換把求解目標(biāo)用已知條件表達(dá)出來(lái).(2)注意(eq\f(π,4)＋x)與(eq\f(π,4)﹣x)互余，sin2(eq\f(π,4)＋x)＝cos2x，cos2(eq\f(π,4)﹣x)＝sin2x的靈活應(yīng)用.給值求角(1)設(shè)α，β為鈍角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝﹣eq\f(3\r(10),10)，則α＋β的值為()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(5π,4)C.eq\f(7π,4)D.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α﹣β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝﹣eq\f(1,7)，則2α﹣β的值為_(kāi)_______.(1)C(2)﹣eq\f(3,4)π.[(1)∵α，β為鈍角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝﹣eq\f(3\r(10),10)，∴cosα＝﹣eq\f(2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝eq\f(\r(2),2)＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(eq\f(3π,2)，2π)，∴α＋β＝eq\f(7π,4).(2)∵tanα＝tan[(α﹣β)＋β]＝eq\f(tan（α－β）＋tanβ,1－tan（α－β）tanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)＞0，∴0＜α＜eq\f(π,2).又∵tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－（\f(1,3)）2)＝eq\f(3,4)＞0，∴0＜2α＜eq\f(π,2)，∴tan(2α﹣β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.∵tanβ＝﹣eq\f(1,7)＜0，∴eq\f(π,2)＜β＜π，﹣π＜2α﹣β＜0，∴2α﹣β＝﹣eq\f(3π,4).]通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，有以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù).(2)已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是(0，eq\f(π,2))，則選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，則選余弦較好；若角的范圍為(﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，則選正弦較好.提醒：求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要注意所求角的范圍及解題過(guò)程中角的范圍.1.若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β﹣α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈[eq\f(π,4)，π]，β∈[π，eq\f(3π,2)]，則α＋β的值是()A.eq\f(7π,4)B.eq\f(9π,4)C.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)D.eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)A.[因?yàn)棣痢蔥eq\f(π,4)，π]，且0＜sin2α＝eq\f(\r(5),5)＜eq\f(1,2)，所以2α∈(eq\f(5π,6)，π)，所以α∈(eq\f(5π,12)，eq\f(π,2))，cos2α＝﹣eq\r(1－sin22α)＝﹣eq\f(2\r(5),5).因?yàn)棣隆蔥π，eq\f(3π,2)]，所以β﹣α∈(eq\f(π,2)，eq\f(13π,12))，又sin(β﹣α)＝eq\f(\r(10),10)＞0，所以β﹣α∈(eq\f(π,2)，π)，所以cos(β﹣α)＝﹣eq\r(1－sin2（β－α）)＝﹣eq\f(3\r(10),10).所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β﹣α)]＝cos2αcos(β﹣α)﹣sin2αsin(β﹣α)＝﹣eq\f(2\r(5),5)×(﹣eq\f(3\r(10),10))﹣eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又α∈(eq\f(5π,12)，eq\f(π,2))，β∈[π，eq\f(3π,2)]，所以α＋β∈(eq\f(17π,12)，2π)，所以α＋β＝eq\f(7π,4).故選A.]2.已知α∈(0，eq\f(π,2))，且2sin2α﹣sinα·cosα﹣3cos2α＝0，則eq\f(sin（α＋\f(π,4)）,sin2α＋cos2α＋1)＝_____.eq\f(\r(26),8).[∵α∈(0，eq\f(π,2))，且2sin2α﹣sinα·cosα﹣3cos2α＝0，則(2sinα﹣3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，又∵α∈(0，eq\f(π,2))，sinα＋cosα＞0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝eq\f(2,\r(13))，sinα＝eq\f(3,\r(13))，∴eq\f(sin（α＋\f(π,4)）,sin2α＋cos2α＋1)＝eq\f(\f(\r(2),2)（sinα＋cosα）,（sinα＋cosα）2＋（cos2α－sin2α）)＝eq\f(\r(2),4cosα)＝eq\f(\r(26),8).]3.