工程力學(xué)(靜力學(xué)與材料力學(xué))8彎曲剛度

課堂教學(xué)軟件(8)Sunday,January28,2024工程力學(xué)(靜力學(xué)與材料力學(xué)）NanjingUniversityofTechnology返回總目錄第8章彎曲剛度工程力學(xué)（靜力學(xué)與材料力學(xué)）第二篇材料力學(xué)返回總目錄

梁的變形與梁的位移

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

簡單的靜不定梁

結(jié)論與討論

彎曲剛度計(jì)算

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

梁的變形與梁的位移第8章彎曲剛度

梁的曲率與位移

撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系

梁的位移分析的工程意義

梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度

在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的撓度曲線（deflectioncurve）。

梁的曲率與位移

梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度

根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：

梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度

梁的曲率與位移

梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：

橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示；

變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope），用

表示；

撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系

梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度

橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度w相比為高階小量，故通常不予考慮。

梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：

撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系

梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度

在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：

在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即

很小，因而上式中tan

。于是有w＝

w（x），稱為撓度方程（deflectionequation）。

梁的變形與梁的位移

第8章彎曲剛度

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式

小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

小撓度情形下對于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。

小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

采用向下的w坐標(biāo)系，有

小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

對于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：

其中C、D為積分常數(shù)。

小撓度微分方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：

在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：w=0;

連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對應(yīng)相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，θ＝0。

小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

三、積分法求梁的撓曲線2.支承條件與連續(xù)條件:

1.式中C1、C2為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。1)支承條件：

2)連續(xù)條件：撓曲線是光滑連續(xù)唯一的lFAB例題

1求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。

已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長度為l。q、EI、l均已知。

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：1．建立Oxw坐標(biāo)系建立Oxw坐標(biāo)系（如圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即無需分段。

2．建立梁的彎矩方程Oxw

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

從坐標(biāo)為x的任意截面處截開，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束力，考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：

解：2．建立梁的彎矩方程xM(x)FQ(x)

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

3．

建立微分方程并積分Oxw解：2．建立梁的彎矩方程將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

3．

建立微分方程并積分Oxw積分后，得到

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：4．

利用約束條件確定積分常數(shù)固定端處的約束條件為：

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：5．

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：6．

確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。于是，將x=l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

例題

2求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。已知：簡支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：1．

確定梁約束力

因?yàn)锽處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。

首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。

2．

分段建立梁的彎矩方程在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0～l/4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4～l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

AB段

解：2．

分段建立梁的彎矩方程BC段

于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分積分后，得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因?yàn)椋簭澢蟮妮S線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，

1=

2

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，

1=

2D1＝D2=0

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

解：5．

確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：

AB段

BC段

據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段

分段建立撓度微分方程

微分方程的積分

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)

分段寫出彎矩方程

梁的小撓度微分方程及其積分

第8章彎曲剛度

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角第8章彎曲剛度

在很多工程計(jì)算手冊中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡稱為撓度表?；跅U件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結(jié)果這兩個(gè)重要概念，以及在小變形條件下的力的獨(dú)立作用原理，采用疊加法（superpositionmethod）由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復(fù)雜情形下梁的位移。第8章彎曲剛度

疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形

疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

§8-3

按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角一、載荷疊加（直接疊加法）：

多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。彎曲變形CL/2L/2BF1F2F3Fn彎曲變形Cl/2l/2ABMeCl/2l/2ABFCl/2l/2ABqCl-bbABF彎曲變形qlABFlABlABMe當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時(shí)，都可以將其分解為各種載荷單獨(dú)作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角，再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時(shí)作用的結(jié)果。

疊加法應(yīng)用于多個(gè)載荷作用的情形

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

已知：簡支梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC

；B截面的轉(zhuǎn)角

B。例題

3

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

解：1.將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的情形。

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

解：2.由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

解：3.應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時(shí)的結(jié)果分別疊加將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角:

