應(yīng)用代數(shù)群論基礎(chǔ)

群論基礎(chǔ)1半群定義：設(shè)S是一個非空集合，若S上存在一個二元運算，構(gòu)成代數(shù)結(jié)構(gòu)(S，),且滿足結(jié)合率，則說S是一個半群有單位元的半群，稱為含幺半群2例整數(shù)的集合Z在通常加法＋意義下構(gòu)成半群(Z,+)，含有單位元0整數(shù)的集合Z在通常乘法×意義下構(gòu)成半群(Z,×)，含有單位元1偶數(shù)的集合E在通常加法＋意義下構(gòu)成半群(E,+)，含有單位元0偶數(shù)的集合E在通常乘法×意義下構(gòu)成半群(E,×)，不含單位元奇數(shù)的集合O在通常乘法×意義下構(gòu)成半群(E,×)，含單位元1奇數(shù)的集合O在通常加法＋意義下不構(gòu)成半群，不封閉3例任意非空集合S到其自身的全體函數(shù)的集合SS在函數(shù)合成運算下構(gòu)成半群，恒等函數(shù)是該半群的單位元任意集合S的冪集P(S)在集合的交（并）運算下構(gòu)成半群設(shè)Mn×n(R)為實數(shù)域R上所有n階方陣的集合，×表示通常矩陣的乘法運算，(Mn×n(R),×)是半群，且單位陣E為其單位元4有限半群如果半群(S,)中集合S含有有限多個不同的元素，稱之為有限半群否則稱為無限半群定理：有限半群(S,)一定含有等冪元S有限，可表示為S={x1,x2,…,xn}任取xiS，其冪構(gòu)成集合{xin|nZ+}S(運算封閉)S有限→在xin，nZ+中必有2個相等設(shè)xik＝xil，且k>l。令p=k-l→xipxil=xip+l=xik=xil5因p1，取正整數(shù)m，使mpl考慮元素y=ximp，顯然ySy=ximp=ximp-lxil=ximp-l(xipxil)=(ximp-lxip)

xil=xi(m+1)p-lxil=xi(m+1)p-l(xipxil)=(xi(m+1)p-lxip)xil=xi(m+2)p-lxil=…=xi(m+m)p-lxil=xi(m+m)p=ximpximp=yy即yS是等冪元6定理：在半群(S,)中，任取n(n3)個元a1,a2,…,an，只要不改變元素次序，任一計算方法所的結(jié)果均相同半群的二元運算通常叫做乘法，可以將ab簡記為ab定義：在半群(S,)中，符號an(n是自然數(shù))表示S中n個a的計算結(jié)果，即an=aaa…a(n個)在S中指數(shù)律成立：對于任意自然數(shù)m,n，任意aS，有aman=am+n；(am)n=amn半群的性質(zhì)7交換半群定義：如果半群(S,)的乘法運算滿足交換率，即a,bS，ab=ba，則稱(S,)是一個交換半群定理：在交換半群(S,)中，任意n個元的積可以任意交換次序，所的結(jié)果相同可交換半群的另一個指數(shù)率：(ab)n=anbn對于可交換半群(S,)的運算常用“+”表示，這是ab記為a+b，稱作a,b的和。并na=a+a+…+a(共n個)8定義：設(shè)S是一個半群，如果存在元素eS，aS：ea=a，那么就說e是S的一個左單位元。如果存在元素uS，aS：au=a，那么就說u是S的一個右單位元。S的一個單位元既是左單位元，又是右單位元，則稱之為S的單位元。一個半群可以既沒有左單位元，也沒有右單位元，也可以有左單位元而沒有右單位元，也可以有有單位元而沒有左單位元。單位元9單位元的性質(zhì)定理：設(shè)半群(S,)有左單位元e，又有右單位元f，則e=f是S的唯一的單位元。證：e是左單位元ef=ff是右單位元ef=e既f=e是S的單位元假設(shè)S有兩個單位元e1,e2，則e1e2=e1=e2故S只能有一個單位元。10半群(2A,)有單位元A，(2A,)有單位元。(2A為A所有子集的集合)A是一個非空集合，A到A的一切映射的集合AA，關(guān)于映射的合成作成一個半群(AA，)有單位元IA自然數(shù)集N的普通加法構(gòu)成半群(N,+)，沒有單位元自然數(shù)集N的普通乘法構(gòu)成半群(N,×)，有單位元11子半群定義：如果半群(S,)的子集S1關(guān)于作成一個半群，那么就說S1是S的一個子半群S的非空子集S1只要對封閉，則(S1,)作成S的一個子群若(S,)是可換半群，則其子半群(S1,)也是可換半群(S,)有單位元，(S1,)未必有單位元，有也未必相等12例例：設(shè)(Z)n表示一切元素為整數(shù)的n階方陣的集合，則(Z)n對于方陣乘法作成一個半群，(Z)n有單位元I命子集T={(aij)|(aij)(Z)n，ij:aij=0}，則T對于方陣乘法封閉，故T是(Z)n的一個子半群，但T沒有單位元。命子集S={(aij)|(aij)(Z)n,ain=anj,i,j=1,2,…,n},則S是(Z)n的一個子半群，S有單位元In-1In13半群的逆元定義：設(shè)(S,)是有單位元e的半群，S中的元素a叫做右可逆的(或右正則的)，若存在a’S使aa’=e。a’叫做a的一個右逆元。叫叫做左可逆的，若存在a”S，使a”a=e。a”叫做a的一個左逆元。若a既是右可逆的，又是左可逆的，則說a是可逆元(或正則元，也叫單位)。定理：設(shè)(S,)是右單位元e的半群，aS,a有右逆元a’和左逆元a”，則a右唯一的逆元a-1，并且(a-1)-1=a。若a,bS，a,b都可逆，則ab也是可逆的，并且(ab)-1=b-1a-1。14群定義：一個含幺半群(G,)，如果