計(jì)算eq\f(cos10°（1＋\r(3)tan10°）,cos50°)的值是________.2.[原式＝eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos50°)＝eq\f(2sin（10°＋30°）,cos50°)＝eq\f(2sin40°,sin40°)＝2.]考點(diǎn)3三角恒等變換的綜合應(yīng)用三角恒等變換的應(yīng)用策略(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱(chēng)、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用.(2)把形如y＝asinx＋bcosx化為y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對(duì)稱(chēng)性.設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0，2π)，函數(shù)f(x＋θ)是偶函數(shù)，求θ的值；(2)求函數(shù)y＝[f(x＋eq\f(π,12))]2＋[f(x＋eq\f(π,4))]2的值域.[解](1)因?yàn)閒(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函數(shù)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有sin(x＋θ)＝sin(﹣x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝﹣sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,2).(2)y＝[f(x＋eq\f(π,12))]2＋[f(x＋eq\f(π,4))]2＝sin2(x＋eq\f(π,12))＋sin2(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1－cos（2x＋\f(π,6)）,2)＋eq\f(1－cos（2x＋\f(π,2)）,2)＝1﹣eq\f(1,2)(eq\f(\r(3),2)cos2x﹣eq\f(3,2)sin2x)＝1﹣eq\f(\r(3),2)cos(2x＋eq\f(π,3)).因此，所求函數(shù)的值域是[1﹣eq\f(\r(3),2)，1＋eq\f(\r(3),2)].(1)求三角函數(shù)解析式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)時(shí)要注意φ的取值范圍.(2)根據(jù)二倍角公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，如果涉及開(kāi)方，則要注意開(kāi)方后三角函數(shù)值的符號(hào).已知函數(shù)f(x)＝sin2x﹣cos2x﹣2eq\r(3)sinxcosx(x∈R).(1)求f(eq\f(2π,3))的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.[解](1)由sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，coseq\f(2π,3)＝﹣eq\f(1,2)，得f(eq\f(2π,3))＝(eq\f(\r(3),2))2﹣(﹣eq\f(1,2))2﹣2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×(﹣eq\f(1,2))＝2.(2)由cos2x＝cos2x﹣sin2x與sin2x＝2sinxcosx，得f(x)＝﹣cos2x﹣eq\r(3)sin2x＝﹣2sin(2x＋eq\f(π,6)).所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，得eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[得eq\f(π,6)＋kπ，eq\f(2π,3)＋kπ](k∈Z).簡(jiǎn)單的三角恒等變換一、選擇題1.已知sin(eq\f(π,6)﹣α)＝cos(eq\f(π,6)＋α)，則tanα＝()A.1B.﹣1C.eq\f(1,2)D.0答案為：B.解析：∵sin(eq\f(π,6)﹣α)＝cos(eq\f(π,6)＋α)，∴eq\f(1,2)cosα﹣eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα﹣eq\f(1,2)sinα，即(eq\f(\r(3),2)﹣eq\f(1,2))sinα＝(eq\f(1,2)﹣eq\f(\r(3),2))cosα，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝﹣1.]2.求值：eq\f(cos20°,cos35°\r(1－sin20°))＝()A.1B.2C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案為：C.解析：原式＝eq\f(cos20°,cos35°|sin10°－cos10°|)＝eq\f(cos210°－sin210°,cos35°（cos10°－sin10°）)＝eq\f(cos10°＋sin10°,cos35°)＝eq\f(\r(2)（\f(\r(2),2)cos10°＋\f(\r(2),2)sin10°）,cos35°)＝eq\f(\r(2)cos（45°－10°）,cos35°)＝eq\f(\r(2)cos35°,cos35°)＝eq\r(2).]3.若sin(eq\f(π,3)﹣α)＝eq\f(1,4)，則cos(eq\f(π,3)＋2α)等于()A.