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

對于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L上連續(xù)分布載荷，然后在原來沒有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應(yīng)用疊加法。

疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

逐段剛化法：變形后：AB AB`BCB`C`變形后AB部分為曲線，但BC部分仍為直線。C點(diǎn)的位移為：wc已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角

C。例題

4

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

解：1.首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為了利用撓度表中關(guān)于梁全長承受均布載荷的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計(jì)算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

解：3．將簡單載荷作用的結(jié)果疊加

疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角

第8章彎曲剛度

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

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剛度計(jì)算的工程意義

梁的剛度條件

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

剛度計(jì)算的工程意義

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會(huì)影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會(huì)影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會(huì)增加軸承的磨損等等。

剛度計(jì)算的工程意義

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

梁的剛度條件

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件：

上述二式中

w

和

分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。

梁的剛度條件

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角

θ

=0.5°。試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。

B例題

5

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

解：根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。

B

1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角

由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為B2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

B2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有

其中，

的單位為rad（弧度），而

θ

的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑

彎曲剛度計(jì)算第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁第8章彎曲剛度

多余約束與靜不定次數(shù)第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

靜不定次數(shù)——未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差靜定問題與靜定結(jié)構(gòu)——未知力（內(nèi)力或外力）個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)靜不定問題與靜不定結(jié)構(gòu)——未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)多余約束——保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束

多余約束與靜不定次數(shù)第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

求解靜不定梁的基本方法第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

求解靜不定梁示例第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

3-3=0lMAABFAyFAxq

求解靜不定梁示例第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

4-3=1lABMAFAyFAxFB

求解靜不定梁示例第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略不計(jì)，靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0，在沒有軸向載荷作用的情形下，固定鉸支座和固定端處便不會(huì)產(chǎn)生水平約束力，即FAx

＝FBx=0。FBxBlAMAFAyFAxFBy第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量FAx

＝FBx=0。FBxBlAMAFAyFAxFBy第8章彎曲剛度

FAx

＝FBx=0。因此，求解這種靜不定問題只需1個(gè)補(bǔ)充方程。可以寫出變形協(xié)調(diào)方程為

簡單的靜不定梁

應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFBy第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

應(yīng)用對稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB對于兩端固定的梁，同樣有FBx=0，但這時(shí)的多余約束力除FBy外，又增加了MB，于是需要兩個(gè)補(bǔ)充方程。但是，利用對稱性分析，這種梁不僅結(jié)構(gòu)和約束都對稱，而且外加載荷也是對稱的，即梁的中間截面為對稱面。于是可以確定：MBBlAMAFAyFAxFBxFBy第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MBMBBlAMAql/2ql/2應(yīng)用對稱性分析可以推知某些未知量第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

與未知力偶MB對應(yīng)的約束是對截面B轉(zhuǎn)角的限制，故這種情形下的變形協(xié)調(diào)方程為

MBBlAMAql/2ql/2第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

例題

5求:

梁的約束力。已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI，

長度為l。BAl第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

解：1.列出平衡方程2.列出變形協(xié)調(diào)方程

FAy+FBy

-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0BlAMAFAyFAxFB第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

3.列出物性關(guān)系2.列出變形協(xié)調(diào)方程

wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl

3/3EIwB(q)wB(FBy)BlAMAFAyFAxlBAMAFAyFAxFB第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

解：4.綜合求解FAy+FBy

-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0聯(lián)立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl

3/3EIFBy

=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy

=5ql/8,BlAMAFAyFAxFB第8章彎曲剛度

簡單的靜不定梁

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相互關(guān)系。

關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

BC段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形為什么會(huì)有位移？FPABC

總體變形是微段變形累加的結(jié)果。

有位移不一定有變形。

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

由M

的方向確定軸線的凹凸性。

由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓度曲線的大致形狀及位置。

關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

關(guān)于求解靜不定問題的討論

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

BlA靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立MBFByMAFAyBlAMAFAyMBFBy

關(guān)于求解靜不定問題的討論

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

BlAlAB靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立MBFByMAFAyMBMAFByFAy