g

G都有逆元g-1

G，則稱(G,)為一個群以非空集合G及G上的二元運算封閉且結(jié)合律:(ab)c=a(bc),a,b,cG單位元：G中存在一個元e:ea=ae=a，aG逆元：對G中任意元a，存在a-1G，使aa-1=a-1a=e15交換群和有限群群G的運算適合交換律時，稱G為交換群或Abel群G中元素個數(shù)有限，稱為有限群否則稱為無限群有限群中G的元素個數(shù)稱為有限群(G,)的階，記為|G|16例1Z-整數(shù),Q-有理數(shù),R-實數(shù),C-復(fù)數(shù)Q*-非零有理數(shù),R*-非零實數(shù),C*-非零復(fù)數(shù)用x和＋表示通常的數(shù)的乘法和加法，則(Z,+)，(R,+)，(Q,+)，(C,+)都是交換群，單位元都是0(Z,X)，(R,X)，(Q,X)，(C,X)都不是群，有單位元1，但0沒有逆元(在(Z,X)中除±1外都沒有逆元)(R*,X)，(Q*,X)，(C*,X)都是交換群，單位元1(R*,＋)，(Q*,＋)，(C*,＋)都不是群，沒有單位元17例2R上全體n階方陣的集合Mnxn(R)在矩陣乘法x下構(gòu)成一含幺非交換半群(Mnxn(R),x)運算封閉滿足結(jié)合律，不滿足交換律單位陣為單位元行列式|A|=0的方陣沒有逆令GL(n,R)={A|AMnxn(R),|A|0},則(GL(n,R),x)是一個群一個非交換群18例3取定一個正三角形，把變到與自身重合的剛體變換叫做的對稱，命G表示的全部對稱所成的集合，則G關(guān)于變換的合成作成一個群19群的零元定理：設(shè)(G,)是群，并且|G|>1，則群(G,)無零元證(反證)：若(G,)有零元，設(shè)為(G,)的單位元e

(gG,有g(shù)=ge=g=,|G|=1,與|G|>1矛盾)gG,有g(shù)=e沒有逆元與(G,)是群矛盾20群的消去率定理：群(G,)滿足消去律，即對a,b,cG,有:(1)ab=acb=c(2)ba=cab=c證(1):a有逆元a-1,用a-1左乘(1)得a-1(ab)=a-1(ac)(a-1a)b=(a-1a)ceb=ecb=c21群的等冪元定理：群(G,)中只有單位元是等冪元證:ee=ee是等冪元若a是等冪元，aa=a=ae由消去律a=e22群中方程的解定理：設(shè)(G,)是群，則a,bG,方程ax=b和ya=b在G中均有唯一解證：(存在性)aG有逆元a-1(唯一性)可由消去律證明用a-1左乘ax=ba-1(ax)=a-1ba-1b=a-1(ax)=(a-1a)x=ex=xx=a-1bG是解用a-1右乘ya=b(ya)a-1=ba-1ba-1=(ya)a-1

