小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)第12課《染色中的抽屜原理》試題附答案

小學(xué)五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第12課《染色中的抽屜原理》試題附答案

第十三講染色中的抽屜原理

根據(jù)抽屜原理可以解決許多有趣的問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)不同的問(wèn)題制造抽

屜.如研究整除問(wèn)題時(shí)常用剩余類當(dāng)作抽屜，研究長(zhǎng)度和面積時(shí)用圖形制造抽

屜等等.在這一講中將研究如何用顏色當(dāng)作抽屜來(lái)解決一些問(wèn)題。

例1平面上有A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)，其中沒(méi)有三點(diǎn)共線，每?jī)牲c(diǎn)之間任意

選用紅線或藍(lán)線連接，求證：不管怎樣連接，至少存在一個(gè)三邊同色的三角

形。

例2從同一個(gè)小學(xué)畢業(yè)的同學(xué)之間的關(guān)系可以分為三個(gè)等級(jí)：關(guān)系密切、一般

關(guān)系、毫無(wú)關(guān)系.請(qǐng)你證明在這個(gè)學(xué)校的17名校友中.至少有三個(gè)人，他們之間

的關(guān)系是同一個(gè)等級(jí)的。

例3用黑、白兩種顏色把一個(gè)2X5（即2行5列）的長(zhǎng)方形中的每個(gè)小方格都隨

意染一種顏色.證明：必有兩列，它們的涂色方式完全相同。

白白黑黑

白黑白黑

例4如果有一個(gè)3Xn的方格陣列，每一列的三個(gè)方格都任意用紅、黃、藍(lán)、綠

四色之三染成三種不同顏色，問(wèn)n至少是多少時(shí)，才能保證至少有3列的染色方

式完全相同。

例5對(duì)一塊3行7列的長(zhǎng)方形陣列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求

證：在這個(gè)長(zhǎng)方形中，一定有一個(gè)由小方格組成的長(zhǎng)方形，它的四個(gè)角上的小

方格同色。

例6用黑、白兩種顏色將一個(gè)5X5的長(zhǎng)方形中的小方格隨意染色.求證：在這

個(gè)長(zhǎng)方形中一定有一個(gè)由小方格組成的長(zhǎng)方形，它的四個(gè)角上的小方格同色。

答案

笫十三講染色中的抽屜原理

根據(jù)抽屜原理可以解決許多有趣的問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)不同的問(wèn)題制造抽

屜.如研究整除問(wèn)題時(shí)常用剩余類當(dāng)作抽屜，研究長(zhǎng)度和面積時(shí)用圖形制造抽

屜等等.在這一講中將研究如何用顏色當(dāng)作抽屜來(lái)解決一些問(wèn)題。

例1平面上有A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)，其中沒(méi)有三點(diǎn)共線，每?jī)牲c(diǎn)之間任意

選用紅線或藍(lán)線連接，求證：不管怎樣連接，至少存在一個(gè)三邊同色的三角

形。

分析與解答連彩線的方式很多，如果一一畫(huà)圖驗(yàn)證結(jié)論，顯然是不可取的.這

個(gè)問(wèn)題如果利用抽屜原理去解決，就不是難事了。

我們用虛線表示紅色，用實(shí)線表示藍(lán)色.從任意一點(diǎn)比如點(diǎn)A出發(fā)，要向

B.C,D、E、F連5條線段.因?yàn)橹挥袃煞N顏色，所以根據(jù)抽屜原理，至少有3條

線段同色.不妨設(shè)AB、AD、AE三線同紅色（如右圖）.如果B、D、

AJC

.\"、D

FE

E這三點(diǎn)之間所連的三條線段中有一條是紅色的，則出現(xiàn)一個(gè)三邊為紅色

的三角形.如果這三點(diǎn)之間所連線段都不是紅色，那么就都是藍(lán)色的.這樣，三

角形BDE就是一個(gè)藍(lán)色的三角形.因此，不管如何連彩線，總可以找到一個(gè)三邊

同色的三角形。

如果我們把上面例題中的點(diǎn)換成人，把紅藍(lán)兩種顏色連線換成人與人之間

的關(guān)系，又可以解決某些實(shí)際問(wèn)題.如：證明在任意的6個(gè)人之間，或者有3個(gè)

人互相認(rèn)識(shí)，或者有3人互相都不認(rèn)識(shí)。

我們只需把互相認(rèn)識(shí)的兩人用紅線連接，互相不認(rèn)識(shí)用藍(lán)線連接，那么所

要證明的結(jié)論就變成證明存在一個(gè)紅色或藍(lán)色的三角形了。

例2從同一個(gè)小學(xué)畢業(yè)的同學(xué)之間的關(guān)系可以分為三個(gè)等級(jí)：關(guān)系密切、一般

關(guān)系、毫無(wú)關(guān)系.請(qǐng)你證明在這個(gè)學(xué)校的17名校友中.至少有三個(gè)人，他們之間

的關(guān)系是同一個(gè)等級(jí)的。

分析與解答把17人看成平面上17個(gè)點(diǎn)；用紅、藍(lán)、白三種顏色的連線表示同

學(xué)之間三種不同等級(jí)關(guān)系.那么這個(gè)實(shí)際問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：證明用紅、藍(lán)、白三

