2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性課后習(xí)題第三章3-2-2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知雙曲線x2a2y2=1(a>0)的離心率是5,則a=A.6 B.4 C.2 D.12.(多選題)下列雙曲線中,以2x±3y=0為漸近線的是()A.x29-B.y24C.x24-D.y2123.已知雙曲線方程為x2y24=1,過點(diǎn)P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線l共有(A.4條 B.3條 C.2條 D.1條4.(多選題)已知雙曲線C:x23-y2m=1過點(diǎn)(3,A.雙曲線C的焦距為4B.雙曲線C的離心率為3C.雙曲線C的漸近線方程為y=±33D.直線2x3y1=0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)5.若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9,則曲線x225-y29-k=1A.焦距相同 B.實(shí)半軸長相等C.虛半軸長相等 D.離心率相等6.已知雙曲線y2a2-x2b2=1的實(shí)軸長、虛軸長、焦距7.過雙曲線x2y23=1的左焦點(diǎn)F1,作傾斜角為π6的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=8.雙曲線x29-y216=1的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B9.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在y軸上,虛軸長為8,離心率為e=53(2)經(jīng)過點(diǎn)C(3,2),且與雙曲線x28B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ,F1是另一焦點(diǎn),若∠PF1Q=π2,則雙曲線的離心率等于(A.21 B.2 C.2+1 D.2+211.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),過原點(diǎn)作一條傾斜角為π3的直線分別交雙曲線左、右兩支于P,Q兩點(diǎn),A.2+1 B.3+1 C.2 D.512.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)是F,左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn).若A1B⊥A.y=±12x B.y=±22C.y=±x D.y=±2x13.已知雙曲線方程為2x2y2=2,則以點(diǎn)A(2,3)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為()A.4x3y+1=0 B.2xy1=0C.3x4y+6=0 D.xy+1=014.(多選題)已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程可能為()A.x23y2=B.x23C.y23-D.y22115.(多選題)已知F1,F2分別是雙曲線C:x2y2=1的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn),且PF1·PF2A.雙曲線C的漸近線方程為y=±xB.以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1C.F1到雙曲線的一條漸近線的距離為1D.△PF1F2的面積為116.已知l為雙曲線C:x2a2-y2b2=1的一條漸近線,其傾斜角為π4,且C的右焦點(diǎn)為(2,0),則17.已知F為雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),過點(diǎn)F向雙曲線E的一條漸近線引垂線,垂足為A,且交另一條漸近線于點(diǎn)B,若18.已知點(diǎn)A(3,0)和B(3,0),動(dòng)點(diǎn)C到A,B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2.(1)求點(diǎn)C的軌跡方程;(2)點(diǎn)C的軌跡與經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且斜率為1的直線交于D,E兩點(diǎn),求線段DE的長.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.(多選題)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F1(26,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)P為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn),且△APF1A.3 B.2 C.5 D.320.已知F為雙曲線C:x24-y29=1的左焦點(diǎn),P,Q為雙曲線C同一支上的兩點(diǎn).若PQ的長等于虛軸長的2倍,點(diǎn)A(13,0)在線段PQ上,則3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1.D∵雙曲線的離心率e=ca=5,∴a2+1a=5,解得a=2.ABD令等式右端為0,解得A,B,D中的漸近線方程均為2x±3y=0,C項(xiàng)中漸近線方程為3x±2y=0.3.B因?yàn)殡p曲線x2y24=1的漸近線方程為y=±2x,所以過點(diǎn)P(1,0)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程為x=1或y=2x2或y=2x+2,共有3條.