=y(aa-1)=ye=yy=ba-1G是解23群中的逆元定理：設(shè)(G,)是群，則a,bG，有(ab)-1=b-1a-1證:(用結(jié)合率)(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1eb=b-1b=e單位元定義及唯一性(ab)-1=b-1a-1還可用逆元的定義及唯一性證明定理：設(shè)(G,)是群，則aG，有(a-1)-1=a24交換群定理：群(G,)是交換群的充分必要條件是：a,bG,有a2b2=(ab)2充分性a,bG，結(jié)合律a2b2=(ab)2a(ab)b=a(ba)b消去率ab=ba(G,)是交換群必要性如果a,bG，均有ab=ba，由結(jié)合律(ab)2=abab=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b225群中元素的階定義：對于群(G,)的元素a，如果存在正整數(shù)n使得an=e，則a的階(周期)定義為使得上式成立的最小正整數(shù)n；如果an=e對于任何正整數(shù)n都不成立，則定義a的階為交換群(Z6,+6)中元素[2]6Z6={[0]6,[1]6,[2]6,[3]6,[4]6,[5]6}的階是3，[0]6的階是1，[1]6的階是6，[3]6的階是2，[4]6的階是3，[5]6階是6群(Z,+)中每一個非零整數(shù)的階都是任何群的單位元的階都為1，而且只有單位元的階才會為126定理：對群(G,)中任何元素，a與a-1均有相同的階設(shè)G是一個群,aG,a的階為2，則a-1=a因a2=e，而aa-1=e故a2=aa-1,消去后a=a-1定理：設(shè)群(G,)中元素aG的階是m。則對正整數(shù)n,an=e的充要條件是m整除n，即m|n推論：設(shè)(G,)是群aG。如果存在正整數(shù)n使得an=e，則a的階是n的因子如果a≠e，且存在素數(shù)p使得ap=e，則a的階是p定理：設(shè)G是有限群，則G的每一個元的階均為有限27循環(huán)群的生成元定義：設(shè)(G,)是一個群。G的子集SG稱為G的一個生成元集，如果G中的每一個元素gG均可由子集S中的元經(jīng)過有限次的運算以及求逆運算得到記G=<S>如果群(G,)的最小生成元集只有一個元素a，稱元素a生成了群(G,)28循環(huán)群定義：群(G,)叫做循環(huán)群，如果(G,)是由某個元素aG生成的記為G=<a>。稱a為群(G,)的生成元我們規(guī)定(a-1)n=a-n,a0=e為單位元，則由a生成的循環(huán)群(G,)中的每一個元素均可表示為a的冪的形式am,其中m為整數(shù)定理：循環(huán)群的階等于其生成元的階循環(huán)群是交換群29例整數(shù)加群(Z,+)是一個循環(huán)群，其生成元為{1}或{-1}模n的剩余類加群(Zn,+n)是一個循環(huán)群[p]nZn是(Zn,+n)的一個生成元，當(dāng)且僅當(dāng)p與n互素30變換群定義：集合S上的一個變換定義為S到自身的一個映射，即：SS用T(S)表示集合S上的全體變換構(gòu)成的集合。在T(S)上規(guī)定二元運算為：,T(S)及sS,()(s)=((s))S。從而也是集合S上的一個變換，即T(S)。運算滿足結(jié)合律，且恒等變換為的單位元。定義：如果T(S)的一個包含恒等變換的子集G關(guān)于運算構(gòu)成群，則G中的每一個元素必為一個雙射(一一在上的映射)，并且逆映射也在G中。這樣的一個群稱為集合S的一個變換群定理：一個集合S上所有的一一在上的變換(雙射)在運算下構(gòu)成一個變換群G31例：令P表示一個平面上所有點的集合，任意給定該平面的一個點O，用G表示所有繞點O的旋轉(zhuǎn)