種顏色的線段連接平面上的17個(gè)點(diǎn)（沒(méi)有三點(diǎn)共線），一定存在一個(gè)同色的三

角形。

因?yàn)橐粋€(gè)點(diǎn)要與其他16個(gè)點(diǎn)連線，只有三種顏色，所以根據(jù)抽屜原理，從

一點(diǎn)至少引出6條同色的線段.不妨設(shè)點(diǎn)A與B、C、D、E、F、G六點(diǎn)是用白色線

段連接的.如果B、C、D、E、F、G這六點(diǎn)之間有一條白線連線，那么就會(huì)出現(xiàn)

一個(gè)三邊為白色的三角形.否則，這六個(gè)點(diǎn)只能用紅、藍(lán)兩種顏色連接了.根據(jù)

例1的證明可得，這六個(gè)點(diǎn)之間必有一個(gè)紅色邊或藍(lán)色邊的三角形存在。

從例2的證明看出，它的論證方法與例1是相似的，只不過(guò)比例1多用了一

次抽麻原理。

例3用黑、白兩種顏色把一個(gè)2X5（即2行5列）的長(zhǎng)方形中的每個(gè)小方格都隨

意染一種顏色.證明：必有兩列，它們的涂色方式完全相同。

Epl

亙巨，、、、，、、、

RplEH

亙，、、、亙，、、、

分析與解答因?yàn)槊苛兄挥袃筛?，而這兩格的染法只有（右圖）四種，將這4種

染色方式當(dāng)作4個(gè)抽屜，題中所有的方格共有5列，根據(jù)抽屜原理，至少有兩列

的染色方式完全相同。

例4如果有一個(gè)3Xn的方格陣列，每一列的三個(gè)方格都任意用紅、黃、藍(lán)、綠

四色之三染成三種不同顏色，問(wèn)n至少是多少時(shí)，才能保證至少有矽”的染色方

式完全相同。

分析與解答每一列都從4種顏色中選出三種分別染上這列中的三個(gè)小格，染色

的方式共有4X3X2=24（種）.若要保證至少有3列的染色方式完全相同，那么

連少是24X2+1=49。

下面研究另一類長(zhǎng)方形陣列小格的染色的問(wèn)題。

例5對(duì)一塊3行7列的長(zhǎng)方形陣列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求

證：在這個(gè)長(zhǎng)方形中，一定有一個(gè)由小方格組成的長(zhǎng)方形，它的四個(gè)角上的小

方格同色。

證法L每一列的三個(gè)格用黑、白兩種顏色染色.所有可能的染法只有如下

圖中的八種

一

一npi

白甲

白白，、、、，、、、白，、、、

一

百Epi

白R(shí)plEEJ

EE白，、、、白，、、、

一

百，、、、，、、、

黑Kpl

一白白白

一，＞、、八、、

⑵

(1)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

如果在所染色的3行7列陣列中某一列是第（1）種方式，即三格均為白

色，則其余6列中只要再有第（1）（2）（3）（4）種方式之一（即該列中至

少有兩個(gè)白格），那么顯然存在一個(gè)四角格都是白色的長(zhǎng)方形.若第（1）、

（2）、（3）、（4）種方式均未出現(xiàn),那么其余6列就只能是（5）、（6）、

（7）、（8）這四種方式，根據(jù)抽底原理，其中至少有兩列染色方式完全一

樣.又（5）?（8）中每一列至少有兩格染黑色，所以一定存在一個(gè)長(zhǎng)方形，

它的四角格顏色都是黑色。

同理可知，如果有一列是第（8）種方式，即三格均為黑色，那么也存在

四角同色的長(zhǎng)方形。

如果在7列中（1）、（8）兩種方式都未出現(xiàn)，則只有（2）、（3）、

（4）、（5）、（6）、（7）這六種方式染這7列，根據(jù)抽屜原理，至少有兩

列染色方式完全一樣，所以仍然存在四角同色的長(zhǎng)方形。

證法2：第一行有7個(gè)小方格，用黑白兩種顏色去染，根據(jù)抽屜原理，至少

有四個(gè)方格所染顏色相同，不妨設(shè)第一行有4個(gè)黑方格.再看第二行，如果在第

一行的四個(gè)黑方格下面的四格中有兩格是黑色，則結(jié)論顯然成立.否則第二行

這四個(gè)格中至少有3個(gè)白色方格。

再看第三行.根據(jù)抽屜原理，在第三行的位于第二行的3個(gè)白格下面的3個(gè)

