考研數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)二)模擬試卷409(題后含答案及解析)-0

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷409(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．已知f(x一1)一x2+ax+π，且，則a=()．A．a(chǎn)=一(π+1)B．a(chǎn)=0C．a(chǎn)=πD．a(chǎn)的取值不唯正確答案：A解析：先作代換x一1=t，然后利用極限的運(yùn)算法則及性質(zhì)求之．解令x一1=t，則f(t)=(t+1)2+a(t+1)+π，即f(x)=(x+1)2+a(x+1)+π．由知，必有則所以f(0)=0，即1+a+π=0，故a=一(π+1)．2．設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，其結(jié)論是()．A．不存在間斷點(diǎn)B．存在間斷點(diǎn)x=1C．存在間斷點(diǎn)x=0D．存在間斷點(diǎn)x=一1正確答案：B解析：先求出分段函數(shù)f(x)的表示式，再考察在分段點(diǎn)的左、右極限，確定間斷點(diǎn)．解當(dāng)∣x∣＜1時(shí)，當(dāng)∣x∣＞1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=1，當(dāng)x=一1時(shí)，f(x)=0．因此由于故x=一1是f(x)的連續(xù)點(diǎn)．顯然x=0不是間斷點(diǎn)而是連續(xù)點(diǎn)，事實(shí)上，而所以x=1是間斷點(diǎn)．3．若，則f(x)在x=0處()．A．導(dǎo)數(shù)存在，且f′(0)≠0B．導(dǎo)數(shù)不存在C．取得極小值D．取得極大值正確答案：C解析：利用極限的局部保號(hào)性及極值的定義判別之．解由．又f(x)在x=0處連續(xù)，故知，存在x=0的某空心鄰域，在此鄰域內(nèi)有，即f(x)＞0=f(0)，所以f(x)在x=0處取極小值．4．設(shè)其中f(x)在x=0處連續(xù)，且f(0)=0．若F(x)在x=0處連續(xù)，則k等于()．A．B．C．D．正確答案：B解析：利用F(x)在x=0處連續(xù)的定義求之．解根據(jù)連續(xù)的定義，有5．設(shè)無(wú)窮長(zhǎng)直線L的線密度為1，引力常數(shù)為k，則L對(duì)距直線為a的單位質(zhì)點(diǎn)P沿y軸方向的引力為()．A．B．C．D．正確答案：A解析：先寫出所求的引力微元dEy，然后再按反常定積分的計(jì)算公式求之．解取L為x軸，y軸過P點(diǎn)，如下圖所示．在L上任取一小段[x，x+dx]，它對(duì)點(diǎn)P的引力沿y軸方向分量為其中，所以于是L對(duì)質(zhì)點(diǎn)P沿y軸方向的引力6．設(shè)矩形域D：0≤x≤π，0≤y≤π，則二重積分為()．A．B．C．D．正確答案：D解析：用直線y=x將區(qū)域D劃分為兩個(gè)子區(qū)域，去掉max{x，y}再積分．解7．設(shè)n階方陣A，B，C，D滿足關(guān)系式ABCD=E，其中E為n階單位矩陣，則必有()．A．ACBD=EB．BDCA=EC．CDAB=ED．DCAB=E正確答案：C解析：利用可逆矩陣的定義：如AB=E或ABC=E，或ABCD=E，則分別有AB=BA=E，ABC=BCA=CAB=E，ABCD=BCDA=CDAB=DABC=E，即滿足上式依次循環(huán)的矩陣乘積等式是成立的．解由ABCD=E知，AB·CD=CD·AB=E．8．已知，則秩(A—E)+秩(A一3E)=()．A．7B．6C．5D．4正確答案：B解析：B為實(shí)對(duì)稱矩陣，可對(duì)角化，又因A～B，故B的特征值0、3(二重根)、一2必是A的特征值，且重?cái)?shù)相同，故秩(A一3E)=4—2=2．解由=λ(λ一3)(λ2一λ一6)=λ(λ一3)2(λ+2)及A～B知，B的特征值為0，3(重根)與一2，且它們也是A的特征值．又因B是實(shí)對(duì)稱，必可對(duì)角化，因此A可對(duì)角化，那么A對(duì)于λ=3必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即方程組(3E—A)X=0的一個(gè)基礎(chǔ)體系只含2個(gè)解向量．由4一秩(3E—A)=2得到秩(3E—A)=n一2=4—2=2．又因λ=1不是A的特征值，即∣E—A∣≠0，故秩(E—A)=4．于是秩(A—E)+秩(A一3E)=4+2=6．填空題9．(a，b為常數(shù))．正確答案：ea+b解析：所給極限函數(shù)為冪指函數(shù)，其極限可用重要極限或換底法求之．