新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破學(xué)案4.1《空間幾何體》（原卷版）

第第頁(yè)第1講空間幾何體[考情分析]空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.考點(diǎn)一空間幾何體的折展問題核心提煉空間幾何體的側(cè)面展開圖1.圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.2.圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.3.圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán).例1(1)“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩(shī)人楊萬里的作品《過松源晨炊漆公店》.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為40km，山高為40eq\r(15)km，B是山坡SA上一點(diǎn)，且AB＝40km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為()A.60kmB.12eq\r(6)kmC.72kmD.12eq\r(15)km(2)如圖，在三棱錐P﹣ABC的平面展開圖中，AC＝eq\r(3)，AB＝1，AD＝1，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(3,4)規(guī)律方法空間幾何體最短距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面中兩點(diǎn)間的最短距離問題，注意展開后對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)和邊.跟蹤演練1(1)(多選)如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是()A.C∈GHB.CD與EF是共面直線C.AB∥EFD.GH與EF是異面直線(2)如圖，在正三棱錐P﹣ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝2，一只蟲子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是()A.3eq\r(2)B.3eq\r(3)C.2eq\r(3)D.2eq\r(2)考點(diǎn)二表面積與體積核心提煉1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)).(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng)).(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑).2.空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高).(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高).(3)V臺(tái)＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下為底面面積，h為高).(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑).例2(1甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若eq\f(S甲,S乙)＝2，則eq\f(V甲,V乙)等于()A.eq\r(5)B.2eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\f(5\r(10),4)(2)(多選)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB.記三棱錐E﹣ACD，F(xiàn)﹣ABC，F(xiàn)﹣ACE的體積分別為V1，V2，V3，則()A.V3＝2V2B.V3＝V1C.V3＝V1＋V2D.2V3＝3V1規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對(duì)于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解.(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體.(3)等體積法：選擇合適的底面來求體積.跟蹤演練2(1)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為()A.80eq\r(2)πB.40C.40eq\r(2)πD.40eq\r(5)π(2)如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺(tái)的體積是()A.eq\f(7\r(2)π,24)B.eq\f(7\r(3)π,24)C.eq\f(7\r(2)π,12)D.eq\f(7\r(3)π,12)考點(diǎn)三多面體與球核心提煉求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；(2)定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.例3(1)如圖，三棱錐V﹣ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝VA＝2，則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()A.(2﹣eq\r(3))∶1B.(2eq\r(3)﹣3)∶1C.(eq\r(3)﹣1)∶3D.(eq\r(3)﹣1)∶2(2)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A.100πB.128πC.144πD.192π規(guī)律方法(1)求錐體的外接球問題的一般方法是補(bǔ)形法，把錐體補(bǔ)成正方體、長(zhǎng)方體等求解.(2)求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑.跟蹤演練3(1)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)(2)將兩個(gè)一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為________，該組合體的外接球的體積為________.專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為()A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.2∶32.已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A.2B.2eq\r(2)C.4D.4eq\r(2)3.某同學(xué)為表達(dá)對(duì)“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個(gè)面上分別寫了“致敬最美逆行”六個(gè)字.該正方體紙盒水平放置的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如圖是該正方體的展開圖.若圖中“致”在正方體的后面，那么在正方體前面的字是()A.最B.美C.逆D.行4.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則三棱錐A﹣B1CD1的體積為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C.4D.65.小李在課間玩耍時(shí)不慎將一個(gè)籃球投擲到一個(gè)圓臺(tái)狀垃圾簍中，恰好被上底口(半徑較大的圓)卡住，球心到垃圾簍底部的距離為5eq\r(10)a，垃圾簍上底面直徑為24a，下底面直徑為18a，母線長(zhǎng)為13a，則該籃球的表面積為()A.154πa2B.eq\f(616,3)πa2C.308πa2D.616πa2mm)，中雨(10mm～25mm)，大雨(25mm～50mm)，暴雨(50mm～100mm)，小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨7.如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，過點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱AC，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的eq\f(1,3)，則EF的最小值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)8.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤3eq\r(3)，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(18，\f(81,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(81,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3)))D.[18,27]二、多項(xiàng)選擇題9.一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是()A.圓柱的側(cè)面積為4πR2B.圓錐的側(cè)面積為2πR2C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D.球的體積是圓錐體積的兩倍10.設(shè)一空心球是在一個(gè)大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1，若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上且所有面均與內(nèi)球相切，則()A.該正方體的棱長(zhǎng)為2B.該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為3＋eq\r(3)C.空心球的內(nèi)球半徑為eq\r(3)﹣1D.空心球的外球表面積為(12＋6eq\r(3))π11.如圖，已知四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，則下列敘述正確的是()A.該四棱臺(tái)的高為eq\r(3)B.AA1⊥CC1C.該四棱臺(tái)的表面積為26D.該四棱臺(tái)外接球的體積為eq\f(32π,3)12.用與母線不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個(gè)截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)乘積的π倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個(gè)平行平面去截該圓柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對(duì)于這個(gè)斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是()A.底面橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)B.側(cè)面積為24eq\r(2)πC.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36πD.底面積為4eq\r(2)π三、填空題13.陀螺是中國(guó)民間的娛樂工具之一，也叫做陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長(zhǎng)分別為h1，h2，r，且h1＝h2＝r，設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為S1和S2，則eq\f(S1,S2)＝________.14.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F(xiàn)是線段A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，則AF＋FC1的最小值為________.15.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)實(shí)心工藝品(如圖所示).該工藝品可以看成是一個(gè)球體被一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的