，其中R表示繞O點旋轉(zhuǎn)的角度，并規(guī)定逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為正。于是，G={

|R}。

,

G,

=+G滿足結(jié)合律

=0G，為單位元

-=-

=0,即

-1=-。所以(G,)是P上的一個變換群。一般來說變換群不是交換群。32定理：任何一個群都同構(gòu)于一個變換群。證明設(shè)(G,)是任意群。gG,定義Tg:GG,aga。如果Tg(a)=Tg(b)，即ga=gb，由群的消去律得a=b。所以Tg是一一的(單的)cG顯然c0=g-1cG滿足Tg(c0)=c,所以Tg是在上的(滿的)故Tg是集合G上的一個變換(即一一在上的映射)用T(G)={Tg|gG}表示G上所有這樣得到的變換的集合。顯然T:GT(G),gTg是一個滿射。如果Tg1=Tg2,則aG都有Tg1(a)=Tg2(a),即g1a=g2a,由消去律得到g1=g2。所以T:GT(G)是單射。要證明T:(G,)(T(G),)是一個群的同構(gòu)，只需再證明保持運算即可。a,bG,Tab(g)=(ab)g=a(bg)=aTb(g)=Ta(Tb(g))=TaTb(g)即：T(ab)=TaTb=T(a)T(b)。證畢33置換群定義：一個有限集合S上的一一在上的映射(雙射)叫做S上的一個置換群。定義：一個含有n個元素的有限集合上的全體置換構(gòu)成的群，叫做n次對稱群，記為Sn。定理：n次對稱群Sn的階是n！。設(shè)S={a1,a2,…,an}。一個置換:aiaki,i=1,2,…,n,完全由(1,k1),(2,k2),…(n,kn)這n對整數(shù)決定。我們將置換表示為34循環(huán)置換定義：設(shè)Sn。將ai1變到ai2，ai2變到ai3,…aik變到ai1，而保持其他的元(如果還有的話)不變。我們將這樣的一個n級置換叫做一個k-循環(huán)置換，用(i1i2…ik),(i2i3…iki1),…,或(iki1…ik-1)表示。35一個k-循環(huán)置換的階恰好是k。定理：任何一個n級置換都可以寫成若干個沒有共同數(shù)字(即不相連)的循環(huán)置換的乘積(復(fù)合、合成)。定理：每一個有限群都同構(gòu)于一個置換群。36子群定義：群(G,)的非空子集H，若對于G的運算作成群，則說H是G的一個子群任何群G都至少有2個子群只包含單位元的集合{e}G自身稱為平凡子群若G還有其他子群，則成為G的真子群37定理：群(G,)的一個非空子集HG構(gòu)成子群的充分必要條件是：

a,bH，有abH(對于G的運算

封閉)

aH,有a-1H證：充分性(假定1，2成立，證明H作成一個群)由1H對于

封閉(運算封閉)結(jié)合律在G中成立

在子集H中成立(結(jié)合率成立)H非空

至少存在一元素aH由2a-1He=aa-1(存在單位元)由2H中每個元在H中均有逆H在

下構(gòu)成群38必要性(假設(shè)H作成(G,

)的子群,證1,2成立)H作成子群1顯然成立(證e=e’)H構(gòu)成群H中一定存在單位元，設(shè)為e’(G,)也有單位元，設(shè)為eaHG，e’是H的單位元e’a=ae是G的單位元ea=ae’a=ea，在G中應(yīng)用消去率e=e’(證a在H中的逆與G中的逆相等)設(shè)aH在H中的逆元為a’，在G中的逆元為a-1H為群a’a=e’=e=a-1a應(yīng)用消去率a’=a證必39推論如果H是群(G,)的一個子群，則H的單位元就是(G,)的單位元H中任意一個元素在H中的逆元就是它在(G,)中的逆元40定理：群(G,)的一個非空子集HG構(gòu)成子群的充分必要條件是：a,bH，有ab-1H證：(充分性)(假設(shè)條件成立，證H為群)aH，e=aa-1H存在單位元a-1=ea-1H存在逆元a,bH，b-1H(存在逆元)ab=a(b-1)-1H運算封閉H作成(G,)的一個子群（必要性，自證）41定理：群(G,)的一個非空有限子集HG構(gòu)成子群的充分必要條件是：a,bH，有abH證：(充分性)(證aH,有a-1H即可)考慮集合{an|nZ+}，{an|nZ+}是H的子集H為有限子集在{an|nZ+}中必有重復(fù)元素設(shè)am=an，m>n。令k=m-n1上式改寫為：anak=am=an消去率ak=e為單位元若k=1a=e，a-1=e=aH若k>1aak-1=ak-1a=ak=ea-1=ak-1{an|nZ+}H42H={x|xC*,xn=1,對于某個自然數(shù)n},則H是G=(C*,)的一個子群。任取x,yH，存在自然數(shù)m,n，使xn=1,ym=1命k是m,n的最小公倍數(shù)，則(xy)k=1既H關(guān)于數(shù)目乘法封閉又xn=1(x-1)n=(xn)-1=1x-1HH是G的一個子群G=(Z,+)，H={nk|k

