九年級數(shù)學(xué)課件九年級數(shù)學(xué)實際問題與二次函數(shù)5

實際問題與二次函數(shù)水柱形成形狀跳運時人在空中經(jīng)過的路徑籃球在空中經(jīng)過的路徑跳水運動員在空中經(jīng)過的路徑何時獲得最大利潤？何時橙子總產(chǎn)量最大？養(yǎng)雞場面積何時最大？同學(xué)們，今天就讓我們一起去體會生活中的數(shù)學(xué)給我們帶來的樂趣吧！題型一：最大利潤問題三星學(xué)科,教師助手,學(xué)生幫手,家長朋友！某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出18件，商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？來到商場請大家?guī)е韵聨讉€問題讀題〔1〕題目中有幾種調(diào)整價格的方法？〔2〕題目涉及到哪些變量？哪一個量是自變量？哪些量隨之發(fā)生了變化？某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出18件，商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？來到商場分析:調(diào)整價格包括漲價和降價兩種情況先來看漲價的情況：⑴設(shè)每件漲價x元，那么每星期售出商品的利潤y也隨之變化，我們先來確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。漲價x元時那么每星期少賣件，實際賣出件,銷額為元，買進商品需付元因此，所得利潤為元10x(300-10x)(60+x)(300-10x)40(300-10x)y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)即(0≤X≤30)(0≤X≤30)可以看出，這個函數(shù)的圖像是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點是函數(shù)圖像的最高點，也就是說當(dāng)x取頂點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)時，這個函數(shù)有最大值。由公式可以求出頂點的橫坐標(biāo).所以，當(dāng)定價為65元時，利潤最大，最大利潤為6250元在降價的情況下，最大利潤是多少？請你參考〔1〕的過程得出答案。解：設(shè)降價x元時利潤最大，那么每星期可多賣18x件，實際賣出〔300+18x)件，銷售額為(60-x)(300+18x)元，買進商品需付40(300-10x)元，因此，得利潤答：定價為元時，利潤最大，最大利潤為6050元

做一做由(1)(2)的討論及現(xiàn)在的銷售情況,你知道應(yīng)該如何定價能使利潤最大了嗎?(0≤x≤20)〔1〕列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍；〔2〕在自變量的取值范圍內(nèi)，運用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值。解這類題目的一般步驟1.在2006年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕，某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售，對往年的市場銷售情況進行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：銷售價x（元/千克）…25242322…銷售量y（千克）…2000250030003500…〔1〕在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對〔x，y〕所對應(yīng)的點．連接各點并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)櫻桃進價為13元/千克，試求銷售利潤P〔元〕與銷售價x(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時，P的值最大？解：〔1〕正確描點、連線．由圖象可知，y是x的一次函數(shù)．設(shè)y＝kx＋b，∵點〔25，2000〕，〔24，2500〕在圖象上，解之得：

∴y＝－500x＋14500

〔2〕P＝〔x－13〕·y＝〔x－13〕·〔－500x＋14500〕＝－500x2＋21000x－188500＝－500〔x－21〕2＋32000．∴P與x的函數(shù)關(guān)系式為P＝－500x2＋21000x－188500，當(dāng)銷售價為21元/千克時，能獲得最大利潤．(10河北〕2：某高科技開展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金1500萬元進行批量生產(chǎn)。生產(chǎn)每件產(chǎn)品的本錢為40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設(shè)銷售單價為x元，年銷售量為y萬件，年獲利〔年獲利＝年銷售額－生產(chǎn)本錢－投資〕z萬元。〔1〕試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔不必寫出的取值范圍〕〔2〕試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔不必寫出的取值范圍〕〔3〕計算銷售單價為160元時的年獲利，并說明同樣的年獲利，銷售單價還可以定為多少元？相應(yīng)的年銷售量分別為多少萬件？〔4〕公司方案：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價進行銷售，第二年年獲利不低于1130萬元。請你借助函數(shù)的大致圖象說明，第二年的銷售單價x〔元〕應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)？

