高中數(shù)學常用思想方法的“教學實踐與研究”課題結題報告

高中數(shù)學課題研究四川天地人教育高中數(shù)學常用思想方法的“教學實踐與研究”課題結題報告數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精華和靈魂所在，它是對數(shù)學知識的進一步濃縮與提煉、概括和整合，是數(shù)學知識的本質和核心，它能讓學生真正感受數(shù)學的價值。重視數(shù)學思想方法的教學能把培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)和智力發(fā)展很好的結合起來。因此，在數(shù)學教學實踐研究中必須重視數(shù)學思想方法的作用和意義。一、課題的提出促進青年教師專業(yè)發(fā)展的需要近五今年，我校新進教師較多，新教師對教材的把握不是很準確，學校需采用有效地方法促進新進教師的專業(yè)發(fā)展，數(shù)學思想方法有助于教師正確的把握教材。高中數(shù)學教學體系包括兩條主線：一是數(shù)學知識，這是明線；而是數(shù)學思想方法，這是隱含在數(shù)學知識中的暗線。教師只有掌握數(shù)學的思想方法，才能明確領會教材編寫的意圖。才能從整體、本質上去理解和把握教材，才能科學、靈活地設計教學過程，選擇適當?shù)慕虒W方法，提高教學效率。提高學生數(shù)學思維能力的需要我校的生源質量較低，學生的學習習慣較差，底子薄弱，加之高中數(shù)學課程的難度較大，使得我校學生對高中數(shù)學的學習陷入困境之中。數(shù)學思想方法有助于培養(yǎng)學生的能力，提高學生學習的效率。（1）完善知識結構。完整的數(shù)學知識結構不只是知識點的多少，更為重要的是建立知識間的聯(lián)系，有效地將知識組織，將知識結構的排列層次化、有序化。數(shù)學思想方法能夠優(yōu)化這種組織形式，促進各部分數(shù)學知識的融合，成為數(shù)學知識結構的核心和靈魂。（2）指導學習遷移。數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識的提煉和概括，數(shù)學思想方法的形成，不僅對學生的數(shù)學思維活動起指導作用，而且對學生的學習方法產(chǎn)生深刻的影響，形成學習效果的有效遷移。二、課題研究的目的、意義及價值課題研究的目的高中數(shù)學課題研究四川天地人教育通過對數(shù)學思想方法的學習與探討，并在課堂教學中注重數(shù)學思想方法的滲透，增強我校數(shù)學教師進行數(shù)學思想方法教學的意識。組織我校教師認真挖掘、研究教材中所蘊含的數(shù)學思想方法，以改善我校高中數(shù)學課堂教學，促進教師成長。培養(yǎng)學生整體思維能力，提高學生運用數(shù)學思想方法解決實際問題的能力。課題研究的意義數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，是層出不窮的數(shù)學發(fā)現(xiàn)的源泉。學生只有把數(shù)學知識上升到數(shù)學思想方法，才能有效地提高數(shù)學素養(yǎng)，乃至學生的整體素質。本課題的研究者為高中數(shù)學一線教師，在實際教學和課堂觀察中搜集典型教學案例，通過訪談、觀察和文獻閱讀等方法，比較全面地總結出了高中數(shù)學思想方法教學中存在的問題以及解決方法，促進數(shù)學思想方法與課堂教學的融合，加強學生對基本數(shù)學思想的理解及在解題中的應用，進而對新課程下的課堂教學作出指導。在教學中落實數(shù)學思想方法的教學，是對新課程理念的體現(xiàn)，也是對新課程的總目標——“進一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學素養(yǎng)”的促進。課題的有效實施，有利于培養(yǎng)我校高中數(shù)學教師建立正確的數(shù)學觀，有助于提高教師的教學水平和科研水平。課題的有效實施，能夠改善學生的學習，提高學生的學業(yè)成績，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，對培養(yǎng)智能型、創(chuàng)新型人才起到了積極的推動作用。課題研究的價值理論價值對高中數(shù)學思想方法的研究，符合新的《數(shù)學課程標準》的要求。新的《數(shù)學課程標準》“前言”中指出：數(shù)學為其他學科提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發(fā)展的基礎；數(shù)學在提高人的推理能力、抽象能力、想象了和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用；數(shù)學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。數(shù)學思想方法是素質教育的重要內容。素質教育要求我們教育要面向全體學生，讓每位學生得到全面發(fā)展。數(shù)學思想方法能夠幫助實現(xiàn)“人人學有價值的數(shù)學；人人都能獲得必要的數(shù)學，不同人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”這一思想，數(shù)學思想方法比形式化的數(shù)學知識更具有普遍性，在學生未來的工作和生活中有更加廣泛的應用。