微分方程-導彈跟蹤問題的數(shù)學模型

微分方程建模之二導彈跟蹤問題的數(shù)學模型〔狗兔追逃的數(shù)學模型〕本案例主要涉及常微分方程，介紹常微分方程的建模和求解方法。刻畫同一現(xiàn)實問題的不同數(shù)學模型的好壞，除了用是否準確反映現(xiàn)實去衡量之外，另一重要的衡量準那么是模型是否易于求解。大多數(shù)現(xiàn)實問題的數(shù)學模型難以求得精確解，因而對某些問題，是否易于用計算機求得高精度的數(shù)值解就成為評價數(shù)學模型好壞的重要標準之一。本案例中，我們介紹兩種解微分方程的數(shù)值方法：Euler法和改良的Euler法。知道有仿真方法〔指的是模仿真實事件行為和過程的方法〕。實際問題某軍的一導彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120km處海面上有敵艇一艘以90km/h的速度向正東方向行駛。該基地立即發(fā)射導彈跟蹤追擊敵艇，導彈速度為450km/h三、數(shù)學模型——常微分方程的建立建立直角坐標系：導彈基地為原點，軸指向正東方，軸指向正北方。當時間，導彈位于原點，敵艇位于點，。設導彈在時刻的位置為。由條件知：，其中為導彈速度。在時刻，敵艇位置應在，其中。由于導彈軌跡的切線方向必須指向敵艇，故有或。因此微分方程模型為：是一個關于時間的一階微分方程組的初值問題。消去變量，求與的關系：，兩邊對求導得，而，故此二階非線性微分方程，加上初值條件，也是導彈軌跡的數(shù)學模型。模型的求解設導彈擊中敵艇于，時間。目前有兩種解法：解析方法、數(shù)值方法。下面我們用數(shù)值方法求解將初值問題〔4〕、〔5〕、〔6〕化為一階微分方程組其中。取變量的步長為，于是得分點：，相應點上的的值和的值記為：和。而有初值條件。下介紹兩種算法來進行數(shù)值處理：Euler方法——用差商代替微商，，，那么有那么得到計算的迭代格式：于是，。表3.1是取n=4時000013000.052601.50.123905.00.22412011.50.42此時表3.2是對于不同的n值所對應的計算結果。顯然，n越大〔即h越小〕，結果就越精確。表3.2n4812244896120240L11.5215.9617.9720.5522.2523.3323.5824.15T0.1280.1770.2000.2280.2470.2590.2620.268下面直接對初值問題〔1〕、〔2〕、〔3〕進行數(shù)值處理。取時間步長，對應時導彈軌跡上點的坐標為，那么Euler迭代格式為：當計算到時停止，于是或，。表3.300.00.000000.0000010.10.0000045.0000020.25.3615489.6794630.322.67495131.21553此時取表3.410．050．0000022．5000020．101．0373644．9760730．153．4120567．3504140．207．6461589．4484350．2514．86790110．7579660．3029．19480128．10702此時取表3.5是對應不同的，用Euler法所得相應的步長推進次數(shù)n和計算結果。表3.50．10．050．0050．001n3656278L22.6749529.1948025.6673125.04935T0.251940.324390.285190.27833Euler方法較為簡單，但也較為粗糙，對形式較復雜的微分方程更易有較大的誤差。這里我們介紹更精確的近似算法---改良的Euler方法。改良的Euler方法(預報—校正法)對問題Euler迭代格式是，其中，。而改良的Euler迭代格式那么是，其中。對問題〔7〕、〔8〕、〔9〕，寫出相應的改良的Euler迭代格式：當計算到時停止，于是或，。表3.600．00．000000．0000010．12．6807744．8397320．212．5752488．2867930．327．07242130．25567此時取表3.710．050．5186822．4880420．102．1059644．9219530．155．0982167．2021340．2010．1609689．0690650．2519．65646108．9879860．3024．24089130．99030此時取表3.8是對應不同的，用改良的Euler法所得相應的步長推進次數(shù)n和計算結果。表3.80．10．050．0050．001n3656278L27.0724224.240892