指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教案課件教材匯總

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì).

2.掌握指數(shù)函數(shù)的概念,圖象和性質(zhì).

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)講解

1.指數(shù)

(1)根式

若x"=a(n>l,且〃eN*),則x叫做a的n次方根.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根是五I.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若a>0,a的n次方根有2個(gè)，這兩個(gè)方根互為相反數(shù)，即±爪，其

中正的一個(gè)后叫做a的n次算術(shù)根；若a=0,0的n次方根只有一個(gè)，是0；若a〈0,a的n次方根不存

在(在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)).

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，叱=a.

I—[a(a>O)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，“優(yōu)=z

-a(a<0).

(2)指數(shù)概念的推廣

①零指數(shù).若運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則，an^an=a"-n=an,又有a"+a"=l,因此規(guī)定a°=l(a=0).

②負(fù)整數(shù)指數(shù).若運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則，1+/=a°-"=。一"，又有1+"'=5,因此規(guī)定

an=二3>0,〃3).

mm

③正分?jǐn)?shù)指數(shù).若運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則，(/；)"=。了"=廢'，因此規(guī)定

m____

an=>0,￡N*,且〃>1).

mtn°mmm1

④負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)，若運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則，1=。二,又有1+。]=^,因此

an

—11

規(guī)定。"=——=',——(Ma>Q,m,ne>1).

~Va"1

an

⑤無理數(shù)指數(shù)，若a>0,p是無理數(shù)，則a"也表示一個(gè)實(shí)數(shù)(因知識(shí)的原因，教材中對具體的規(guī)定已

省略)

(3)指數(shù)運(yùn)算法則

若a>0,b>0,r,s&Q,則有下列指數(shù)運(yùn)算法則：

①優(yōu)—優(yōu)=優(yōu)+'；

②")'=d;

③(麗=arbr.

實(shí)際上上述法則當(dāng)r,s為無理數(shù)時(shí)也成立.

2.指數(shù)函數(shù)

(1)形如y=a*(a>O,aWl)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，因此y==乃，都是指數(shù)函數(shù)，而

y=2?3,y=-4X均不能稱為指數(shù)函數(shù).

(2)在丫=2,中，當(dāng)aW0時(shí)a”可能無意義，當(dāng)a>0時(shí)x可以取任何實(shí)數(shù)，當(dāng)a=l時(shí)，a'=l(xG/?),

無研究價(jià)值，且這時(shí)y=l'=1不存在反函數(shù)，因此規(guī)定丫=，中a>0,且。工1.

(3)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=ax0<a<1a>1

、y、y

圖象____-__--

~~cTX0X

定義域R

值域(0,+oo)

性過定點(diǎn)(J,1),即x=0時(shí)，y=1

定點(diǎn)(1)a>1,當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1。

質(zhì)

(2)0<a<1,當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1。

單調(diào)性在R上是減函數(shù)在火上是增函數(shù)

對稱性必和曠=才工關(guān)于y軸對稱

(4)指數(shù)函數(shù)y=a*的性質(zhì)可以由y=1(/,y=2*,y=(；),的圖像這三條曲線來記憶.

由圖可見，當(dāng)a>l時(shí)，指數(shù)函數(shù)丫=^的底數(shù)越大,

它的圖象在第一象限部分越“靠近y軸”，在第二象限部分越

“靠近x軸”.又因函數(shù)y=a*和y=(-)'的圖像關(guān)于y軸對稱，

a

實(shí)際上y=(工廠=a-x,因此當(dāng)O〈a<l時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax的底數(shù)

a

越小，它的圖像在第二象限部分越“靠近y軸”，在第一象限部分越“靠近x軸”.

⑸函數(shù)值的變化特征：

0<?<1?>1

①x>OB寸0<y<l,①x>。時(shí)y>1,

②x=0時(shí)y=1,②x=0時(shí)y=1,

③x<O0寸y>l③x<OB寸0<y<l,

注意：。值的變化與圖像的位置關(guān)系（詳見圖形）

二.經(jīng)典例題

題型1：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算

（4）V（-?）2

題型2：指數(shù)式的化簡求值

例2(1)計(jì)算：0.25Tx(632x0.008《—10x(2-Q)T+(g—l)°;

(2)計(jì)算：22"+:4"+I-(行+3)°x(行+1)T+[(1-V2)2]2

g〃一3」

⑶化簡：(五聲)3

4J--------

/、a'-8a'。.-12\[b.

(4)化簡：一；------------H-(a3------)x：

爐+2?+后0處八%

例3.(1)已知〃+〃7=3,求々2+々-2與々3+Q-3的值

1_1x2+x-2-2

(2)已知+X2=3,求的值。

3_3

戶+x5-3

題型3：指數(shù)比較大小問題

例4(1)a=2,Z?=V9,c=VsT試比較a,/7,c的大小。

/ic3/io6/Q5

(2)。="*='巴,0=二一試比較“力,。的大小。

題型4：恒等式的證明

?！?P-4-e

例5：已知函數(shù)/(x)=————,g(x)=-———求證/(2x)=2f(x)g(x)

題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像和解析式

例6：如圖為指數(shù)函數(shù)(1)y=ax(2)y=bx(3)y=c*(4)y="'的圖像，則"

的大小關(guān)系

題型6：指數(shù)函數(shù)的定義域與值域

例7：函數(shù)y=———的定義域

X—1

例8：(1)函數(shù)y=/(a>0,awl)在［0,1］上的最大值與最小值的和為3,則。是多少？

(2)求函數(shù)y=2卜7的值域?

(3)函數(shù)y=4'-心2,+1在區(qū)間［0,1］上的最大值為3,求實(shí)數(shù)。的值？

題型7：過定點(diǎn)問題：

例9：函數(shù)^=。*-2+1（?！担ǎ?。/1）必過定點(diǎn)？

題型8：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題

例10：函數(shù)y=3kL在區(qū)間（1,+8）上是單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍？

例11:比較大小

(1)a=4°s,力=8°48,5”

⑵版（吳小

題型9：指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

例12：對于函數(shù)>=二/3+17

（1）求函數(shù)的定義域，值域

（2）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例13：已知對任意的X/不等式，＞《產(chǎn)…，恒成立’求實(shí)數(shù)加的取值范圍。

例14：⑴方程4、一2四-8=0的解

（2）若方程（；1+（；）1+。=0有正數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍？

例15：已知/'(X)=a'——Y(a>1,xeR)

（1）判斷并證明/（%）的奇偶性與單調(diào)性

(2)若/(一2/+3幻+/(加一%-/)>0對任意的工€[0,1]均成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍？

x

例16：設(shè)函數(shù)/(x)=^a--2----(aeR),且對任意xeR,均滿足/(—x)=—/(x).

1+2-,

(1)求。的值

(2)求/(X)的值域

(3)解不等式：0</(2x—1)〈”

課后練習(xí)：

1、化簡下列式子

(1)0.25-1x(6-)2xO.OO8^-10x(2-V3)-1+(V3-1)°;

(2)22n+l4-4,,+l-(V5+3)°