三年級數(shù)學(xué)下冊 奧數(shù)知識點講解第2課《從哥尼斯堡七橋問題談起》試題附答案（人教版）

小學(xué)三年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第2課《從哥尼斯堡七橋問題談起》試題附答案

第二講從哥尼斯堡七橋問題談起

故事發(fā)生在18世紀的哥尼斯堡城.流經(jīng)那里的一條河中有兩個小島，還有七

座橋把這兩個小島與河岸聯(lián)系起來，那里風(fēng)景優(yōu)美，游人眾多.在這美麗的地

方，人們議論著一個有趣的問題：一個游人怎樣才能不重復(fù)地一次走遍七座

橋，最后又回到出發(fā)點呢？

對于這個貌似簡單的問題，許多人躍躍欲試，但都沒有獲得成功.直到1836

年，瑞士著名的數(shù)學(xué)家歐拉才證明了這個問題的不可能性。

歐拉解決這個問題的方法非常巧妙.他認為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地

走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一

個點，而橋則可以看成是連接這些點的一條線.這樣，一個實際問題就轉(zhuǎn)化為一

個幾何圖形（如下圖）能否一筆畫出的問題了.

那么，什么叫一筆畫？什么樣的圖可以一筆畫出？歐拉又是如何徹底證明

七橋問題的不可能性呢？下面，我們就來介紹這一方面的簡單知識。

數(shù)學(xué)中，我們把由有限個點和連接這些點的線（線段或?。┧M成的圖形

叫做圖（如圖（a））；圖中的點叫做圖的結(jié)點；連接兩結(jié)點的線叫做圖的邊.

如圖（力中，有三個結(jié)點：E、F、G,四條邊：線段EG、FG以及連接E、F的兩

段弧.從圖（a）、（b）中可以看出，任意兩點之間都有一條通路（即可以從其

中一點出發(fā)，沿著圖的邊走到另一點，如A到I的通路為A-H-I或AfDf

I…），這樣的圖，我們稱為連通圖；而下圖中（c）的一些結(jié)點之間卻不存在

通路（如M與N）,像這樣的圖就不是連通圖。

N□J—?□

(c)

所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰

好一次，即每條邊都只畫一次，不準重復(fù).從上圖中容易看出：能一筆畫出的圖

首先必須是連通圖.但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？下面，我們就來探

求解決這個問題的方法。

為了敘述的方便，我們把與奇數(shù)條邊相連的結(jié)點叫做奇點，把與偶數(shù)條邊

相連的點稱為偶點.如上圖（a）中的八個結(jié)點全是奇點，上圖（b）中E、F為奇

點，G為擒點。

容易知道，上圖（b）可以一筆畫出，即從奇點E出發(fā)，沿箭頭所指方向，

經(jīng)過F、G、E,最后到達奇點F；同理，從奇點F出發(fā)也可以一筆畫出，最后到達

奇點E.而從偶點G出發(fā)，卻不能一筆畫出.這是為什么呢？

事實上，這并不是偶然現(xiàn)象.假定某個圖可以一筆畫成，且它的結(jié)點X既不

是起點，也不是終點，而是中間點，那么X一定是一個偶點.這是因為無論何

時通過一條邊到達X,由于不能重復(fù)，必須從另一條邊離開X.這樣與X連結(jié)的邊

一定成對出現(xiàn)，所以X必為偶點，也就是說：奇點在一筆畫中只能作為起或終

點.由此可以看出，在一個可以一筆畫出的圖中，奇點的個數(shù)最多只有兩個。

在七橋問題的圖中有四個奇點，因此，歐拉斷言：這個圖無法一筆畫出，

也即游人不可能不重復(fù)地一次走遍七座橋.更進一步地，歐拉在解決七橋問題的

同時徹底地解決了一筆畫的問題，給出了下面的歐拉定理：

①凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成；畫時可以任一偶點為起

點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。

②凡是只有兩個奇點（其余均為偶點）的連通圖，一定可以一筆畫完；畫

時必須以一個奇點為起點，另一個奇點為終點。

③其他情況的圖，都不能一筆畫出。

下面我們就來研究一筆畫問題的具體應(yīng)用:

例1觀察下面的圖形，說明哪些圖可以一筆畫完，哪些不能，為什么？對于可

以一筆畫的圖形，指明畫法.