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

利用對稱性FQc=0再利用對稱性

c=0橫截面C

處兩側(cè)梁的相互約束稱為內(nèi)約束FQCFQCMCMCl/2AqCBl/2qCBlAq靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

關(guān)于靜不定結(jié)構(gòu)性質(zhì)的討論

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

在靜不定結(jié)構(gòu)中，某一桿剛度變化，其內(nèi)力有沒有變化？FPABCDFPABD在靜定結(jié)構(gòu)中，某一桿剛度變化，其內(nèi)力有沒有變化？

關(guān)于靜不定結(jié)構(gòu)性質(zhì)的討論

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

在靜不定結(jié)構(gòu)中，某一桿比規(guī)定長度短了一點(diǎn)，裝配后桿內(nèi)會(huì)不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力？ABCDABD在靜定結(jié)構(gòu)中，某一桿比規(guī)定長度短了一點(diǎn)，裝配后桿內(nèi)會(huì)不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力？

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

ABDToC在靜不定結(jié)構(gòu)中，某一桿溫度變化，桿件內(nèi)會(huì)不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力？ABCDToC在靜定結(jié)構(gòu)中，某一桿溫度變化，桿件內(nèi)會(huì)不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力？

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

提高剛度的途徑

結(jié)論與討論第8章彎曲剛度

§6-7提高梁彎曲剛度的措施：彎曲變形xyFL增大EI。減小跨度。改善梁的受力情況。增加支承。減小最大彎矩彎曲變形

合理布置外力（包括支座），使M

max

盡可能小。FL/2L/2Mx+fL/4FL/43L/4Mx3FL/16F=qLL/54L/5對稱MxqL2/10彎曲變形MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長度l。當(dāng)梁的長度無法減小時(shí)，則可增加中間支座。例如，在車床上加工較長的工件時(shí)，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤與尾架之間再增加一個(gè)中間支架。

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二曲率及其計(jì)算公式一弧微分三曲率圓與曲率半徑規(guī)定：

一弧微分易看出：弧長是的單調(diào)增函數(shù).下面求的導(dǎo)數(shù)與微分

弧微分公式

------描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。))1）弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大，2）轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大。1曲率的定義)二、曲率及其計(jì)算公式)yxo（設(shè)曲線C是光滑的，（定義曲線C在點(diǎn)M處的曲率例1直線的曲率處處為零.例2圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.2曲率的計(jì)算公式解：A點(diǎn)處梁的曲率半徑為

,即彎曲變形長度為L，重量為P的等截面直梁，放置在水平剛性平面上。若在端點(diǎn)施力P/3上提，未提起部分仍保持與平面密合，試求提起部分的長度。qmaxfmax解：建立坐標(biāo)系如圖x處彎矩方程為：

例1

圖示B端作用集中力P的懸臂梁，求其撓曲線方程。

yxFx例2求圖示梁受集中力F作用時(shí)的撓曲線方程。FabClABFAFB解：1、求支反力解：

建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分彎曲變形xyFLa例2求等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形FLaxy

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形FLaxy彎曲變形例3用積分法求圖示梁（剛度為EI）的wA

、

B

、

A

及最大撓度。解：求支反力，列彎矩方程：建立微分方程并積分：用邊界條件確定積分常數(shù)：Cl/2l/2ABMeFAxy彎曲變形例3用積分法求下列各梁（剛度為EI）的wA