實踐價值高中數(shù)學課題研究四川天地人教育（1）對數(shù)學思想方法的學習和研究有助于教師正確的把握教材，有效促進我校數(shù)學青年教師專業(yè)成長。高中數(shù)學教學體系包括兩條主線：一是數(shù)學知識，這是寫在教材上的明線；二是數(shù)學思想方法，是隱含在數(shù)學知識中的暗線。教師只有掌握了數(shù)學的思想方法，才能明確領會教材編寫的意圖，才能從整體上、本質上去理解把握教材，才能科學、靈活地設計教學過程，選擇教學方法，提高教學效率。（2）數(shù)學思想方法有助于培養(yǎng)學生的能力，有效改善我校學生數(shù)學學習現(xiàn)狀。首先，數(shù)學思想方法能夠幫助學生完善認知結構。良好的數(shù)學知識建構不只是取決于知識點的多少，更為重要的是知識點的聯(lián)系、組織方式，是結構排列的層次性和有序性。數(shù)學思想方法能夠優(yōu)化這種組織形式，促進各部分數(shù)學知識的融合，成為數(shù)學知識結構的核心和靈魂。其次，數(shù)學思想方法能夠指導學生進行學習遷移。數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識的提煉和概括，一旦形成，不僅對數(shù)學思維活動起指導作用，而且會對學生的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻的影響，形成學習效果的廣泛遷移，包括數(shù)學領域向非數(shù)學領域的遷移。最后，數(shù)學思想方法能夠促進學生思維的發(fā)展。數(shù)學思想方法的有效滲透對學生思維發(fā)展起著重要的作用，有利于培養(yǎng)學生解決問題的能力，有效的改善了我校高中生學習數(shù)學的現(xiàn)狀。推廣價值（1）數(shù)學思想方法是數(shù)學思維的主體，數(shù)學思想方法在課堂教學中的滲透能夠幫助健全學生的發(fā)展。（2）高考命題中已充分體現(xiàn)數(shù)學思想方法的考察，因此數(shù)學思想方法需進入課堂。三、研究的理論依據(jù)1、奧蘇泊爾的認知理論：有意義接受學習理論施良方《學習論》，北京：人民教育出版社，2001,5.第220-249頁美國心理學家奧蘇泊爾(D.P.Ausubel)認為有意義學習的過程是新知識與個體認知結構中原有的適當觀念相互作用，從而獲得新的更高層次的分化的建構過程。個體獲得新知識的內部認知過程有：下位學習、上位學習和并列學習等。由于認知結構中原有的觀念在包攝和概括水平上高于新學習的知識，因而新知識與舊知識所構成的這種類屬關系又可稱為下位關系，這種學習便成為下位學習。當學生掌握了一些數(shù)學思想方法，再去學習相關的數(shù)學知識，就屬于下位學習了，下位學習所學知識具有足夠的穩(wěn)定性。這樣可以使得新知識能夠順利的納入學生已有的認知結構中去，學生通過已有的數(shù)學思想方法能夠更好的理解和掌握教學內容。高中數(shù)學課題研究四川天地人教育2、建構主義理論曹才翰，章建躍《數(shù)學教育心理學》北京師范大學出版社，1999,12.第57頁建構主義代表人物皮亞杰(Piager.J.)認為知識不是客觀存在的，是個體與環(huán)境相互作用建構的結果。數(shù)學認知結構中包含數(shù)學基礎知識，數(shù)學思想方法和心理成分三種主要因素，在數(shù)學知識學習的“同化”和“順應”過程中，數(shù)學基礎知識不具備主動“加工”的意識及能動性，而心理成分也只提供給主體去“加工”的動機，因而數(shù)學思想方法在其中充當了“信息加工的作用”，它不僅提供思維策略，還提供實現(xiàn)目標的具體操作技能，要實現(xiàn)新舊知識的同化，離不開數(shù)學思想方法。因此，數(shù)學思想方法的教學，在培養(yǎng)學生認知結構方面，起著重要的作用。四、研究方法結合參與課題研究者的實際情況本課題采用以下研究方法。1、課堂觀察法。該課題的參與者均為一線教師，課題的實施過程中，通過大量的聽評課，做好相關的記錄，獲得大量的、詳實的材料。2、問卷調查法。在課題的研究中，為了了解高中數(shù)學教師對數(shù)學思想方法的理解程度和教學現(xiàn)狀以及學生對數(shù)學思想方法的掌握情況，課題的研究者發(fā)放了問卷調查表，收集到了大量的具體的資料供研究參考使用。3、文獻研究法。在研究過程中，課題組成員搜集了大量的國內外關于數(shù)學思想方法教學的文獻，并對這些文獻進行整理，為課題的研究提供了一定的理論依據(jù)。4、案例研究法。此研究在固原五中高中數(shù)學學組內實施，經(jīng)過一年時間的課堂觀摩，共聽取60節(jié)，其中包括示范課、優(yōu)質課大賽、推門進課堂聽課，其中根據(jù)課堂教學的5個環(huán)節(jié)整理出教學片斷10個，內容涉及高中數(shù)學課程實驗教科書人教A版教科書的必修1到必修5以及選修2—1的內容。5、訪談法。該研究中，為了更深入了解高中數(shù)學教師對數(shù)學思想方法教學的看法，了解各個教師在實施數(shù)學思想方法教學中的做法，按照“高中數(shù)學思想方法教學訪談綱要”進行訪談。6、經(jīng)驗總結法。參與課題研究的教師中，大部分是優(yōu)秀的、有經(jīng)驗的教師，在聽評課時，將他們的教學案例進行分析，以便能夠探究出有效可行的數(shù)學思想方法教學策略。高中數(shù)學課題研究四川天地人教育五、課題的研究過程本課題以固原五中高一、高二、高三全體學生為研究對象，以奧蘇泊爾的認知理論和建構主義理論為理論基礎，以高中生的心理心理發(fā)展特點為依據(jù)，在高中數(shù)學新課標為指導下展開研究。