例2下圖是國際奧委會的會標(biāo),你能一筆把它畫出來嗎?

例3下圖是某地區(qū)所有街道的平面圖.甲、乙二人同時分別從A、B出發(fā)，以相

同的速度走遍所有的街道，最后到達C.如果允許兩人在遵守規(guī)則的條件下可以

選擇最短路徑的話，問兩人誰能最先到達C?

D

例4下圖是某展覽廳的平面圖，它由五個展室組成，任兩展室之間都有門相

通，整個展覽廳還有一個進口和一個出口，問游人能否一次不重復(fù)地穿過所有

的門，并且從入口進，從出口出？

例5一張紙上畫有如下圖所示的圖，你能否用剪刀一次連續(xù)剪下圖中的三個正

方形和兩個三角形？

例6下圖是一個公園的平面圖.要使游客走遍每條路而不重復(fù)，問出入口應(yīng)設(shè)

在哪里？

答案

例1觀察下面的圖形，說明哪些圖可以一筆畫完，哪些不能，為什么？對于可

以一筆畫的圖形，指明畫法.

分析與解答

(a)圖：可以一筆畫，因為只有兩個奇點A、B；畫法為Af頭部f翅膀f

尾部-*翅除一嘴.

(b)圖：不能一筆畫，因為此圖不是連通圖。

(c)圖：不能一筆畫，因圖中有四個奇點：A、B、C、Do

(d)圖：可以一筆畫，因為只有兩個奇點；畫法為：A—"C—D—AfBfEf

FfGffLJfB。

(e)圖：可以一筆畫，因為沒有奇點；畫法可以是：A—B—C—DfEfF-

GffLLBfDfFfHf尸A。

(f)圖：不能一筆畫出，因為圖中有八個奇點。

注意：在上面能夠一筆畫出的圖中，畫法并不是惟一的.事實上，對于有兩

個奇點的圖來說，任一個奇點都可以作為起點，以另一個奇點作為終點；對于

沒有奇點的圖來說，任一個偶點都可以作為起點，最后仍以這點作為終點。

例2下圖是國際奧委會的會標(biāo)，你能一筆把它畫出來嗎?

分析與解答

一個圖能否一筆畫出，關(guān)鍵取決于這個圖中奇點的個數(shù).通過觀察可以發(fā)

現(xiàn)，上圖中所有的結(jié)點都是偶點，因此，這個圖可以一筆畫出.畫時可以任一結(jié)

點作為起點。

例3下圖是某地區(qū)所有街道的平面圖.甲、乙二人同時分別從A、B出發(fā)，以相

同的速度走遍所有的街道，最后到達C.如果允許兩人在遵守規(guī)則的條件下可以

選擇最短路徑的話，問兩人誰能最先到達C?

分析與解答

本題要求二人都必須走遍所有的街道最后到達C,而且兩人的速度相同.因

此，誰走的路程少，誰便可以先到達C。容易知道，在題目的要求下，每個人所

走路程都至少是所有街道路程的總和。仔細觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)圖中有兩個奇

點：場口C.這就是說，此圖可以以A、C兩點分別作為起點和終點而一筆畫成.也

就是說，甲可以從A出發(fā)，不重復(fù)地走遍所有的街道，最后到達C；而從B出發(fā)的

乙則不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的總和，而乙所走的路程

則必定大于這個總和，這樣甲先到達C。

例4下圖是某展覽廳的平面圖，它由五個展室組成，任兩展室之間都有門相

通，整個展覽廳還有一個進口和一個出口，問游人能否一次不重復(fù)地穿過所有

的門，并且從入口進，從出口出？

分析與解答

這種應(yīng)用題，表面看起來不易解決，事實上，只要認真分析，就可以發(fā)