格中必至少有兩格同色.如果有兩格為白色，則與第二行構(gòu)成四角白色的長(zhǎng)方

形；如果沒(méi)有兩格白色，那么必有兩格為黑色，則與第一行構(gòu)成四角黑色的長(zhǎng)

方形。

例6用黑、白兩種顏色將一個(gè)5X5的長(zhǎng)方形中的小方格隨意染色.求證：在這

個(gè)長(zhǎng)方形中一定有一個(gè)由小方格組成的長(zhǎng)方形，它的四個(gè)角上的小方格同色。

分析與解答第一行中的5個(gè)小方格用黑、白兩種顏色去染，根據(jù)抽屜原理，至

少有3個(gè)小方格同色.不妨設(shè)第一行的前3個(gè)為白格.現(xiàn)在考慮位于這3個(gè)白格下

面的那個(gè)3X4的長(zhǎng)方形（如右圖3,用黑、白兩種顏色去染這個(gè)3義4的長(zhǎng)方

形，有以下兩種情況：

白白白

①若在某一行的3個(gè)方格中出現(xiàn)兩個(gè)白格，則它們與上方第一行相應(yīng)的兩

個(gè)白格可組成四角同為白色的長(zhǎng)方形。

②若在4X3的長(zhǎng)方形的任意一行的3個(gè)小方格中都不含兩個(gè)白格，也就是

每一行的3個(gè)小方格所涂的顏色只有一白二黑或三黑，則只有下面（1）、

（2）、（3）、（4）共4種可能.如果（4）出現(xiàn)在某一行中，那么不管

其他三行為（1）、（2）、（3）、（4）中的哪種情況，必有一個(gè)四角為

黑色小方格的長(zhǎng)方形.如果（4）未出現(xiàn)，則在這四行中只能出現(xiàn)Q）、

（2）、（3）這3種情況，由抽屜原理可知，必有兩行染色方式完全相同，顯

然這兩行中的4個(gè)黑色小方格可構(gòu)成四角同黑的長(zhǎng)方形.

白八、、

Bp

，、、,白，、、、

八＞〉白

Rplrrp

，、、、，、、、，、、、

習(xí)題十三

1.一天，頤和園知春亭中有6位游客.請(qǐng)證明：他們之中必有三名互相認(rèn)識(shí)

或者互相不認(rèn)識(shí)。

2.用紅、黑兩種顏色將一個(gè)2義9的長(zhǎng)方形中的小方格隨意染色，每個(gè)小方

格染一種顏色，證明：至少有3列小方格中染的顏色完全相同。

3.用紅、白、黑三種顏色給一個(gè)3Xn的長(zhǎng)方形中的每一個(gè)小方格隨意染上

一種顏色.n至少為多少時(shí)，才能保證至少有兩列染色方式完全一樣？

五年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第十三講染色中的抽屜原理習(xí)題解答

習(xí)題十三解答

1.把六位游客看作平面上的六個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線），互相認(rèn)識(shí)的用紅

線連接，不認(rèn)識(shí)的用藍(lán)線連接，按例1的證法即可得出結(jié)論。

2.2X9的長(zhǎng)方形有9列，每列有兩個(gè)小方格，用紅、黑兩色染色，共有4種

不同的方式，看作4個(gè)抽屜，因?yàn)?=4X2+1,所以根據(jù)抽屜原理，至少有3列

染色方式相同。

3.每一列有3個(gè)小方格，每個(gè)小方格都有紅、白、黑三種染色方法，則各

列染色的方式有3X3X3=27（種）.根據(jù)抽屜原理，至少有28列才能保證至少

有兩列染色方式完全一樣，因此n的最小值為2&

附：奧數(shù)技巧分享

分享四個(gè)奧數(shù)小技巧。希望孩子早進(jìn)步哦。

技巧1：培養(yǎng)孩子數(shù)字感

要想入門(mén)奧數(shù)，很大一部分程度上靠的就是孩子的數(shù)字感，那么我們應(yīng)該如何培養(yǎng)孩子的數(shù)

字感呢？最簡(jiǎn)單的方法，就是讓孩子去超市購(gòu)物，自己算賬，把自己的日常開(kāi)銷(xiāo)交給孩子進(jìn)

行計(jì)算。

不但可以練就孩子熟能生巧的技巧，還能讓孩子早點(diǎn)持家，懂得金錢(qián)來(lái)之不易，好好學(xué)習(xí)的

道理，一箭雙雕！

小學(xué)奧數(shù)中，很多題型都是有規(guī)律的計(jì)算題，希望家長(zhǎng)能夠注重孩子的計(jì)算能