組織全體高中數(shù)學教師系統(tǒng)學習總結高中常用的數(shù)學思想方法教師要進行數(shù)學思想方法的教學，首先要將常用的數(shù)學思想方法透徹的理解、內化才能有效的組織教學。因此，課題組首先組織高中數(shù)學教師系統(tǒng)的學習常見的數(shù)學思想方法?？偨Y出常用的數(shù)學思想方法有：函數(shù)與方程思想方法、數(shù)形結合思想方法、分類與整合思想方法、轉化與化歸思想方法、特屬與一般思想方法、有限與無限思想方法、或然與必然的思想方法。(1)函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是指在構建函數(shù)的基礎上，通過對函數(shù)的分析去分析問題、轉化問題和解決問題。函數(shù)思想在研究方程、數(shù)列、解析幾何等內容時有著重要的作用。方程思想，是針對問題，把問題的數(shù)量關系轉化為數(shù)學模型，然后通過求解方程來使問題解決。是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎。涉及變量問題時，需要學生學會用函數(shù)思想進行思考；而涉及等量問題時，要求學生具有方程思想。在實際應用過程中，函數(shù)與方程的互相轉化有助于問題的解決。高考把函數(shù)與方程思想方法作為七種重要思想方法中的重點來考察。(2)數(shù)形結合思想方法數(shù)學研究的對象是數(shù)量關系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面。數(shù)形結合的思想方法其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象結合，通過對圖形的認識，使問題化難為易，化抽象為具體。在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應關系；在二維空間，有序實數(shù)對與坐標平面上的點建立一一對應關系；在三維空間，有序實數(shù)對與空間坐標上的點建立一一對應關系。在解題時，對于選擇、填空題突出考查數(shù)到形的轉化；在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，突出形到數(shù)的轉化。(3)分類與整合思想方法分類是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法，從具體出發(fā)，選取適當?shù)姆诸悩藴蔬M行分類，先分后合是高中數(shù)學課題研究四川天地人教育分類與整合思想方法的本質，含有字母參數(shù)的問題進行分類與整合的研究，重點考出學生思維的嚴謹性。(4)化歸與轉化思想方法化歸與轉化思想方法是將復雜問題劃歸為簡單問題，將為解決問題劃歸為已解決問題，在轉化過程中處理方法靈活、多樣、無統(tǒng)一模式，高考重視常用的變化方法：一般與特殊的轉化、繁與簡的轉化、構造轉化、命題的等價轉化。(5)特屬與一般思想方法特屬與一般思想方法是通過對個例認識與研究，形成對事物的認識，由淺入深，由現(xiàn)象到本質、由局部到整體、由實踐到理論，有特殊到一般，再由一般到特殊的反復認識過程。高考以新增內容為素材，突出考察特殊與一般思想成為命題改革的方向。(6)有限與無限思想方法把對無限的研究轉化為對有限的研究，是解決無限問題的必經(jīng)之路，立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法解決，實際上是先進行分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數(shù)學思想方法的應用。隨著高中課程改革的推進，對新增內容考察的深入，必將加強對有限與無限的考查。(7)或然與必然的思想方法隨機現(xiàn)象具有兩個最近本的特征，一是結果的隨機性，二是頻率的穩(wěn)定性。概率知識在現(xiàn)實生活中常常用到，概率所研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律解決“偶然”的問題，這其中所蘊含的數(shù)學思想方法就是或然與必然的思想方法。數(shù)學思想方法與高中數(shù)學教材相關內容分析通過對數(shù)學思想方法的系統(tǒng)學習，接下來課題組成員將每種數(shù)學思想方法與高中數(shù)學教材相關內容對應起來，下面以數(shù)形結合的思想方法為例進行說明（具體如表-1）。高中教材相關內容滲透程度(1)用韋恩圖法表示集合.(2)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質.(3)等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)圖象的關系；求和公式與二次函數(shù)圖象的關系.引導學生感知和孕育數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.高中數(shù)學課題研究四川天地人教育(4)等比數(shù)列通項公式與二次函數(shù)圖象關系.(5)三角函數(shù)的圖象與性質.(6)向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則.(7)一元二次不等式的解法.(1)直線的斜率和傾斜角.(2)圓、橢圓、雙曲線和拋物線方程與曲線的關系.