Z},n是取定的自然數(shù)，則H是G的一個子群設(shè)H1，H2是G的兩個子群，則H1

H2也是G的子群命H=H1

H2

，則H不空(H1和H2擁有相同的單位元)任取a,bH,則a,bH1,a,bH2abH1,abH2abH1H2,即H對運算封閉aHaH1,且aH2a-1H1,且a-1H2a-1H1H2H是G的一個子群設(shè){Hi|iI}是G的子群的任意集合，則Hi是G的子群43等價關(guān)系設(shè)(G,)是一個群，(H,)為其子群。我們定義集合G中的一個等價關(guān)系如下：a,bG,ab當(dāng)且僅當(dāng)ab-1H。a,bG,我們可以確定是否有ab-1H，從而是G中的一個關(guān)系。關(guān)系滿足下面條件：(自反性)任意aG,因aa-1=eH,所以有aa;(對稱性)如果ab,則ab-1H。因(H,)是子群所以ba-1=(ab-1)H,即ba;(傳遞性)如果ab且bc，則ab-1H且bc-1H,所以ac-1=(ab-1)(bc-1)H，即ac。這樣，是G中的一個等價關(guān)系。從而得到G的一個劃分或分類。44陪集定義：由等價關(guān)系～決定的G中的元素的每一個等價類，都叫做子群H的一個右陪集。元素a所在的陪集記為Ha。(如果用a從右邊去乘H的每一個元素，就可以得到包含元素a的在等價關(guān)系～下的等價類。即集合Ha恰好由所有在～下與元素a等價的元素組成。）定義：由等價關(guān)系～’決定的G中每一個元素的等價類，都叫作子群H的一個左陪集。元素a所在的陪集記為aH。45陪集的性質(zhì)定理：群G中一個子群H所決定的左陪集個數(shù)與右陪集個數(shù)相等。證將子群H的左陪集作成的集合記為PL，H的右陪集作成的集合記為Pr。須證在PL和Pr間存在一個雙射。作映射：PLPr，(aH)=Ha-1(一個左陪集aH在下的像與a的選取無關(guān))如果aH=bH,則a-1bH,從而b-1(a-1)-1=(a-1b)-1H,即Ha-1=Hb-1。(單射)如果aHbH，則a-1bH，從而b-1(a-1)-1=(a-1b)-1H，即Ha-1Hb-1，所以是單射；(滿射)任意的HaPr，顯然存在a-1HPL,使得(a-1H)=Ha，所以是滿射。證畢。46定義：群G中一個子群H的左陪集(或右陪集)的個數(shù)，稱為H在G中的指數(shù)，記為|G:H|。定理：群G中一個子群H的每對右陪集之間都存在一個雙射。證明(證明每一個右陪集Ha與H之間都存在一個雙射即可)(定義映射)定義:hha，顯然是一個從H到Ha的映射。(滿射)對haHa,(h)=ha，所以是滿射。(單射)如果(h1)=(h2)，即h1a=h2a，由群的消去律得h1=h2，故是單射。證畢。定理：設(shè)G是一個有限群，則子群H的階|H|以及H在G中的指數(shù)|G:H|都整除G的階|G|，并且三者之間有如下關(guān)系：|G|=|G:H||H|。證明：由于G為有