概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論基礎(chǔ)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論基礎(chǔ)匯報(bào)人：AA2024-01-20CATALOGUE目錄概率論基本概念一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)字特征與特征函數(shù)統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布參數(shù)估計(jì)方法與應(yīng)用01概率論基本概念隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象的某些基本結(jié)果組成的集合。隨機(jī)事件必然事件不可能事件01020403在隨機(jī)試驗(yàn)中，一定不會發(fā)生的事件。在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象。在隨機(jī)試驗(yàn)中，一定會發(fā)生的事件。隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合。樣本空間包含、相等、互斥（互不相容）、對立等。事件的關(guān)系并（和）、交（積）、差、逆（對立事件）等。事件的運(yùn)算樣本空間與事件關(guān)系概率定義及性質(zhì)概率定義表示隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1）、可列可加性（互不相容事件的并的概率等于各事件概率之和）。古典概型與幾何概型具有有限個樣本點(diǎn)且每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同的隨機(jī)現(xiàn)象。幾何概型具有無限個樣本點(diǎn)且每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同的隨機(jī)現(xiàn)象。古典概型與幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系古典概型是幾何概型的特例，幾何概型可以通過將無限個樣本點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有限個樣本點(diǎn)來應(yīng)用古典概型的方法進(jìn)行計(jì)算。古典概型02一維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量定義及分類設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S，如果對于S中的每一個樣本點(diǎn)e，都有一個實(shí)數(shù)X(e)與之對應(yīng)，則稱X=X(e)為隨機(jī)變量。定義根據(jù)隨機(jī)變量可能取值的性質(zhì)不同，隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩類。分類分布律離散型隨機(jī)變量的分布律可以用分布列來表示，即列出隨機(jī)變量X的所有可能取值及其對應(yīng)的概率。常見離散型隨機(jī)變量分布二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。定義如果隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限個或可列個，則稱X為離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量及其分布律概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布可以用概率密度函數(shù)f(x)來描述。f(x)表示在X=x處的“概率密度”，具有非負(fù)性和規(guī)范性。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。定義如果隨機(jī)變量X的所有可能取值充滿某個區(qū)間(a,b)，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，g(x)是一個實(shí)函數(shù)，則Y=g(X)也是一個隨機(jī)變量，其分布稱為隨機(jī)變量X的函數(shù)分布。離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布可以通過直接計(jì)算或查表得到Y(jié)的分布列。連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布可以通過求解概率密度函數(shù)f_Y(y)得到Y(jié)的分布，其中f_Y(y)可以通過對f_X(x)進(jìn)行變換得到。010203隨機(jī)變量函數(shù)分布03多維隨機(jī)變量及其分布03聯(lián)合分布律離散型多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律，表示各隨機(jī)變量取值的概率分布。01多維隨機(jī)變量的定義描述多個隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量，通常表示為向量形式。02聯(lián)合分布函數(shù)描述多維隨機(jī)變量取值情況的函數(shù)，表示多個隨機(jī)變量同時取某值的概率。多維隨機(jī)變量定義及聯(lián)合分布123多維隨機(jī)變量中，某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，即固定其他變量的取值而得到的該隨機(jī)變量的分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)在多維隨機(jī)變量中，當(dāng)某些隨機(jī)變量的取值已知時，剩余隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)。條件分布函數(shù)連續(xù)型多維隨機(jī)變量的條件概率密度函數(shù)，表示在給定條件下剩余隨機(jī)變量的概率密度。條件概率密度函數(shù)邊緣分布與條件分布獨(dú)立性多維隨機(jī)變量中各隨機(jī)變量相互獨(dú)立，即一個隨機(jī)變量的取值不影響其他隨機(jī)變量的取值。相關(guān)性多維隨機(jī)變量中各隨機(jī)變量之間存在某種關(guān)聯(lián)或依賴關(guān)系。判斷方法通過計(jì)算相關(guān)系數(shù)或協(xié)方差等統(tǒng)計(jì)量來判斷多維隨機(jī)變量之間的獨(dú)立性或相關(guān)性。獨(dú)立性及相關(guān)性判斷多維隨機(jī)變量函數(shù)分布多維正態(tài)分布、多維均勻分布等是常見的多維隨機(jī)變量函數(shù)分布類型。常見分布由多維隨機(jī)變量的各個分量通過某種函數(shù)關(guān)系構(gòu)成的新的隨機(jī)變量。多維隨機(jī)變量函數(shù)的定義通過多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合概率密度函數(shù)，結(jié)合函數(shù)關(guān)系式，可以求出多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。