北京市通州區(qū)2023-2024高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案

通州區(qū)2023—2024學(xué)年高三年級考試數(shù)學(xué)試卷2024年1月本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.3.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A.B.C.D.5.如圖，已知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，其邊長為4，在該容器內(nèi)放置一個(gè)圓柱，使得圓柱上底面的所在平面與圓錐底面的所在平面重合.若圓柱的高是圓錐的高的，則圓柱的體積為（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)都與原點(diǎn)重合，始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn).若，則（）A.B.C.D.8.現(xiàn)有12個(gè)圓，圓心在同一條直線上，從第2個(gè)圓開始，每個(gè)圓都與前一個(gè)圓外切，從左到右它們的半徑的長依次構(gòu)成首項(xiàng)為16，公比為的等比數(shù)列，前3個(gè)圓如圖所示.若點(diǎn)分別為第3個(gè)圓和第10個(gè)圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A.B.C.D.9.在菱形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)（不與，重合），與交于，則的取值范圍是（）A.B.C.D.10.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足.若對任意的，總有不等式成立，則的最大值為（）A.B.C.4D.6第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知函數(shù)，則__________.12.在的展開式中，的系數(shù)為__________.13.在中，角所對的邊分別為，且，則__________；若的面積，則__________.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)且在第一象限，以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn).若，則圓的方程為__________；若，則__________.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且滿足是和的等比中項(xiàng).給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列的通項(xiàng)公式為；②數(shù)列前21項(xiàng)的和為；③數(shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則新數(shù)列的前100項(xiàng)和為236；④設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為2178.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（本小題13分）已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值.17.（本小題13分）如圖，在多面體中，為等邊三角形，.點(diǎn)為的中點(diǎn)，再從下面給出的條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.（1）求證：平面；（2）設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.（本小題14分）民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過高考招收飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生參加預(yù)選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學(xué)檢測?背景調(diào)查?高考選拔等5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過，則被確認(rèn)為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每位報(bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為.假設(shè)學(xué)生能否通過這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立，現(xiàn)有某校高三學(xué)生甲?乙?丙三人報(bào)名民航招飛.（1）估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率；（2）求甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請的概率；（3）根據(jù)甲?乙?丙三人的平時(shí)學(xué)習(xí)成績，預(yù)估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設(shè)甲?乙?丙三人能被招飛院校錄取的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.（本小題15分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù).①若在處取得極大值，求的單調(diào)區(qū)間；②若恰有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.20.（本小題15分）已知橢圓的短軸長為2，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，且，直線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一條定直線上.21.（本小題15分）已知數(shù)列為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個(gè).（1）寫出所有4的1減數(shù)列；（2）若存在m的6減數(shù)列，證明：；（3）若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.通州區(qū)2023—2024學(xué)年高三年級摸底考試數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2024年1月第一部分（選擇題共40分）一?選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）題號12345678910答案DBACCACBBD第二部分（非選擇題共110分）二?填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.12.13.；14.；15.①③④三?解答題（共6小題，共85分）16.（本小題13分）解：（1）因?yàn)椋?所以的最小正周期.令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以.所以.所以的值為.17.解：（1）證明：（1）選條件①：平面平面因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平?所以平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉榈冗吶切危c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）選條件②：因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以為直角三角?所以.因?yàn)椋?平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉榈冗吶切危c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)?，由?）知平面，所以平面.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系.所以.所以.因?yàn)辄c(diǎn)為上一點(diǎn)，設(shè)，所以.因?yàn)?，所?所以.所以.所以.設(shè)平面的法向量為，所以.所以令，得.所以.設(shè)直線與平面所成角為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.18.（本小題14分）解：（1）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為，且能否通過相互獨(dú)立，所以估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率.（2）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率為，所以甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請的概率.（3）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率為，且預(yù)估甲?乙?丙三人的高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，所以甲能被招飛院校錄取的概率，乙能被招飛院校錄取的概率，丙能被招飛院校錄取概率.依題意的可能取值為，所以，，，.所以的分布列為：0123所以.19.（本小題15分）解：（1）因?yàn)?，所?所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)楹瘮?shù)，所以.所以.令，得，或.①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，得；令，得，或.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，此時(shí)不符合題意.②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以在處不取極值，此時(shí)不符合題意.③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，得；令，得，或.所以在區(qū)間上單調(diào)遞城，在區(qū)間和上單調(diào)逆增.所以在處取得極大值，此時(shí)符合題感.綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）因?yàn)椋?所以是的一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)榍∮腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不為2實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不為2實(shí)數(shù)根.令，所以令，得；令，得.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?所以，且.所以，且.所以的取值范圍是.20.（本小題15分）解：（1）因?yàn)闄E圓的短軸長為2，所以.所以.因?yàn)殡x心率為，所以.所以，解得.所以橢圓的方程為.（2）①若直線的斜率不存在，不符合題意.②若直線的斜率存在，設(shè)為，所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，化簡得.所以，得，或.因?yàn)椋?，所?直線的方程為，即.直線的方程為，即.因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo).所以.所以點(diǎn)在直線上.21.（本小題15分）解：（1）數(shù)列和數(shù)列3，1.（2）因?yàn)閷τ冢沟玫恼麛?shù)對有個(gè)，且存在的6減數(shù)列，所以，得.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列中各項(xiàng)均不相同.所以.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng).所以.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2.所以，不符合題意.所以.③當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖诘?減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng).所以.綜上所述，若存在的6減數(shù)列，則.（也可以就的取值展開討論或者直接利用枚舉法給出證明）（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則.若，所以數(shù)列存在大于1的項(xiàng).若末項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后變大，所以此時(shí)不是最大值.所以.當(dāng)時(shí)，若，交換的順序后變?yōu)椋源藭r(shí)不是最大值.所以.若，所