解一而故原式=ea+b．解二而故原式=ea+b．10．設(shè)f(t)=et，且正確答案：1／2解析：先求出u的表達(dá)式，再求其極限．解一由，得到ex一1=xf(ux)=xeux，即又而即解二11．曲線y=lnx在點(diǎn)_______處曲率半徑最?。_答案：解析：?jiǎn)栴}歸結(jié)求的最小值．解則于是令R′x=0得．顯然，當(dāng)時(shí)，R′x＞0；當(dāng)時(shí)，R′x＜0．由一階導(dǎo)數(shù)判別法可知，為R(x)的極小值點(diǎn)．又因駐點(diǎn)唯一，該極小值也是R(x)的最小值，故曲線y=lnx在點(diǎn)處的曲率半徑最?。?2．如下圖所示，函數(shù)f(x)是以2為周期的連續(xù)周期函數(shù)，它在[0，2]上的圖形為分段直線．g(x)是線性函數(shù)，則_______正確答案：1解析：利用題設(shè)及圖形先求出g(x)的表示式，再利用定積分的換元法及周期函數(shù)的下述積分性質(zhì)可求得結(jié)果：其中n∈N，f(x)是以T為周期的函數(shù)，n∈N，a∈R．解由下圖易知，線性函數(shù)g(x)的斜率因此g(x)=3x+1，從而g′(x)=3，有由于f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，由其性質(zhì)①與②得到根據(jù)定積分的幾何意義知從而13．設(shè)f(x，y)連續(xù)，且其中D是由y=x，y=0，x=1所圍成的區(qū)域，則f″xy(x，y)=_______．正確答案：解析：因積分區(qū)域D為固定區(qū)域，故為常數(shù)．注意這一點(diǎn)后，可在等式兩邊在區(qū)域D上進(jìn)行二重積分，確定此常數(shù)，再求偏導(dǎo)f″xy(x，y)．解令則f(x，y)=(1+A)xy，從而有解得即有故14．設(shè)A，B是n階方陣，且AB=BA，其中試求矩陣B=_______．正確答案：解析：A為對(duì)角矩陣，另一矩陣B與A可交換，則B也必為對(duì)角矩陣．下用矩陣乘法推出矩陣B．解設(shè)B=[bij]n×n，AB=[cij]n×n，j6lA一[dij]n×n，顯然cij=ibij，dij=jbij．又因AB=BA．故ibij=jbij(i，j=1，2，…，n)，其中，當(dāng)i≠j時(shí)，有(i一j)bij=0，故bij=0(i≠j)．因此解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．計(jì)算，其中D為由直線y=2，y=0，x=一2及半圓所圍成的區(qū)域．正確答案：如圖所示，D上的二重積分等于D+D1上的二重積分，再減去D1上的二重積分．由有x2+y2=2y，即r2=2rsinθ，r=2sinθ．因而解而故16．設(shè)xOy平面的第一象限中有曲線Γ：y=y(x)，過點(diǎn)y′(x)>0．又M(x，y)為Γ上任意一點(diǎn)，滿足：弧段的長(zhǎng)度與點(diǎn)M處Γ的切線在x軸上的截距之差為(Ⅰ)導(dǎo)出y=y(x)滿足的積分、微分方程和初始條件；(Ⅱ)求曲線Γ的表達(dá)式．正確答案：不顯含x的二階方程y″=f(y，y′)的解法是作變量代換，代入方程即可降階求解．解(Ⅰ)先求出Γ在點(diǎn)M(x，y)處的切線方程．Y—y(x)=y′(x)(X—x)，其中(X，Y)是切線上點(diǎn)的坐標(biāo)．在切線方程中令Y=0，得x軸上截距又弧段的長(zhǎng)度為．由題意得這是積分、微分方程．兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可化為二階微分方程：又由條件及式①，令x=0，得因此初值問題為方程①與②是等價(jià)的．(Ⅱ)下面求解②．這是不顯含x的二階方程，作變換p=y′，并以y為自變量得分離變量得到兩邊積分得于是由時(shí)p=1，得c1=0．于是將上面兩式相減，得再積分得將坐標(biāo)點(diǎn)代入式③求得則式③即為曲線Γ的表達(dá)式．17．已知f′(x)=arctan(x一1)2，且f(0)=0，求正確答案：已知被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或被積函數(shù)中含某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是用分部積分法計(jì)算積分的兩種典型的模式．解分部積分兩次得18．已知f(x)在x=0點(diǎn)可導(dǎo)且f(0)=0，f′(0)=1，試求其中D：x2+y2≤t2．正確答案：積分區(qū)域?yàn)閳A域，被積函數(shù)為f(x2+y2)類型，這是使用極坐標(biāo)計(jì)算的最好條件．