﹣eq\f(7,8)B.﹣eq\f(1,4)C.eq\f(1,4)D.eq\f(7,8)答案為：A.解析：cos(eq\f(π,3)＋2α)＝cos[π﹣(eq\f(2,3)π﹣2α)]＝﹣cos(eq\f(2,3)π﹣2α)＝﹣[1﹣2sin2(eq\f(π,3)﹣α)]＝﹣[1﹣2×(eq\f(1,4))2]＝﹣eq\f(7,8).]4.設(shè)α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,2))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，則()A.3α﹣β＝eq\f(π,2)B.2α﹣β＝eq\f(π,2)C.3α＋β＝eq\f(π,2)D.2α＋β＝eq\f(π,2)答案為：B.解析：由tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，得eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α﹣β)＝cosα＝sin(eq\f(π,2)﹣α).∵α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α﹣β∈(﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，eq\f(π,2)﹣α∈(0，eq\f(π,2))，由sin(α﹣β)＝sin(eq\f(π,2)﹣α)，得α﹣β＝eq\f(π,2)﹣α，∴2α﹣β＝eq\f(π,2).]5.若函數(shù)f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ時(shí)取得最小值，則cosθ等于()A.eq\f(5,13)B.﹣eq\f(5,13)C.eq\f(12,13)D.﹣eq\f(12,13)B.[f(x)＝5cosx＋12sinx＝13(eq\f(5,13)cosx＋eq\f(12,13)sinx)＝13sin(x＋α)，其中sinα＝eq\f(5,13)，cosα＝eq\f(12,13)，由題意知θ＋α＝2kπ﹣eq\f(π,2)(k∈Z)，得θ＝2kπ﹣eq\f(π,2)﹣α(k∈Z)，所以cosθ＝cos(2kπ﹣eq\f(π,2)﹣α)＝cos(eq\f(π,2)＋α)＝﹣sinα＝﹣eq\f(5,13).]二、填空題6.化簡(jiǎn)：eq\f(2sin（π－α）＋sin2α,cos2\f(α,2))＝________.4sinα.[eq\f(2sin（π－α）＋sin2α,cos2\f(α,2))＝eq\f(2sinα＋2sinαcosα,\f(1,2)（1＋cosα）)＝eq\f(4sinα（1＋cosα）,1＋cosα)＝4sinα.]7.已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的兩根分別為tanα，tanβ，且α，β∈(﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，則α＋β＝________.﹣eq\f(3,4)π.[依題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－3a，,tanα·tanβ＝3a＋1，))∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(－3a,1－（3a＋1）)＝1.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＜0，,tanα·tanβ＞0，))∴tanα＜0且tanβ＜0，∴﹣eq\f(π,2)＜α＜0且﹣eq\f(π,2)＜β＜0，即﹣π＜α＋β＜0，結(jié)合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝﹣eq\f(3π,4).]8.函數(shù)y＝sinxcos(x＋eq\f(π,3))的最小正周期是________.π.[y＝sinxcos(x＋eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)sinxcosx﹣eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\f(1,4)sin2x﹣eq\f(\r(3),2)·eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)sin(2x＋eq\f(π,3))﹣eq\f(\r(3),4)，故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.]三、解答題9.已知函數(shù)f(x)＝2sinxsin(x＋eq\f(π,6)).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.[解](1)因?yàn)閒(x)＝2sinx(eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)＝eq\r(3)×eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝sin(2x﹣eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)＝π.由﹣eq\f(π,2)＋2kπ≤2x﹣eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得﹣eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[﹣eq\f(π,12)＋kπ，eq\f(5π,12)＋kπ]，k∈Z.(2)當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，2x﹣eq\f(π,3)∈[﹣eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]，sin(2x﹣eq\f(π,3))∈[﹣eq\f(\r(3),2)，1]，f(x)∈[0，1＋eq\f(\r(3),2)].