、

B

、

A

及最大撓度。Cl/2l/2ABMeFAxy列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：[例4]用積分法求梁（剛度為EI）的

wA

和

B

。解：求支反力，列彎矩方程：建立微分方程并積分：FBClaABF彎曲變形xy[例4]用積分法求梁（剛度為EI）的wA

和

B

。彎曲變形用邊界條件確定積分常數(shù)：FBClaABFxy列撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角：彎曲變形FBClaABFxy［例5］試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。（a）CaaABmDa（b）CaaABq（c）C3aaABqD（d）CaaABmDam彎曲變形[例5]試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。解：作彎矩圖：邊界條件：（a）CaaABmDam/2m/2解：作彎矩圖：邊界條件：（b）CaaABqqa2/49qa2/32解：作彎矩圖：邊界條件：（c）C3aaABqDqa2/28qa2/9解：作彎矩圖：邊界條件：（d）CaaABmDamm例：求外伸梁C點(diǎn)的位移。LaCABP解：將梁各部分分別引起的位移疊加ABCP剛化EI=

PCwC11、BC部分引起的位移wc1、θc1θc12、AB部分引起的位移wC2、θC2CABP剛化EI=

wC2θB2PPaθB2例1按疊加原理求A截面轉(zhuǎn)角和C截面撓度。解、

載荷分解如圖

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。彎曲變形qqFF=+AAABBBCaa彎曲變形qqFF=+AAABBB

Caa

疊加例2按疊加原理求C截面撓度。解：

載荷無限分解如圖

由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。

疊加彎曲變形q00.5L0.5LxyC表1xdx例3用疊加法求梁（剛度為EI）的wB

和

B

。解：Cl/2l/2ABF彎曲變形Cl/2l/2ABFqCl/2l/2ABq

BqwBq例4用疊加法求梁（剛度為EI）的wB

和

B

。解：彎曲變形Cl/2l/2ABqCl/2l/2ABqCl/2l/2ABq

B2wB22彎曲變形qCABl/2l/2例5用疊加法求梁（剛度為EI）的

wC

。qCABl/2l/2qCABl/2l/2qwC1wC2wC解：1例6用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和

B

。解：將載荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABFCl/2l/2ABFl=+彎曲變形表2例6用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和

B

。解：將載荷分解：Cl/2l/2ABFLFCl/2l/2ABF=Cl/2l/2ABFl+彎曲變形表2Cl/2l/2ABFFl/2=+彎曲變形FL1L2ABCBCFL2w1w2等價(jià)等價(jià)xywFL1L2ABC剛化AC段FL1L2ABC剛化BC段FL1L2ABCMxyxy二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和

B

。解：qCaABqaaaCaABqaaaqCaABaa=+彎曲變形表1表2wA1

B1例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和

B

。ACaBaaqCaABaa+=彎曲變形表1表2qa2/2qawA2

B2wA3qAB例7用疊加法求梁（剛度為EI）的wA

和

B

。qCaABqaaa+彎曲變形表1表2CaABqaaa=wA1

B1ACaBaa+qa2/2wA2

B2wA3qABqa例8已知：梁的剛度為EI，欲使wD

＝0，求：F

與

q

的關(guān)系及

wC

。解：F彎曲變形CaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF例8已知：梁的剛度為EI，欲使wD

＝0，求：F

與

q

的關(guān)系及

wC

。彎曲變形FCaABaaDCFqCaABaaDqCaABaaDFaF§6-4梁的剛度校核一、梁的剛度條件其中[

]稱為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱為許用撓度。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：

、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸；

、確定許可載荷。彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=100mm200mmDF1=1kNB例9

一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C截面的[w]=110-5m,B截面的[

]=0.001rad,試核此桿的剛度。=++=彎曲變形F1=1kNABDCF2BCDAF2=2kNBCDAF2BCaF2BCDAMF2BCa=++圖1圖2圖3解：

結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy表1表2F2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形L=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxy

疊加求復(fù)雜載荷下的變形

校核剛度彎曲變形[例10]已知：F=20KN，E=200GPa，規(guī)定A處的許可轉(zhuǎn)角為：[

]=0.50

。試確定軸的直徑。解：用逐段剛化法：（設(shè)軸的直徑為d）CABF20001000CABF20001000mF=+彎曲變形表1§6-6

簡單超靜定梁的求解方法處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解法：

建立靜定基相當(dāng)系統(tǒng)

確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束得到原結(jié)構(gòu)的靜定