教師進一步向學生介紹數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，讓學生初步學會如何進行數(shù)與形的轉化.(1)空間直線與平面的位置關系.(2)空間平面與平面的位置關系.(3)復數(shù)的表示.強化應用數(shù)形結合思想方法解題的意識，廣泛聯(lián)想，上升為能力.表-1確定高中數(shù)學思想方法教學的教學原則首先課題組通過研究文獻、全體學習，在經(jīng)過經(jīng)驗總結，確定了高中數(shù)學思想方法教學需遵循的教學原則，具體原則如下。合理重建原則。高中數(shù)學教材是以概念、定理、法則、公式等為邏輯體系，但這種經(jīng)過歸納概括的邏輯體系掩蓋了數(shù)學思維的真實過程，因此教師在教學過程中必須展示數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，使學生能切實體驗到數(shù)學思想方法的意義和作用。循序漸進原則。數(shù)學思想方法的形成難于知識的理解與技能的掌握，它需要學生深刻理解知識之間的本質聯(lián)系，因此學生對數(shù)學思想方法的理解不可能一步到位，教師在教學中更不能一蹴而就。數(shù)學思想方法的滲透要有一個循序漸進、由淺入深的過程，即要按照“反復孕育、初步形成、應用發(fā)展”的順序來完成某一數(shù)學思想方法。螺旋上升原則。根據(jù)學生的認知特點，學生對每種數(shù)學思想方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，即從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的螺旋上升過程。確定高中數(shù)學思想方法教學的實施步驟高中數(shù)學課題研究四川天地人教育一、集體備課，確定單元計劃數(shù)學思想方法是隱形的更本質的知識內容，教師需深入研究教材，從而挖掘有關思想方法，結合學生的實際情況設計合理的教學目標，進行有目的、有意識地滲透。因此，課題在實施的過程中，首先組織高中數(shù)學教師整理并學習高中常見的數(shù)學思想方法。在每單元教學實施之前，組織教師集體備課，確定單元計劃。單元計劃步驟如圖-1。分析單元知識分析單元知識，整理本單元所涉及到的數(shù)學思想方法分析教學內容分析學生情況確定本單元教學目標具體知識點的教學目標數(shù)學思想方法的教學目標教學設計實施教學總結與反思圖-1二、確定每種數(shù)學思想方法的滲透過程對于每種數(shù)學思想方法，如何在一節(jié)課教學過程中滲透呢？課題組成員通過教學實踐研究與總結，提出方法如圖-2。在知識的生成過程中挖掘數(shù)學思想方法在知識的生成過程中挖掘數(shù)學思想方法在例題教學中引導學生總結概括數(shù)學思想方法在習題的解決過程中嘗試運用數(shù)學思想思想方法高中數(shù)學課題研究四川天地人教育圖-2高中數(shù)學思想方法教學的實施的案例單元教學計劃案例以《普通高中課程標準試驗教科書人教A版》必修一第二章《基本初等函數(shù)》為例進行單元教學計劃設計，具體如表-2?！痘境醯群瘮?shù)》單元教學計劃單元內容基本初等函數(shù)教學內容分析教材知識分析指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是高中新引進的函數(shù)，教科書先給出了指數(shù)函數(shù)的實際背景，然后對指數(shù)函數(shù)概念的建立、指數(shù)函數(shù)圖象的繪制、指數(shù)函數(shù)的基本性質與指數(shù)函數(shù)的初步應用，做了完整的介紹.教科書從具體問題引進對數(shù)概念，從對數(shù)概念的建立過程可以看出，教科書強調“對數(shù)源與指數(shù)”，以及指數(shù)運算與對數(shù)運算的互逆關系，有利于學生學習時發(fā)現(xiàn)與論證對數(shù)的運算性質.對數(shù)函數(shù)同指數(shù)函數(shù)一樣，是以對數(shù)概念和運算法則作為基礎展開的.對數(shù)函數(shù)的研究過程也同指數(shù)函數(shù)的研究過程一樣，目的是讓學生對建立和研究一個具體函數(shù)的方法有較完整的認識.對數(shù)函數(shù)是本章的另一個重點內容.在學習了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)后，以兩個底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)介紹了反函數(shù).對一般的反函數(shù)，教科書沒有更多的介紹，這也是與傳統(tǒng)教科書有區(qū)別的地方.冪函數(shù)是實際問題中常見的一類函數(shù)，這里只要求通過冪函數(shù)，，，，的圖象歸納出這五個冪函數(shù)的基本性質.數(shù)學思想方法分析在指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)概念的形成過程中要注意引導學生對分類討論思想方法的挖掘，在指數(shù)函數(shù)高中數(shù)學課題研究四川天地人教育、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基本性質的教學時要引導學生用數(shù)形結合思想方法進行分析，在函數(shù)的初步應用教學時要注重函數(shù)與方程思想方法的應用.