故f(x)的值域?yàn)閇0，1＋eq\f(\r(3),2)].10.已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在區(qū)間[﹣eq\f(π,3)，m]上的最大值為eq\f(3,2)，求m的最小值.[解](1)因?yàn)閒(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1,2)﹣eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sin(2x﹣eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，所以f(x)的最小正周期為T(mén)＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x﹣eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).由題意知﹣eq\f(π,3)≤x≤m，所以﹣eq\f(5π,6)≤2x﹣eq\f(π,6)≤2m﹣eq\f(π,6).要使f(x)在區(qū)間[﹣eq\f(π,3)，m]上的最大值為eq\f(3,2)，即sin(2x﹣eq\f(π,6))在區(qū)間[﹣eq\f(π,3)，m]上的最大值為1，所以2m﹣eq\f(π,6)≥eq\f(π,2)，即m≥eq\f(π,3).所以m的最小值為eq\f(π,3).1.已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的兩根，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則α＋β＝()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,3)或﹣eq\f(2π,3)C.﹣eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)D.﹣eq\f(2π,3)答案為：D.解析：由題意得tanα＋tanβ＝﹣3eq\r(3)＜0，tanαtanβ＝4＞0，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，且tanα＜0，tanβ＜0，又由α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))得α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以α＋β∈(﹣π，0)，所以α＋β＝﹣eq\f(2π,3).]2.已知cos(eq\f(2π,3)﹣2θ)＝﹣eq\f(7,9)，則sin(eq\f(π,6)＋θ)的值為()A.eq\f(1,3)B.±eq\f(1,3)C.﹣eq\f(1,9)D.eq\f(1,9)B.[∵cos(eq\f(2π,3)﹣2θ)＝﹣eq\f(7,9)，∴cos[π﹣(eq\f(π,3)＋2θ)]＝﹣cos(eq\f(π,3)＋2θ)＝﹣cos[2(eq\f(π,6)＋θ)]＝﹣[1﹣2sin2(eq\f(π,6)＋θ)]＝﹣eq\f(7,9)，解得sin2(eq\f(π,6)＋θ)＝eq\f(1,9)，∴sin(eq\f(π,6)＋θ)＝±eq\f(1,3).]3.已知A，B均為銳角，cos(A＋B)＝﹣eq\f(24,25)，sin(B＋eq\f(π,3))＝eq\f(3,5)，則cos(A﹣eq\f(π,3))＝________.eq\f(117,125).[因?yàn)锳，B均為銳角，cos(A＋B)＝﹣eq\f(24,25)，sin(B＋eq\f(π,3))＝eq\f(3,5)，所以eq\f(π,2)＜A＋B＜π，eq\f(π,2)＜B＋eq\f(π,3)＜π，所以sin(A＋B)＝eq\r(1－cos2（A＋B）)＝eq\f(7,25)，cos(B＋eq\f(π,3))＝﹣eq\r(1－sin2（B＋\f(π,3)）)＝﹣eq\f(4,5)，可得cos(A﹣eq\f(π,3))＝cos[(A＋B)﹣(B＋eq\f(π,3))]＝﹣eq\f(24,25)×(﹣eq\f(4,5))＋eq\f(7,25)×eq\f(3,5)＝eq\f(117,125).]4.已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f(eq\f(π,6))的值；(2)若sinα＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(π,2)，π)，求f(eq\f(α,2)＋eq\f(π,24)).[解](1)f(eq\f(π,6))＝cos2eq\f(π,6)＋sineq\f(π,6)coseq\f(π,6)＝(eq\f(\r(3),2))2＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3＋\r(3),4).(2)因?yàn)閒(x)＝cos2x＋sinxcosx＝eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))，所以f(eq\f(α,2)＋eq\f(π,24))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sin(α＋eq\f(π,12)＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sin(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)(eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα).又因?yàn)閟inα＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(π,2)，π)，所以c