故選4.AC由雙曲線C:x23-y2m=1過點(diǎn)(3,2),可得m=1,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以a=3,b=1,c=a2+b2=2,因?yàn)殡p曲線C的焦距為2c=4,因?yàn)殡p曲線C的離心率為ca=23=因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為y=±33x,所以選項(xiàng)C正確將直線2x3y1=0與雙曲線x23y2=1聯(lián)立,消去y可得3x24x+4=0,Δ=(4)24×3×4=32<0,所以直線2x3y1=0與雙曲線C沒有公共點(diǎn),所以選項(xiàng)D5.A由于0<k<9,則9k>0,即曲線x225-y29-k=1為焦點(diǎn)在∵9k>0,∴25k>0,即曲線x225-k-y29=1為焦點(diǎn)在故兩曲線的焦距相同,故選A.6.y=±34x依題意有2a,2b,2c成等差數(shù)列,所以4b=2a+2c因?yàn)閏2=a2+b2,所以(2ba)2=a2+b2,解得a=34b,于是雙曲線漸近線方程為y=±abx=±37.3依題意,得雙曲線的左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(2,0),直線AB的方程為y=33(x+2)由y=33(x+2),x2-設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=12,x1x2=13所以|AB|=1+k2·|x1x=[1+(=(1+=3.8.解由題意得,雙曲線x29-y216=1的右頂點(diǎn)A(3,0),右焦點(diǎn)F(5,0),不妨設(shè)直線FB的方程為y=43(x5),代入雙曲線方程并整理,得x2(x5)2=解得x=175,y=3215,所以B175,32所以S△AFB=12|AF||yB|=12(ca)·|yB|=12×(53)9.解(1)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),則2b=8,e=ca=53,從而b=4,代入c2=a2+b(2)由題意可設(shè)所求雙曲線方程為x28-y216=λ(λ≠0),將點(diǎn)C(3,2解得λ=14,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2210.C不妨設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),依題意知直線因?yàn)椤螾F1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=b2a,于是2ac=b2=c2a2,所以e22e1=0,解得e=2+1或e=12(舍去),11.B設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),依題意,直線PQ的方程為y=3x,代入雙曲線方程并化簡,得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2,故x1+x2=0,x1·x2=-a2b2b2-3a2,y1·y2=3x1·x2=-3a2b2b2-3a2,設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(c即b46a2b23a4=0,兩邊除以a4,得ba46ba23=0,解得ba2故c=1+ba2=4+212.C設(shè)雙曲線的半焦距為c,則F(c,0),將x=c代入雙曲線x2a得y=±b2a,不妨取Cc,b又A1(a,0),A2(a,0),故kA1B因?yàn)锳1B⊥A2C,故b2a即b4a2(c2所以a=b,故漸近線方程是y=±bax=±x13.A設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為P(x1,y1),Q(x2,y2),則2x12-y12=2,2x22-y22=2,兩式相減得,2(x1x2)(x1+x2)(y又x1+x2=4,y1+y2=6,∴8(x1x2)6(y1y2)=0,即kPQ=43因此直線PQ的方程為y3=43(x即4x3y+1=0.經(jīng)驗(yàn)證,直線4x3y+1=0與雙曲線相交.因此適合題意的直線方程為4x3y+1=0,故選A.14.ABD依題意,知漸近線與x軸的夾角為30°或60°,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±33x或y=±3x,根據(jù)選項(xiàng)檢驗(yàn)可知ABD均可能15.ACD易得雙曲線C的漸近線方程為y=±x,故A正確;由a=b=1得c=2,因此以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=2,故B錯(cuò)誤;易知F1(2,0),則F1到雙曲線的一條漸近線的距離d=|-2-0|2=由PF1·PF2=0得,PF1⊥PF2,因此點(diǎn)P在圓x2+y2=2上,由x2+y2=2,x2-y2=1,得y2=12,故D正確.故選ACD.16.(2,0)x22-y22=1由題意可得c=2,即a2+b2=4,一條漸近線的斜率為k=b解得a=b=2,則雙曲線的右頂點(diǎn)為(2,0),C的方程為x22-17.233如圖所示,過F向另一條漸近線引垂線,垂足為由題意得,雙曲線的漸近線方程為y=±bax則F(c,0)到漸近線的距離d=|bc|即|FA|=|FD|=b,又|OF|=|FB|=c,則|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.∵△OFB為等腰三角形,∴D為OB的中點(diǎn),∴|OB|=2a.∵AB⊥OA,∴|OB|2=|OA|2+|AB|2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2bc2b2=0,∴c=2b.則2a=3c,∴e=ca18.解(1)∵點(diǎn)A(3,0)和B(3,0),動(dòng)點(diǎn)C到A,B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2.|AB|=23>2,∴點(diǎn)C的軌跡方程是以A(3,0)和B(3,0)為焦點(diǎn)的雙曲線,且a=1,c=3,∴點(diǎn)C的軌跡方程是x2y22=(2)∵點(diǎn)C的軌跡方程是2x2y2=2,經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且斜率為1的直線方程為y=x2.∴聯(lián)立2x2-y2=2,y=設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),則x1+x2=4,x1x2=6,∴|DE|=(1+1)[(-4故線段DE的長為45.19.ABC由右焦點(diǎn)為F1(26,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),|AF1|=24+1=5,由△APF1的周長不小于14,可得|PA|+|PF1|的最小值不小于9,又F2為雙曲線的左焦點(diǎn),可得|PF1|=|PF2|+2a,|PA|+|PF1|=|PA|+|PF2|+2a,當(dāng)A,P,F2三點(diǎn)