現(xiàn)：我們并不關(guān)心展室的大小以及路程的遠近，關(guān)心的只是能否一次不重復(fù)地

走遍所有的門，與七橋問題較為類似.因此，仿照七僑問題的解法，我們可以把

每個展室看作一個結(jié)點，整個展廳的外部也看作一個點，兩室之間有門相通，

可以看作兩點之間有邊相連.這樣，展廳的平面圖就轉(zhuǎn)化成了我們數(shù)學(xué)中的圖，

一個實際問題也就轉(zhuǎn)化為這個圖（如下圖）能否一筆畫成的問題了，即能否從A

出發(fā)，一筆畫完此圖，最后再回到A。

上圖（b）中，所有的結(jié)點都是偶點，因此，一定可以以A作為起點和終點

而一筆畫完此圖.也即游人可以從入口進，一次不重復(fù)地穿過所有的門，最后

從出口出來.

下面僅給出一種參觀路線:

A-E-B-?C-E-?F-C-D-F-Ao

注意：本題中，必須以A分別作為起點和終點.這就要求圖中必須沒有奇

點，否則，若有兩個奇點，雖能一筆畫出，但與從入口入、出口出（即游人的

出發(fā)和終止點都在展廳外）有矛盾，其他有多個奇點的情況則根本不可能一筆

畫出。另外，通過前面的學(xué)習(xí)，大家已經(jīng)知道：一個圖如果能夠一筆畫出，則

畫的方法不止一種，但各府方法大同小異.因此，本書中，一筆畫的問題，一羲

我們只給出一種畫法。

例5一張紙上畫有如下圖所示的圖，你能否用剪刀一次連續(xù)剪下圖中的三個正

方形和兩個三角形？

分析與解答

一次連續(xù)剪下圖中的三個正方形和兩個三角形，必須要求剪刀連續(xù)剪過圖

中所有的線.即上述問題實質(zhì)上是這個圖能否一筆畫出的問題。

顯然，圖中有兩個奇點，因此可以一筆畫出，剪刀所走的路線可以是：-A

fBfCfD-*E—FfGfE—LG——A—LC.這樣，就能用剪刀一次連續(xù)剪下

三個正方形和兩個三角形。

例6下圖是一個公園的平面圖.要使游客走遍每條路而不重復(fù)，問出入口應(yīng)設(shè)

在哪里？

分析與解答

本題實際上是這個圖以哪兩點為起點和終點一筆畫出的問題.觀察左圖，可

以發(fā)現(xiàn)僅有兩個奇點：H與B點.因此，出入口應(yīng)分別設(shè)在H點與B點.

習(xí)題二

1.請將圖中的小黑點按1,2,3,4,5…的順序，用線連接起來，看看是什

么？

3.判斷下列各圖能否一筆畫出，并說明理由.

(4)(5)

4.下圖是一公園的平面圖，要使游客走遍每一條路且不重復(fù)，問出入口應(yīng)

設(shè)在哪里？

5.下圖是一個商場的平面圖，顧客可以從六個門進出商場（陰影部分為各

商品部，空白處為通道），請你設(shè)計一種能夠一次走遍各通道而又不必走重復(fù)

路線的進出方法.

三年級奧數(shù)下冊：第二講從哥尼斯堡七橋問題談起習(xí)題解答

習(xí)題二解答

1.左圖是鹿，右圖是青蛙。

2.圖（1）（2）都可從A開始,最后到B,或從B開始畫，最后到A.圖（3）

則可以從眼睛開始，沿線畫至點B。

3.前面圖中，（1）（2）（3）均不能一筆畫出，這是因為：圖（1）中有

四個奇點，圖（2）有四個奇點，圖（3）有六個奇點。

圖⑷和圖（5）均可一筆