為求極限，先將二重積分化為上限為t的變限積分．解因?yàn)楣?9．設(shè)f(x)在[a，b](a＜b)上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．求證：在(a，b)內(nèi)存在點(diǎn)ξ，使得正確答案：將待證等式改寫為于是應(yīng)作輔助函數(shù)F(x)=xe-x．對(duì)F(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理，即可證明待證等式．證將待證等式改寫為作輔助函數(shù)F(x)=xe-x，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F′(x)=e-x一xe-x．由拉格朗日中值定理知，存在一點(diǎn)ξ，使即亦即20．求微分方程2x3y′=y(2x2―y2)的通解．正確答案：原方程可化齊次微分方程求解．解原方程可化為這是齊次方程．令，于是代入上述方程，有分離變量，并兩邊積分得到將代回上式并整理，得原方程的通解，其中c為任意常數(shù)．21．計(jì)算二重積分其中D：x2+y2≤4．正確答案：先用曲線x2+y2一2x=0將區(qū)域D分成兩部分，然后再分別計(jì)算．解為去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值符號(hào)，先找出使x2+y2一2x=0的點(diǎn)，而x2+y2一2x=0是一個(gè)圓，以其圓周為邊界線，將D分成兩部分：D1：2x≤x2+y2≤4，D1：x2+y2≤2x．故22．設(shè)α1，α2，α3，α4，β為四維列向量，A=[α1，α2，α3，α4]，已知Ax=β的通解為X=[1，一1，2，1]T+k1[1，2，0，1]T+k2[一1，1，1，0]T，①其中[1，2，0，1]T，[一1，1，1，0]T為對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，k1，k2為任意常數(shù)．令B=[α1，α2，α3]，試求BY=β的通解．正確答案：為求BY=β的特解，只需找出β用B的列向量α1，α2，α3的線性表示式；為求BY=0的基礎(chǔ)解系，只需找出B的列向量之間等于0的線性組合表示式．如何求得向量之間的這些線性表示式?現(xiàn)有的條件[1，一1，2，1]T為Ax=β的一特解，這就告訴我們?chǔ)驴捎肁的一個(gè)列向量組線性表示．又已知Ax=0的兩個(gè)解[1，2，0，1]T，[一1，1，1，0]T，這就告訴我們A的列向量之間的兩個(gè)等于0的線性組合．有了這些條件，剛才提出的問題就可以解決．解由式①知，[1，2，0，1]T，[一1，1，1，0]T為Ax=0的基礎(chǔ)解系，[1，一1，2，1]T為Ax=β的一特解，故n一秩(A)=4一秩(A)=2，即秩(A)=2，且有β=α1一α2+2α3+α4，α1+2α2+Oα3+α4=0，一α1+α2+α3+0α4=0．于是有α3=α1一α2，α4=一α1一2α2．因秩(A)=秩(α1，α2，α3，α4)=2，故α1，α2線性無(wú)關(guān)，從而秩(B)=秩(α1，α2，α3)=2．由β=2α1—5α2+0α3．易知[2，一5，0]T為BY=β的特解．又n=3，n一秩(B)=3—2=1，故BY=β的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量．由α1一α2一α3=0知，[1，一1，一1]T為BY=0的非零解，可作為基礎(chǔ)解系，故BY=β的通解為y=[2，5，0]T+k[1，一1，一1]T，其中k為任意常數(shù)．23．給定矩陣其行向量都是齊次線性方程組(Ⅰ)：的解向量．問：B的4個(gè)行向量是否構(gòu)成方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系?若不能，不用解方程組的方法．試求方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．正確答案：先用觀察法找出方程組(Ⅰ)所包含的獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)．這樣易求出其系數(shù)矩陣A的秩(當(dāng)然，也可用初等行變換求之)．事實(shí)上，有2×①+②=④，3×①一②=③．因而方程組(Ⅰ)中的方程①與②是獨(dú)立方程組，其系數(shù)矩陣A的秩為2．又n=5，故方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系只含5—2=3個(gè)解向量．因而只需找出B中3個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量即可．解令B中的第1，2，4個(gè)行向量分別為