學情分析學生在初中學習了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學習了正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，這為本章內容的學習奠定了基礎.學生已經(jīng)通過第一章內容的學習，掌握了研究函數(shù)的系統(tǒng)的方法，能夠順利的研究本章所涉及到的三類函數(shù).同時，由于我校學生的基礎薄弱，計算能力弱，在教學過程中教師要由淺入深，循序漸進，采用螺旋上升的方法進行知識探究以及數(shù)學思想方法的滲透.單元目標知識目標了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點.在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)展歷史以及對簡化運算的作用.通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調性與特殊點.知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)(，且).通過實例，了解冪函數(shù)的概念；結合函數(shù)，，高中數(shù)學課題研究四川天地人教育，，的圖象，了解它們的變化情況.能力目標培養(yǎng)學生觀察分析、抽象概括能力和歸納總結能力.培養(yǎng)學生數(shù)形結合、辯證思維好動手實踐的能力.培養(yǎng)學生用分類討論的數(shù)學思想方法和函數(shù)與方程的思想方法解決實際問題的能力.情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生積極學習、刻苦鉆研的良好品質.培養(yǎng)學生觀察分析、抽象概括的能力，數(shù)形結合、歸納總結能力和實踐與探索能力.學會理論聯(lián)系實際，學以致用，在解決實際問題的過程中，逐步理解、函數(shù)與方程思想方法和分類討論的思想方法，了解數(shù)學的應用價值.教學重點、難點教學重點指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質.教學難點無理指數(shù)冪的含義以及指數(shù)和對數(shù)的關系.地位和作用本章內容是在學完函數(shù)概念以及函數(shù)基本性質后，系統(tǒng)的研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，是高中函數(shù)學習的第二階段.基本初等函數(shù)是高中數(shù)學到的基礎，是刻畫現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要模型，如GDP的增長問題、人口增長問題、細胞分裂等，體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值.因此，本章起到了承上啟下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，對學生掌握基礎的數(shù)學語言，學號高中數(shù)學起著重要的作用.課時安排3.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)分兩節(jié)（3.11-3.12），共4課時.3.2對數(shù)與對數(shù)函數(shù)分三節(jié)（3.2.1-3.2.3），共5課時.3.3冪函數(shù)1課時.3.4函數(shù)的應用1課時.高中數(shù)學課題研究四川天地人教育表-2數(shù)學思想方法的教學實踐案例概念課堂中進行數(shù)學思想方法教學的案例數(shù)學概念是數(shù)學學習的起點，是推導數(shù)學定理、法則的邏輯基礎，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點。因此，只有正確的形成概念，才能掌握和運用數(shù)學知識。章建躍博士也大力倡導在核心概念教學上要做到“不惜時、不惜力”，在概念教學時，引導學生發(fā)現(xiàn)概念中蘊含的數(shù)學思想方法，為后續(xù)的正確運用數(shù)學思想方法解決問題打下良好的基礎。從數(shù)學概念的形成過程來看，概念教學是獲取研究對象、認識數(shù)學新對象、追溯本源的過程。而在此教學過程中，引導學生用相對應的數(shù)學思想方法挖掘研究對象、認識分析對象、從而達到理解所研究的對象。從數(shù)學的發(fā)展來看，數(shù)學概念凝聚著人類認識事物的思想精華。在概念教學中順其自然的滲透數(shù)學思想方法的教學，會對整個數(shù)學教學起到“潤物細無聲”的效果。下面以《普通高中課程標準實驗教科書人教A版》選修2-1第二章第三節(jié)雙《曲線及其標準方程》為例進行說明，具體如表-3。課題：雙曲線及其標準方程《普通高中課程標準實驗教科書人教A版》選修2-1第二章第三節(jié)教學目標：知識目標：理解和掌握雙曲線的定義、標準方程及其求法.能力目標：掌握雙曲線的定義、標準方程及其推導方法，培養(yǎng)學生動手能力，分類討論、類比的數(shù)學思想方法.情感目標：通過對雙曲線定義與橢圓定義的比較，是學生認識到比較法是認識事物掌握其實質的一種有效方法.教學重點與難點教學重點：了解雙曲線的定義.教學難點：雙曲線標準方程推導過程中的化簡.