大三上自控章根軌跡法

閉環(huán)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，主要由系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)（即特征方程的根）在s平面上的分布所決定。當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)或某些參量變化時(shí)，特征方程的根在s平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡稱(chēng)為“根軌跡”。（高階求解難）。故可利用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布圖，采用圖解法來(lái)確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的運(yùn)動(dòng)軌跡，來(lái)分析系統(tǒng)的特性。

第4章根軌跡法4.1根軌跡的基本概念4.1.1根軌跡

設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)有兩個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（單位負(fù)反饋）系統(tǒng)的特征方程為其特征根為時(shí)，系統(tǒng)特征根(閉環(huán)極點(diǎn))變化情況如下：當(dāng)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)；時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)互不相等的負(fù)實(shí)根時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根。2.當(dāng)3.當(dāng)4.當(dāng)整個(gè)根軌跡（閉環(huán)）變化如下圖所示：系統(tǒng)的根軌跡圖

由根軌跡圖可以直觀地分析參數(shù)K變化時(shí)系統(tǒng)的各項(xiàng)性能。當(dāng)從0變化到時(shí)，根軌跡均在s平面的左半平面，時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)為過(guò)阻尼時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為重根，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)，閉環(huán)極點(diǎn)為實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。狀態(tài)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為單調(diào)變化。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為單調(diào)變化。系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減振蕩，且系統(tǒng)的超調(diào)量隨值增大而增大，但是調(diào)節(jié)時(shí)間不變。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，階躍響應(yīng)有靜差?；驹瓌t：根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡4.1.2根軌跡的基本條件

對(duì)于典型的負(fù)反饋控制系統(tǒng)，如圖4-3所示，圖4-3反饋控制系統(tǒng)系統(tǒng)的特征方程為：

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4-2）滿(mǎn)足式（4-2）的點(diǎn)，必定是根軌跡上的點(diǎn)，式（4-2）稱(chēng)作根軌跡的基本方程（或根軌跡的基本條件）。因?yàn)閟是復(fù)變量，所以式（4-2）可以寫(xiě)成式（4-3）幅值(模值)條件和式（4-4）相角條件。（4-3）（4-4）當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為零、極點(diǎn)表示形式：（4-5）為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；

為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)；

為系統(tǒng)的根軌跡增益。根軌跡的幅值條件和相角條件又可表示為：則根軌跡的基本方程式（4-2）變?yōu)榧僭O(shè)研究系統(tǒng)的根軌跡增益閉環(huán)系統(tǒng)特征根的軌跡根軌跡。

稱(chēng)為典型根軌跡或常規(guī)根軌跡或從零變化到無(wú)窮大時(shí)，4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則1：根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。但是，當(dāng)時(shí)，條根軌跡趨向于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（稱(chēng)為有限零點(diǎn)），還有條根軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處（稱(chēng)為無(wú)限零點(diǎn)）。

如果出現(xiàn)的情況，必有條根軌跡的起點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。

規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)等于,根軌跡對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸并且連續(xù)變化。由根軌跡的對(duì)稱(chēng)性和連續(xù)性，根軌跡只需作出上半部分，對(duì)稱(chēng)畫(huà)出另一部分，且根軌跡連續(xù)變化。規(guī)則3：根軌跡的漸近線當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)時(shí)，有n-m條根軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為，漸近線與實(shí)軸正方向的夾角(傾角)為例4-1單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有三個(gè)極點(diǎn)：開(kāi)環(huán)無(wú)零點(diǎn)，即系統(tǒng)有三條根軌跡，分別起始于三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)三條根軌跡趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為三條漸近線如下圖：圖4-4所示。規(guī)則4：實(shí)軸上的根軌跡段位于其右邊開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目總和為奇數(shù)的區(qū)域。規(guī)則5：根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開(kāi)（或分開(kāi)后又相遇）的點(diǎn)，稱(chēng)為根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。1.重根法根軌跡的分會(huì)點(diǎn)是系統(tǒng)特征方程的重根，可以采用求重根的方法確定其位置。設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為（4-15）特征方程有重根的條件（4-16）分會(huì)點(diǎn)為重根，必然同時(shí)滿(mǎn)足方程式（4-15）和式（4-16），聯(lián)立求解得分會(huì)點(diǎn)d所對(duì)應(yīng)的值為

