小學(xué) 四年級 上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解 第3課《定義新運算》試題附答案

小學(xué)四年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第3課《定義新運算》試題附答案

第三講定義新運算

我們學(xué)過的常用運算有：+、-、X、+等.

如：2+3=5

2X3=6

都是2和3,為什么運算結(jié)果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應(yīng)法

則不同.可見一種運算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應(yīng)方法，對應(yīng)法則不同

就是不同的運算.當然，這個對應(yīng)法則應(yīng)該是對任意兩個數(shù)，通過這個法則都有

一個唯一確定的數(shù)與它們對應(yīng).只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運

算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“+”，

“一,,,“X”,“二”運算不相同.

我們先通過具體的運算來了解和熟悉“定義新運算

例1設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定aAb=3Xa—2Xb,

①求3A2,2A3；

②這個運算“△”有交換律嗎？

③求（17A6）A2,17A（6A2）；

④這個運算“△”有結(jié)合律嗎？

⑤如果已知4ZXb=2,求b.

例2定義運算※為豚b=aXb—（a+b）,①求5派7,7派5；

②求建※耳※。，（12X3）※/

③這個運算“※”有交換律、結(jié)合律嗎？@如果3派（5Xx）=3,求x.

例3定義新的運算a9b=aXb+a+b.

①求6十2,206；

②求（1十2）?3,1?（2十3）；

③這個運算有交換律和結(jié)合律嗎?

例4有一個數(shù)學(xué)運算符號"?"，使下列算式成立：2位4=8,50

3=13,3?5=11,9?7=25,求7⑥3=?

例5x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“*”及“△”如下：x*尸mx+ny,xA

y=kxy,箕中m、n,k均為自然數(shù)，已知1*2=5,(2*3)A4=64,求(1A2)

*3的值.

答案

第三講定義新運算

我們學(xué)過的常用運算有：+、-、X、+等.

如：2+3=5

2X3=6

都是2和3,為什么運算結(jié)果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應(yīng)法

則不同.可見一種運算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應(yīng)方法，對應(yīng)法則不同

就是不同的運算.當然，這個對應(yīng)法則應(yīng)該是對任意兩個數(shù)，通過這個法則都有

一個唯一確定的數(shù)與它們對應(yīng).只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運

算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“+”，

“一?,"”運算不相同.

我們先通過具體的運算來了解和熟悉“定義新運算

例1設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定aAb=3Xa—2Xb,

①求3A2,2A3；

②這個運算“△”有交換律嗎？

③求（17A6）A2,17A（6A2）；

④這個運算“△”有結(jié)合律嗎？

⑤如果已知4Z\b=2,求b.

分析解定義新運算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運算的本

質(zhì)是：用運算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.解：①3Z\2=3X

3-2X2=9-4=5

2A3=3X2-2X3=6-6=0.

②由①的例子可知“△”沒有交換律.

③要計算（177\6）A2,先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：17A6=3X17-2X6=

39；再計算第二步

39A2=3X39-2X2=113,

所以（17ZX6）A2=113.

對于.同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，6A2=3X6-2X2=14.其次

17A14=3X17-2X14=23,

所以（6A2）=23.

@由③的例子可知“△”也沒有結(jié)合律.⑤因為4Z\b=3X4-2Xb=12-2b,

那么12-2b=2,解出b=5.

例2定義運算※為既b=aXb—（a+b）,①求5※九7派5；

②求建※（3派4）,（12X3）※/

③這個運算“※”有交換律、結(jié)合律嗎？④如果（5Xx）=3,求x.

解：①5i^7=5X7-（5+7）=35-12=23,7-^5=7X5-（7+5）=

35-12=23.

②要計算受※?！?，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：3X4=3X4-（3+4）

=5,再計算第二步12X5=12義5-（12+5）=43,

所以修※（3X4）=43.