高中數(shù)學課題研究四川天地人教育回憶橢圓的定義，回憶橢圓的定義，與已有的知識聯(lián)系提出類似的問題，引入雙曲線的定義根據(jù)條件，建立雙曲線的標準方程小結與作業(yè)布置SHAPE教學過程：問題師生活動數(shù)學思想方法(1)我們已經(jīng)學習過橢圓.橢圓是平面上一個動點到兩個定點距離之和等于定長的點的軌跡，當然這個定長要大于這兩個定點間的距離.那么，平面上到兩個定點的距離只差是一個定長的點的軌跡是什么呢？下面我們用實驗來探究這個問題.老師提出問題，學生動手實驗。取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各取一個點，分別固定在點，上，到的長為.把鼻尖放在點M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，鼻尖所經(jīng)過的點就畫出一條曲線(參照課本圖2.3-1中右邊的曲線).類比推理的思想，培養(yǎng)學生歸納總結和類比推理的能力.(2)在運動過程中，這條曲線上的點所滿足的幾何條件是什么？教師引導學生分析實驗中的“變”與“不變”的條件.在拉鏈為拉開時，；拉開后，是定長，，都在變化，但是它們的差數(shù)形結合的思想方法.高中數(shù)學課題研究四川天地人教育不變。(3)能否說，這條曲線是平面上一個動點到兩個定點距離之差等于定長的點的軌跡呢？教師通過問題引導學生進行實驗的遷移。學生調換固定在，處的圖釘位置再進行試驗，出現(xiàn)雙曲線的另一只.數(shù)形結合的思想方法.(4)應該如何描述動點M所滿足的幾何條件呢？學生整理實驗，抽象歸納成數(shù)學問題.數(shù)形結合的思想方法.(5)還有其他約束條件嗎？師生共同討論，平面上一個動點到兩個定點距離之差的絕對值等于這兩個定點間的距離的點的軌跡是什么？數(shù)形結合的思想方法寫出動點M所滿足的幾何條件的點的集合：.明確雙曲線的定義：平面內與兩定點，的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，量焦點的距離叫做雙曲線的焦距.(6)我們是怎樣建立坐標系求橢圓標準方程的？怎樣建立適當?shù)淖鴺讼?，求雙曲線的方程呢？教師引導學生根據(jù)雙曲線的定義的特征建立適當?shù)淖鴺讼?類比推理完成“建系”.設點M(x,y)是雙曲線上的任意一點，雙曲線的焦距為，那么，焦點，的坐標分別是，.又設點M與，的距離的差的絕對值等于常數(shù).由定義可知，雙曲線就是集合.所以，.(7)怎樣化簡方程？請2名學生板書演示化簡過程，教師在教室中走動觀察其他同學的化簡過程.通過同桌兩個同學的互學，相互檢查對方的化簡過程，是否能得到正確的結果，出現(xiàn)過什么問題？高中數(shù)學課題研究四川天地人教育教師引導學生評價板書過程，對好的方面進行評價，對表述有問題的地方進行修改.(8)橢圓有兩個標準方程，雙曲線也有兩個嗎？另一個是如何得到的？教師引導學生與橢圓類比，既加強與已有知識聯(lián)系，又找出與舊知識的不同之處（“同化”與“順應”）.另一個方程是.例題展示請2名學生板書演示.小結：學生小結雙曲線的定義和標準方程.布置作業(yè)：教科書習題2.3A組第1、2題.表-3點評：(1)教師首先引導學生從實例入手，培養(yǎng)學生的觀察能力和動手操作能力。(2)教師首先未交代雙曲線的定義，而是讓學生類比橢圓自己概括，然后將文字文字轉化為數(shù)學語言，強調了符號化思想。培養(yǎng)學生的抽象、概括能力。(3)應用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法得到雙曲線標準方程，學生板書演示，培養(yǎng)學生的計算能力。(4)在例題的解決時，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識的能力。公式、定理課堂中進行數(shù)學思想方法教學的案例在數(shù)學公式、定理的推導證明過程中，滲透著大量的數(shù)學思想方法，在教學過程中，不能只強調結果，不能簡單的要求學生記住結論，更重要的是要分析在推導或證明過程中所蘊含的數(shù)學思想方法，具體如表-4。課題：兩角差的余弦公式高中數(shù)學課題研究四川天地人教育《普通高中課程標準實驗教科書人教A版》必修4第三章第一節(jié)教學目標：知識目標：掌握兩角差的余弦公式，并能簡單運用這個公式求解教材上的練習和習題.能力目標：通過探究兩角差的余弦公式體會以退求進、割補思想、分類討論觀察聯(lián)想等數(shù)學思想方法和思維方法，體會數(shù)學思維的合理性與條理性.情感目標：培養(yǎng)學生樂于思考和主動探究的思想.教學重點與難點教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式.教學難點：探索過程的組織和適當引導.創(chuàng)設情景，創(chuàng)設情景，以實例引入課題明確探索目標及途徑組織學生自主探索小結與作業(yè)布置通過例題、練習，加強對公式的理解SHAPE教學過程：問題師生活動數(shù)學思想方法(1)教材中由章頭圖給出的問題.使學生經(jīng)歷把實際問題轉化成數(shù)學問題的過程；引導學生用函數(shù)與方程的思想方法分析求解過程；師生共同得出本節(jié)課題.運用圖片和動畫展示從實際問題轉化成數(shù)學問題并運用函數(shù)與方程的思想方法分析求解過程.高中數(shù)學課題研究四川天地人教育(2)你認為公式會是嗎？讓學生動手驗證，從而認識要探索的公式在“恒等”方面要求的意義.(3)怎樣聯(lián)系單位圓上的三角函數(shù)線來探索公式？