解：〔1〕依題意知，當(dāng)銷售單價定為x元時，年銷售量減少(x-100)萬件.∴y=20-(x-100)=-x+30.即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:y=-x+30.〔2〕由題意，得：z=(30-)(x-40)-500-1500=-x2+34x-3200.即z與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:z=-x2+34x-3200.(3)∵當(dāng)x取160時，z=-×1602+34×160-3200=-320.∴-320=-x2+34x-3200.整理，得x2-340+28800=0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得160+x=340.∴x=180.即同樣的年獲利，銷售單價還可以定為180元.當(dāng)x=160時，y=-×160+30=14;當(dāng)x=180時，y=-×180+30=12.即相應(yīng)的年銷售量分別為14萬件和12萬件.10.1

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110

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〔4〕∵z=-0.1x2+34x-3200=-0.1(x-170)2-310.∴當(dāng)x=170時，z取最大值，最大值為-310.也就是說：當(dāng)銷售單價定為170元時，年獲利最大，并且到第一年底公司還差310萬元就可以收回全部投資.第二年的銷售單價定為x元時，那么年獲利為：z=(30-0.1x)(x-40)-310=-0.1x2+34x-1510.當(dāng)z=1130時，即1130=-0.1x2+34x-1510.整理，得x2-340x+26400=0.解得x1=120,x2=220.函數(shù)z=-0.1x2+34x-1510的圖象大致如下圖：由圖象可以看出：當(dāng)120≤x≤220時，z≥1130.所以第二年的銷售單價應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi).110110110110OO120170220x(元)z(萬元)13801130例：某機械租賃公司有同一型號的機械設(shè)備40套。經(jīng)過一段時間的經(jīng)營發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每套機械設(shè)備的月租金為270元時，恰好全部租出。在此根底上，當(dāng)每套設(shè)備的月租金每提高10元時，這種設(shè)備就少租出一套，且沒租出的一套設(shè)備每月需支出費用〔維護費、管理費等〕20元。設(shè)每套設(shè)備的月租金為x〔元〕，租賃公司出租該型號設(shè)備的月收益〔收益＝租金收入－支出費用〕為y〔元〕。〔1〕用含x的代數(shù)式表示未出租的設(shè)備數(shù)〔套〕以及所有未出租設(shè)備〔套〕的支出費〔2〕求y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式；〔3〕當(dāng)月租金分別為300元和350元式，租賃公司的月收益分別是多少元？此時應(yīng)該出租多少套機械設(shè)備？請你簡要說明理由；〔4〕請把〔2〕中所求出的二次函數(shù)配方成的形式，并據(jù)此說明：當(dāng)x為何值時，租賃公司出租該型號設(shè)備的月收益最大？最大月收益是多少？解：〔1〕未租出的設(shè)備為套，所有未出租設(shè)備支出的費用為〔2x－540〕元；〔2〕〔3〕當(dāng)月租金為300元時，租賃公司的月收益為11040元，此時租出設(shè)備37套；當(dāng)月租金為350元時，租賃公司的月收益為11040元，此時租出設(shè)備32套。因為出租37套和32套設(shè)備獲得同樣的收益，如果考慮減少設(shè)備的磨損，應(yīng)該選擇出租32套；如果考慮市場占有率，應(yīng)該選擇37套；〔4〕∴當(dāng)x＝325時，y有最大值11102.5。但是當(dāng)月租金為325元時，出租設(shè)備的套數(shù)為34.5套，而34.5不是整數(shù)，故出租設(shè)備應(yīng)為34〔套〕或35〔套〕。即當(dāng)月租金為330元〔租出34套〕或月租金為320元〔租出35套〕時，租賃公司的月收益最大，最大月收益均為11100元。例：〔07河北〕某超市銷售某種品牌的純牛奶，進價為每箱40元，生產(chǎn)廠家要求每箱的售價在40元~70元之間．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：假設(shè)每箱50元銷售，平均每天可銷售90箱，價格每降低1元，平均每天多銷售3箱；價格每升高1元，平均每天少銷售3箱．〔1〕寫出平均每天的銷售量y〔箱〕與每箱售價x〔元〕之間的函數(shù)關(guān)系式〔注明自變量x的取值范圍〕；〔2〕求出超市平均每天銷售這種牛奶的利潤W〔元〕與每箱牛奶的售價x〔元〕之間的二次函數(shù)關(guān)系式〔每箱的利潤=售價－進價〕；〔3〕請把〔2〕中所求出的二次函數(shù)配方成的形式，并指出當(dāng)x=40、70時，W的值．〔4〕在坐標(biāo)系中畫出〔2〕中二次函數(shù)的圖象，請你觀察圖象說明：當(dāng)牛奶售價為多少時，平均每天的利潤最大？最大利潤為多少？解：〔1〕y=240－3x；〔2〕W=－3x2+360x－9600〔40≤x≤70〕；〔3〕W=－3〔x－60〕2+1200．當(dāng)x=40時，W=0；當(dāng)x=70時，W=900．〔4〕圖象略．由圖象可知：當(dāng)售價為60元時，最大銷售利潤為1200元．來到操場題型二：運動問題一場籃球賽中，小明跳起投籃，球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，設(shè)籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米。

