概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第2版 課件 1.5 全概率公式與貝葉斯公式

一、引例二、全概率公式三、貝葉斯公式第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式例1(P24例1)設10件產(chǎn)品中有4件次品,任意抽取兩次,每次抽取一件,抽取后不放回,求第二次抽取的是次品的概率.一、引例設Ai={第i

次取到次品},i

=1,2.解方法1直接利用古典概型得方法2因為所以第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式二、全概率公式1.完備事件組

定義1設Ω為試驗E的樣本空間,A1,A2,…,An為一組事件,若AiAj=Φ(i

j,i,j=1,2,…,n),

=Ω,則稱A1,A2,…,An為樣本空間的一個劃分,也稱為完全事件組或完備事件組.第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式2.全概率公式

定理1設Ω為試驗E的樣本空間,而且A1,A2,…,An為一完備事件組,即AiAj=Φ(i

j,i,j=1,2,…,n),

=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意E的事件B,有第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式證

由事件列A1,A2,

,An兩兩互不相容知,事件列BA1,BA2,

,BAn也兩兩互不相容.因此P(B)=P[B(A1∪A2∪

∪An)]=P(BA1∪BA2∪

∪BAn)=P(BA1)+P(BA2)+

+P(BAn)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

+P(An)P(B|An)第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式

例2

(P25例2)甲、乙文具盒內(nèi)都有2支藍色筆和3支黑色筆,現(xiàn)從甲文具盒中任取2支筆放入乙文具盒,然后再從乙文具盒中任取2支筆.試求最后取出的2支筆都是黑色筆的的概率.

設A1={從甲文具盒中取到2支藍色筆},A2={從甲文具盒中取到2支黑色筆},A3={從甲文具盒中取到1支藍色筆和1支黑色筆},B={從乙文具盒中取到2支黑色筆}.顯然A1,A2,A3構成一個完全事件組,且解第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式

例2

甲、乙文具盒內(nèi)都有2支藍色筆和3支黑色筆,現(xiàn)從甲文具盒中任取2支筆放入乙文具盒,然后再從乙文具盒中任取2支筆.試求最后取出的2支筆都是黑色筆的的概率.解由全概率公式得P(B)

=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式三、貝葉斯公式

定理2設Ω為試驗E的樣本空間,而且A1,A2,…,An為一完備事件組,即AiAj

=Φ(i

j,i,j=1,2,…,n),

=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意概率不為零的事件B,有證1≤k≤n.由條件概率的定義及全概率公式,對任意1≤k≤n,有第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式記C={取的產(chǎn)品是A廠生產(chǎn)的},

D={取到次品}.解例3(P26例3)設工廠A和工廠B的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由A廠和B廠的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件,發(fā)現(xiàn)是次品,求該次品是A廠生產(chǎn)的概率.P(C)

=0.6,P(D|C)=0.01,由已知有由貝葉斯公式得第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式設Ai={取到第i個箱子},Bi={第i次取到一等品},i=1,2.解

例4(P27例5)

假設有兩箱同種零件:第一箱內(nèi)裝50件,其中10件為一等品;第二箱內(nèi)裝30件,其中18件一等品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱,然后從該箱中先后隨機取出兩個零件(取出的零件均不放回),試求:(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.(1)由全概率公式有P(B1)

=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式(2)所求概率為P(B2|B1),由條件概率的定義及全概率公式有

0.4856.第一章隨機事件與概率§1.5全概率公式與貝葉斯公式

設B表示事件“被檢查者患有癌癥”,A表示事件“試驗反應為陽性”,解

例5(P27例6)用某種試驗方法對自然人群進行癌癥普查,若患有這種癌癥的人經(jīng)過檢查,“試驗反應為陽性”的概率為0.95,而沒患此癌癥的人經(jīng)過檢查,“