注意：若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)無(wú)有限零點(diǎn)，則2．零、極點(diǎn)法分會(huì)點(diǎn)d滿(mǎn)足：必須說(shuō)明：采用上面兩種方法確定的是特征方程的重根點(diǎn)，對(duì)分會(huì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它只是必要條件而非充分條件，也就是說(shuō)它的解不一定是分會(huì)點(diǎn)，是否是分會(huì)點(diǎn)還要看其它規(guī)則。分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，一般為實(shí)數(shù)。例4-2已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）的確定解得：，對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的所以在根軌跡段上是分離點(diǎn)；而不在根軌跡段上，則舍棄。系統(tǒng)的根軌跡圖規(guī)則6：根軌跡的起始角和終止角根軌跡從開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出發(fā)時(shí)的切線與正實(shí)軸的夾角，稱(chēng)為根軌跡的起始角；根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)零點(diǎn)時(shí)切線與正實(shí)軸的夾角，稱(chēng)為根軌跡的終止角。

Zj為有限零點(diǎn)，若沒(méi)有則中間項(xiàng)為0.

Zj為有限零點(diǎn)，若沒(méi)有則按漸近線方向至無(wú)窮.

規(guī)則7：根軌跡上分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的分離角（會(huì)合角）在分離點(diǎn)處（會(huì)合點(diǎn)）根軌跡離開(kāi)（進(jìn)入）實(shí)軸的相角為為趨向或離開(kāi)實(shí)軸的根軌跡的分支數(shù)。注意：1.，一般而言。2.“進(jìn)入”實(shí)軸或“離開(kāi)”實(shí)軸時(shí)，才計(jì)算分會(huì)角，本身

