(新高考)高考數(shù)學一輪復習講義+鞏固練習1.4《基本不等式》(原卷版)

第第頁§1.4基本不等式考試要求1.了解基本不等式的推導過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.3.理解基本不等式在實際問題中的應用．知識梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤(eq\f(a＋b,2))2與eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等號成立的條件是相同的．()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.()(4)函數(shù)y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為4.()教材改編題1．已知x>2，則x＋eq\f(1,x－2)的最小值是()A．1B．2C．2eq\r(2)D．42．(多選)若a，b∈R，則下列不等式成立的是()A.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2B．a(chǎn)b≤eq\f(a2＋b2,2)C.eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2D.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)3．若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.題型一利用基本不等式求最值命題點1配湊法例1(1)設0<x<eq\f(3,2)，則函數(shù)y＝4x(3﹣2x)的最大值為()A.eq\f(9,4)B．4C.eq\f(9,2)D．9(2)若x<eq\f(2,3)，則f(x)＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()A．最大值0B．最小值9C．最大值﹣3D．最小值﹣3(3)函數(shù)y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)(x>﹣1)的最小值為________．命題點2常數(shù)代換法例2已知a>0，b>0，且a＋b＝2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)的最小值是()A．1B．2C.eq\f(9,4)D.eq\f(9,2)命題點3消元法例3已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為_____．延伸探究本例條件不變，求xy的最大值．教師備選1．已知x>0，y>0，且2x＋8y﹣xy＝0，則當x＋y取得最小值時，y等于()A．16B．6C．18D．122．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(－x2,x＋1)(x<﹣1)，則()A．f(x)有最小值4B．f(x)有最小值﹣4C．f(x)有最大值4D．f(x)有最大值﹣4思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．跟蹤訓練1(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋x(2x>1)，則f(x)的最小值為________．(2)若實數(shù)x>1，y>eq\f(1,2)且x＋2y＝3，則eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,2y－1)的最小值為________．題型二基本不等式的常見變形應用例4(1)《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)(2)已知0<a<1，b>1，則下列不等式中成立的是()A．a(chǎn)＋b<eq\f(4ab,a＋b)B.eq\r(ab)<eq\f(2ab,a＋b)C.eq\r(2a2＋2b2)<2eq\r(ab)D．a(chǎn)＋b<eq\r(2a2＋2b2)教師備選若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2abB．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2思維升華基本不等式的常見變形(1)ab≤(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．跟蹤訓練2(1)已知命題p：a>b>0，命題q：eq\f(a2＋b2,2)>(eq\f(a＋b,2))2，則p是q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)已知a，b為互不相等的正實數(shù)，則下列四個式子中最大的是()A.eq\f(2,a＋b)B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)C.eq\f(2,\r(ab))D.eq\r(\f(2,a2＋b2))題型三基本不等式的實際應用例5小王于年初用50萬元購買了一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元．小王在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價格為(25﹣x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年)．(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑?，該車運輸累計收入超過總支出？(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大？(利潤＝累計收入＋銷售收入﹣總支出)教師備選某高級中學高二年級部為了更好的督促本年級學生養(yǎng)成節(jié)約用水、珍惜糧食、愛護公物的良好習慣，現(xiàn)要設計如圖所示的一張矩形宣傳海報，該海報含有大小相等的左中右三個矩形欄目，這三欄的面積之和為60000cm2，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形海報面積最小，其最小值是________cm2.思維升華利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．跟蹤訓練3網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2021年10月起開展網(wǎng)絡銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式．根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數(shù)關系式x＝3﹣eq\f(2,t＋1).已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是______萬元．柯西不等式是法國著名的數(shù)學家、物理學家、天文學家柯西(Cauchy,1789﹣1857)發(fā)現(xiàn)的，故命名為柯西不等式．柯西不等式是數(shù)學中一個非常重要的不等式，除了用柯西不等式來證明一些不等式成立外，柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中，借助柯西不等式的技巧可以達到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代數(shù)形式)設a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時，等號成立．推廣一般情形：設a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(當且僅當bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個實數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立)．2．(柯西不等式的向量形式)設α，β為平面上的兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，當且僅當β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立．3．(柯西不等式的三角不等式)設x1，y1，x2，y2，x3，y3為任意實數(shù)，則：eq\r(x1－x22＋y1－y22)＋eq\r(x2－x32＋y2－y32)≥eq\r(x1－x32＋y1－y32).一、利用柯西不等式求最值例1已知x，y滿足x＋3y＝4，則4x2＋y2的最小值為________．例2已知正實數(shù)x，y，z滿足x2＋y2＋z2＝1，正實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2＝9，則ax＋by＋cz的最大值為________．例3函數(shù)y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(10－2x)的最大值為________．二、利用柯西不等式證明不等式例4已知a1，a2，b1，b2為正實數(shù)，求證：(a1b1＋a2b2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,b1)＋\f(a2,b2)))≥(a1＋a2)2.例5已知a1，a2，…，an都是實數(shù)，求證：eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)2≤aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n).課時精練1．下列函數(shù)中，最小值為2的是()A．y＝x＋eq\f(2,x)B．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))C．y＝ex＋e﹣xD．y＝log3x＋logx3(0<x<1)2．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為()A．13B．12C．9D．63．若a，b是正常數(shù)，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，則eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，當且僅當eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)時取等號．利用以上結(jié)論，函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))取得最小值時x的值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(1,3)4．已知x>2，y>1，(x﹣2)(y﹣1)＝4，則x＋y的最小值是()A．1B．4C．7D．3＋eq\r(17)5．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()A．2B．4C．6D．86．原油作為“工業(yè)血液”“黑色黃金”，其價格的波動牽動著整個化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟．小李在某段時間內(nèi)共加油兩次，這段時間燃油價格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是()A．第一種方案更劃算B．第二種方案更劃算C．兩種方案一樣D．無法確定7．(多選)已知正實數(shù)a，b滿足a>0，b>0，且a＋b＝1，則下列不等式成立的有()A．2a＋2b≥2eq\r(2)B．a(chǎn)2＋b2<1C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<4D．a(chǎn)＋eq\f(1,a)<28．(多選)設a>0，b>0，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B.eq\f(2ab,a＋b)>eq\r(ab)C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋bD．(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥49．若0<x<2，則xeq\r(4－x2)