讓學生親身經(jīng)歷探索過程：怎樣作出角的終邊；怎樣作出角的余弦線以及角的正弦線，余弦線；怎樣利用幾何直觀尋求的表示式.動畫展示探索過程，體現(xiàn)“形”的過程.(4)怎樣聯(lián)系向量的數(shù)量積去探索公式？讓學生經(jīng)歷怎樣用向量知識作出探索的過程：結合圖形，明確應選擇哪幾個向量，它們怎么表示？怎樣利用向量數(shù)量積的概念和計算公式得到探索結果.對探索過程進一步嚴格化的思考和處理.數(shù)形結合的思想方法.(5)例1.求解過程由學生獨立完成；通過本例學生對三角變換有了一般地認識，教師適時的點評.公式的應用.(6)例2.學生板書演示，教師對表述的規(guī)范作了點評和要求分類討論的思想方法的應用小結：學生圍繞對公式的探索過程和兩角差的余弦公式兩方面進行總結.高中數(shù)學課題研究四川天地人教育布置作業(yè)：教科書P151,1-5.表-4點評：(1)教師沒有直接把課題交給學生，而是從實例入手，激發(fā)學生的求知欲望，引導學生猜想兩角差的余弦公式，促進學生發(fā)現(xiàn)問題的能力，然后用向量和三角函數(shù)線的知識進行推導，證明過程中滲透著數(shù)形結合的思想，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。(2)兩角差的余弦公式是三角計算的基礎，要給與足夠重視。習題課中進行數(shù)學思想方法教學的案例課本上的典型例題具有示范作用，在解題過程中不斷的出現(xiàn)數(shù)學思想方法，在教學過程中，要引導、幫助學生歸類總結。如函數(shù)與方程的思想方法在怎樣的題目中出現(xiàn)過，這些題目有什么樣的共同特點，有無規(guī)律等。幫助學生按數(shù)學思想方法重新歸類所學知識，這是一個幫助學生建立聯(lián)系、升華理解的再學習過程。數(shù)學能力的提升要在解題中來實現(xiàn)。在數(shù)學習題的解決過程中，幫助學生在數(shù)學思想方法的指導下探究性解題，從而避免機械性訓練和沒有思路的亂撞。如以二次函數(shù)為載體的函數(shù)大題，這類題目考查的內容豐富，有時需用函數(shù)與方程的思想方法去解決，有時需用數(shù)形結合的思想方法來解決，有時會用到分類討論思想方法。學生要分清情況，對癥下藥，方可使問題迎刃而解。章建躍博士指出：“高水平的教學設計要建立在如下三個基本點上：理解數(shù)學、理解學生、理解教學”。其中，“理解數(shù)學”就指的是對數(shù)學思想方法及其精神的理解，可見數(shù)學思想方法在整個高中數(shù)學教學中的重要性，具體如表-5。課題：正弦定理和余弦定理的綜合應用教學目標：教學過程：探究任務1～正弦定理的應用思考1正弦定理指出，比值是多少？如圖,△的外接圓半徑為,過點作圓的直徑,在△中，探究與的關系.你有幾種證明方法？教師引導學生用數(shù)形結合的方法探究三角形的邊長a與外接圓的直徑2R的關系.高中數(shù)學課題研究四川天地人教育AABCO例1在△中,已知,,試判斷△的形狀.例2在△中,求證:.●探究任務2～余弦定理的應用例1在△中,若,,,則.例2在△中,若,,,求.引導學生引用正弦定理解決問題.引導學生用余弦公式解決問題.引導學生選擇適當?shù)墓浇鉀Q問題，在利用正余弦解決問題時，引導學生做出相應的三角形，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的意識.表-5點評：(1)思考1的提出，鼓勵學生用數(shù)形結合的思想方法進行一題多解，用數(shù)學思想方法指導解題，起到了解題與思想方法相互作用的目的，從而認識了事物發(fā)展、變化的規(guī)律。(2)四道例題的解決，讓學生在解題中領悟數(shù)學思想方法、數(shù)學文化和數(shù)學精神，優(yōu)化學生點的認知結構，更大限度的提高了學生思考問題和解決問題的能力。六、課題實施的效果評估根據(jù)課題的實施，現(xiàn)根據(jù)調查問卷等方面對本課題的實施進行效果評估。教師數(shù)學思想方法教學問卷調查表分析高中數(shù)學課題研究四川天地人教育數(shù)學思想方法教學問卷調查表(課題實施前)是在本課題實施前對我校高中數(shù)學教師做的第一次問卷調查，本問卷共有8個小問題，其中第1題和第8題是填空，前三個問題是對我校高中數(shù)學教師基本情況的了解，后五個問題是對我校高中數(shù)學教師在教學中進行數(shù)學思想方法滲透的調查。第2到第7題的調查情況如下表-6。題號人數(shù)234567選項A6814584B5154510C810505D03／560E／8／／／／F／1／／／／表-6從表-6可以看出，我校新進青年教師占到31.6%，占到了一大部分，而從調查中可以看出我校教師在教學中都有滲透數(shù)學思想方法的意識，但作為青年教師在滲透過程中，方法不是很妥當，滲透的比較淺，過于注重課本知識的應用，而忽視了學生學習方法的培養(yǎng)。數(shù)學思想方法教學問卷調查表(課題實施中)是在本課題實施一年后對我校高中數(shù)學教師做的第二次問卷調查，本問卷共有15個小問題，其中第1題填空，前三個問題是對我校高中數(shù)學教師基本情況的了解，第4到第12題是對我校高中數(shù)學教師在教學中進行數(shù)學思想方法滲透的調查，第13和第14題是數(shù)學思想方法教學實踐對學生的影響，第15題是數(shù)學思想方法教學實踐對教師專業(yè)發(fā)展的影響，具體調查情況如表-7。