就在實(shí)軸上（即分會(huì)前就已經(jīng)在實(shí)軸上）則不用計(jì)算

分會(huì)角。規(guī)則8：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令代入特征方程得聯(lián)立求解得到臨界增益及虛軸交點(diǎn)例4-4已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為顯然規(guī)則9：根之和當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分母和分子的次數(shù)滿(mǎn)足時(shí)，則系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和總是等于系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和規(guī)則10：根之積根據(jù)特征方程根和系數(shù)的關(guān)系，得繪制根軌跡時(shí)，一般用不到規(guī)則9和規(guī)則10，主要用于驗(yàn)證.總結(jié)：計(jì)算：極點(diǎn)、零點(diǎn)、漸近線、角度、分會(huì)點(diǎn)及K值；畫(huà)圖：畫(huà)點(diǎn)：零極點(diǎn)、分會(huì)點(diǎn)、漸近線起點(diǎn)、虛軸交點(diǎn)等；畫(huà)漸近線/角度、起始角、終止角、分離角等；根軌跡按K：0∞的順序“單向流動(dòng)”：各條根軌跡隨K的變化“同時(shí)”開(kāi)始運(yùn)動(dòng)；K越小，根軌跡越早、越先，K越大，根軌跡越晚、越后；根軌跡總是先分會(huì)，后到零點(diǎn)（有限或無(wú)限），而且隨K的大小，有先后之分；從實(shí)軸上的點(diǎn)離開(kāi)實(shí)軸時(shí)，必是從“分會(huì)點(diǎn)”開(kāi)始；分會(huì)點(diǎn)的根軌跡條數(shù)等于重根數(shù)，一般為2條。例4-5：此例簡(jiǎn)單，按照規(guī)則和總結(jié)的要點(diǎn)自己畫(huà)例4-6：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為漸近線于實(shí)軸的交點(diǎn)為漸近線的傾角為與虛軸的交點(diǎn)為根軌跡的分會(huì)點(diǎn)：第1章引論4.4廣義根軌跡常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則是以負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡增益為可變參數(shù)給出的。但是，實(shí)際系統(tǒng)中可能研究其它參數(shù)變化（如開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)等）對(duì)系統(tǒng)特征根的影響，或研究正反饋系統(tǒng)參數(shù)變化的根軌跡等，上面這些根軌跡統(tǒng)稱(chēng)為廣義根軌跡。4.4.1參數(shù)根軌跡以非K為可變參數(shù)的根軌跡稱(chēng)為參數(shù)根軌跡，可以研究系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)等對(duì)系統(tǒng)性能的影響。對(duì)于參數(shù)根軌跡的繪制可采用等效傳遞函數(shù)的原則，即由系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，求出所研究參數(shù)類(lèi)似K位置的等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，則常規(guī)根軌跡繪制的所有規(guī)則均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。例4-7已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制極點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為4.4.3正反饋系統(tǒng)的根軌跡（零度根軌跡）在有些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個(gè)正反饋回路，其正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為繪制系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件可寫(xiě)為：這種根軌跡為零度根軌跡。對(duì)于零度根軌跡繪制的規(guī)則，可由常規(guī)根軌跡繪制規(guī)則和相角有關(guān)的適當(dāng)調(diào)整得到，修改的規(guī)則有：規(guī)則3根軌跡的漸近線當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)時(shí)，有n-m條根軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為規(guī)則4實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段位于其右邊開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目總和為偶數(shù)的區(qū)域。規(guī)則6根軌跡的起始角和終止角：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出發(fā)的起始角根軌跡終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的終止角例4-9已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)的零極點(diǎn)形式，即等效為正反饋的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)4.5根軌跡分析系統(tǒng)的性能根軌跡分析系統(tǒng)首先由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的根軌跡，然后再由根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。4.5.1根軌跡確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)根軌跡繪出的是系統(tǒng)根軌跡增益變化特征根的軌跡，對(duì)于某一增益下的閉環(huán)極點(diǎn)可由幅值條件試探來(lái)確定。例4-10設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1.試采用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2.求系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)；3.求取系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及超調(diào)量和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間。解：根軌跡分析系統(tǒng)，為此，構(gòu)造增益可變的系統(tǒng)為繪制的根軌跡，如圖4-13所示圖4-13系統(tǒng)的根軌跡圖從根軌跡圖可知，系統(tǒng)的增益時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。時(shí)，特征值為負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)的響應(yīng)為單調(diào)衰減；時(shí)，系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為共軛復(fù)根，系統(tǒng)的響應(yīng)為衰減振蕩。本例中因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為共軛復(fù)根，試探求得系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為根據(jù)根之和的關(guān)系得系統(tǒng)的另外一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為可近似為如下的二階系統(tǒng)系統(tǒng)的超調(diào)量和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間為4.5.2根軌跡分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)來(lái)決定，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)可由根軌跡圖求得，而閉環(huán)零點(diǎn)為前向通道傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通道傳遞函數(shù)的極點(diǎn)共同確定。1.穩(wěn)定性：若閉環(huán)極點(diǎn)均在根平面的左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，即參數(shù)變化時(shí)的根軌跡均在s的左半平面。2.運(yùn)動(dòng)形式：若閉環(huán)極點(diǎn)均為左半平面的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為單調(diào)變化，系統(tǒng)可近似為一階系統(tǒng)；若離虛軸最近的極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性為衰減振蕩，系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)。3.動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：根軌跡分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)可采用主導(dǎo)極點(diǎn)來(lái)估算。例4-11：已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1）畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡；2）分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程；3）求系統(tǒng)具有最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的K值及性能指標(biāo)；4）求K=1時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)。第1章引論d1=-1.17K1=0.34d2=-6.28K2=11.79β過(guò)原點(diǎn)作圓的切線（即最小阻尼比線），得等腰直角三角形，從而第1章引論求K=1時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)，可采用試探法。其實(shí)，本例為二階系統(tǒng)，可以精確求解。

4.6MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，人工繪制根軌跡十分復(fù)雜和困難，MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡是十分方便的。通常將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫(xiě)成如下形式分別為分子和分母多項(xiàng)式。采用MATLAB命令：

pzmap(num,den)可以繪制系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖；

rlocus(num,den)可以繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；

rlocfind(num,den)可以確定系統(tǒng)根軌跡上某些點(diǎn)的增益。例4-14已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為確定系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的位置。解：在MATLAB命令窗口輸入

num=[251];den=[14138];pzmap(num,den);title（‘Pole-zeroMap’）執(zhí)行后得到如圖4-17所示的零、極點(diǎn)圖。在MATLAB命令窗口輸入

num=[251];den=[14138];rlocus(num,den)執(zhí)行后得到如圖所示系統(tǒng)的根軌跡圖。例4-17已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制