對于（12X3）※心同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，12X3=12X3-（12+3）=

21,其次

21-^4=21X4-（21+4）=59,所以（修※3）※4二59.③由于小b=a

Xb-（a+b）；

bXa=bXa—（b+a）

=aXb-（a+b）（普通加法、乘法交換律）

所以有族b=bXa,因此“※”有交換律.

由②的例子可知，運算"X”沒有結(jié)合律.

④5Xx=5x-（5+x）=4x-5；

（5Xx）=3※（4x-5）

=3（4x-5）-（3+4x-5）

=12x-15-（4x-2）

=8x-13

那么8x73=3

解出x=2.

例3定義新的運算a9b=aXb+a+b.

①求6十2,2?6j

②求（1?2）?3,1?（2?3）j

③這個運算有交換律和結(jié)合律嗎？

解：①6十2=6X2+6+2=20,

2十6=2X6+2+6=20.

②（1十2）?3=（1X2+1+2）?3

=5十3

=5X3+5+3

=23

1?(2?3)=1?(2X3+2+3)

=1?11

=1X11+1+11

=23.

③先看“?”是否滿足交換律：

a?b=aXb+a+b

b?a=bXa+b+a

=aXb+a+b(普通乘法與加法的交換律)

所以a^b=bSa,因此十滿足交換律.

再看"?"是否滿足結(jié)合律：

a十b)Q)c=(aXb+a+b)?c

=(aXb+a+b)Xc+aXb+a+b+c

=abc+ac+be+ab+a+b+c.

a?(b?c)=a?(bXc+b+c)

=aX(bXc+b+c)+a+bXc+b+c

=abc+ab+ac+a+bc+b+c

=abc+ac+bc+ab+a+b+c.(普通加法的交換律)

所以(a十b)?c=a?(b?c),因此“十”滿足結(jié)合律.

說明：①對于普通的加法不滿足分配律，看反例：

1?(2+3)=1?5=1X5+1+5=11；

1?2+1?3=1X2+1+2+1X3+14-3

=5+7=12,

因此1十(2+3)力十2+1十3.

例4有一個數(shù)學(xué)運算符號“O,使下列算式成立：204=8,5?

3=13,3?5=11,907=25,求7?3=?

解：通過對204=8,5?3=13,3?5=-ll,9?7=25這幾個算式

的觀察，找到規(guī)律:

a?b=2a?b,因此703=2X7+3=17.

例5x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“*”及“△”如下：x*尸mx+ny,xA

y=kxy,其中m,n,k均為自然數(shù)，已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1A2)

*3的值.

分析我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求12\2)*3的值，首先

我們要計算1/\2,根據(jù)“△”的定義：lA2=kXlX2=2k,由于k的值不知道，

所以首先要計算出k的值.k值求出后，1A2的值也就計算出來了，我們設(shè)

2=3.

(1A2)*3=a*3,按“*”的定義：a*3=ma+3n,在只有求出m、n時，我們

才能計算a*3的值.因此要計算(1A2)*3的值，我們就要先求出k、m、n的

值.通過1*2=5可以求出m、n的值，通過(2*3)Z\4=64求出k的值.

解：因為l*2=mXl+nX2=/2n,所以有"2n

=5.又因為m、n均為自然數(shù)，所以解出：

m=2

m=1'm=3

,3（

,n=2舍去）\=1

n=-

①當HFI,n=2時：

（2*3）△4=（IX2+2X3）A4

=8Z\4=kX8X4=32k

有32k=64,解出k=2.

②當ITF3,n=l時：

（2*3）A4=（3X2+1X3）A4

=9A4=kX9X4=36k

7.

有36k=64,解出k=lg,這與k是自然數(shù)矛盾，因止tm=3,n=l,

k=4這組值應(yīng)舍去

y

所以"1,n=2,k=2.

（1A2）*3=（2X1X2）*3

=4*3

=1X4+2X3

=10.

