小學(xué)二年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識講解第六課(七座橋問題)

二年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識講解第六課《七座橋問題》奧數(shù)練習(xí)題和答案

二年級奧數(shù)下冊：第六講七座橋問題

笫六講七座橋問題

二百五十年前，有一個問題曾出現(xiàn)在普通人的生活中，向人們的智力挑

戰(zhàn)，使得很多人冥思苦想.在相當(dāng)長的一段時間里，很多人都想解決它，但他們

都失敗了.

今天，我們小學(xué)生也要大膽地研究研究它.

這個問題叫做“七座橋問題

當(dāng)時，德國有個城市叫哥尼斯堡.城中有條河，河中有個島，河上架有七座

橋，這些橋把陸地和小島連接起來，這樣就給人們提供了一個游玩的好去處

（見下圖）.俗話說，“人是萬物之靈”，他們就是在游玩時候想出了這樣一個

問題：

如果在陸地上可以隨便走，而對每座橋只許通過一次，那么一個人要連續(xù)

地走完這七座橋怎么個走法？

好動腦筋的小朋友請先不要接著住下談，你也試一試，走一走.

你是怎樣試的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像當(dāng)年的游人那樣親自步

行過橋上島.因為你并沒有離開自己的教室，你坐在教室里，在你的面前沒有河

流，沒有小島，也沒有橋，但在你面前卻有一張圖！

可是，這又是一張什么樣的圖呢？圖上并沒河流、小島和小橋的原樣，只

是用一些線條來代表它們，但卻明白無誤地顯示出了它們之間的位置關(guān)系和連

接方式.可以說，這是一張為了做數(shù)學(xué)而舍棄了許多無關(guān)的真實內(nèi)容而抽象出來

的“數(shù)學(xué)圖

這樣的抽象過程非常重要，這種抽象思維對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來講非常重要.

也許你是用鉛筆尖在圖上畫來畫去進行試驗的吧！好！你做得很好！為什

么這樣說呢？因為當(dāng)你這樣做的時候，就發(fā)揮了自己的想像力：你在無意中把

自己想像成了一個小筆尖.你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成了你自身的

經(jīng)歷，有位教育家曾說“強烈而活躍的想像是偉大智慧不可缺少的屬性”.看來

你并不缺少這種想像力！

讓我們再好好地想一想，剛才你把小筆尖在七橋圖上畫來畫去，想像成你

自己過橋的親身經(jīng)歷，這不就是把過僑問題和一筆畫問題聯(lián)系在一起了嗎？用

一句數(shù)學(xué)上常用的話說，這就是把實際生活中的問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，下面

的圖把這種轉(zhuǎn)化過程詳細地畫了出來.

在下頁左圖中把陸地想像成了幾大塊.這對過橋問題并不產(chǎn)生影響.

在下頁右圖中進一步把陸地塊縮小，同時改用線段代表小橋，這也不改變

過僑問題的實質(zhì).

在下面左圖中，進一步把陸地和島都用小圓圈代表，這己是“幾何圖形”

T，但還是顯得復(fù)雜.

在下面右圖中，圓進一步縮成了點.這樣它變成了只由點和線構(gòu)成的最簡單

的幾何圖形了.經(jīng)過上面這樣的一番簡化，七僑問題的確就變成了上右圖（即為

第五講習(xí)題1中的圖（9））是不是能一筆畫成的問題了.很容易看出圖中共有4

個奇點，由上一講得到的判定法則可知，它不能一筆畫成，因而人們根本不能

一次連續(xù)不斷地走過七座橋.

陸地

陸地

陸地

這樣七橋問題就得到了圓滿的解決.

這種解法是大數(shù)學(xué)家歐拉找到的.這種簡化也就是一種抽象過程.所謂“抽

象”就是在解決實際問題的過程中，舍棄與問題無關(guān)的方方面面.而只抓住那個

能體現(xiàn)問題實質(zhì)的東西.就像在七橋問題中，陸地和島的大小、橋的寬窄和長短

都是與問題無關(guān)的東西.

最后，再把解決七橋問題的要點總結(jié)一下：

①把陸地和島縮小畫成點，把橋畫成線，這樣就把原圖變成了簡單的幾何

圖形了.

②如果這種由點和線組成的圖形是一筆畫，人就能一次通過所有的橋；如

果這種圖形不能一筆畫成，人就不能一次通過所有的橋.

③由前述判定法則可知，有0個奇點或2個奇點的圖形是一筆畫，超過兩個

奇點時，圖形就不能一筆畫出來.

模仿這種思路，也能解決類似好多問題.

二年級奧數(shù)下冊：第六講七座橋問題習(xí)題

習(xí)題六

1.學(xué)習(xí)歐拉，先將過橋問題轉(zhuǎn)化為一筆畫問題，再進行判斷（見下圖）.

過橋問題：

可否一次通過的橋（每座橋只能走一次）？

例：

仿此例依次判斷出:

-座橋

二座橋

三座橋（之4^

四座橋查

五座橋

六座橋

七座橋期茨/

八座橋

2.下圖是鄉(xiāng)間的一條小河，上面建有六座橋,你能一次不重復(fù)地走遍所有

的小橋嗎？

（每座小橋最多只準(zhǔn)走一次，陸地上可以重復(fù)地來回走）

3.在我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤寫的《數(shù)學(xué)趣談》一書中，有下面的這樣一道

題，大意是說：在法國的首都巴黎有一條河，河中有兩個小島，那里的人們建

了15座橋把兩個小島和河岸連接起來，如下圖所示，請你說一說，從任一岸出

發(fā)，一次連續(xù)地通過所有的橋到達另一岸，可能嗎？（每座橋只能走一次）

4.下圖所示為一座售貨廳.問顧客從入口進去時，能夠一次不重復(fù)地走遍各

個門嗎？請說明你的理由.

如果售廳出口在4號房間由你設(shè)計再開一個門，使顧客從入口進去后一次不

重復(fù)地走遍各個門，再從4號房間出售廳，你打算在哪里再開一個門？

售貨廳入口

二年級奧數(shù)下冊：第六講七座橋問題習(xí)題解答

習(xí)題六解答

1.解：見下圖

過橋問題：

可否一次通過所有的橋

（每座橋只能走一次）

八座橋

九座橋辭7燙

一筆畫問題：

可否一筆畫成圖形（筆不能抬起，不能重復(fù)）

o______o可?------?2奇點

I

0____A可?-------2奇點

II

o--------0不可?-------4奇點

可2奇點

0奇點

住部偶點）

2.解：見下兩圖，可知不能一次不重復(fù)地走遍所有的小橋，因為下右圖有4

個奇點.

3.解：由于通過兩島之中任何一個島的橋的數(shù)目都是偶數(shù)，而通過兩岸的

任一個岸的橋的數(shù)目都是奇數(shù)，這就表示由任一個岸出發(fā)，都存在一條路，使

人們將所有的橋都只走一次而到達另外一個岸.畫出圖來就能一目了然了.見下

圖.

因為圖中共有兩個奇點，且奇點均為岸，是一筆畫.

所以人們可以一次通過所有的橋，每座橋只走一次，由一岸到另一岸.

4.解：從入口進入售貨廳后，也就是從1號房間開始不能一次不重復(fù)地走遍

各個門，因為雖然整個圖形（見下圖）只有2個奇點，但點1是偶點.

當(dāng)出口在4號