問此球能否投中？3米8米4米4米8（4，4）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點〔4，4〕是圖中這段拋物線的頂點，因此可設(shè)這段拋物線對應(yīng)的函數(shù)為：(0≤x≤8)(0≤x≤8)∵籃圈中心距離地面3米∴此球不能投中假設(shè)假設(shè)出手的角度和力度都不變,那么如何才能使此球命中?探究〔1〕跳得高一點〔2〕向前平移一點yx〔4，4〕〔8，3〕在出手角度和力度都不變的情況下,小明的出手高度為多少時能將籃球投入籃圈?0123456789yX〔8，3〕〔5，4〕〔4，4〕0123456789在出手角度、力度及高度都不變的情況下，那么小明朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃也能將籃球投入籃圈？(７，３〕●例：某跳水運發(fā)動進行10米跳臺訓(xùn)練時，身體〔看成一點〕在空中的運動路線是一條拋物線如下圖〔圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為條件〕，在跳某個標(biāo)準(zhǔn)動作時，通常情況下，該運發(fā)動在空中的最高處距水面10m,入水處距池邊的距離為4m，運發(fā)動在距水面高度為5m以前，必須完成標(biāo)準(zhǔn)的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否那么就會出現(xiàn)失誤。23〔1〕求這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式〔2)在某次試跳時，測得運發(fā)動在空中的運動路線是〔1〕中的拋物線且運發(fā)動在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為3m，問此次跳水會不會失誤，通過計算說明理由。253m10m1m跳臺支柱水面池邊ByAx解：〔1〕在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點為A，入水點位B，拋物線的關(guān)系式為：y=ax2+bx+c由題意知，O、B兩點的坐標(biāo)依次為〔0，0〕，〔2，-10〕且頂點的縱坐標(biāo)為23∴c=04a4ac-b2=234a+2b+c=-10解得：a=-256b=103c=0或a=-32b=-2c=0∵拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，∴-＞0b2a又∵拋物線開口向下，∴a＜0,b＞0∴a=-b=c=0256103∴拋物線關(guān)系式為y=-x2+x256103(2)當(dāng)運發(fā)動在空中距池邊的水平距離為3m,即3-2=時，y=(-)×()2+×=-5353852568510385316∴此時運發(fā)動距水面的高為10-=316143因此此次跳水會出現(xiàn)失誤題型三：市場營銷問題例：〔11河北〕某食品零售店為儀器廠代銷一種面包，未售出的面包可退回廠家，以統(tǒng)計銷售情況發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種面包的單價定為7角時，每天賣出160個。在此根底上，這種面包的單價每提高1角時，該零售店每天就會少賣出20個。考慮了所有因素后該零售店每個面包的本錢是5角。設(shè)這種面包的單價為x〔角〕，零售店每天銷售這種面包所獲得的利潤為y〔角〕。⑴用含x的代數(shù)式分別表示出每個面包的利潤與賣出的面包個數(shù)；⑵求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；⑶當(dāng)面包單價定為多少時，該零售店每天銷售這種面包獲得的利潤最大？最大利潤為多少？解：⑴每個面包的利潤為(x－5)角，賣出的面包個數(shù)為〔300－20x〕〔或[160－〔x－7〕×20]〕〔2〕即：〔3〕∴當(dāng)x=10時，y的最大值為500?！喈?dāng)每個面包單價定為10角時，該零售店每天獲得的利潤最大，最大利潤為500角例：〔06河北〕利達經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料〔這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理〕．當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸．該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價的方式進行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.