在上面這一類定義新運算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點不

放，在計算時，嚴格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個值得注意的問題是：定

義一個新運算，這個新運算常常不滿足加法、乘法所滿足的運算定律，因此在

沒有確定新運算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運用這些運算律來解題.

習(xí)題三

1e*1）表示2的3倍減去6的：，例如：

l*2=lX3-2x1=2,根據(jù)以上的規(guī)定，

計算：①10*6②7*（2*1）.

2.定義新運算為aOb=?

b

①求20（304）的值；

②若x04=1.35,則x=?

3.有一個數(shù)學(xué)運算符號。，使下列算式成立：

1234711516f34gH

-O—=——O—=-O------爾O—時俏

236'5945'6742'115

4,定義兩種運算“十"、"0"，對于任意兩個整數(shù)a、b,

a?b=a+b-1,a?b=aXb-1,

①計算40((6?8)?(3十5))的值；

②若x十(x04)=30,求x的值。

5.對于任意的整數(shù)x、y,定義新運算“△”，

xAy=—7；~二其中m是一個確定的整數(shù))，

mXx+zXy

如果1Z\2=2,則必9=?

6.對于數(shù)a、b規(guī)定運算為aVb=(a+1)X(1-b),若

等式(aWa)V(a+1)=(a+1)V(aVa)成立，求a的值.

7.“*”表示一種運算符號，它的含義是：

11

x*廠二西而對

112

已知2*1=k+ME=?求”98*1999的值

8.冰b=?，在=6中，求x的值

9.規(guī)定aAb=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-l),(a、b均為自然數(shù)，b〉

a)如果xA10:65,那么x=?

10.我們規(guī)定：符號。表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，例如：5°3=3°

5=5,符號△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算，例如：5Z\3=3ZX5=3,計算：

16。臥卜625闔

(九3417237…)?

0.3A—+-—o2.25

{99}(106)

四年級奧數(shù)上冊：第三講定義新運算習(xí)題解答

習(xí)題三解答

1.解：010*6=10X3-6X1=30-3=27.

②7*(2*1)=7*(2X3-1X今

=7*5,5

1

=7X3-5.5X-

2

18.25.

2.解：20(304)=2。?

=2?1

_2+1

=3.

②按照規(guī)定的運算：

②按照規(guī)定的運算:x4=?，所以有?=135,解出x=4.4

。.N一升1234711516

3.解：通過對一。一=——O—=———O-=——

聽J236'5945'6742

這幾個算式的觀察，找到規(guī)律為：

acaXc

..347

因此IF5二百

4解：4到(6十8)十(3十5)]

=4?[(6+8+1)?(3+5-1)]

=4例13十7]

=40(13+7-1)

=4019

=4X19-1

=75.

②因為x十(x?4)=x?(4x-1)

=x+4x-1-1

=5x-2

所以有5x-2=30,解出x=6.4.

6X1X212

5.解：按照規(guī)定的運算必2=

mXl+2X2m+4

126X2X95410

所以有一-=2,解出m=2.于是,?△9=-----------------=—=<4—

m+42X2+2X911IV

6.解：先看等式(a^7a)V(a+1)=(a+1)V(aVa)的

左邊：

(aVa)V(a+1)=[(a+1)X(1-a)]V(a+1)

=(1-a2)V(a+1)

=(1-a2+1)X[1-(a+1)]

=a2+2a

再看等式(aVa)V(a+1)=(a+1)V(aVa)的右邊:

(a+l)V(aVa)=(a+l)V((a+l)x(l-a)]

=(a+a2)

2

=(a+l+l)x[l-(l-a)]

=a3+2a2

所以有￡-2a=a3+2a2

因此/+a=0

因為要使a?+a=O,只有a=0,因此a=0.

7解由于2*1=(2+，(1+A)

111

=2+3(1+A),

所以有

解出A=l.

+

因此1998*1999=199gxl999(1998+1)X(1999+1)

11