題號人數(shù)23456789101112131415選項A68510999999919916B516999999991993C818011111111910D03／000000001900E／8／00000000／0／高中數(shù)學課題研究四川天地人教育F／1／／／／／／／／／／／／表-7從表-7可以看出我校教師在教學中不僅有滲透數(shù)學思想方法的意識，而且有一定的方法，促進了教師的專業(yè)發(fā)展。數(shù)學思想方法的滲透能夠提高學生學習的興趣，加深學生對數(shù)學知識的理解與掌握，能夠更好的發(fā)展學生的科學素養(yǎng)和精神，從而提高學生的數(shù)學成績，提高了學生學習能力。學生測試卷分析 學生測試卷（前）是課題實施前對學生的一次測試，對函數(shù)概念和性質的考查，第1題是對分段函數(shù)的考查，第2題是對函數(shù)性質的考查。分段函數(shù)是難點，特別是對高一新生，大部分學生不能完整的畫出這個分段函數(shù)的圖象。據(jù)課堂調查，大部分對分段函數(shù)不理解，特別是與常函數(shù)有關的分段函數(shù)，學生感覺無從下手。第2題是對函數(shù)性質性質的考查，函數(shù)不是學生初中所學的函數(shù)類型，以學生目前所掌握的知識無法作出此函數(shù)的圖象，只能根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對稱性、增減性的定義來分析此函數(shù)的性質，而根據(jù)定義來分析性質對學生來說就有些抽象，學生不易掌握，只有3%的學生完全能夠解答此題，有24%的學生只能分析一個性質，剩余的學生沒有解答此題。學生對函數(shù)的概念和性質掌握的不好。 學生測試卷（中）是課題實施了一段時間對學生的一次測試，是必修一第二章《基本初等函數(shù)》完成后的一次調查，此題是結合基本初等函數(shù)對函數(shù)性質的考查。第1題有80%的學生能夠完成，第2題有41%的學生能夠寫出完整的解答過程，大部分學生能夠解答疑問，完成的比較好。學生已經(jīng)掌握了一部分常用的數(shù)學思想方法，能夠嘗試著用數(shù)學思想方法來解決問題。對于這兩道題學生能夠結合函數(shù)的圖象來分析函數(shù)的性質，有了函數(shù)的圖象，學生能夠直觀的得到函數(shù)的相關性質，從“形”的分析上升到“數(shù)”的證明。七、研究成果1．組織我校高中數(shù)學教師對數(shù)學思想方法進行系統(tǒng)學習，加深了我校教師對數(shù)學思想方法內涵和外延的理解，促進了我校數(shù)學教師的專業(yè)發(fā)展。2．分析常見數(shù)學思想方法的特點，并進行有效的教學實踐，提高了我校高中數(shù)學教師教學和教研水平。高中數(shù)學課題研究四川天地人教育3．按照我國數(shù)學教學的傳統(tǒng)和教育理念的要求，研制出了高中數(shù)學思想方法教學的思路和案例，為廣大教師提供了案例，有助于教師的教學理念向教學實踐的切實轉化。參考文獻[1]徐利治.數(shù)學方法論選講[M].武漢:華中工學院出版社，1993[2]沈文選.中學數(shù)學思想方法[M].湖南:湖南師大出版社，1999,5[3]歐陽維誠，張垚，肖果能.初等數(shù)學思想方法選講[M].湖南:湖南教育出版社，2000,8[4]朱成杰.數(shù)學思想方法教學研究導論[M].上海:文匯出版社，2001,6[5]施良方.學習論[M].北京:人民教育出版社,2001,5[6]曹才翰，章建躍《數(shù)學教育心理學》北京師范大學出版社，1999,12.第57頁[7]陳揚.關于數(shù)學思想方法教學的探討[J].數(shù)學通報,2003,3[8]蔣世信.淺談如何進行數(shù)學思想方法的教學[J].數(shù)學通報,2003,9[9]時麗霞.波利亞教育思想對中學數(shù)學教學實踐的指導作用[J].中學數(shù)學雜志,2004,2[10]陳漢君.波利亞數(shù)學教育思想研究綜述[J].數(shù)學通訊,2004,9[11]沈文選.進行數(shù)學思想方法教學應注意的問題[J].中學數(shù)學,2000,4[12]楊凌華.數(shù)形結合思想在中學教學中的應用仁[J].當代教育論壇,2005,4[13]武子順.轉化與化歸在解題中的應用[J].中學生數(shù)理化,2004,3[14]章建躍.數(shù)學思想在立體幾何的滲透[J].數(shù)學教學研,2004,1高中數(shù)學課題研究四川天地人教育[15]劉坤.數(shù)學教學應把學科分支的基本思想提到教與學的指導地位[J].數(shù)學通報2003,1附錄1高中數(shù)學思想方法教學訪談綱要1、在日常教學設計中，您是從哪些方面著手設計的？考慮了哪些教學因素？學生已有的相關知識經(jīng)驗是什么？2、這堂課你滲透了數(shù)學思想方法嗎？如果有，有哪些？您是如何處理的？您對您的處理方法滿意滿？達到預期的效果了嗎？3、這節(jié)課您的教學目標達到了嗎？您覺得您的學生掌握的怎么樣？哪些達到了？哪些沒有達到？哪些教學實施效果是您意料之外的？高中數(shù)學課題研究四川天地人教育附錄2數(shù)學思想方法教學問卷調查表(課題實施前)尊敬的各位老師，您好！本調查為了完成課題研究所用，您的回答我們都將保密，希望您能如實填寫，謝謝您的配合。1．您的數(shù)學教齡是年。2．您的職稱是：A．初級B．中級C．高級D．特級3．您的職務（可多選）：A．普通教師B．年級主任C．教研組長D．備課組長E、骨干教師F、學科帶頭人4．您在平時教學中注重數(shù)學思想方法的滲透嗎？（）A．非常重視B．比較重