5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元．設(shè)每噸材料售價為x〔元〕，該經(jīng)銷店的月利潤為y〔元〕．〔1〕當(dāng)每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；〔2〕求出y與x的函數(shù)關(guān)系式〔不要求寫出x的取值范圍〕；〔3〕該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？〔4〕小靜說：“當(dāng)月利潤最大時，月銷售額也最大．〞你認(rèn)為對嗎？請說明理由．解：〔1〕=60〔噸〕．〔2〕化簡得：

〔3〕利達經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應(yīng)定為每噸21元．〔4〕我認(rèn)為，小靜說的不對．理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額來說，當(dāng)x為160元時，月銷售額W最大．∴當(dāng)x為210元時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對．方法二：當(dāng)月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200元時，月銷售額為18000元．∵17325＜18000，∴當(dāng)月利潤最大時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對．題型四：二次函數(shù)建模問題例：圖14－1是某段河床橫斷面的示意圖．查閱該河段的水文資料，得到下表中的數(shù)據(jù)：

〔1〕請你以上表中的各對數(shù)據(jù)〔x，y〕作為點的坐標(biāo)，嘗試在圖14－2所示的坐標(biāo)系中畫出y關(guān)于x的函數(shù)圖象；〔2〕①填寫下表：60x/m圖14—2y/m2046101214103040O5028②根據(jù)所填表中數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律，猜測出用x表示y的二次函數(shù)表達式：．〔3〕當(dāng)水面寬度為36m時，一艘吃水深度〔船底部到水面的距離〕為1.8m的貨船能否在這個河段平安通過？為什么？解：〔1〕圖象如以下圖所示.O102030405060x/m2141210864y/m〔2〕x51020304050200200200200200200〔3〕當(dāng)水面寬度為36m時，相應(yīng)的x=18，那么此時該河段的最大水深為1.62m因為貨船吃水深為1.8m，而1.62<1.8,所以當(dāng)水面寬度為36m時，該貨船不能通過這個河段.題型五：方案優(yōu)化問題例〔08河北〕研究所對某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為x〔噸〕時，所需的全部費用y〔萬元〕與x滿足關(guān)系式，投入市場后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價P甲、P乙〔萬元〕均與x滿足一次函數(shù)關(guān)系．〔注：年利潤＝年銷售額－全部費用〕〔1〕成果說明，在甲地生產(chǎn)并銷售x噸時，，請你用含x的代數(shù)式表示甲地當(dāng)年的年銷售額，并求年利潤〔萬元〕與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕成果說明，在乙地生產(chǎn)并銷售x噸時，〔n為常數(shù)〕，且在乙地當(dāng)年的最大年利潤為35萬元．試確定n的值；〔3〕受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商方案第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)〔1〕，〔2〕中的結(jié)果，請你通過計算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤？參考公式：拋物線的頂點坐標(biāo)是．解：〔1〕甲地當(dāng)年的年銷售額為萬元；〔2〕在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時，年利潤．由，解得