分布求法04數(shù)字特征與特征函數(shù)數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值的平均值，具有線性性質(zhì)、常數(shù)性質(zhì)、獨(dú)立性質(zhì)等。數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的平均值，表示隨機(jī)變量取值的離散程度。方差的定義和性質(zhì)如二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望與方差計(jì)算協(xié)方差的定義和性質(zhì)協(xié)方差表示兩個隨機(jī)變量的總體誤差，用于衡量兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差與兩個隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差乘積的比值，用于消除量綱影響，更加客觀地衡量兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度。協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法和應(yīng)用如樣本協(xié)方差和樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)計(jì)算01矩是描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的一個重要數(shù)字特征，包括原點(diǎn)矩和中心矩。矩的定義和性質(zhì)02協(xié)方差矩陣是由隨機(jī)向量的協(xié)方差構(gòu)成的矩陣，用于描述隨機(jī)向量各分量之間的線性相關(guān)程度。協(xié)方差矩陣的定義和性質(zhì)03特征函數(shù)是描述隨機(jī)變量或隨機(jī)過程的重要工具，包括概率生成函數(shù)、矩生成函數(shù)和特征函數(shù)等。特征函數(shù)的定義和性質(zhì)矩、協(xié)方差矩陣和特征函數(shù)大數(shù)定律的內(nèi)容和意義大數(shù)定律表明當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時，頻率將趨于概率，為概率論的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。中心極限定理表明當(dāng)樣本量足夠大時，樣本均值的分布將趨于正態(tài)分布，為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)提供了重要依據(jù)。如利用大數(shù)定律估計(jì)未知參數(shù)、利用中心極限定理進(jìn)行區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等。中心極限定理的內(nèi)容和意義大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用大數(shù)定律和中心極限定理05統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布統(tǒng)計(jì)量是樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，不依賴于任何未知參數(shù)。統(tǒng)計(jì)量定義及常見類型統(tǒng)計(jì)量定義所有樣本觀測值的平均值。樣本均值衡量樣本觀測值變異程度的統(tǒng)計(jì)量。樣本方差樣本方差的平方根，用于標(biāo)準(zhǔn)化處理。樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映樣本觀測值分布特性的統(tǒng)計(jì)量。樣本k階原點(diǎn)矩反映樣本觀測值相對于均值的偏離程度的統(tǒng)計(jì)量。樣本k階中心矩正態(tài)分布具有對稱性、可加性和穩(wěn)定性等性質(zhì)。正態(tài)分布的性質(zhì)抽樣分布的定義抽樣分布的性質(zhì)當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時，從總體中隨機(jī)抽取n個樣本，其樣本均值服從的分布稱為抽樣分布。抽樣分布的均值等于總體均值，抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以根號n。由正態(tài)分布導(dǎo)出抽樣分布t分布當(dāng)總體分布為正態(tài)分布，但總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理得到的分布稱為t分布。t分布的形狀與自由度有關(guān)，自由度越大，t分布越接近正態(tài)分布。F分布兩個獨(dú)立的卡方分布除以各自的自由度得到的比值服從F分布。F分布常用于方差分析和回歸分析中的假設(shè)檢驗(yàn)。χ^2分布n個獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和服從自由度為n的χ^2分布。χ^2分布常用于檢驗(yàn)總體方差是否等于某一已知值。t分布、F分布和χ^2分布如果對于總體分布的任何參數(shù)，給定樣本的充分統(tǒng)計(jì)量的條件下，樣本的其他信息不提供任何有關(guān)該參數(shù)的額外信息，則稱該充分統(tǒng)計(jì)量為充分統(tǒng)計(jì)量。充分統(tǒng)計(jì)量如果對于總體分布的任何參數(shù)，不存在只依賴于樣本觀測值而不依賴于未知參數(shù)的函數(shù)，使得該函數(shù)與充分統(tǒng)計(jì)量獨(dú)立，則稱該充分統(tǒng)計(jì)量為完備統(tǒng)計(jì)量。完備統(tǒng)計(jì)量具有優(yōu)良的性質(zhì)，如一致性、無偏性和有效性等。完備統(tǒng)計(jì)量充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量06參數(shù)估計(jì)方法與應(yīng)用無偏性估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值。一致性隨著樣本量的增加，點(diǎn)估計(jì)量的值越來越接近被估參數(shù)的真實(shí)值。有效性對于同一總體參數(shù)的兩個無偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小方差的估計(jì)量更有效。點(diǎn)估計(jì)方法評價(jià)準(zhǔn)則區(qū)間估計(jì)原理根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量來推斷總體參數(shù)所在的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間以一定的概率包含總體參數(shù)的真值。置信區(qū)間構(gòu)造選擇合適的置信水平，根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出置信區(qū)間的上下限。區(qū)間估計(jì)原理及置信區(qū)間構(gòu)造VS當(dāng)總體服從正態(tài)分布時，樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)，且樣本均值服從正態(tài)分布。正態(tài)總體方